Chuyên đề phương trình đường thẳng trong không gian (2022) toán 12

Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 A Lý thuyết I Phương trình tham số của đường thẳng Định lí Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vec[.]

Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian - Toán 12

- Định nghĩa:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận

vectơ làm vectơ chỉ phương là

Trong đó, t là tham số

- Chú ý:

Nếu a1 ; a2; a3 đều khác 0 thì ta có thể viết phương trình ∆ dưới dạng chính tắc như sau:

Ví dụ 1 Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2;2) và có

vecto chỉ phương là

Lời giải:

Phương trình tham số của ∆ là:

Ví dụ 2 Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2; 1) Lời giải:

Đường thẳng AB nhận làm vecto chỉ phương

Phương trình tham số của AB là:

II Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau

1 Điều kiện để hai đường thẳng song song

d’

Lấy điểm M(x0; y0; z0) trên d

Ta có: d song song với d’ khi và chỉ khi

Đặc biệt: d trùng với d’ khi và chỉ khi:

Ví dụ 3 Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song với nhau:

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương đi qua M(3; 2; 2)

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là

Ta thấy:

Do đó, hai đường thẳng trên song song với nhau

2 Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

- Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t và t’ sau:

Có đúng một nghiệm

- Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t0 ; t’0), để tìm giao điểm M0 của d và d’ ta có

thể thay t0 vào phương trình tham số của d hoặc thay t’0 vào phương trình tham số của d’

Ví dụ 4 Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

Lời giải:

Xét hệ phương trình:

Suy ra, d cắt d’ tại điểm A(4; 1; 3)

3 Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau

Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi không cùng phương và hệ

Ví dụ 5 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là

Ta thấy, không tồn tại số thực k để nên hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau

Xét hệ phương trình:

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: t =2; t’ = -1

Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm

Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau

- Nhận xét:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường

thẳng d:

Xét phương trình A(x0 + ta1 ) + B(y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = 0 ( t là ẩn ) (1)

- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (P) không có điểm chung Vậy d// (P)

- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = t0 thì d cắt (P) tại điểm M(x0 + t0 a1;y0 + t0 a2; z0 + t0 a3)

- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (P)

Ví dụ 6 Xét vị trí tương đối của đường thẳng d:  

và mặt phẳng (P): 2x – y – z = 0

Lời giải:

Lấy điểm M(1+ 2t; -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d

Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua M(4;3;1) và song song với đường thẳng Δ: x = 1 + 2t, y = 1 - 3t, z = 3 + 2t Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

Lời giải:

Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương

Đường thẳng d đi qua M(4;3;1) và song song với đường thẳng ∆ nên có vecto chỉ phương là Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

Câu 3: Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(-1;-2;3) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - 2y + 3z - 1 = 0

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là:

Vì đường thẳng d đi qua điểm M(-1;-2;3) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có vecto chỉ phương là Phương trình chính tắc của d:

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy) Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

B Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

C Đường thẳng d nằm trong hai mặt phẳng: (P): x - 1 = 0, (Q): y - 2 = 0

D Phương trình tham số của đường thẳng d là: x = 1, y = 2, z = 1

A Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

B Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AH là:

Từ giả thiết suy ra

Mặt khác đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;1) nên phương trình tham số của đường thẳng d là: x = 2+ 4t, y = -1, + 5t, z = 1 + 7t

Thay vào (*) ta được :

-1.3 + (a - 1).1 + a.1 = 0 <=> 2a - 4 = 0 <=> a = 2 <=> = (-1; 1; 2) Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là :

Đặt z=t, thay vào hệ trên ta được :

-đường thẳng d2 đi qua điểm M2(7; 2; 0) và có vectơ chỉ phương là = (-6; 9; 12)

Do hai vectơ cùng phương nên các đáp án A và C là sai

Thay tọa độ điểm M1 vào d2 , ta thấy :

Do đó hai đường thẳng d1 và d2 song song

Vậy đáp án B là đúng

II Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

- Phương trình của mặt phẳng (ABC) là: x + y + z - 3 = 0

- Hình chóp O.ABC là hình chóp tam giác đều

- Phương trình đường thẳng qua O, vuông góc với mặt phẳng (ABC) là: x = t, y = t,

z = t

- Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC bằng 3

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

Từ đó suy ra khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là:

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ: x = 1 + 2, y = 2 + t, z = 1 + 2t

và điểm M(2; 1; 4) Khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là?

Cho mặt cầu (S) có một đường kính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng

đã cho Bán kính của mặt cầu (S) là?

Lời giải:

Ta có:

Từ điểm D kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh AB tại điểm E Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại F Do AD là đường phân giác trong của tam giác ABC nên ta suy ra AEDF là hình thoi

Đặt AE=AF=k Ta có:

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AD Từ đó suy ra C là khẳng định đúng

Ta cũng lưu ý rằng khẳng định A sai, do tam giác ABC không cân tại đỉnh A

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và

có vectơ chỉ phương là , với a, b, c khác 0 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

- Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

- Phương trình tham số của đường thẳng d là: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + at

- Đường thẳng d nằm trong hai mặt phẳng :(P): b(x - x0) - a(y - y0) = 0 và (Q): c(x - x0) - a(z - z0) = 0

- Phương trình đường thẳng d là: a(x - x0) + b (y - y0) + c(z - z0) = 0

Lời giải:

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của a để hai đường thẳng sau chéo nhau :

Lời giải:

Hai đường thẳng đã cho có hai vecto chỉ phương là

Để hai đường thẳng sau vuông góc thì

Suy ra, đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P)

Câu 9: Vị trí tương đối của đường thẳng d: x = 2 + 4t, y = 3 + t, z = -5t và mặt phẳng (P): x + y + z - 3 = 0 là?

Câu 10: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(2;1;-3) và vuông góc với hai đường thẳng:

Lời giải:

Mặt khác d đi qua điểm M(2 ;1 ;-3)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

x = 2 + t, y = 1 - 9t, z = -3 - 3t

III Bài tập vận dụng

Bài 1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-2; -2; -4), M(1; 0; 0) Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, nằm trong mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất

Bài 2 Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(-2;3;1), vuông góc với trục Ox, đông thời d song song với mặt phẳng: (P):

x + 2y - 3z = 0

Bài 3 Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;1;-1), nằm trong mặt phẳng (P): x + 2y + z - 1 = 0 và vuông góc với đường thẳng

Bài 4 Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau: (P): x + 2y - z + 1 = 0, (Q): x + y + 2z + 3 = 0

Bài 5 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P): x + y - z + 3 = 0, (Q): 2x - y + 6z - 2 = 0 phương trình chính tắc của đường thẳng d là?

Bài 6 Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;1;-1), vuông góc và cắt đường thẳng Δ: x = 1 - 4t, y = t, z = -1 + 4t

Bài 7 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(8; 4; -5) và mặt phẳng 2x + 2y - z + 1 = 0 Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho AM2 +