Chuyên đề hệ tọa độ trong không gian (2022) toán 12

Chuyên đề Hệ tọa độ trong không gian Toán 12 A Lý thuyết I Tọa độ của điểm và của vecto 1 Hệ tọa độ Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một đ[.]

Chuyên đề Hệ tọa độ trong không gian - Toán 12

các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không

gian, hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là

các mặt phẳng tọa độ

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz

- Vì là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau

nên:

2 Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý Vì ba vecto không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian

thỏa mãn hệ thức

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho

và viết: M = (x; y; z) hoặc M (x; y; z)

3 Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1; a2;

II Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

Ví dụ 1 Cho

Do đó, hai vecto trên không cùng phương

b) Ta thấy: nên hai vecto trên cùng phương

Ví dụ 4 Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8)

a) Tính

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB

Lời giải:

III Tích vô hướng

1 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

b) Khoảng cách giữa hai điểm

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(xA ; yA ; zA) và B(xB; yB ; zB) Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto Do đó, ta có:

c) Góc giữa hai vecto

IV Phương trình mặt cầu

- Định lí

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là: ( x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2

- Nhận xét Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 – r2

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính

Ví dụ 7 Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

đổi Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng

Lời giải:

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các điểm là: A(xA;

yA, zA), B(xB; yB, zB), CA(xC; yC, zC) Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC Khẳng định nào sau đây là sai?

Lời giải:

zA), B(xB; yB, zB) Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

Lời giải:

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;0), B(-4;5;3), 6) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

vectơ cùng phương với vectơ và có độ dài bằng 6

Lời giải:

Ta có:

Mặt khác hai vectơ này cùng phương nên ta có:

Từ đó ta suy ra

Vậy đáp án cần tìm là C

Lưu ý Đáp án D là sai, do sai lầm trong tính độ dài của vectơ a→ :

Mà hai vectơ này cùng phương nên ta có:

Với những giá trị nào của m thì đạt giá trị lớn nhất

Với mọi cặp vectơ

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

hay hai vectơ này vuông góc Điều đó tương đương với điều kiện :

Chọn B

Nếu chúng ta suy nghĩ sai là: ‘‘ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi góc giữa hai vectơ đó lớn nhất ’’ thì khi đó góc giữa hai vectơ bằng 180o , do đó tồn tại

số k âm sao cho

Hệ này vô nghiệm và dẫn đến ta chọn đáp án là D

(-1; 2; 3) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Câu 8: Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABDC với A(0;0;0), 2;3), D(3;1;-4) Tọa độ của điểm C là:

Lưu ý Đáp án A sai do nhầm giải thiết ABCD là hình bình hành

Đáp án C xuất phát từ việc vận dụng sai quy tắc hình bình hành

Đáp án D xuất phát từ sai lầm cho rằng:

B(1;2;0), D(2;-1;0), A’(5;2;2) Tọa độ điểm C’ là:

A (3;1;0)

Dấu bằng xảy ra khi 2 vectơ

cùng hướng Vậy độ dài của vectơ nhỏ nhất bằng 1 Suy ra đáp án đúng là C

Lưu ý Đáp án A là giá trị lớn nhất của

Đáp án B xuất phát từ bất đẳng thức

tuy nhiên đáp án B sai do độ dài của một vectơ không âm

Đáp án D xuất phát từ nhận xét

tuy nhiên trong trường hợp này dấu bằng không xảy ra

II Bài tập tự luận có lời giải

- 2y - 4z + 5 = 0

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

- Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và đường kính có độ dài bằng 2

- Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là: (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 1

- Diện tích của mặt cầu (S) là π

- Thể tích của khối cầu (S) là

Lời giải:

Ta viết lại phương trình của (S) dưới dạng chính tắc như sau:

x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 4z + 5 = 0

Thể tích của khối cầu (S) là

Khẳng định C là sai do nhầm giữa công thức diện tích của mặt cầu với diện tích của đường tròn Diện tích mặt cầu (S) là: 4πR2 = 4π

chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD) Cho H(4;-3;-2) Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

Lời giải:

Do ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm tam giác BCD và I trùng với trọng tâm G của tứ diện ABCD Ta có:

Từ đó ta có:

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ Khẳng định nào dưới đây sai?

Lời giải:

khác Khẳng định nào dưới đây sai?

Lời giải:

đúng với mọi ?

Lời giải:

đổi Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

III Bài tập vận dụng

B(1;2;0), D(2;-1;0), A’(5;2;3) Tọa độ của điểm C’ là?

điểm M trong không gian tỏa mãn đẳng thức AM2 + 2BM2 = 30 là một mặt cầu (S) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S)

Bài 3 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;2;-4), B(-3;5;2) Tìm tọa độ điểm

M sao cho biểu thức AM2 + 2BM2 đạt giá trị nhỏ nhất

1)2 + (z - 3)2 = 4

I(-1;2;3), I’(3;-2;1) và có bán kính lần lượt là 4 và 2 Cho điểm M di động trên mặt cầu (S), N di động trên mặt cầu (S’) Khi đó giá trị lớn nhất của đoạn thẳng MN bằng?

hướng của hai vectơ là?

(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 25

x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 4z + 5 = 0

3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x - 8y + 15z - 3 = 0