50 bài tập phương trình đường thẳng toán 12 mới nhất

Bài tập Phương trình đường thẳng Toán 12 I Bài tập trắc nghiệm Câu 1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 0), B(3; 5; 2) Phương trình tham số của đường thẳng AB là B x = 2 + 3t, y = 3 5t, z = 2[.]

Bài tập Phương trình đường thẳng - Toán 12

I Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; -2; 0), B(3; -5; 2) Phương

trình tham số của đường thẳng AB là:

B x = 2 + 3t, y = -3 - 5t, z = 2 + 2t

C x = 3 + 2t, y = -5 - 3t, z = 2 + 2t

D x = 1 + 2t, y = -2 + 3t, z = 2t

Lời giải:

Đường thẳng AB đi qua B(3; -5; 2) và VTCP có phương trình tham

số là:

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua M(4;3;1) và song song

với đường thẳng Δ: x = 1 + 2t, y = 1 - 3t, z = 3 + 2t Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

Lời giải:

Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương

Đường thẳng d đi qua M(4;3;1) và song song với đường thẳng ∆ nên có vecto chỉ phương là Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

Câu 3: Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua

điểm M(-1;-2;3) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - 2y + 3z - 1 = 0

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là:

Vì đường thẳng d đi qua điểm M(-1;-2;3) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có vecto chỉ phương là Phương trình chính tắc của d:

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm M(1;2;3) và

vuông góc với mặt phẳng (Oxy) Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

B Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là

C Đường thẳng d nằm trong hai mặt phẳng: (P): x - 1 = 0, (Q): y - 2 = 0

D Phương trình tham số của đường thẳng d là: x = 1, y = 2, z = 1

Lời giải:

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Oxy) nên đường thẳng d có vectơ chỉ phương là (0 ;0 ;1) Từ đó suy ra A là khẳng định sai

Câu 5: Cho tam giác ABC có A(1; -2; 3), B(0; 5; 6), C(1; 3; 2) Gọi H là hình

chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

B Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AH là:

C AH ⊥ BC

D Các khẳng định trên không đồng thời đúng

Lời giải:

Ta có thể thấy ngay rằng các khẳng định A và C đều đúng

Ta có

Mặt khác ta có

Từ đó ta suy ra

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AH

Vậy D là khẳng định sai

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; -2; -1), B(3; -5; 2) Phương

trình chính tắc của đường thẳng AB là:

Lời giải:

Đường thẳng AB đi qua điểm B(3;-5;2) và có vectơ chỉ phương là Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:

Câu 7: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d đi

qua điểm M(2;-1;1), vuông góc với đường thẳng

và song song với mặt phẳng (P): 2x - 3y + z - 2 = 0

B d: x = 2 + 4t, y = 1 + 5t, z = 1 + 7t

C d: x = 2 +4t, y = -1 - 5t z = 1 + 7i

D d: x = -2 + 4t, y = 1 + 5t, z = -1 + 7t

Lời giải:

Từ giả thiết suy ra

Mặt khác đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;1) nên phương trình tham số của đường thẳng d là: x = 2+ 4t, y = -1, + 5t, z = 1 + 7t

Vậy đáp án đúng là B

Câu 8: Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi

qua điểm M(0;1;1) , vuông góc với đường thẳng

và cắt đường thẳng d2: x = -1, y = t, z = 1 + t

Lời giải:

Gọi A = d ∩ d2 Ta có A ∈ d2 => A(-1; a; a+ 1)

Theo giả thiết:

Thay vào (*) ta được :

-1.3 + (a - 1).1 + a.1 = 0 <=> 2a - 4 = 0 <=> a = 2 <=> = (-1; 1; 2)

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là :

Vậy đáp án đúng là A

Câu 9: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d là

giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau : (P): x + y + z - 1 = 0, (Q): 3x + 2y + z + 1

= 0

A d: x = -3 + t, y = 4 + 2t, z = t

B d: x = -3 + t, y = 4 - 2t, z = t

C d: x = -3 + t, y = 4 - 2t, z =1 + t

D d: x =1 - 3t, y = -1 + 4t, z = t

Lời giải:

Tọa độ các điểm thuộc d là nghiệm của hệ phương trình :

Đặt z=t, thay vào hệ trên ta được :

Vậy đáp án đúng là B

Câu 10: Trong không gian Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng

d1: x = 2 + 4t, y = -6t, z = -1-8t và

A Cắt nhau

B song song

C chéo nhau

D trùng nhau

Lời giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương là u1→ = (4; -6; -8) ;

đường thẳng d2 đi qua điểm M2(7; 2; 0) và có vectơ chỉ phương là u2→ = (-6; 9; 12)

Do hai vectơ u1→ và u2→ cùng phương nên các đáp án A và C là sai

Thay tọa độ điểm M1 vào d2 , ta thấy :

Do đó hai đường thẳng d1 và d2 song song

Vậy đáp án B là đúng

II Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) Trong

những khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

- Phương trình của mặt phẳng (ABC) là: x + y + z - 3 = 0

- Hình chóp O.ABC là hình chóp tam giác đều

- Phương trình đường thẳng qua O, vuông góc với mặt phẳng (ABC) là: x = t, y = t,

z = t

- Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABC bằng 3

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

Từ đó suy ra khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là:

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ: x = 1 + 2, y = 2 + t, z = 1 + 2t

và điểm M(2; 1; 4) Khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là?

Lời giải:

Cách 1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng Δ

Ta có: H ∈ Δ => H(1 + t; 2 + t; 1 + 2t)

<=> 6t - 6 = 0 <=> t = 1 => H(2; 3; 3)

Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ là:

Vậy đáp án đúng là C

Cách 2 Δ đi qua điểm A(1 ;2 ;1) và có vectơ chỉ phương là

Ta có:

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau :

Cho mặt cầu (S) có một đường kính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng

đã cho Bán kính của mặt cầu (S) là?

Lời giải:

Ta có d1 đi qua điểm M1(7; 3; 9) và có vectơ chỉ phương là u1→ = (1; 2; 1); d2 đi qua điểm M2(3; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là u2→

Bán kính của mặt cầu (S) là :

Câu 4: Cho tam giác ABC có ABC có A(2; 2; 1), B(4; 4; 2), C(-2; 4; -3) Vectơ

nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường phân giác trong AD của tam giác ABC

Lời giải:

Ta có:

Từ điểm D kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh AB tại điểm E Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại F Do AD là đường phân giác trong của tam giác ABC nên ta suy ra AEDF là hình thoi

Đặt AE=AF=k Ta có:

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AD Từ đó suy ra C là khẳng định đúng

Ta cũng lưu ý rằng khẳng định A sai, do tam giác ABC không cân tại đỉnh A

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0; z0)

và có vectơ chỉ phương là u→ , với a, b, c khác 0 Trong các khẳng định sau,

khẳng định nào sai?

- Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

- Phương trình tham số của đường thẳng d là: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + at

- Đường thẳng d nằm trong hai mặt phẳng :(P): b(x - x0) - a(y - y0) = 0 và (Q): c(x -

x0) - a(z - z0) = 0

- Phương trình đường thẳng d là: a(x - x0) + b (y - y0) + c(z - z0) = 0

Lời giải:

Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của a để hai đường thẳng sau chéo nhau :

d1: x = 1 + at, y = t, z = -1 + 2t, d2: x = 1 - t', y = 2 + 2t', z = 3 - t'

Lời giải:

Hai đường thẳng d1, d2 lần lượt đi qua hai điểm M1(1; 0; -1), M2(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương lần lượt là

Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi :

⇔ -5.0 + (a - 2).2 + (2a + 1).4 ≠ 0 ⇔ 10a ≠ 0 ⇔ a ≠ 0

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của a để hai đường thẳng sau vuông góc

d1: x = 1 - t, y = 1 + 2t, z = 3 + at, d2: x = a + at, y = -1 + t, z = -2 + 2t

Lời giải:

Hai đường thẳng đã cho có hai vecto chỉ phương là u1→(-1; 2; a); u2→(a; 1; 2)

Để hai đường thẳng sau vuông góc thì

u1→.u2→ = -1.a + 2.1 + a.2 = 0 ⇔ a + 2 = 0 ⇔ a = -2

Câu 8: Vị trí tương đối của đường thẳng d: x = 1 + 2t, y = 1 - t, z = 1 - t và mặt

phẳng (P): x + y + z - 3 = 0 là?

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A( 1 ; 1 ;1) ; có một vecto chỉ phương là ( 2 ; -1 ; -1) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là

Ta có: u→.n→ = 2.1 + (-1).1 + (-1).1 = 0 và A ∈ (P)

Suy ra, đường thẳng d thuộc mặt phẳng (P)

Câu 9: Vị trí tương đối của đường thẳng d: x = 2 + 4t, y = 3 + t, z = -5t và mặt

phẳng (P): x + y + z - 3 = 0 là?

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M(2 ;3 ;0) và có vectơ chỉ phương là ud→ = (4; 1; -5), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là uP→ = (1; 1; 1) Ta có :

Suy ra đường thẳng d song song với mặt phẳng (P)

Câu 10: Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d đi

qua điểm M(2;1;-3) và vuông góc với hai đường thẳng:

Lời giải:

Mặt khác d đi qua điểm M(2 ;1 ;-3)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

x = 2 + t, y = 1 - 9t, z = -3 - 3t

III Bài tập vận dụng

Bài 1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-2; -2; -4), M(1; 0; 0) Lập phương

trình đường thẳng d đi qua điểm M, nằm trong mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất

Bài 2 Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua

điểm A(-2;3;1), vuông góc với trục Ox, đông thời d song song với mặt phẳng: (P):

x + 2y - 3z = 0

Bài 3 Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua

điểm M(0;1;-1), nằm trong mặt phẳng (P): x + 2y + z - 1 = 0 và vuông góc với đường thẳng

Bài 4 Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng d là giao

tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau: (P): x + 2y - z + 1 = 0, (Q): x + y + 2z + 3 = 0

Bài 5 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

cắt nhau (P): x + y - z + 3 = 0, (Q): 2x - y + 6z - 2 = 0 phương trình chính tắc của đường thẳng d là?

Bài 6 Trong không gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua

điểm M(0;1;-1), vuông góc và cắt đường thẳng Δ: x = 1 - 4t, y = t, z = -1 + 4t

Bài 7 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(8; 4; -5) và mặt phẳng 2x

+ 2y - z + 1 = 0 Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho AM2 +

BM2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 8 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là: (x + 1)2 + (y - 4)2 + (z + 3)2 = 36 Số mặt phẳng (P) chứa trục Ox và tiếp xúc với mặt cầu (S) là?

Bài 9 Cho đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 1 + at và mặt phẳng (P): 2x + y +

z + b = 0 Tìm a và b để đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)

Bài 10 Trong không gian Oxyz, tọa độ của hình chiếu vuông góc của điểm M(5;2;3)

trên mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 1 = 0 là?