50 bài tập nguyên hàm toán 12 mới nhất

Bài tập Nguyên hàm Toán 12 I Bài tập trắc nghiệm Bài 1 Lời giải Đặt u = ex + 1 ⇒ u'''' = ex Ta có Bài 2 Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cosxsinx ? Lời giải Cách 1[.]

Bài tập Nguyên hàm - Toán 12

I Bài tập trắc nghiệm

Bài 1:

Lời giải:

Đặt u = ex + 1 ⇒ u' = ex Ta có

Bài 2: Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) =

cosxsinx ?

Lời giải:

Cách 1

Cách 2 Sử dụng phương pháp biến đổi số ta có:

Đặt u = cosx thì u’ = -sinx và ∫sinxcosxdx = -∫u.u'dx = -∫udu

Vậy chọn đáp án D

Bài 3: Tìm I=∫(3x2 - x + 1)exdx

A I = (3x2 - 7x +8)ex + C

B I = (3x2 - 7x)ex + C

C I = (3x2 - 7x +8) + ex + C

D I = (3x2 - 7x + 3)ex + C

Lời giải:

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:

Đặt u = 3x2 - x + 1 và dv = exdx ta có du = (6x - 1)dx và v = ex Do đó:

∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - ∫(6x - 1)exdx

Đặt u1 = 6x - 1; dv1 = exdx Ta có: du1 = 6dx và v1 = ex

Do đó ∫(6x - 1)exdx = (6x - 1)ex - 6∫exdx = (6x - 1)ex - 6ex + C

Từ đó suy ra

∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - (6x - 7)ex + C = (3x2 - 7x + 8)ex + C

Vậy chọn đáp án A

Bài 4:

Lời giải:

Vậy chọn đáp án C

Bài 5: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc

Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s Vận tốc của vật sau 10 giây xấp xỉ bằng

A 10m/s

B 11m/s

C 12m/s

D 13m/s

Lời giải:

Vận tốc của vật bằng

với t = 0 ta có v(0)= C = 6 nên phương trình vận tốc của chuyển động là : v(t) = 3ln(t + 1) + 6 (m/s)

khi đó v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13 (m/s)

Vậy chọn đáp án D

Bài 6: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx

A I = sin(4x + 2) + C

B I = - sin(4x + 3) + C

C I = ( ).sin(4x + 3) + C

D I = 4sin(4x + 3) + C

Lời giải:

Đặt u = 4x + 3

⇒ du = 4dx ⇒ dx = du và cos(4x+3)dx được viết thành

Bài 7: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng?

A Hàm số y = có nguyên hàm trên (-∞; +∞)

B 3x2 là một số nguyên hàm của x3 trên (-∞; +∞)

C Hàm số y = |x| có nguyên hàm trên (-∞;+∞)

D là họ nguyên hàm của lnx trên (0;+∞)

Lời giải:

Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên

hàm trên K Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R

Phương án A sai vì không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞)

Phương án B sai vì 3x2 là đạo hàm của x3

Phương án D sai vì là đạo hàm của lnx trên (0; +∞)

Vậy chọn đáp án C

Bài 8: Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x)=2x-sin⁡2x ?

B x2 + cos2 x

C x2 - sin2x

D x2 + cos2x

Lời giải:

Ta có

∫(2x-sin2x)dx=2∫xdx-∫sin2xdx

D không phải là nguyên hàm của f(x) Vậy chọn đáp án D Bài 9: Tìm nguyên hàm của

Lời giải:

Với x ∈ (0; +∞) ta có

Vậy chọn đáp án C

Bài 10:

Lời giải:

Vậy chọn đáp án B

Ghi chú Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó

II Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Tìm I = ∫x.e3xdx

Lời giải:

Bài 2: Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của:

Lời giải:

Bài 3: Họ nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Bài 4: Họ nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Bài 5: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của

Lời giải:

Bài 6: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2 tanx + cotx)2 là:

Lời giải:

∫(2tanx + cotx)2dx = ∫(4tan2x + 2tanx.cotx + cot2x)dx

= ∫ [4(tan2x + 1) + (cot2x + 1) - 1]dx

= 4tanx = cotx - x + C

Bài 7: Biết rằng: f'(x) = ax + , f(-1) = 2, f(1) = 4, f'(1) = 0 Giá trị biểu thức ab bằng?

Lời giải:

Ta có:

Từ điều kiện đã cho ta có phương trình sau:

Bài 8: Cho các hàm số:

với x > Để F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì giá trị của a,b,c lần lượt là:

Lời giải:

Ta có:

Bài 9: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ t có số lượng là N(t) Biết rằng

và lúc đầu đám vi khuẩn có 250000 con Sau 10 ngày số lượng vi khuẩn xấp xỉ bằng:

Lời giải:

Số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t bằng

Với t = 0 ta có: N(0) = 250000,

Vậy N(t) = 8000.ln(1 + 0,5t) + 250000

khi đó N(10) ≈ 264334

Bài 10: Tìm I = ∫sin5xcosxdx

Lời giải:

III Bài tập vận dụng

Bài 1 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 22x.3x.7x

Bài 2 Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x)=2x-sin2x ? Bài 3 Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) =

cosxsinx ?

Bài 4 Tìm I=∫(3x2 - x + 1)exdx

Bài 5 Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc

Bài 6 Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx

Bài 7 Tìm I = ∫x.e3xdx

Bài 8 Tìm I = ∫sin5xcosxdx

Bài 9 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 22x.3x.7x