50 bài tập khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số toán 12 mới nhất

Bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Toán 12 I Bài tập trắc nghiệm Bài 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A I(1; 0) là tâm đối xứng của B I(1; 0) là tâm đối xứng của y = x3 + 3x2[.]

Bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số - Toán 12

I Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A I(1; 0) là tâm đối xứng của

B I(1; 0) là tâm đối xứng của y = -x3 + 3x2 - 2

C I(1; 0) là điểm thuộc đồ thị

D I(1; 0) là giao điểm của y = x3 - 3x2 - 2 với trục hoành

Lời giải:

Đối với hàm phân thức hữu tỉ, giao điểm của 2 đường tiệm cận là tâm đối xứng của

đồ thị hàm số

A Tâm đối xứng của

C Điểm I(1; 0) không thuộc đồ thị

D Điểm I(1; 0) không thuộc đồ thị y = x3 - 3x2 - 2 nên không phải là giao điểm của

y = x3 - 3x2 - 2 với trục hoành

Chọn đáp án B

Bài 2: Tìm m để bất phương trình x4 + 2x2 ≥ m luôn đúng

A m = 0

B m < 0

C m ≤ 0

D Không có đáp án

Lời giải:

Xét hàm số y = x4 + 2x2 có a = 1 > 0; b = 2 > 0 => a, b cùng dấu

Đồ thị có dạng như hình bên

Do đó, để bất phương trình x4 + 2x2 ≥ m luôn đúng thì m ≤ min(x4 + 2x2)

Từ đồ thị hàm số ta suy ra m ≤ 0 Chọn đáp án C

Bài 3: Cho hàm số

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y'' = 0 là

Lời giải:

Ta có

y' = x2 + 2x; y'' = 2x + 2 => y'' = 0 <=> x = -1 => , y'(-1) = -1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x = -1 là:

Chọn đáp án A

Bài 4: Cho hàm số

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 3x -1

A y = 3x + 1

B y = 3x -

C 3x + 20

D Cả A và B đúng

Lời giải:

Ta có y' = x2 - 4x + 3 Tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y = 3x

- 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3

Xét y' = 3 <=> x2- 4x = 0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A(0;1) có hệ số góc k = 3 là y = 3x + 1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại B(4; ) có hệ số góc k = 3 là

Chọn đáp án D

Bài 5: Gọi M, N là giao điểm của

Khi đó hoành độ trung điểm của I của đoạn thẳng MN bằng

A 2

B.1

C 0

D -1

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Giao điểm của hai đồ thị hàm số là M(x1; y1), N(x2; y2) với x1, x2 là nghiệm phương trình (1) Do đó

Chọn đáp án B

Bài 6: Tìm m để phương trình x3 + 3x2 = m có ba nghiệm phân biệt

A m > 4

B m < 0

C 0 ≤ m ≤ 4

D 0 < m < 4

Lời giải:

Xét hàm số

y = f(x) = x3 + 3x2 (C)

Đồ thị hàm số có dạng như hình bên

x3 + 3x2 = m có ba nghiệm phân biệt

<=> Đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt <=> 0 < m < 4

Chọn đáp án D

Bài 7: Cho hàm số 2x3 - 3(m+1)x2 + 6(m + 1)2x + 1 Hình nào dưới đây mô tả chính xác nhất đồ thị hàm số trên?

Lời giải:

Ta có: a = 2 > 0; y' = 6x2 - 6(m + 1)x + 6(m + 1)2 = 6[x2 - (m + 1)x + (m + 1)2] y' = 0 ⇔ x2 - (m + 1)x + (m + 1)2 = 0

Δ = -3(m + 1)2 ≤ 0 ∀x ∈ R => y' = 0 vô nghiệm hoặc nghiệm kép

Do đó, đồ thị hàm số đã cho không có cực trị

Chọn C

Bài 8: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong 4 hàm số

được liệt kê ở 4 phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y = x4 + 3x2 - 2

B y = x3 - 2x2 + 1

C y = -4x4 + x2 + 4

D y = x4 - 2x2 + 3

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đây là đồ thị ứng với hàm bậc bốn trùng phương có a > 0

và a, b, trái dấu

Chọn đáp án D

Bài 9: Đồ thị trong hình dưới đây là đồ thị của đồ thị hàm số nào?

A y = x2 - 2x + 1

B y = x3 + 4x2 - 2x + 5

C y = x4 + x2 + 1

D y = x4 - 3x2 + 5

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị trên là của hàm trùng phương có a > 0 và a, b, cùng dấu hoặc hàm số bậc hai với a > 0 ⇒ loại B và D

Tuy nhiên đỉnh của parabol của đồ thị hàm số y = -x3 - 3x2 + 1 là I(1; 0) nằm trên trục hoành ⇒ loại A

Chọn đáp án C

Bài 10: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = -x3 - 3x2 + 1 là:

A (-1; -1)

B (-2; -3)

C (0; 1)

D Không có đáp án

Lời giải:

y' = -3x2 - 6x; y'' = -6x - 6; y'' = 0 => x = -1

Vậy điểm U(-1; -1) là tâm đối xứng của đồ thị

(Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng – hoành độ điểm uốn là nghiệm phương trình y'' = 0 )

Chọn đáp án A

II Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong 4 hàm số

được liệt kê ở 4 phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A y = x4 + 3x2 - 2

B y = x3 - 2x2 + 1

C y = -4x4 + x2 + 4

D y = x4 - 2x2 + 3

Câu 2: Đồ thị trong hình dưới đây là đồ thị của đồ thị hàm số nào?

A y = x2 - 2x + 1

B y = x3 + 4x2 - 2x + 5

C y = x4 + x2 + 1

D y = x4 - 3x2 + 5

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị trên là của hàm trùng phương có a > 0 và a, b, cùng dấu hoặc hàm số bậc hai với a > 0 ⇒ loại B và D

Tuy nhiên đỉnh của parabol của đồ thị hàm số y = -x3 - 3x2 + 1 là I(1; 0) nằm trên trục hoành ⇒ loại A

Câu 3: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = -x3 - 3x2 + 1 là:

Lời giải:

y' = -3x2 - 6x; y'' = -6x - 6; y'' = 0 => x = -1

Vậy điểm U(-1; -1) là tâm đối xứng của đồ thị

(Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng – hoành độ điểm uốn là nghiệm phương trình y'' = 0 )

Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A I(1; 0) là tâm đối xứng của

B I(1; 0) là tâm đối xứng của y = -x3 + 3x2 - 2

C I(1; 0) là điểm thuộc đồ thị

D I(1; 0) là giao điểm của y = x3 - 3x2 - 2 với trục hoành

Lời giải:

Đối với hàm phân thức hữu tỉ, giao điểm của 2 đường tiệm cận là tâm đối xứng của

đồ thị hàm số

A Tâm đối xứng của

C Điểm I(1; 0) không thuộc đồ thị

D Điểm I(1; 0) không thuộc đồ thị y = x3 - 3x2 - 2 nên không phải là giao điểm của

y = x3 - 3x2 - 2 với trục hoành

Câu 5: Tìm m để bất phương trình x4 + 2x2 ≥ m luôn đúng

Lời giải:

Xét hàm số y = x4 + 2x2 có a = 1 > 0; b = 2 > 0 => a, b cùng dấu

Đồ thị có dạng như hình bên

Do đó, để bất phương trình x4 + 2x2 ≥ m luôn đúng thì m ≤ min(x4 + 2x2)

Từ đồ thị hàm số ta suy ra m ≤ 0 Chọn đáp án C

Câu 6: Cho hàm số

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y'' = 0 là?

Lời giải:

Ta có

y' = x2 + 2x; y'' = 2x + 2 => y'' = 0 <=> x = -1 => , y'(-1) = -1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x = -1 là:

Câu 7: Cho hàm số

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 3x -1

Lời giải:

Ta có y' = x2 - 4x + 3 Tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y = 3x

- 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3

Xét y' = 3 <=> x2 - 4x = 0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A(0;1) có hệ số góc k = 3 là y = 3x + 1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại B(4; ) có hệ số góc k = 3 là

Câu 8: Gọi M, N là giao điểm của

Khi đó hoành độ trung điểm của I của đoạn thẳng MN bằng?

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Giao điểm của hai đồ thị hàm số là M(x1; y1), N(x2; y2) với x1, x2 là nghiệm phương trình (1) Do đó

Câu 9: Tìm m để phương trình x3 + 3x2 = m có ba nghiệm phân biệt

Lời giải:

Xét hàm số

y = f(x) = x3 + 3x2 (C)

Đồ thị hàm số có dạng như hình bên

x3 + 3x2 = m có ba nghiệm phân biệt

<=> Đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt <=> 0 < m < 4

Câu 10: Cho hàm số 2x3 - 3(m+1)x2 + 6(m + 1)2x + 1 Hình nào dưới đây mô tả chính xác nhất đồ thị hàm số trên?

Lời giải:

Ta có: a = 2 > 0; y' = 6x2 - 6(m + 1)x + 6(m + 1)2 = 6[x2 - (m + 1)x + (m + 1)2] y' = 0 ⇔ x2 - (m + 1)x + (m + 1)2 = 0

Δ = -3(m + 1)2 ≤ 0 ∀x ∈ R => y' = 0 vô nghiệm hoặc nghiệm kép

Do đó, đồ thị hàm số đã cho không có cực trị

III Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho hàm số y = x4 + (m2 + 1)x2 + 1 Hình nào dưới đây mô tả chính xác nhất

đồ thị hàm số trên?

Bài 2 Đường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của đường cong y = x3 + 2 khi m bằng?

Bài 3 Tiếp tuyến của parabol y = 4 - x2 tại điểm (1; 3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông Diện tích tam giác vuông đó là?

Bài 4 Cho hàm số y = 3x - 4x3 Có nhiều nhất mấy tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; 3) ?

Bài 5 Tìm m để phương trình x4 - 2x2 + 3 - m2 + 2m = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt

Bài 6 Với m > 0 phương trình có ít nhất mấy nghiệm?

Bài 7 Với mọi m ∈ (-1; 1) phương trình sin2 + cosx = m có mấy nghiệm trên đoạn [0; π] ?

Bài 8 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số đã học theo sơ đồ trên

y = ax + b

y = ax2 + bx + c

Bài 9 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = - x2 + x + 1

Bài 10 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = -x4 + 2x2 + 3

Bài 11 Bằng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình -x4 + 2x2 + 3 = m

Bài 12 Lấy một ví dụ về hàm số dạng y = ax4 + bx2 + c sao cho phương trình y’ = 0 chỉ có một nghiệm