Toancap2 com Chia sẻ kiến thức Toán lớp 6, 7, 8, 9 Chuyên đề TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A CƠ SỞ LÍ THUYẾT I TỈ LỆ THỨC 1 Định nghĩa Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số (hoặc a[.]
Trang 1Chuyên đề:
TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
A CƠ SỞ LÍ THUYẾT
I TỈ LỆ THỨC
1 Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số
a
b = c d (hoặc a : b = c : d)
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ
2 Tính chất:
Tính chất 1: Nếu
a
b = c d thì ad=bc
Tính chất 2: Nếu ad=bc và a, b, c, d ¿0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:
a
b = c d ,
a
c = b d ,
d
b = c a ,
d
c =b a
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.
II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
-Tính chất: Từ
a
b = c d suy ra:
a
b = c d = a+c b+d = a−c b−d
-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:
a
b = c d = e f suy ra: a b = c d = e f = a+b+c b+d+f = a−b+c b−d+f =
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa)
* Chú ý: Khi có dãy tỉ số
a
2= b3= c5 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết
x
2= y3 và x+ y=20
Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt
x
2= y3=k , suy ra: x=2 k , y=3 k
Theo giả thiết: x+ y=20⇒2 k+3 k=20 ⇒5k=20 ⇒k=4
Do đó: x=2.4=8
y=3.4=12
KL: x=8 , y=12
Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Trang 2Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x
2= y3= x+ y2+3=205 =4
Do đó:
x
2=4 ⇒ x=8
y
3=4 ⇒ y=12
KL: x=8 , y=12
Cách 3: (phương pháp thế)
Từ giả thiết
x
2= y3⇒ x=2 y3
mà x+ y=20 ⇒ 2 y3 + y=20⇒ 5 y=60 ⇒ y=12
Do đó: x= 2.123 =8
KL: x=8 , y=12
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết:
x
3= y4 ,
y
3= z5 và 2 x−3 y+ z=6
Giải:
Từ giả thiết:
x
3= y4⇒ x9= y12 (1)
y
3= z5⇒ y12= z20 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
x
9= y12= z20 (*)
Ta có:
x
9= y12= z20=2 x18 =3 y36 = z20= 2x−3 y+z18−36+20= 62=3
Do đó:
x
9=3 ⇒ x=27
y
12=3⇒ y=36
z
20=3 ⇒ z=60
KL: x=27 , y=36 , z=60
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt
x
9= y12= z20=k ( sau đó giải như cách 1 của VD1)
Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết:
y
3= z5⇒ y= 3 z5
Trang 3
x
3= y4⇒ x=3 y4 =
3 3z5
4 = 9z20
mà 2 x−3 y+ z=6⇒2 9 z20 −3 3 z5 +z=6⇒ z10=60 ⇒ z=60
Suy ra: y= 3.605 =36, x= 9.6020 =27
KL: x=27 , y=36 , z=60
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng:
x
2= y5 và x y=40
Giải:
Cách 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt
x
2= y5=k , suy ra x=2 k , y=5 k
Theo giả thiết: x y=40⇒2k 5k=40⇒10 k2=40⇒k2=4⇒k=±2
+ Với k =2 ta có: x=2.2=4
y=5.2=10
+ Với k=−2 ta có: x=2.(−2)=−4
y=5.(−2)=−10
KL: x=4 , y=10 hoặc x=−4 , y=−10
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiên x¿0
Nhân cả hai vế của
x
2= y5 với x ta được:
x2
2 = xy5 =405 =8
⇒ x2=16
⇒ x=±4
+ Với x=4 ta có
4
2= y5⇒ y= 4.52 =10 + Với x=−4 ta có
−4
2 = y5 ⇒ y=−4.52 =−10
KL: x=4 , y=10 hoặc x=−4 , y=−10
Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
x
10= y6= z21 và 5 x+ y−2 z=28 b)
x
3= y4 ,
y
5= z7 và 2 x+3 y−z=124
c)
2x
3 = 3 y4 = 4 z5 và x+ y+z=49 d)
x
2= y3 và xy=54
e)
x
5= y3 và x2− y2=4 f) y+ z+1 x =z+x+1 y =x+ y−2 z =x+ y+z
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:
Trang 4a)
x
10= y6= z21 và 5 x+ y−2 z=28 b)
x
3= y4 ,
y
5= z7 và 2 x+3 y−z=124
c)
2x
3 = 3 y4 = 4 z5 và x+ y+z=49 d)
x
2= y3 và xy=54
e)
x
5= y3 và x2− y2=4 f) y+ z+1 x =z+x+1 y =x+ y−2 z =x+ y+z
Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a) 3 x=2 y , 7 y=5 z và x− y+z=32 b)
x−1
2 = y−23 = z−34 và
2 x+3 y−z=50
c) 2 x=3 y=5 z và x+ y−z=95 d)
x
2= y3= z5 và xyz=810
e)
y+ z+1
x = z+x+2 y = x+ y−3 z =x+ y+z1 f) 10 x=6 y và 2 x2− y2=−28
Bài 4 : Tìm các số x, y, z biết rằng:
a) 3 x=2 y , 7 y=5 z và x− y+z=32 b)
x−1
2 = y−23 = z−34 và
2 x+3 y−z=50
c) 2 x=3 y=5 z và x+ y−z=95 d)
x
2= y3= z5 và xyz=810
e)
y+ z+1
x = z+x+2 y = x+ y−3 z =x+ y+z1 f) 10 x=6 y và 2 x2− y2=−28
Bài 5: Tìm x, y biết rằng:
1+2 y
18 = 1+4 y24 = 1+6 y 6 x
Bài 6 : Tìm x, y biết rằng:
1+2 y
18 = 1+4 y24 = 1+6 y 6 x
Bài 7: Cho a+b+c +d≠0 và
a b+c +d=a+c+d b =a+b+d c =a+b+c d
Tìm giá trị của: A= a+b c+d + b+c a+d + c+d a+b + d +a b+c
=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4
Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng:
a) và 5x – 2y = 87; b) và 2x – y = 34;
b) và x2 + y2 + z2 = 14 c)
Trang 5Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 10: Tìm các số x, y, z biết :
a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;
b) x + y = x : y = 3.(x – y)
Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15.
b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x
= 2y
Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3
Bài 11 Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b
và bằng hai
lần tổng của a và b ?
Giai Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.
Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: Biết a+b+c Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?
Bài 13 Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8.
Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em Tính số học sinh của trường đó?
Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:
[ab ( ab−2cd )+c2d2].[ab ( ab−2)+2( ab+1)]=0
thì chúng lập thành một tỉ lệ thức
Giải:
=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)
=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm
DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
Để chứng minh tỉ lệ thức:
A
B = C D ta thường dùng một số phương pháp sau:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A D = B.C
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số
A
B và
C
D có cùng giá trị
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
+)
a
b = na nb (n≠0)
+)
a
b = c d ⇒(a
b)n
=(c
d)n
Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức
a
b = c d .Chứng minh rằng:
a+b a−b = c+d c−d
Giải:
Cách 1: (PP1)
Ta có: (a+b)(c−d)=ac−ad+bc−bd (1)
Trang 6(a−b)(c+d)=ac+ad−bc−bd (2)
Từ giả thiết:
a
b = c d ⇒ ad=bc (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: (a+b)(c−d)=(a−b)(c+d)
⇒
a+b a−b = c+d c−d (đpcm)
Cách 2: (PP2)
Đặt
a
b = c d =k , suy ra a=bk , c=dk
Ta có:
a+b
a−b = kb+b kb−b = b(k+1) b( k−1) = k+1 k−1 (1)
c+d
c−d = kd+d kd−d = d( k+1) d(k−1) = k+1 k−1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
a+b a−b = c+d c−d (đpcm)
Cách 3: (PP3)
Từ giả thiết:
a
b = c d ⇒ a c = b d
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a
c = b d = a+b c+d = a−b c−d
⇒
a+b
a−b = c+d c−d (đpcm)
Hỏi: Đảo lại có đúng không ?
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức
a
b = c d Chứng minh rằng:
ab
cd = a
2−b2
c2−d2
Giải:
Cách 1: Từ giả thiết:
a
b = c d ⇒ ad=bc (1)
Ta có: ab(c2−d2)=abc 2 −abd 2 =acbc−adbd (2)
Trang 7cd(a2−b2)=a2cd−b2cd=acad−bc.bd (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: ab(c2−d2)=cd(a2−b2)
⇒
ab
cd = a
2−b2
c2−d2
(đpcm) Cách 2: Đặt
a
b = c d =k , suy ra a=bk , c=dk
Ta có:
ab
cd = bk b dk d = kb
2
kd 2 = b2
d2
(1)
a2−b2
c2−d2=(bk )2−b2
(dk )2−d2= b2k2−b2
d2k2−d2= b2(k2 −1)
d2(k2 −1)= b
2
d2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
ab
cd = a
2−b2
c2−d2
(đpcm)
Cách 3: Từ giả thiết:
a
b = c d ⇒ a c = b d ⇒ ab cb = a
2
c2= b
2
d2= a
2−b2
c2−d2
⇒
ab
cd = a
2−b2
c2−d2 (đpcm)
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho tỉ lệ thức:
a
b = c d Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
1)
3a+5b
3a−5b = 3 c+5d 3c−5 d 2) (a+b
c+d)2
= a2+b2
c2+d2
3)
a−b
a+b = c−d c+d 4)
ab
cd = (a−b)
2
(c−d )2
5)
2a+5b
3a−4b = 2c+5 d 3c−4d 6)
2005 a−2006 b
2006 c+2007 d =2005c−2006d 2006a+2007 b
7)
a
a+b = c c+d 8)
7 a2+5ac 7a2−5ac = 7 b
2+5bd 7b2−5bd
Bài 2: Cho tỉ lệ thức:
a
b = c d
Trang 8Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) a)
3a+5b
3a−5b = 3 c+5d 3c−5 d b) (a+b
c+d)2
= a2+b2
c2+d2 c) a−b a+b = c−d c+d
d)
ab
cd = (a−b)
2
(c−d )2 e)
2a+5b 3a−4b = 2c+5 d 3c−4d f)
g)
a
a+b = c c+d h)
7 a2+5 ac 7a2−5ac = 7 b
2+5bd 7b2−5 bd i)
Bài 3: Cho
a
b = b c = c d Chứng minh rằng: (a+b+c
b+c+d)3
= a d
Bài 4: Cho
a
b = b c = c d Chứng minh rằng: (a+b+c
b+c+d)3
= a d
Bài 5: Cho
a
2003= b2004= c2005
Chứng minh rằng: 4(a−b)(b−c)=(c−a)2
Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau:
CMR: Ta có đẳng thức:
Bài 7: Cho
a1
a2=
a2
a3= =
a8
a9=
a9
a1 và a1+a2+ +a9≠0
Chứng minh rằng: a1=a2= =a9
Bài 8: Cho
a
2003= b2004= c2005
Chứng minh rằng: 4(a−b)(b−c)=(c−a)2
Bài 9: Chứng minh rằng nếu :
a
b = b d thì
a2+b2
b2+d2= a d
Trang 9Bài 10: Cho
a1
a2=
a2
a3= =
a8
a9=
a9
a1 và a1+a2+ +a9≠0
Chứng minh rằng: a1=a2= =a9
Bài 11: CMR: Nếu a2=bc thì
a+b a−b = c+a c−a Đảo lại có đúng không?
Bài 12: Chứng minh rằng nếu :
a
b = b d thì
a2+b2
b2+d2= a d
Bài 13: Cho
a+b a−b = c+d c−d CMR:
a
b = c d
Giải Ta có :
a2+ b2
c2+d2= ab cd
=
2 ab
2 cd = a
2+2 ab+b2
c2+2 cd +d2= ( a+b)
2
(c +d )2= ab cd ⇒ (a+b) (a+b ) (c +d ) (c+d ) = a b c d;
⇒ c (a+b)
Bài 15: Chứng minh rằng nếu:
u+2 u−2 = v+3 v−3 thì
u
2= v3
Bài 16: CMR: Nếu a2=bc thì
a+b a−b = c+a c−a Đảo lại có đúng không?
Bài 17: CMR nếu a( y+z )=b(z+x)=c( x+ y)
trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :
y−z a(b−c) = z−x b( c−a) = x− y c( a−b)
Bài 18: Cho
a+b a−b = c+d c−d CMR:
a
b = c d
Bài 19: Cho
a
b = c d Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa+ yb≠0 và zc+td≠0
Chứng minh rằng:
xa+ yb za+tb = xc+ yd zc+td
Bài 20: Chứng minh rằng nếu:
u+2 u−2 = v+3 v−3 thì
u
2= v3
Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2=ac ; c2=bd
Trang 10và b3+c3+d3≠0
Chứng minh rằng:
a3+b3+c3
b3+c3+d3= a
d
Bài 22: CMR nếu a( y+z )=b(z+x)=c( x+ y) Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :
y−z a(b−c) = z−x b( c−a) = x− y c( a−b)
Bài 23: Cho P= ax
a1x2+b1x+c1 Chứng minh rằng nếu
a
a1= b b1= c c1 thì giá trị của P không phụ thuộc vào x
Bài 24: Cho biết : CMR: abc + a’b’c’ = 0
Bài 25: Cho
a
b = c d Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa+ yb≠0 và zc+td≠0
Chứng minh rằng:
xa+ yb za+tb = xc+ yd zc+td
Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2=ac ; c2=bd và b3+c3+d3≠0
Chứng minh rằng:
a3+b3+c3
b3+c3+d3= a d
Bài 27: Cho P= ax
a1x2+b1x+c1 Chứng minh rằng nếu
a
a1= b b1= c c1 thì giá trị của P không phụ thuộc vào x