SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ CHO TRƯỚC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ CHO TRƯỚC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Người thực hiện: Phạm Văn Quí Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ, NĂM 2021
Trang 2MỤC LỤC 1.Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài
1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu
2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1 Đối với giáo viên
2.2.2 Đối với học sinh
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3 Kết luận, kiến nghị
3.1 Kết luận
3.2 Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục: Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng
đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp
cao hơn xếp loại từ C trở lên
Trang 3UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com
Trang 41 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài
Bài toán tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị là bài toán thường xuấthiện ở các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia (từ năm 2019 trở về trước)cũng như các kỳ thi tốt nghiệp THPT, vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệtđối với học sinh cũng như giáo viên Hơn nữa từ năm học 2016 – 2017 Bộ giáodục đã chuyển môn toán sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan nên các bàitoán về tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị càng trở nên đa dạng vàphong phú, đồng thời kiến thức trải rất rộng và có tính phân hóa cao Mặt khác
vì hình thức thi trắc nghiệm khách quan nên phần lớn các bài toán tìm sốnghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cần phải suy luận logic và hầu như ít sửdụng được máy tính cầm tay, đặc biệt hơn trong những năm gần đây các bài tìm
số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị ở mức độ vận dụng thường có xuhướng gắn với đồ thị hàm số cho trước làm cho giáo viên và học sinh gặp khókhăn trong việc tìm tòi lời giải, vì để giải quyết được các bài toán loại này yêucầu đòi hỏi phải có kiến thức tổng hợp về hàm số và đồ thị, kỹ năng đọc đồ thị
và sự tương giao của đồ thị, đồng thời phải linh hoạt trong sự chuyển đổi từphương trình sang sự tương giao của đồ thị Ngoài ra, các tài liệu tham khảo chonhững dạng toán trên hầu như chưa có và chỉ xuất hiện rời rạc ở những bài toánđơn lẻ và trong các đề thi thử Do đó việc tổng hợp và đưa ra phương pháp giảinhanh các dạng toán trên là rất cần thiết cho học sinh trong quá trình ôn thi
Trang 5tốt nghiệp THPT Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh nghiệm trong quá
trình giảng dạy và tham khảo một số tài liệu, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải bài toán tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng” nhằm giúp các em hiểu và
có kỹ năng giải quyết tốt các bài tập để đạt kết quả tốt nhất trong các kì thi
1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Kiến thức về hàm số, đồ thị của hàm số và phương trình trong chương trình toán THPT
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh các bài toán không có tham số tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh các bài toán có tham số tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm
- Phương pháp thống kê, so sánh
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Những kiến thức cơ bản về hàm số, đồ thị của hàm số và phương trình
2.1.1 Sự tương giao của các đồ thị
Giả sử hàm số có đồ thị , hàm số có đồ thị
1 Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình:
2 Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình:
3 Số giao điểm của hai đồ thị và là số nghiệm của phương
trình:
4 Đồ thị hàm số là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm
2.1.2 Điều kiện có nghiệm của phương trình
Giả sử hàm số liên tục trên Khi đó ta có:
3
Trang 61 Phương trình có nghiệm trên
trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1 Đối với giáo viên
- Trước đây bài toán tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị chotrước trong chương trình thi quốc gia (từ năm 2009 – 2016) chỉ là một bài ápdụng trực tiếp đồ thị đã khảo sát ở câu trước đó vì vậy mức độ nhận thức cũngkhông đòi hỏi quá cao
- Hiện tại với hình thức thi trắc nghiệm và đặc biệt là đề thi THPT Quốcgia các năm gần đây cũng như kỳ thi Tốt nghiệp THPT năm 2020 và các đềtham khảo của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, các đề thi thử của các trường THPT,các câu hỏi tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước đã xuấthiện nhiều hơn, rộng hơn Đặc biệt thường xuyên xuất hiện những câu hỏi tìm
số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng Tuynhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu về vấn đề này vì vậy nguồn thamkhảo của giáo viên cũng như học sinh còn hạn chế còn hạn chế
- Các giáo viên chưa có nhiều tài liệu và thời gian nghiên cứu những dạngtoán tích phân thông qua đồ thị cho trước, vì vậy chưa có nhiều kinh nghiệmtrong giảng dạy và định hướng cho học sinh giải những bài toán tìm số nghiệmcủa phương trình dựa vào đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng
2.2.2 Đối với học sinh
- Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn vềkinh tế, khó khăn trong việc học tập vì vậy kiến thức cơ sở về môn toán của các
em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình
- Với lớp bài toán vận dụng, các em thường thụ động trong việc tiếp cận
và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa có ýthức tìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải các bàitoán
- Số lượng tài liệu tham khảo cho các em còn ít
- Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh không chỉ hiểu đúng bản chất bài toán mà còn phải tìm ra cách giải nhanh nhất để đạt kết quả tối đa
- Học sinh còn lúng túng nhiều vì các dạng bài toán tìm số nghiệm củaphương trình dựa vào đồ thị cho trước các em chưa được tiếp xúc nhiều, đặc biệt
là các bài toán tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước ở mức
độ vận dụng Bên cạnh đó các em còn chưa định hướng được phương pháp đúng
Trang 7đắn khi tiếp xúc với các bài toán tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thịcho trước nên chưa có nhiều kĩ năng giải loại bài tập này.
Trước tình hình đó tôi muốn đưa ra một ý tưởng giải quyết các bài toántìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước bằng cách “ địnhhướng” cho học sinh cách giải một số bài tập ở dạng này một cách “chính xác”
và “nhanh chóng”, giúp các em phát triển tư duy và kích thích sự ham học tậpcủa các em
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Phương pháp giải nhanh các bài toán không có tham số tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước
Bài 1: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ Gọi là
số nghiệm của phương trình Khẳng định nào sau đây là đúng?
* Phân tích: Bài toán sẽ trở nên đơn giản và quen thuộc đối với học sinh nếu ta
đưa về dạng Vì vậy ta nghĩ ngay đến việc đặt , nghĩa là ta xem
là ẩn và từ đồ thị ta sẽ tìm được các nghiệm của phương trình đã cho theo
ẩn Tuy nhiên mấu chốt ở chỗ là ta phải giải được các phương trình tiếptheo dạng với là nghiệm của phương trình Việc này hoàn toàn giải được dựa vào đồ thị nếu ta biết được miền giá trị của các nghiệmphương trinh , chính vì vậy kỹ năng đọc đồ thị là điều kiện tối thiểu để học sinh giải được lớp bài toán này
* Giải :
Trang 8Ta có: +) Xét (1): , ta có đường thẳng cắt đồ thị hàm số
tại điểm phân biệt nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt
tại điểm phân biệt nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt
+) Xét : , ta có đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại điểm nên phương trình có nghiệm
Do các nghiệm không trùng nhau nên tổng số nghiệm là:
Chọn B
* Nhận xét: Đây là bài toán khá cơ bản ở mức độ vận dụng về sự tương giao của hàm số.
Bài toán này đòi hỏi về tư duy hàm của học sinh ở mức khá Bài toán sẽ trở nên dễ dàng nếu học sinh biếttách làm hai công đoạn là giải phương
trình ban đầu với ẩn và giải các phương trình sau đó với ẩn , cả hai công đoạn này đều sử dụng đồ thị hàm số đã cho
Bài 2: Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên
Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt
* Phân tích: Đây là bài toán hoàn toàn tương tự bài toán 1, tuy nhiên ban đầu
đối với phương trình thì ta xem là ẩn, từ đó sẽ cho ta 3phương trình dạng , với là các nghiệm của phương trình
* Giải :
Từ đồ thị ta có:
Trang 9Nghiệm của phương trình (1); (2); (3) là giao điểm của đường thẳng ;
; với đồ thị hàm số
* suy ra phương trình (1) có đúng 1 nghiệm
* b 0;1 2 b 1;2 suy ra phương trình (2) có đúng 1 nghiệm.
* suy ra phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt
Kết luận: Có tất cả 5 nghiệm phân biệt
Chọn B
* Nhận xét: So với bài 1 thì bài 2 vất vả hơn ở chỗ là ngoài việc xác định miền
giá trị của các nghiệm của phương trình thì tiếp theo ta phải xác địnhđược khoảng giá trị của (với là nghiệm của phương trình )
Đến đây bài toán xem như được giải quyết bằng cách dựa vào đồ thị đã cho
Bài 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2019) Cho hàm số bậc ba có đồ thịnhư hình vẽ bên
Số nghiệm thực của phương trình: là:
A B C D
* Phân tích:
Bài toán sẽ trở nên quen thuộc nếu yêu cầu tìm số nghiệm thực của phương trình
Vì vậy ta có thể suy nghĩ về việc biến đổi về dạng quen thuộc bằngcách đặt ẩn phụ Tuy nhiên số nghiệm lại không phải là số nghiệm, vì vậy mấu chốt ở chỗ là phải tìm được sự tương ứng giữa số nghiệm và sốnghiệm Hơn nữa sự tương ứng giữa nghiệm và nghiệm không phải lúcnào cũng giống nhau Chúng ta phải đọc được trên đồ thị khi nhận giá trị nhưthế nào thì cho ta nghiệm từ đó suy ra số nghiệm của phương trình đãcho
* Giải :
Trang 10Với phương trình có 1 nghiệm
Vậy phương trình có 8 nghiệm
Chọn B
* Nhận xét: Bài toán trên đòi hỏi tư duy tổng hợp về đồ thị hàm số Trước hết
học sinh phải biết “quy lạ về quen” bằng cách đặt ẩn phụ , sau đó phải
vẽ được hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Tuy nhiên mấu chốt của vấn đềchính là việc học sinh phải nhận ra được sự tương ứng giữa nghiệm vànghiệm , nghĩa là tư duy hàm của học sinh phải ở mức khá vì vậy nếu hiểuđược sự tương ứng giữa và thì ta sẽ giải quyết bài toán được chính xác
Trang 11Bài 4: (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020) Cho hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình bên Số nghiệm thực phân biệt của phương trình
là
* Phân tích: Cũng giống như bài 3 ta có thể nhanh chóng đưa về dạng quen
thuộc bằng cách đặt ẩn phụ , dựa vào đồ thị ta có thể tìm được ngaynghiệm Tuy nhiên tiếp sau đó để tìm số nghiệm thông qua số nghiệm thìlại khó hơn bài 1 nhưng ta vẫn có thể tìm được số nghiệm thông qua sự tươnggiao của 2 đồ thị và Đây là sự tương giao của hai đườngcong hơn nữa hàm số không phải là “quen thuộc” đối với học sinhnhưng rất may đây lại là hàm số đơn điệu Vì vậy nếu ta tìm được sự tương giao
của hai đồ thị và thì bài toán xem như được giải quyết
Cách 1: Ta có
Trang 12Xét , với Ta có Bảng biến thiên
Với , dựa vào đồ thị suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt khác
và Với , dựa vào đồ thị suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt khác, và khác hai nghiệm của phương trình
Vậy phương trình có 6 nghiệm phân biệt
Chọn C Cách 2:
Ta co:
* có một nghiệm dương
Trang 13* Xét phương trình với
TH 1: Với , đô thi ham đông biên trên nên
có duy nhất nghiệm trên
TH 2: Với thì vô nghiệm trên
TH 3: Với , đô thi ham đông biên trên nên
có duy nhất nghiệm trên
Do đo: có đúng hai nghiệm trên
* Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và khác
* Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và khác
Kêt luân: Phương trình có đúng 6 nghiệm
Chọn C
* Nhận xét: Mấu chốt của bài toán là tìm được số nghiệm của phương trình
tương ứng với từng giá trị của Đây vẫn là bài toán tương giao rất
cơ bản nhưng đòi hỏi mức độ tư duy cao vì đây không đơn thuần là sự tươnggiao của các đồ thị quen thuộc với đường thẳng mà là sự tương giao giữamột đồ thị quen thuộc và một đồ thị có vẻ “lạ” Ở bài này tác giả đưa ra cách 2
để bài toán có cách tiếp cận linh động hơn, tuy nhiên cách 2 thiên về tư duy giảitích nhiều hơn, còn cách 1 học sinh có cái nhìn trực quan hơn nhưng học sinhphải nhanh nhạy phác họa được đồ thị dạng
Trang 14Bài 5: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Đặt Tìm sốnghiệm của
* Phân tích: Đây là bài toán tìm số nghiệm của phương trình chứ
không phải tìm số nghiệm của phương trình như các bài trước Mặtkhác sẽ có nghiệm là các điểm cực trị của hàm số mà các điểm cực trị ta có thể dễ dàng nhận ra trên đồ thị Như vây sau khi tính đạo hàmcủa hàm số thì ta cần lưu ý nghiệm của là các điểm cực trị chứ không phải giao của đồ thị và đường thẳng như các bài trước đây, còn việcsau khi đã tìm được nghiệm của phương trình thì phần còn lại tương tựnhư các bài trên
Trang 15Đường thẳng: cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệtNên phương trình (2) có 6 nghiệm phân biệt
Vậy phương trình có 9 nghiệm phân biệt
Chọn C
* Nhận xét: Như vậy các bài toán ở dạng này đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng đọc đồ thị
thật thành thạo đồng thời biết vận dụng sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số một cách nhuần nhuyễncũng như biết tổng hợp vận dụng kiến thức một cách linh hoạt
2.3.2 Phương pháp giải nhanh các bài toán có tham số tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị cho trước
Bài 1: (Đề khảo sát chất lượng lớp 12 Sở GD & ĐT Thanh Hóa năm 2021)
-Phương trình có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm thực?
A 9 B 12 C 11 D 10.
* Phân tích: Đây là bài toán tương giao quen thuộc nếu ta đặt Tuynhiên mấu chốt không phải ở đây mà ta phải tìm được số nghiệm của
phương trình dạng: Đề bài hỏi số nghiệm tối đa (vì có tham số
m) vì vậy ta phải xác định được miền giá trị các nghiệm t của phương trình
từ đó đựa vào bảng biến thiên của hàm số để suy ra số nghiệm của phương trình đã cho
* Giải :
Dựa vào đồ thị (C) và đường thẳng luôn cắt nhau tại ba điểm phân biệt có
hoành độ a, b, c thỏa mãn:
13
Trang 16Xét hàm số
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
+ Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt
+ Mỗi phương trình (1) và (2) có nhiều nhất 4 nghiệm (các nghiệm này không trùng nhau)
Vậy phương trình có nhiều nhất 10 nghiệm Chọn D
* Nhận xét: Mấu chốt của bài toán là xác định được miền giá trị các nghiệm
của phương trình , từ đó suy ra số nghiệm tối đa của phươngtrình đã cho dựa vào bảng biến thiên của hàm số quen thuộc Đây là bài toán rất cơ bản về sự tương giao của hai đồ thị nhưng ở mức độ tưduy đòi hỏi sự linh động và tổng hợp kiến thưc cao của học sinh
Bài 2: Cho hàm số có liên tục trên đoạn và có đồ thị như hìnhsau
14
Trang 17Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có hai nghiệmthuộc đoạn
* Phân tích: Đây là bài toán có đồ thị hơi “lạ”, tuy nhiên việc này không còn là bất ngờ với
học sinh vì đề thi tốt nghiệp hay thi THPT Quốc gia trước đây năm
nào cũng có bài mà đồ thị có vẻ “lạ” Với bài này ta ban đầu ta xem làmột tham số vì vậy bản chất cũng là sự tương giao của đồ thị vớiđường thẳng song song hoặc trùng với : vì vậy ta sẽ nhanh chóngtìm được số nghiệm của phương trình với Tuy nhiên cầnlưu ý rằng miền giá trị của và là khác nhau nhưng liên hệ với nhau bởi
Điều khó khăn ở đây là sau khi tìm được miền giá trị của thì ta lạitiếp tục sử dụng đồ thị và xem là ẩn đồng thời phải sử dụng tính đơn điệucủa đồ thị hàm số để rút ra được sự tương ứng giữa và
* Giải :
Do đó phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn khi và chỉkhi phương trình (*) có hai nghiệm thuộc đoạn
Từ đồ thị của hàm số , ta suy ra phương trình (*) có hai nghiệm khi và chỉ