(SKKN HAY NHẤT) bài toán số phức dưới góc nhìn hình học

MỤC LỤC Trang 1 MỞ ĐẦU 2 1 1 Lí do chọn đề tài 2 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 1 3 Đối tượng nghiên cứu 2 1 4 Phương pháp nghiên cứu 2 1 5 Điểm mới của sáng kiến king nghiệm 2 2 NỘI DUNG 3 2 1 Cơ sở lí lu[.]

MỤC LỤC

Trang

1 MỞ ĐẦU 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Điểm mới của sáng kiến king nghiệm 2

2 NỘI DUNG 3

2.1 Cơ sở lí luận 3

2.2 Thực trạng 4

2.3 Giải pháp 6

2.3.1 Một số bài toán điển hình 6

2.3.2 Một số câu hỏi trắc nghiệm tự luyện 17

2.4 Hiệu quả 20

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 21

3.1 Kết luận 21

3.2 Kiến nghị 21

1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

1 MỞ ĐẦU1.1 Lý do chọn đề tài

Nội dung cuối cùng của chương trình Giải tích lớp 12 là một phần có nhữngkiến thức vô cùng mới mẻ và lạ lẫm với các em học sinh: Số phức Mọi quan niệmquen thuộc trước đây của các em như: bình phương một số bất kì luôn không âm,

có những phương trình bậc hai vô nghiệm, giờ không còn đúng nữa Hầu hết các

em học sinh đều cảm thấy lúng túng, thiếu tự tin Tuy nhiên, phương pháp “quy lạ

về quen” của Toán học luôn là một trong những giải pháp đơn giản và hữu hiệunhất cho giáo viên cũng như học sinh khi tiếp cận một vấn đề mới Nhờ có sự

tương ứng 1-1 giữa mỗi số phức với một điểm trong mặt phẳng tọa độ , mà córất nhiều bài toán số phức được giải quyết dễ dàng khi đưa về tọa độ phẳng và cũng

có rất nhiều bài toán số phức được sáng tạo từ các bài toán quen thuộc trong tọa độ

phẳng Đó chính là lí do mà tôi lựa chọn đề tài: “ Bài toán số phức dưới góc nhìn hình học ”.

và tư duy phù hợp để đi tìm lời giải cho bài toán

Mong muốn của tôi là giúp các em học sinh phát triển tư duy toán: biết đưa

lạ về quen, biết sáng tạo, phát triển một bài toán mới từ những vấn đề quen thuộc;

rèn kĩ năng giải toán, có thêm phương pháp xử lí một số câu hỏi về số phức trongcác câu vận dụng, vận dụng cao của đề thi THPT Quốc gia Từ đó các em thấyđược vẻ đẹp của Toán học, thêm tự tin và yêu thích môn học này

1.3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12

Thời gian thực hiện: 4 tiết (tôi thực hiện vào các tiết ôn tập cuối năm)

Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về số phức trong chương trìnhSGK cơ bản môn toán lớp 12

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp “quy lạ về quen” nhờ có sự tương ứng 1-1 giữa mỗi số phứcvới một điểm trong mặt phẳng tọa độ , mà có rất nhiều bài toán số phức đượcgiải quyết dễ dàng khi đưa về tọa độ phẳng và cũng có rất nhiều bài toán số phứcđược sáng tạo từ các bài toán quen thuộc trong tọa độ phẳng

1.5 Điểm mới của SKKN

Trong SKKN từ các ví dụ nêu bật được tầm quan trọng của việc khai thácnhững phương pháp và các dạng bài toán từ hình học để giải các bài toán số phức,giúp học sinh cảm thấy quen thuộc hơn với số phức, từ đó có hướng phân tích bài

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận

Trong đề tài này sử dụng các kiến thức cơ bản sau đây

- Một số phức là một biểu thức dạng với và , được gọi là đơn

vị ảo, được gọi là phần thực và được gọi là phần ảo của số

Chú ý:

3 Biểu diễn hình học của số phức và những chú ý quan trọng

- Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức

với được biểu diễn bằng điểm

Chú ý:

3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

+ Nếu là điểm biểu diễn số phức thì:

+ Nếu lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức trên mặt

phẳng phức thì và số phức được biểu diễn bởi điểm

- Cho hai số phức có hai điểm biểu diễn là ; khi đó tập các điểm

biểu diễn cho số phức thỏa mãn là đường trung trực của đoạnthẳng

- Cho số phức có điểm biểu diễn là , khi đó tập các điểm biểu diễncho số phức thỏa mãn cho trước) là đường tròn tâm bán kính

- Cho hai số phức có hai điểm biểu diễn là và số thực Xét

+ Nếu thì tập các điểm biểu diễn cho số phức là đoạn

thẳng

Elip có trục lớn là , tiêu điểm là và tiêu cự là độ dài trục nhỏ

5 Bất đẳng thức trong tam giác.

Lưu ý: Toàn bộ phần kiến thức cơ bản trên đây giáo viên cần dạy kĩ để các em

hiểu và nắm thật vững rồi mới chuyển sang các bài toán điển hình.

2.2 Thực trạng

Trước khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh lớp 12A4thông qua một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 5 câu, thời gian 20’ (mỗi câu 2 điểm)

Lúc này, các em đã học xong ba bài đầu của chương Số phức

Đề bài như sau

A B. C. D.

Câu 3 Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất của là:

A 10 và 4 B 5 và 4 C 4 và 3 D 5 và 3 Câu 4 Gọi là tập hợp tất cả các

giá trị thực của tham số để tồn tại duy nhất sốphức thỏa mãn và Tìm số phần tử của

lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của Tính ?

Câu 3 Chọn D.

Cách giải: Gọi , từ giả thiết suy ra điểm biểu diễn cho số phức

chạy trên Elip có trục lớn , trục bé Vậy

Do ,dễ thấy không thỏa mãn nên Đồng thời, các điểm

biểu diễn số phức nằm trên đường tròn tâm , bán kính Vậy để tồn tại duy nhất số phức thì hai đường tròn trên tiếp xúc với nhau

Kết hợp với , ta được hoặc

Chất lượng bài làm của học sinh thấp, kĩ năng giải toán phần này còn rất yếu,

đa phần các em làm theo cách đại số thông thường nên rất mất thời gian, hết giờmới chỉ được 2, 3 câu Chưa kể một số em khoanh “bừa”, khi yêu cầu giải thích lạikhông làm được

2.3 Giải pháp 2.3.1 Một số bài toán điển hìnhBài toán 1

Bài toán hình học gốc

1 Cho đường thẳng và một điểm A cố định, chạy trên , khi

đó ( là hình chiếu vuông góc của lên )

2 Cho đoạn thẳng và một điểm không nằm trên , là điểm thay đổi trên đoạn , khi đó:

TH1: Nếu hình chiếu của lên nằm trong đoạn

3 Cho điểm cố định và điểm chuyển động trên đường tròn tâm , bán kính

cho trước Khi đó:

A

Từ đó ta có một số bài toán sau:

7

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

) Giả sử , bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của

Gọi là điểm biểu diễn cho số phức , , khi đó theo bài ra

ta có , do đó chạy trên đoạn thẳng

Mặt khác: Ta có hình chiếu của lên nằm ngoài

Bài toán 1.4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hai số phức

biểu diễn , số phức có điểm biểu diễn là thỏa mãn

Gọi điểm là biểu diễn số phức

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

+) Tìm giá trị nhỏ nhất của

Đặt , suy ra điểm biểu diễn là thuộc đường tròn tâm bán kính Gọi điểm là biểu diễn số phức

trên đường tròn Dễ thấy điểm nằm trong đường tròn nên

Bài toán 2

Bài toán hình học gốc

Cho hai điểm cố định ; với mỗi điểm trên mặt phẳng ta luôn có :

dấu xảy ra khi và chỉ khi thuộc đoạn thẳng

phức bằng cách coi lần lượt là các điểm biểu diễn cho ba số phức ;

trong đó cố định ( là hai số phức cho trước không đổi) còn là số phức thay đổi sao cho có thể chạy trên một đường thẳng, đường tròn, parabol,

Bài toán 2.1 Cho là một số phức thuần ảo và Tìm giátrị nhỏ nhất của khi thay đổi ?

Gọi ta thu được bài toán quen thuộc với học sinh : Tìm sao cho nhỏ nhất Do nằm về cùng một phía so với , ta gọi

là điểm đối xứng với qua thì (-1 ;-2) và

Bài toán 2.2 Cho số phức thỏa mãn và biểu thức

đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là tại

là giao của và trung trực của , khi là giaocủa và

Trung trực của có phương trình , vậy nên

nên nằm trong Bài toán trở thành tìm đạt min

Ta có nên khi là giao điểm của đoạn thẳng

Bài toán 2.4 Xét hai số phức thỏa mãn và Giá trị

P R

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức , M thuộc đường tròn tâm O bán kính

Suy ra là điểm biểu diễn cho Gọi P là điểm biểu diễn cho số phức , P thuộc đường tròn tâm O bán kính

Dựng hình bình hành ta có R là điểm biểu diễn cho số

Cho hai đường tròn và , khi đó nếu :

thì hai đường tròn tiếp xúc nhau, chúng có đúng mộtđiểm chung

thì hai đường tròn có hai điểm chung phân biệt

thì hai đường tròn ngoài nhau Giả sử hai điểm lần lượt chuyển động trên và

Bài toán 3.1 Gọi là tập hợp tất cả các số nguyên dương để tồn tại hai số

phức đồng thời thỏa mãn , tính số phần tử của

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi là điểm biểu diễn cho số phức , ; theo bài ra ta có :

suy ra là giao điểm của hai đường tròn và Do đó để

có đúng hai số phức thỏa mãn thì hai đường tròn phải cắt nhau tại hai điểm

nguyên dương của

14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Bài toán 3.2 Có bao nhiêu số phứcthỏa mãn

phức chạy trên đường tròn tâm , bán kính

Dễ thấy nên hai đường tròn trên tiếp xúc trong với nhau hay chỉ cómột số phức thỏa mãn

Bài toán 3.3 Gọi là tập hợp tất cả các số thực sao cho mỗi có đúng

một số phức đồng thời thỏa mãn và là số thuần ảo Tính tổng tất

hai đường tròn có đúng 1 điểm chung (loại)

hai đường tròn có đúng 1 điểm chung (loại)

TH2 : Hai đường tròn có đúng 1 điểm chung khác Khi đó ta có

Bài toán 3.4 Cho số phức thỏa mãn , số phức thỏa mãn

Giá trị nhỏ nhất của chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Mặt khác, nên điểm biểu diễn số phức là

điểm nằm trên đường tròn có tâm và có bán kính là

lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất, mà hai đường tròn trên ở ngoài nhau

Vậy giá trị lớn nhất của

Bài toán 3.6 Xét các số phức , thỏa mãn và Giá trị lớn

Câu 2 Biết số phức có phần ảo khác và thỏa mãn và

Điểm nào sau đây biểu diễn số phức trên?

Câu 3 Cho , là hai trong các số phức thỏa mãn điều kiện ,đồng thời Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức trongmặt phẳng tọa độ là đường tròn có phương trình nào dưới đây?

C D .

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Giá trị biểu

Câu 6 Cho các số phức và số phức hay đổi thỏa mãn

Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Giá trị biểu thức bằng

Câu 7 Trong mặt phẳng phức, xét số phức và số phức liên hợp của nó có điểm

biểu diễn lần lượt là ; số phức và số phức liên hợp của nó có điểmbiểu diễn lần lượt là Biết rằng là bốn đỉnh của hình chữ nhật

Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu 8 Trong mặt phẳng phức, xét số phức và số phức liên hợp của nó có

điểm biểu diễn lần lượt là ; số phức có điểm biểu diễn là

Gọi là điểm đối xứng với qua đường thẳng Biết rằng tứ giác

là hình thoi Tìm phần ảo của để đạt giá trị nhỏ nhất

A B C D.

phức có phần thực là và phần ảo là thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất

Câu 10.Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu

z=x−1+ yi , thỏa mãn |z|=1 và N là điểm biểu diễn số phức

có môđun nhỏ nhất và môđun lớn nhất Khi đó bằng

là giá trị nhỏ nhất cả giá trị lớn nhất của Tính

Câu 18 Xét ba điểm của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số

sau đây là đúng ?

C Tam giác có góc D Tam giác vuông cân

Câu 19 Cho số phức thỏa mãn Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn

số phức là một đường tròn Bán kính của đường tròn đó bằng :

điểm biểu diễn số phức là:

2.4 Hiệu quả của đề tài

Sau khi thực hiện đề tài trên, tôi cho các em học sinh lớp 12A4 làm bài kiểmtra sau ( thời gian 20 phút)

Câu 4 Cho các số phức thỏa mãn

Bảng so sánh kết quả kiểm tra trước và sau khi thực hiện đề tài.

Tôi thấy kết quả của các em đã tốt lên rất nhiều và quan trọng là các em

đã có tâm lí tự tin hơn, không còn lo ngại khi làm toán trắc nghiệm về số phức

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Qua sáng kiến kinh nghiệm trên tôi đã giúp các em học sinh phát triển tư duytoán: biết đưa lạ về quen, biết sáng tạo, phát triển một bài toán mới từ những vấn

đề quen thuộc; rèn kĩ năng giải toán, có thêm phương pháp xử lí một số câu hỏi về

số phức trong các câu vận dụng, vận dụng cao của đề thi THPT Quốc gia Từ đó các em thấy được vẻ đẹp của Toán học, thêm tự tin và yêu thích môn học này

Đề tài này tôi thực hiện trong một khoảng thời gian ngắn, do đó không tránhkhỏi việc khai thác một cách chưa triệt để Đồng thời tuổi nghề và kinh nghiệmgiảng dạy của tôi chưa nhiều nên không tránh được những thiếu sót.Tôi rất mongđược sự quan tâm, xem xét , đóng góp ý kiến của hội đồng khoa học cấp trên cho

đề tài của tôi để đề tài được hoàn thiện hơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2020

CAM KẾT KHÔNG COPY

Giáo viên

Lê Thị Na

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Trần Văn Hạo- Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương- Nguyễn Tiến Tài- Cấn Văn

Tuất, Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011.

2 Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan - Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm - Đặng Hùng

Thắng, Giải tích 12 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011.

3 Nguyễn Huy Đoan Trần Phương Dung Nguyễn Xuân Liêm Phạm Thị Bạch Ngọc

-Đoàn Quỳnh - Đặng Hùng Thắng, Bài tập Giải tích 12 – nâng cao, NXB Giáo dục, 2010.

4 Phạm Đức Tài - Nguyễn Ngọc Hải - Lại Tiến Minh , Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT

Quốc gia năm 2017 môn Toán, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2016

5 Một số đề thi thử THPT Quốc gia từ năm 2017-2021 và đề phát triển đề minh họa năm 2021

23

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com

Danh sách tên sáng kiến kinh nghiệm đã được xếp loại cấp nghành và cấp tỉnh

Xây dựng một số bài tập trắc nghiệm 2017 B QĐ số 1112/QĐ - SGD&ĐTvận dụng cao về số phức

ngày 18/10/2017

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com