cau hoi va bai tap dao ham toan 11 t

CHUÛ ÑEÀ 5 ÑAÏO HAØM  Baøi 01 ÑÒNH NGHÓA VAØ YÙ NGHÓA CUÛA ÑAÏO HAØM I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ;a b và 0 ;x a b Nếu tồn tại giới[.]

CHỦ ĐỀ

 Bài 01

ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a b và ; x0 a b Nếu tồn tại giới ;hạn (hữu hạn)

Đại lượng x x x0 gọi là số gia của đối số x tại x0

Đại lượng y f x f x0 f x0 x f x0 được gọi là số gia tương ứng của hàm số Như vậy

0lim

a) Nếu y f x gián đoạn tại x0 thì nĩ khơng cĩ đạo hàm tại x0

b) Nếu y f x liên tục tại x0 thì cĩ thể khơng cĩ đạo hàm tại x0

4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Hàm số y f x được gọi là có đạo hàm trên khoảng a b nếu nó có đạo hàm tại ;

mọi điểm x trên khoảng đó

Khi đó, ta gọi hàm số ' : ;f a b

x f ' x

là đạo hàm của hàm số y f x trên khoảng a b , kí hiệu là ; y' hay 'f x

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1 TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Câu 1 Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây là đúng?

A Nếu hàm số y f x không liên tục tại x0 thì nó có đạo hàm tại điểm đó

B Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì nó không liên tục tại điểm đó

C Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó

D Nếu hàm số y f x liên tục tại x0 thì nó có đạo hàm tại điểm đó

Câu 2 Cho f là hàm số liên tục tại x0 Đạo hàm của f tại x0 là:

h (nếu tồn tại giới hạn)

Câu 3 Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x là f x Mệnh đề nào sau đây sai?

A

0

0 0

f x

x x Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số không liên tục tại x 0. B Hàm số có đạo hàm tại x 2

C Hàm số liên tục tại x 2 D Hàm số có đạo hàm tại x 0

Câu 8 Tìm tham số thực b để hàm số

2 2

6 khi 22

A Không tồn tại m n, B m 2, n

Câu 10 Cho hàm số

2khi 12

.2

.2

Câu 14 Tính số gia của hàm số y x2 4x 1 tại điểm x0 ứng với số gia x là:

C y x 2x0 4 x D y 2x0 4 x

Câu 15 Tính số gia của hàm số y 1

x tại điểm x (bất kì khác 0) ứng với số gia x.

Vấn đề 3 Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA ĐẠO HÀM

Câu 21 Một chất điểm chuyển động theo phương trình s t t , trong đó 2 t 0, t

tính bằng giây và s t tính bằng mét Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t 2giây

t t tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s t là khoảng

cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

A 1690m B 1069m C 1906m D 1960m

Câu 23 Một chất điểm chuyển động có phương trình 3 2

3 9 2

s t t t t , trong đó 0,

t t tính bằng giây và s t tính bằng mét Hỏi tại thời điểm nào thì bận tốc của

tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây

t t đến t t với t 0, 001s

A vtb 49m/ s. B vtb 49, 49m/ s C vtb 49, 0049m/ s. D vtb 49, 245m/ s

Vấn đề 4 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Câu 26 Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến của parabol y x tại điểm có hoành độ 2 1

.2

A y 3x 4. B y 1 C y 3x 2 D y 3x 2.

Câu 28 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y 1

x tại điểm có hoành độ bằng 1

A x y 2 0. B y x 2 C y x 2 D y x 2

Câu 29 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 3

y x tại điểm có tung độ

Câu 34 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y 1

x biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1.

I – ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1 ĐẠO HÀM CỦA HÀM ĐA THỨC

3

f x x x x , có đạo hàm là f x Tập hợp những giá trị của x để f x 0 là:

Câu 2 Cho hàm số y 3x3 x2 1, có đạo hàm là y Để y 0 thì x nhận các giá

trị thuộc tập nào sau đây?

A 2;0

2

Câu 7 Biết hàm số f x a x3 bx2 cx d a 0 có đạo hàm f x 0 với x

Mệnh đề nào sau đây đúng?

nào sau đây?

A Không có giá trị nào của x B ;0

Vấn đề 2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC

Câu 16 Tính đạo hàm của hàm số 2

Câu 18 Tính đạo hàm của hàm số 1 3

1

y x

Câu 23 Hàm số nào sau đây có đạo hàm là hàm số 2x 12

Vấn đề 3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHỨA CĂN

Câu 26 Cho hàm số y 2 x 3 x Tập nghiệm S của bất phương trình y' 0 là:

x

x y

y x

B

2 2 ( 1) 1

x y

C

2 2 2( 1) 1

x y

2

( 1).1

x x y

x

Câu 38 Tính đạo hàm của hàm số

24

x y x

x

Câu 40 Tính đạo hàm của hàm số 2 1

2

x y x

A ' 5 2 2

2 1

x y

x x

B ' 1 5 2 2

x y

x x

C ' 1 2

x y

x y

x x

Câu 41 Tính đạo hàm của hàm số y x2 1

x

A ' 1 2 1 12

x y

x y

x

C ' 1 2 1 12

x y

a x y

y

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Hàm số y sinx cĩ đạo hàm tại mọi x và sinx cosx

Nếu y sinu và u u x thì sinu u cosu

Định lý 3

Hàm số y cosx cĩ đạo hàm tại mọi x và cosx sinx

Nếu y cosu và u u x thì cosu u sinu

cos

x

x Nếu y tanu và u u x thì tan 2

cos

u u

sin

u u

u

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

2 1

x y

C y sin 2x 1 D sin 2 1.

2 2 1

x y

C

2 2

1.sin 1

y

x

Câu 10 Tính đạo hàm của hàm số y sin sinx

A y cos sinx B y cos cosx

C y cos cos sinx x D y cos cos cosx x

Câu 11 Tính đạo hàm của hàm số y cos tanx

C y sin tanx D y – sin tanx

Câu 12 Tính đạo hàm của hàm số 2

2 sin cos 2

A y 4 sinx sin 2x 1 B y 4 sin 2x 1

C y 4 cosx 2 sin 2x 1 D y 4 sinx 2 sin 2x 1

Câu 13 Tính đạo hàm của hàm số 2

Câu 14 Tính đạo hàm của hàm số y cos 23 x 1

A y 3 sin 4x 2 cos 2x 1 B y 3 cos2 2x 1 sin 2x 1

C y 3 sin2 1 x cos 1 x D y 3 sin2 1 x cos 1 x

Câu 16 Tính đạo hàm của hàm số y tan3x cot 2x

C 2 2 sin 2 2.

sin cos

x y

A g x 2 cos 2x sin x B g x 2 sin 2x cos x

C g x 2 sin 2x cos x D /

2 cos 2 sin

Vấn đề 2 TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

Câu 21 Tính đạo hàm của hàm số f x 5 sinx 3 cosx tại điểm

Câu 40 Cho hàm số y f x cos2x với f x là hàm số liên tục trên Trong các

biểu thức dưới đây, biểu thức nào xác định hàm số f x thỏa mãn y x 1 với mọi

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Tính vi phân của hàm số 2

Câu 10 Tính vi phân của hàm số 1 2.

1

x y x

x y x

A d 1 2 sin 1 d

11

x y

Giả sử hàm số y f x có đạo hàm tại mỗi điểm x a b Khi đó, hệ thức ;

y f x xác định một hàm số mới trên khoảng a b Nếu hàm số y; f x

lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y là đạo hàm cấp hai của hàm số

Chú ý:

Đạo hàm cấp 3 của hàm số y f x được định nghĩa tương tự và kí hiệu là

y hoặc f x hoặc f 3 x

Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp n 1, kí hiệu 1

n

f x n n Nếu 1

2 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai ''f t là gia tốc tức thời của chuyển động s f t tại thời điểm t

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho hàm số f x x3 3x2 4x 6 Giải bất phương trình f x f x 1 Nghiệm của bất phương trình là:

x Giải bất phương trình y 0

A x 1 B x 1 C x 1 D Vô nghiệm.

Câu 10 Cho hàm số 1 3

1

y x

Câu 16 Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y sin 5 cos 2 x x

A y 49 sin 7x 9 sin 3 x B y 49 sin 7x 9 sin 3 x

y x x Tính giá trị biểu thức 2

2

Câu 21 Cho hàm số f x x3 2x2 x 3 có đạo hàm là f x và f x Tính giá trị biểu thức 2 2 2

x có đạo hàm là y và y Mệnh đề nào sau đây đúng?

x và biểu thức 2

M y y y Mệnh đề nào sau đây đúng?

A M sin x B M 6 sin x C M 6cos x D M 6 sin x

Câu 34 Cho hàm số y xsinx và biểu thức M xy 2 y sinx xy . Mệnh đề nào sau đây đúng?

trong đó t 0, t tính bằng giây và s t tính bằng mét Tính gia tốc của chất điểm

tại thời điểm t 3 giây

A 15m s2 B 9m s2 C 12m s2 D 6m s2

Câu 28 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t t3 3t , trong đó 20

t , t tính bằng giây và s t tính bằng mét Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Vận tốc của chuyển động khi t 3s là v 12m s.

B Vận tốc của chuyển động khi t 3s là v 24m s.

C Gia tốc của chuyển động khi t 4s là 2

18

D Gia tốc của chuyển động khi t 4s là a 9m s2

Câu 29 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t t3 4t , trong đó 20

t , t tính bằng giây và s t tính bằng mét Gia tốc của chuyển động tại thời điểm

t , t tính bằng giây và s t tính bằng mét Gia tốc của chuyển động tại thời điểm

ÔN TẬP TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Câu 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 2x 3 tại điểm 1;2

Câu 4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3

y x , biết tiếp tuyến có hệ số

góc bằng 12.

A y 12x 16 B y 12x 8 C y 12x 2 D y 12x 4

Câu 5 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 6x2 9x , biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng d y: 9 x

A y 9x 40 B y 9x 40 C y 9x 32 D y 9x 32

Câu 6 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 x , biết tiếp tuyến

vuông góc với đường thẳng d x: 5y 0.

A y 5x 3 B y 3x 5 C y 2x 3 D y x 4

Câu 7 Cho hàm số y 2x3 3x2 4x 5 có đồ thị là C Trong số các tiếp tuyến của

C , có một tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất Hệ số góc của tiếp tuyến này bằng:

x có đồ thị C Gọi d là tiếp tuyến của C , biết d đi qua điểm A 4; 1 Gọi M là tiếp điểm của d và C , tọa độ điểm M là:

A M 2;5 ,M 0; 1 B M 2;5 , M 2;1

C M 0; 1 ,M 2;1 D 1;3 , 2;1

2

Câu 12 Cho hàm số y x4 2m x2 2 2m 1 có đồ thị C và đường thẳng d x: 1

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của C tại giao điểm của C và

d song song với đường thẳng :y 12x 4

A m 0 B m 1 C m 2 D m 3

Câu 13 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d y: 4x m tiếp xúc với đồ thị hàm số y x3 x 2

A m 0; m 4 B m 1; m 2

C m 3 D Không có giá trị của m

Câu 14 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để từ điểm 2;0

a có hệ số góc nhỏ nhất

y x x có đồ thị C Trên C lấy hai điểm phân biệt

A và B sao cho tiếp tuyến tại A B, có cùng hệ số góc k và ba điểm O A B, , thẳng hàng Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

Câu 20 Cho hàm số y x3 3x 1 có đồ thị C Gọi A x A;y A ,B x B;y B với

x tại điểm có hoành độ bằng 2 đi qua M 0;a

A a 10 B a 9 C a 3 D a 1

Câu 23 Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2

3

ax y

bx tại điểm M 2; 4 song song với đường thẳng d: 7x y 5 0 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A b 2a 0 B a 2b 0 C b 3a 0 D a 3b 0

Câu 24 Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2

x b y

ax tại điểm M 1; 2 song song với đường thẳng d: 3x y 4 0 Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 25 Cho hàm số

ax b y

x có đồ thị đi qua điểm A 1;1 Biết rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc bằng 5 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A a 2;b 3 B a 3;b 2 C a 2;b 3 D a 3;b 2

Câu 26 Tìm tất cả các cặp số ;a b để đồ thị hàm số

1

ax b y

x đi qua A 3;1 và tiếp xúc với đường thẳng d y: 2x 4.

x đi qua điểm 1;5

x có đồ thị H Gọi A x y1; 1 , B x2;y2 là hai điểm

phân biệt thuộc H sao cho tiếp tuyến của H tại A B, song song với nhau Tính tổng S x1 x2

Câu 29 Cho hàm số 1,

x y

x có đồ thị H Gọi A x y1; 1 , B x2;y2 là hai điểm

phân biệt thuộc H sao cho tiếp tuyến của H tại A B, song song với nhau Tính

độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB

A ABmin 3 2. B ABmin 3 C ABmin 6 D ABmin 2 6

Câu 30 Cho hàm số 1,

2 1

x y

x có đồ thị H Gọi A x y1; 1 , B x2;y2 là hai điểm

phân biệt thuộc H sao cho tiếp tuyến của H tại A B, có cùng hệ số góc k Biết diện tích tam giác OAB bằng 1

2 Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

Câu 2 Cho f là hàm số liên tục tại x0

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

0

0 0

0

1 10

1 1lim

x f x f Do đó, hàm số không tiên tục tại điểm x 1

Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại điểm x 1 Chọn D

x f x x f x nên hàm số không liên tục tại x 0

Do đó, hàm số không có đạo hàm tại x 0 Chọn D

Câu 8 Để hàm số có đạo hàm tại x 2 trước tiên hàm số phải liên tục tại x 2, tức

x

f x f x

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 2. Chọn B

Câu 31 Phương trình hồnh độ giao điểm : 3 2 1

k y Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 9x 7

k y x x x Do tiếp tuyến song song với đường thẳng

9

y x

k Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 9x 7 loại (vì trùng với đường thẳng đã cho)

0

23

Ta tính được 2

0 0 0' 3 6

k y x x x Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1

345

45

y x

k Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 45x 83.

Chọn A

Câu 34 Gọi M x0;y0 là tọa độ tiếp điểm Ta tính được 0

2 0

Phương trình tiếp tuyến d có dạng y y0 k x x0

tiếp tuyến d có một vectơ pháp tuyến là n d k;1

Đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là n 4; 3

d

k k

1

2

m m

m x

m x

Ta có:

2 2

So với điều kiện thì m 1 2 thỏa yêu cầu bài toán Chọn A

Câu 6 Ta có f x 3ax2 2bx c Vì a 0 và f x 0 với x nên 0 tức

x x

2 2

y

x x

và 3

3 2

''3

u u

3

k

x x

Chọn D

2 22

x x

y

x x

Chọn A

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

y

x x Chọn A

Chọn A Câu 10 Ta có: y sin sinx sinx cos sinx cos cos sinx x Chọn C

Câu 11 Ta có tan sin tan 12 sin tan

cos

x Chọn B

Câu 12 Ta có y 2.2 sinx sinx 2x sin 2x 1 4 cos sinx x 2 sin 2x 1

2 sin 2x 2 sin 2x 1 4 sin 2x 1 Chọn B

3 2 sin 2x 1 cos 2x 1 cos 2x 1 3sin 4x 2 cos 2x 1 Chọn A

Câu 15 Ta có y sin 13 x 3 sin 1 x sin2 1 x 3 cos 1 x sin2 1 x

Chọn C

tan cot 2 3 tan tan

sin 2 cos sin 2

Câu 18 Ta có 2 2 2 2

14

Câu 29 Ta có 2 cos 32 3 2 sin 32

Câu 31 Ta có

sin

tan cot cos sin

2 tan cot 2 tan cot

sin cos 2 cos 2

2 sin cos tan cot x sin 2 tan cot

Câu 33 Ta có f x sinx cos sinx cos cosx sinx

Suy ra cos cos sin 3 cos 1 3. cos 0

Câu 36 Tacó cos sin 1 cos 1 sin

Câu 40 Ta có y x f x 2 sinxcosx f x sin 2x

Suy ra y x 1 f x sin 2x 1 f x 1 sin 2 x

x x x

x y

x y

f Chọn D

Câu 14 Ta có f x 4x 16 sinx 2 sin 2x f x 4 16 cosx 4 cos 2x

24

f Chọn A

Câu 15 Ta có y 2 cos 2x 2 sin 2x y 4 cos 2x 4 sin 2 x

Phương trình y 0 4 cos 2x 4 sin 2x 0 sin 2x cos 2x 0

Câu 18 Ta có f x sinx xcosx f x cosx cosx xsinx 2 cosx f x

g x x

Với

Câu 28 Ta có y 2 sin 2x y 4 cos 2x 4y y 4y 0 Chọn C

x y

Do đó y 2 sin 4x y 8 cos 4x y 32 sin 4x

Khi đó M 32 sin 4x 16 2 sin 4x 8 cos 4x 8 1 cos 4x 8 0 Chọn A

sin 3 sin cos

2 6

x

y

k

phương trình tiếp tuyến y 2 6 x 6 1. Chọn A

Câu 4 Gọi M x0;y0 là điểm thuộc đồ thị hàm số

 Với x0 2 y0 8 phương trình tiếp tuyến y 12 x 2 8 12x 16

 Với x 2 y 8 phương trình tiếp tuyến y 12 x 2 8 12x 16

 Với x0 0 y0 0 phương trình tiếp tuyến y 9x d loại

 Với x0 4 y0 4 phương trình tiếp tuyến y 9 x 4 4 9x 32

Phương trình tiếp tuyến : 1 1 1.

a

a a

Do tiếp tuyến đi qua A 4; 1 nên 2

2

11

a

a a

2;52

M a

2

05

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là k A 3a2 6a 2.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là k B 3b2 6b 2

Theo giả thiết, ta có

3x 3 k có hai nghiệm phân biệt k 3 0 k 3

Khi đó, tọa độ hai điểm A B, thỏa mãn hệ 2

3x 6x k có hai nghiệm phân biệt k 3

Khi đó, tọa độ hai điểm A B, thỏa mãn hệ phương trình 2

Suy ra d là đường thẳng đi qua hai điểm A B,

Theo giả thiết ta có O A B, , thẳng hàng 3 0 9

Câu 20 Ta có y 3x2 3 Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là k A 3x2A 3;Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là 2

a

a a

Phương trình tiếp tuyến :d y 3 x 2 4 3x 10

Để d đi qua M khi và chỉ khi a 3.0 10 a 10. Chọn A

Vì tiếp tuyến song song với d nên ta có 3 2 2 3

2

ab k

a 2 Giải hệ 1 và 2 , ta được a 1; b 1 Suy ra a b 2. Chọn A

ax b

x x

a b x

x x

3

3

2 1

x

Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là 2 2 2

2

3

1 1

1

30

1

32

x

k x