N hó m P H Á T T R IỂ N Đ Ề M IN H H Ọ A 3 SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓNPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 3 SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓN 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ S O A h r l[.]
Trang 1ĐẾN HÌNH NÓN
S
h
r l
Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: Sxq = πrl
Công thức tính diện tích toàn phần của hình nón: S = Sxq+ Sday = πrl + πr2 = πr(l + r)
Công thức tính thể tích của khối nón: Vnon = 1
3πr
2 h
Áp dụng Pitago và các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông SOA: l2 = h2 + r2; cos ASO =‘
h
l; sinASO =‘
r
l; tanASO =‘
r
h Định lý hàm số sin trong tam giác: a
sin A =
b sin B =
c sin C = 2R (R: bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác)
Định lý Talet trong tam giác:
M N k BC, M ∈ AB, N ∈ AC ⇒ M N
BC =
AM
AB =
AN
AC
Ví dụ 1 Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinhl và bán kínhr bằng
A 4πrl B 2πrl C πrl D 1
3πrl
Lời giải
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán nhắc lại công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính r
2 HƯỚNG GIẢI: Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón
Trang 2Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính r là Sxq = πrl
Chọn phương án C
bằng
A 8π (cm2) B 15 (cm2) C 4π (cm2) D 15π (cm2)
Lời giải
Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l = 5 và bán kính r = 3 là Sxq = πrl =
π · 3 · 5 = 15π(cm2)
Chọn phương án D
dài đường sinh bằng
A 8π (cm) B 8 (cm) C 4π (cm) D 4 (cm)
Lời giải
Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính r là Sxq = πrl
Từ đó suy ra độ dài đường sinh bằng l = Sxq
πr =
40π
π · 5 = 8(cm) Chọn phương án B
bán kính đáy gần nhất với số nào sau đây:
A 4 (cm) B 3,7 (cm) C 3,9 (cm) D 3,8 (cm)
Lời giải
Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính r là Sxq = πrl
Từ đó suy ra bán kính đáy bằng r = Sxq
πl =
60
π · 5 = 3,8197(cm) Chọn phương án D
thể tích V của khối nón
A 20πcm3 B 100cm3 C 16πcm3 D 90πcm3
Lời giải
Chiều cao của khối nón là h = √
l 2 − r 2 = √
5 2 − 4 2 = 3 Vậy thể tích của khối nón bằng V = 1
3πr
2 h = 1
3π · 4
2 · 3 = 16πcm3 Chọn phương án C
tích V của khối nón
A V = 56πcm3 B V = 48πcm3 C V = 64πcm3 D V = 90πcm3
Lời giải
Trang 3Bán kính đáy của khối nón là r = √
l 2 − h 2 = √
8 2 − 6 2 = √
28 Vậy thể tích của khối nón bằng V = 1
3πr
2 h = 1
3π · 28 · 6 = 56πcm3 Chọn phương án A
phần của hình nón
A 5π( √
61 − 5) B 5π( √
61 + 5) C π( √
61 + 25) D π( √
61 + 5)
Lời giải
Từ công thức tính thể tích khối nón ta có r2 = 3V
πh =
3.50π π.6 = 25 ⇒ r = 5
Độ dài đường sinh là l = √
r 2 + h 2 = √
61 Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng S = Sxq + Sđáy= πrl + πr2 = πr(l + r) = 5π( √
61 + 5)
Chọn phương án B
tích xung quanh của hình nón
A 144π(cm2 ) B 90π(cm2 ) C 64π(cm2 ) D 65π(cm2 )
Lời giải
Từ công thức tính thể tích khối nón ta có: h = 3V
πr2 =
3.100π π.52 = 12
Độ dài đường sinh là l = √
r 2 + h 2 = 13 Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng Sxq = πrl = 65π
Chọn phương án D
của khối nón là
A 6
√
11
√ 11
√ 11
√ 11
3 π
Lời giải
Từ công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, ta có: r = Sxq
πl = 5 Chiều cao của nón là: h = √
l 2 − r 2 = √
11 Vậy thể tích khối nón bằng V = 1
3πr
2 h = 25π
√ 11
3 ·
Chọn phương án B
Biết bán kính đáy là một số nguyên Tính diện tích đáy nón
A 10π(cm2 ) B 9π(cm2 ) C 45π(cm2 ) D 25π(cm2 )
Lời giải
Gọi đường sinh, bán kính đáy, đường cao của nón lần lượt là l, r, h
Ta có:V = 1
3πr
2 h = 1
3π và r2√
l 2 − r 2 Sxq = πrl
Từ giả thiết ta được hệ phương trình
1
3πr
2pl 2 − r 2 = 12π πrl = 15π
⇔
(
r2pl 2 − r 2 = 36 (1)
rl = 15 (2)
Trang 4Đặt r2 = t (t > 0; t ∈Z) ta được t3− 225t + 1296 = 0 ⇒ t = 9 Suy ra r = 3
Vậy diện tích đáy nón là Sđáy = πr2 = 9π
Chọn phương án B
xung quanh cạnh OA ta được một hình nón tròn xoay Tính diện tích toàn phần của hình nón này
A πa2 B πa
2 √ 3
2
2
4
Lời giải
Quay tam giác AOB xung quanh cạnh OA ta được một hình nón
tròn xoay có đường sinh AB = a
Bán kính đáy r = OB = AB · cos 60◦= a
2 ·
Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng
S = Sxq+ Sđáy = πr(l + r) = 3πa
2
4 ·
A
Chọn phương án C
cạnh AB ta được một khối tròn xoay Tính thể tích của khối tròn xoay này
Lời giải
Kẻ đường cao OH của tam giác vuông AOB
Khi quay tam giác vuông AOB xung quanh cạnh AB ta được một
khối tròn xoay có thể coi như2khối nón đỉnh Avà B, chung đường
tròn đáy bán kính r = OH, hai chiều cao tương ứng là h1 = AH,
h2 = BH
Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng tổng thể tích của 2 khối
nón trên
Vậy ta có: V = V1 + V2 = 1
3πr
2 h1 + 1
3πr
2 h2 = 1
3πr
2 (h1 + h2) = 1
3π · OH
2 · AB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam gác vuông AOB ta có:
O
H
1
OH 2 = 1
OA 2 + 1
OB 2 = 25
144a 2 ⇒ OH = 12a
5
AB = √
OA 2 + OB 2 = 5a
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là V = 1
3π ·
12a 5
2
· 5a = 9,6πa3 Chọn phương án A
Trang 560◦ Kẻ BH ⊥ AC Quay 4ABC quanh AC thì 4BHC tạo thành hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng
A Sxq= πR
2 3 + 2 √
3
2 (3 + √
3)
C S xq = πR
2 √ 3( √
2 + 1)
4 D Đáp án khác
Lời giải
A
H
75◦
60◦
Áp dụng định lý sin trong 4ABC ta có:
BC sin’BAC
= 2R ⇒ BC = 2R sin 75◦ = R
√
6 + √
2
Trong tam giác vuông BHC ta có:
BH = BC · sin 60◦= R
√
3 √
6 + √
2
Khi quay 4ABC quanh AC thì 4BHC tạo thành hình nón tròn xoay có bán kính đáy bằng BH, đường sinh bằng BC Vậy diện tích xung quanh của hình nón này bằng
S xq = πr` = π · BH · BC = πR
2 3 + 2 √
3
Chọn phương án A
bằng a Biết B, C thuộc đường tròn đáy Thể tích của khối nón là
A a3π √
√ 3πa3
3 π √ 3
3 π
8
Lời giải
Thiết diện của khối nón với mặt phẳng đi qua trục tạo thành tam giác đều ABC có cạnh bằng a
nên bán kính đáy là r = a
2 và chiều cao là h = a
√ 3
2 Vậy thể tích của khối nón là V = 1
3πr
2 · h = πa
3 √ 3
24
Trang 6thành thiết diện là tam giác SAB Biết khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến thiết diện bằng 2, AB = 12, bán kính đường tròn đáy bằng 10 Chiều cao h của khối nón là
A 8
√
15
√ 15
√ 15
Lời giải
GọiI là trung điểm củaABthì OI ⊥ AB Ta có OI = √
OA 2 − IA 2 = 8
Kẻ OH ⊥ SI thì OH ⊥ (SAB), suy ra OH = d(O, (SAB)) = 2
Trong tam giác vuông SOI có: 1
OH2 =
1
SO2 +
1
OI2 ⇒ 1
SO2 =
1
OH2 − 1
OI 2 = 15
64
Vậy chiều cao của nón là h = OH = 8
√ 15
15
S
B
O H
Chọn phương án A
OM và đáy là 60◦ Tìm kết luận sai:
A ` = 2a B Sxq = 2πa2 C Stp = 4πa2 D V = πa
3 √ 3
3
Lời giải
Vì góc tạo bởi một đường sinh và đáy bằng 60◦ nên thiết diện qua
trục của hình nón sẽ là một tam giác đều OM N Bán kính đáy là
r = HM = a Vậy đường sinh ` = OM = 2a ⇒ A đúng
Diện tích xung quanh Sxq= πr` = πa · 2a = 2πa2 ⇒ B đúng
Diện tích toàn phần Sxq = Stq+ Sđáy= 2πa2+ πa2= 3πa2⇒ C sai
Dễ thấy đường cao OH = a √
3 ⇒ V = 1
3πr
2 h = πa
3 √ 3
3 ⇒ D đúng
O
M
N H 60
◦
Chọn phương án C
hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD Diện tích xung quanh của hình nón đó là
A πa
2 √
3
2 √ 2
2 √ 3
2 √ 6
2
Lời giải
Trang 7A
B
C
D
O
O 0
A0
B0
C0
D0
Hình nón có chiều cao h = OO = a, và bán kính đáy r = OA = a
√ 2
2
Từ đó đường sinh bằng l = OA = √
OO 2 + OA 2 = a
√ 3
√
2 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là S xq = πrl = πa
2 √ 3
2 Chọn phương án C
đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp 4ABC Tìm kết luận đúng:
A R = a √
√ 33
3 C Sxq = πa
2
3
9
Lời giải
Bán kính đáy nón là bán kính đường tròn ngoại tiếp4ABC
đều cạnh a, nên R = a
√ 3
2 Chiều cao của nón chính là chiều cao của chóp đều S.ABC
nên ta có:
h = SH = √
SA 2 − R 2 =
(2a) 2 −
Å
a
√ 3
ã2
= a
√ 33
3 Diện tích xung quanh của hình nón làS xq = πRl = 2πa
2 √ 3
3 Thể tích của khối nón là V = 1
3πr
2 · h = πa
3 √ 33
27
B A
C
S
H
Chọn phương án B
Câu 18
Trang 8Cho hình nón có đáy là đường tròn có bán kính bằng 10
Mặt phẳng vuông góc với trục cắt hình nón theo giao
tuyến là một đường tròn như hình vẽ Thể tích của khối
nón có chiều cao bằng 6 bằng
A 32π B 24π C 200π
9 D 96π
O
M
P 6
9
10
15
Lời giải
Gọi bán kính đáy nón có chiều cao bằng 6 là r 1
Theo định lý Talet ta có: r1
10 =
6
15 ⇒ r 1 = 4 Vậy thể tích của khối nón đó bằng V = 1
3πr
2
1 h = 32π Chọn phương án A
Câu 19
Cho hình tròn có bán kính là6 Cắt bỏ hình
tròn giữa 2 bán kính OA, OB, rồi ghép 2
bán kính đó lại sao cho thành một hình nón
(như hình vẽ) Thể tích khối nón tương ứng
đó là
A 81π
√
7
√ 15
8
C 81π
√
7
4 D Đáp án khác
S
O
6 A
B O
Lời giải
Khi ghép OA vào OB ta được hình nón có chu vi đáy bằng 3
4 chu vi đáy của đường tròn lúc đầu, tức là bằng CV1 = 3
42πR = 9π Gọi bán kính đáy của hình nón là r1, ta có CV1 = 2πr1= 9π ⇒ r1 = 9
2 Hình nón tạo thành sẽ có đường sinh l = OA = 6 Suy ra đường cao của nón là
h =pl 2 − r 2
1 =
…
6 2 −9
2
2
= 3
√ 7
2 Vậy thể tích của khối nón tương ứng là V = 1
3πr
2
1 h = 81π
√ 7
8 Chọn phương án A
Câu 20
Trang 9Cho hình nón đỉnhO, chiều cao là h Một khối nón có đỉnh
là tâm của đáy vàđáy là một thiết diện song song với đáy
của hình nón đã cho Chiều caox của khối nón này là bao
nhiêu để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 < x < h?
A x = 2h
2
C x = h
√ 3
3
O0
O
H
x
R
Lời giải
Gọi bán kính đáy của hình nón đỉnh O và O lần lượt là R và r Ta có R không đổi còn r thay đổi theo x Theo Talet ta có: r
R =
OH
OO =
h − x
h ⇒ r = R(h − x)
h Thể tích của khối nón đỉnh O là V = 1
3πr
2 · HO = π
3
Å
R(h − x) h
ã2
· x = πR
2
3h (h − x)
2 x
Vì R, h không đổi nên thể tích đạt giá trị lớn nhất khi (h − x)2x đạt giá trị lớn nhất
Xét hàm số f (x) = (h − x)2x = x3− 2hx2+ h2x với x ∈ (0; h)
Ta có f (x) = 3x2− 4hx + h 2
Xét f (x) = 0 ⇔
x = h
x = h
3.
Ta có bảng biến thiên:
x
f0(x)
f (x)
Dựa vào bảng biến thiên ta có max
x∈(0;h)
f (x) = 4h
3
27 xảy ra khi x = h
3 Chọn phương án C
Trang 10BẢNG ĐÁP ÁN
1 D 2 B 3 D 4 C 5 A 6 B 7 D 8 B 9 B 10 C
11 A 12 A 13 C 14 A 15 C 16 C 17 B 18 A 19 A 20 C