Tài liêu trắc nghiêm toán 11 chương (3)

CHƯƠNG III DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN § 1 2 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC – DÃY SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phép chứng minh quy nạp toán học Để chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên , ch[.]

CHƯƠNG III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

§ 1-2 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC – DÃY SỐ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

 Phép chứng minh quy nạp toán học:

Để chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n n 0 , n  0 * cho trước, bằng phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành hai bước

 Bước 1(bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề là mệnh đề đúng khi n n 0

 Bước 2 (bước qui nạp): Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n k n  (ta 0 gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n k 1

 Một hàm sốu N   được gọi là một dãy số vô hạn, kí hiệu là : *  u n

Khi n u n  , khi đó u n u n 

gọi là số hạng tổng quát của dãy  u n

 Một hàm sốu xác định trên tập hợp m số nguyên dương đầu tiên được gọi là dãy số hữu

hạn

 Dãy số u n

là dãy số tăng nếu u n1 u n 0,  n *

Dãy số u n

là dãy số giảm nếu u n1 u n 0,  n *

 Dãy số u n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u n M,  n *

Dãy số u n được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số M sao cho u n M,  n *

Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

B MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1 Hãy xem trong lời giải của bài toán sau đây có bước nào bị sai?

Bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , mệnh đề sau đây là đúng:

 

A n

: “Nếu a và b là những số nguyên dương mà max ,a b  thì n a b ”

Chứng minh:

Bước 1: A 1 : “Nếu ,a b là những số nguyên dương mà max ,a b  1 thì a b ”

Mệnh đề A 1

đúng vì max ,a b  1

và ,a b là những số nguyên dương thì a b 1 Bước 2: Giả sử A k  là mệnh đề Đúng với k 1

Bước 3: Xét max ,a b   k 1 maxa1,b1   k 1 1k

DoA k 

là mệnh đề đúng nên a   1 b 1 a b  A k 1

đúng Vậy A n 

đúng với mọi n   *

Hướng dẫn giải: Đáp án là C.

Ta có: a b   không suy ra , * a b b ,    Do vậy không thể áp dụng được giả thiết quy nạp1 * cho cặp a1,b1

Chú ý: Nếu bài toán trên đúng thì ta suy ra mọi số tự nhiên đều bằng nhau Điều này là vô lý.

Ví dụ 2 Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số các mảnh

giấy đã cắt vụn lại cắt thành 7 mảnh Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?

A Mạnh thu được 122 mảnh B Mạnh thu được 123 mảnh

C Mạnh thu được 120 mảnh D Mạnh thu được 121 mảnh

Hướng dẫn giải

Mỗi lần cắt 1 mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy Do đó công thức

tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là S n 6n Ta chứng minh tính đúng đắn của 1

công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n

 Bước cơ sở: Mạnh cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, n 1 ; S 1 6.1 1 7  công thức đúng với n 1

 Bước quy nạp: Giả sử sau k bước, Mạnh nhận được số mảnh giấy là S k  6k1 sang bước thứ k 1 , Mạnh lấy một trong những mảnh giấy nhận được trong k bước trước và cắt thành 7 mảnh Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong S k 

mảnh giấy và thay vào đó

7 mảnh được cắt ra Vậy tổng số mảnh giấy ở bước k 1 là

 1   1 7   6 6 1 6 6 1 1 

S k S k   S k   k    

vậy công thức S n 

đúng với mọi n   Theo công thức trên, chỉ có phương án D *

thỏa mãn vì 121 6.20 1  Đáp án D

Ví dụ 3 Cho dãy số  u n

xác định bởi u n n2 4n 2 Khi đó u bằng10

Hướng dẫn giải:

2

10 10 4.10 2 58

u     Đáp án đúng là C

Ví dụ 4 Cho dãy số 1  3 3 n

n

u   n

Khi đó công thức truy hồi của dãy là:

A u n1 1 3u nvới n 1

B 1 1 3 3n 1

    với n 1

C 1 1 3n 1 2

n

    với n 1

D 1 3 3n 1 2

    với n 1

Hướng dẫn giải:

n

1 3 n 3 3 3n 3 1 3 3n 3n 2 3 3n 2

n

Đáp án là D

Ví dụ 5 Cho dãy số  u n

xác định bởi

1

2 1

1

, 1

u







 Công thức của u n1 theo n là:

A

 1 2  1

1

6

n n n



B

 1 2  1

6

n n n

C

4

n n 

D

1

4

n n 



Hướng dẫn giải:

   

1

2 2

3

4

1

1

1 1

1 1 2

1 2 1

6

n

u u u u



 

  

(có thể chứng minh bằng quy nạp) Đáp án là A

Ví dụ 6 Cho dãy số  V n

xác định bởi

1 2 1

3 , 1

n n

v







 Khi đó v bằng11

Hướng dẫn giải:

0 1 2 3

2 1

2

3

4

11

3 3

3 n v 3 3

n

v v v v

 

Vậy đáp án là B

Ví dụ 7 Cho dãy số u n n2 4n7 Kết luận nào sau đây đúng

A Dãy  u n bị chặn trên B Dãy  u n bị chặn dưới

C Dãy  u n bị chặn D Mệnh đề A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải

n

u n  n  n     n *

 u n



bị chặn dưới bởi 3

 u n không bị chặn trên bởi vì khi n càng lớn thì u càng lớn Vậy đáp án là B n

Ví dụ 8 Cho dãy số 1 4 3 2 n

n

z   n

A Dãy  z n là dãy tăng B Dãy  z n bị chặn dưới

Hướng dẫn giải:

1 1 4 1 2n

n

; 1 4 3 2 n n

z   n

n n

n

  

 z n



tăng  z n z1 3   Vậy đáp án là D.n *

C BÀI TẬP

1 Phép chứng minh sau đây nhận giá trị chân lí là gì?

C Không đúng không sai D Vừa đúng vừa sai

Bài toán: Chứng minh bằng qui nạp:

2

1 2

4

n n

Chứng minh: Giả sử đẳng thức đúng với n k k 1

Ta có:

2

1 2

4

k k

Ta chứng minh đẳng thức đúng với n k 1 , Thật vậy:

2

Vậy đẳng thức đúng với n k 1

Áp dụng nguyên lý qui nạp toán học ta suy ra đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n

2 Cho x 0 và

1

x x



là một số nguyên Khi đó với mọi số nguyên dương n , có kết luận gì

về  ,  n 1

n

x

?

A T n x , 

là số không nguyên

C T n x , 

là số nguyên D Các kết luận trên đều sai

3 Cho dãy số

1

2 :

n

u u

u  nu









 với mọi n 1

4 Cho dãy số  

sin 3 1

n

nx u

n

 

 

 



 với mọi n 1 Khi đó số hạng u của dãy 3n  u n

là:

A

1

1 1

1

3n 1





D 0

5 Cho dãy số

2 3

n n

n

u 

với mọi n 1 Khi đó số hạng u của dãy 2n  u n

là:

A

2

2

3n

n

B

2 4

6n

n

C

2 4

9n

n

D

2 2

6n

n

6 Cho dãy số

1; 3 :

n

u





Công thức của số hạng tổng quát của dãy số là:

C u n 2n1

D

5 1

n

n u n







7 Cho dãy số

1 :

n

u





Công thức tổng quát của dãy số là:

n

 

C u n n2 n 1

2

2 3

3 1

n

u

n

 





8 Cho dãy số  : cos 2 1

1

n n

n

u u    

Khi đó khẳng định nào dưới đây là đúng?

A  u n

là dãy đơn điệu tăng B  u n

là dãy đơn điệu giảm

C  u n là dãy không đổi D Đáp án khác

9 Cho dãy số   1

1 : 2

n

n n

u u

n

 

 , Khi đó khẳng định nào dưới đây là đúng?

A  u n

là dãy đơn điệu tăng B  u n

là dãy đơn điệu giảm

C  u n là dãy không đổi D Đáp án khác

10 Xét dãy  u n :u n n 1

n

 

, khi đó số  dương lớn nhất thỏa mãn u n   n 1 là:

C

1

2

11 Xét dãy  u n :u n  n100 100 n

, với n là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 100.

Số  dương nhỏ nhất thỏa mãn u n  là:

12 Cho các dãy số        u n , v n , x n , y n

lần lượt đươc xác định bởi:

2 1

n

u  n  ;

1

n

n

 

; x   n 2n 1 ; n 1

n y n



 với mọi n 1 Trong các dãy số trên, có bao nhiêu dãy bị chặn dưới?

§3 CẤP SỐ CỘNG

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa:  u n

là cấp số cộng nếu u n1u nd , với    , n * d là hằng số

2 Các khái niệm:

Cho cấp số cộng  u n

, Khi đó:

 u n u1n1d

: số hạng tổng quát của cấp số cộng

 d : công sai của cấp số cộng

 S n u1u2 u n : tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

3 Tính chất:



2

n n n



2

n

S  u u

2

n

n

s  u  n d

B MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho cấp số cộng có tám số hạng Số hạng đầu bằng 3, số hạng cuối là 24 Tính tổng các

số hạng của cấp số

Hướng dẫn giải:

Ta có: u  , 1 3 u 8 24, n 8 8  

8

3 24 108 2

Đáp án là C

Ví dụ 2 Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A Dãy số  a n xác định bởi

1 1

1 3

n n

a







B Dãy số  b n xác định bởi

1 1

3 3

n n

b

a  b







 

 với n 1

C Dãy số  c n

xác định bởi c n  n2 với n 1

D Dãy số d n

xác định bởi

1 1

4

d







 với n 1

Hướng dẫn giải: Đáp án là B

Ví dụ 3 Cho bốn số lập thành cấp số cộng Tổng của chúng bằng 22 Tổng các bình phương của

chúng bằng 166 Tổng các lập phương của chúng bằng

Hướng dẫn giải:

Gọi 4 số lập thành cấp số cộng là u u u u1, , ,2 3 4

Ta có

1

22

166









Vậy bốn số đó là: 1, 4, 7, 10 và 10, 7, 4, 1

Tổng các lập phương của chúng bằng: 134373103 1408 Đáp án là D

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng tọa độ, cho đồ thị  d

của hàm số y4x 5 Với mỗi số nguyên dương, gọi A là giao điểm của n  d

và đường thẳng x n Xét dãy số  u n

với u là tung độ của điểm n A Tính n u1 u15

Hướng dẫn giải:

Dễ thấy u n 4n 5

Ta có u n14n1 5 4 n1

n n

u  u

   với n 1  u n

là một cấp số cộng

Vậy 1 15 15  1 15    

Đáp án là A

Ví dụ 5 Tìm x biết 1 3 5     x 64

Hướng dẫn giải:

1

n

n

Đáp án là C

Ví dụ 6 Cho hai cấp số cộng  u n : 4, 7,10,13,16,

và  v n :1,6,11,16, 21,

Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng, có bao nhiêu số hạng chung?

Hướng dẫn giải:

Ta có: u n  4 n 1 3 3  n , 1 1 n 100

n

v   k  k

1 k 100

Để một số là số hạng chung của hai cấp số cộng thì cần phải có:

3n 1 5k 4 3n5 k1  n tức là 5 n5t , k  1 3t , t 

Vì 1 n 100 nên 1 t 20 Có hai mươi số hạng chung của hai dãy Chọn đáp án B

Ví dụ 7 Một sàn tầng một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m Cầu thang đi tầng 1 lên tầng 2 gồm

21 bậc, mỗi bậc cao 18cm Độ cao của tầng 2 so với mặt sân là:

Hướng dẫn giải:

Độ cao tầng hai so với mặt sân là h n 0,5 0,18 n  m

với n 21

Vậy ta có độ cao tầng hai bằng 4, 28m Đáp án là B

C BÀI TẬP

1 Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A

1 1

n

n

u

n





2 Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A

0

1

1

1 2

n n

u

n





 





0

1

1

u

n

u  u u 





 





C

0

3 1

1

1

n n

u

n

u u 





 





0 1

1

1 1

n n

u

n

u u 





 





3 Công sai của cấp số cộng  u n

thỏa mãn

1 6

10 17





4 Số hạng đầu tiên của cấp số cộng dương  u n

thỏa mãn

7 3

2 7

8 75

u u







A 2 B 3 C 4 D 5

5 Xác định số đo góc nhỏ nhất của một tứ giác lồi, biết rằng số đo 4 góc lập thàng một cấp

số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất

6 Xen vào giữa hai số 4 và 40 bốn số để được một cấp số cộng có công sai lớn hơn 3 Tìm

tổng của bốn số đó

7 Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ

hai có 2 cây, hàng thứ 3 có 3 cây ,… vậy có tất cả bao nhiêu hàng?

8 Giá tiền công khoan giếng ở cơ sở A được tính như sau: Giá của một mét khoan đầu tiên

là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 500 đồng

so với giá của mét khoan ngay trước đó Vậy muốn khoan 20 mét thì mất bao nhiêu đồng?

9 Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1, 8, 22, 43, … Hiệu của hai số hạng liên tiếp

của dãy số đó lập thành một cấp số cộng 7, 14, 21, …7n Số 35351 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

10 Cho phương trình x33x2  24m x  26 n  Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để0

3 nghiệm phân biệt x x x lập thành một cấp số cộng.1, ,2 3

§4 CẤP SỐ NHÂN

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa:  u n

là cấp số nhân u n1u q n ,   n *

2 Các khái niệm: 1 n 1, 1

n

  : số hạng tổng quát của cấp số nhân

q công bội của cấp số nhân:

3 Tính chất:

2

1 1

n n n

u u  u   n 2



1 1

1

n

u q

q



 ; q 1

B MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1 Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

C

1

1

3

7

u









1

2 1

2

n n

u

u  u









 ,n 1

Hướng dẫn giải: Đáp án là C.

Ví dụ 2 Cho cấp số nhân  u n có u  , 1 5 u  Tìm 2 8 u4

A

512

125

625

512 125

Hướng dẫn giải:

2

1

8

5

u

q

u

;

3 3

8 512 5

5 25

  Đáp án A

Ví dụ 3 Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương Biết rằng số hạng thứ hai bằng

3, số hạng thứ tư bằng 6 Tính tổng của cấp số nhân đó

A 9 21 2

B 118 21 2

C 118 21 2



Hướng dẫn giải:

Kí hiệuu u u u u là các số hạng của cấp số nhân1, , , ,2 3 4 5

Ta có

4

3

6

u

u









3 2

2

 

Đáp án là C

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC cân AB AC 

, có cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó.

A 2 2 1 

B

1

2 1

C 1 2 2 1

2 1

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết: ABAC và BC AH AB lập thành cấp số nhân nên ta có hệ:, ,

2cot 1

sin

C

AH

B









Từ đó ta có kết quả sau: 2cotCsinC 2cosCsin2C 1 cos2C

2

cos C 2cosC 1 0 cosC 1 2

Do C là góc nhọn nên sinC  2 2 1 

Cho nên công bội của cấp số nhân là:

2 2 1

q

C



Đáp án là C

Ví dụ 5 Tìm các số x y,  biết y  và các số 0 x6y , 5x2y , 8x y theo thứ tự lập thành một cấp số cộng đồng thời các số

5 3

x 

, y  , 2 31 x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

A 3, 1 

B 3, 1 

C 1, 3 

D 1,3

Hướng dẫn giải:

Ta có hệ phương trình

5

3









Từ đó ta suy ra

 

 

3 1

10

3













Thế  1

vào  2

ta được: 8y27y1 0  y hoặc 1

1 8

y 

Do y  ta được 0 y1,x Đáp án là B3

C BÀI TẬP

1 Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân

2 Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân

A

1 1

n

n

u

n





3 Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A

0

1

1

1 2

n n

u

n





 





0

1

1

u

n

u  u u 





 





C

0

3 1

1

1

n n

u

n

u u 





 





0 1

1

1 1

n n

u

n

u u 





 





4 Số hạng đầu tiên của cấp số nhân  u n

thỏa mãn hệ

4 2

5 3

72 144





5 Công bội nguyên dương của cấp số nhân  u n

thỏa mãn

1 2 3

14 64

u u u







6 Cho ba số tạo thành một cấp số nhân mà tổng của chúng bằng 93 Ta có thể sắp xếp

chúng (theo thứ tự của câp số nhân kể trên) như là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ bảy của một cấp số cộng Tìm tích của ba số đó

A 3375 B 64 C 2744 D 1000

7 Độ dài các cạnh của một tam giác ABC lập thành một cấp số nhân Tam giác ABC có tối đa mấy góc không quá 60

8 Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân có bốn số hạng biết tổng ba số hạng đầu bằng

4 16 9 đồng thời theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp

số cộng

A 4

B

16

2 3

D 1

9 Cho ba số ,3,x y lập thành một cấp số nhân và 4

3

x y Tìm công bội q của cấp số

đó

A

1

3

1 3

ÔN TẬP CHƯƠNG III

1 Cho dãy số

1

1 :

n

n n

u u







 với mọi n 1 Khi đó số hạng thứ 5 của dãy  u n

là:

2 Cho dãy số u n 4nn với mọi n 1 Khi đó số hạng u n1 của dãy  u n

là:

3 Trong các dãy số u0  , n

2 1

n

n

, x  n 2n , n 2 1

n y

n



 , có bao nhiêu dãy số bị chặn trên?

4 Gọi  u n

và  v n

là hai cấp số cộng có công sai lần lượt là d và 1 d Tổng của n số hạng2 đầu của mỗi cấp số cộng theo thứ tự là:

1 2 7 1

S u u  u  n và T n  v1 v2 v n 4n27 Tỉ số

11 11

u v

A

71

78

B 1

C

5

4 3

5 Cho tam giác ABC có các cạnh tương ứng , ,a b c Biết  90 A  

và

2

3

theo thứ tự

lập thành một cấp số nhân Tìm số đo góc B

6 Tìm m dương để phương trình x4 3m5x2m12  có bốn nghiệm lập thành 0 một cấp số cộng

C

3

2

m 

D

25 4

m 

7 Tính tổng

n n

S          

A

4 1 4  1 1

3.4

n

n





B

4 1 4  1 1

2

4

n

n





C

4 1 4  1 1

2

3.4

n

n





D

4 12

2

3.4

n n

8 Giả sử các số 5x y x , 2 3 ,y x2y lập thành một cấp số cộng còn các số y1 ,2 xy1

và x 12 lập thành cấp số nhân Hiệu của ,x y dương bằng

C

5

1 3

9 Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa , đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng chuông nếu nó chỉ đánh chuông

báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ

10 Giả sử , , ,a b c d lập thành một cấp số nhân Tính giá trị biểu thức