Chuyên đề khối đa diện trích trường chuyên mức độ 4

Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 1 KHỐI ĐA DIỆN MỨC ĐỘ 4 Trích đề thi thử THPT 2018 các trường Chuyên Câu 1 Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D′ ′ ′ ′ có thể tích bằng 2110 Biết A M MA′[.]

KHỐI ĐA DIỆN - MỨC ĐỘ 4

Trích đề thi thử THPT 2018 các trường Chuyên

Câu 1: Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có thể tích bằng 2110 Biết A M′ =MA; DN =3ND′;

và cắt hai cạnh , tại , sao cho chu vi tam giác nhỏ nhất Tính

Câu 4: Trong mặt phẳng cho tam giác cố định Trên đường

thẳng vuông góc với mặt phẳng tại điểm và về hai phía

của ta lấy hai điểm , thay đổi sao cho hai mặt phẳng

và luôn vuông góc với nhau Hỏi vị trí của , thỏa

mãn điều kiện nào sau đây thì thể tích khối tứ diện là nhỏ

527512

84409

52756

N

P

d X

Y

Z

B A

F

A B C D

Câu 6: Cho hình lập phương cạnh Các điểm , , theo thứ tự đó thuộc các

tại Tính độ dài đoạn thẳng

Câu 7: Cho hình lăng trụ có thể tích bằng Gọi , , lần lượt là trung điểm của

các cạnh , , Thể tích của khối tứ diện bằng:

Câu 8: Cho một tấm bìa hình vuông cạnh Để làm một mô hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt

bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy chính là cạnh của hình vuông rồi gấp lên, ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều Để mô hình có thể tích lớn nhất thì cạnh đáy của mô hình bằng:

Câu 9: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và có thể tích là Điểm là trung điểm

của , một mặt phẳng qua cắt các cạnh và lần lượt tại và Gọi là thể tích khối chóp Tìm giá trị nhỏ nhất của ?

lớn nhất khi tổng bằng:

Câu 11: Cho tứ diện đều có cạnh bằng Gọi , là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh

, sao cho luôn vuông góc với mặt phẳng Gọi , lần lượt là giá trị

1

32

23

38

13

A B C D

qua hai điểm , và song song với chia khối chóp thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó ( số bé chia số lớn )

Câu 13: Từ một tấm bìa hình vuông có cạnh bằng , người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng

nhau là , , và Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất?

Câu 14: Cho khối chóp có đáy là hình bình hành Gọi , , , lần lượt là trọng

tâm các tam giác , , , Biết thể tích khối chóp là , khi đó thể tích của khối chóp là:

Câu 15: Cho hình chóp có vuông góc với đáy, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 17: Cho tam giác vuông tại có Gọi là mặt phẳng chứa BC và vuông

góc với mặt phẳng Điểm di động trên sao cho hai mặt phẳng và

lần lượt hợp với mặt hai góc phụ nhau Tính thể tích lớn nhất của khối chóp

17 2

216

17 272

17 2144

212

49

34

45

3 2dm2

5dm

5 2dm2

A B C D

Câu 18: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và có thể tích là Điểm là trung điểm

của Một mặt phẳng qua cắt hai cạnh và lần lượt tại và Gọi là thể tích của khối chóp Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu 19: Cho tứ diện đều có cạnh bằng Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh ,

và là điểm đối xứng với qua Mặt phẳng chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm có thể tích Tính

Câu 21: Cho hình thập nhị diện đều (tham khảo hình vẽ bên) Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng có

chung một cạnh của thập nhị diện đều bằng

3.4

.13

.10

.8

18

23

38

S ABCD

5 12

A

D S

Câu 22: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , , cạnh bên tạo với

một góc và tạo với một góc thỏa mãn Thể tích của khối

Câu 24: Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là , , , (đơn vị độ dài) tiếp xúc

ngoài với nhau Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng

Câu 25: Một khối lập phương lớn tạo bởi khối lập phương đơn vị Một mặt phẳng vuông góc với

đường chéo của khối lập phương lớn tại trung điểm của nó Mặt phẳng này cắt ngang (không đi qua đỉnh) bao nhiêu khối lập phương đơn vị?

Câu 26: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, Biết rằng

góc giữa hai mặt phẳng và bằng Tính thể tích khối chóp

Câu 27: Cho , là các số thực dương thay đổi Xét hình chóp có , , các cạnh

còn lại đều bằng Khi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất thì tích bằng

Câu 28: Cho hình lăng trụ Gọi , , lần lượt là các điểm thuộc các cạnh , ,

sao cho , , Gọi , lần lượt là thể tích của hai khối

2a

3

23

a

ABCD

204712

247012

247412

274012

2 3 3 2

59

37

715

611

4 3

13

1 22

V

2

12

V

21

V

2

23

Câu 29: Cho tứ diện đều có cạnh bằng Gọi , lần lượt là trọng tâm của các tam giác

, và là điểm đối xứng với qua Mặt phẳng chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh có thể tích Tính

Câu 30: Cho tứ diện đều có cạnh bằng Trên các cạnh và lần lượt lấy các điểm và

chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh có thể tích

là Tính

Câu 31: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều,

mặt bên là tam giác vuông cân tại Gọi là điểm thuộc đường thẳng sao cho vuông góc với Tính thể tích của khối chóp

Câu 32: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , và vuông góc

với mặt phẳng đáy Gọi , là hai điểm thay đổi trên hai cạnh , sao cho

khối chóp đạt giá trị lớn nhất

Câu 33: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành có

(tham khảo hình vẽ) Giá trị lớn nhất của thể tích hình chóp bằng

Câu 34: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Tam giác vuông tại và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng

, với Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp

Câu 35: Cho tứ diện , trên các cạnh , , lần lượt lấy các điểm , , sao cho

phần có thể tích là , Tính tỉ số

góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Tính thể tích khối chóp

Câu 37: Cho hình lập phương cạnh , gọi là trung điểm của và thuộc

1 2

2613

V

2

2619

V

2

319

V

2

1519

Câu 38: Cho tứ diện có , , Tính khoảng cách từ đến

mặt phẳng

Câu 39: Cho tam giác đều cạnh , gọi là đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng

Trên lấy điểm và đặt , Gọi và lần lượt là trực tâm của các tam giác và Biết cắt tại điểm Khi ngắn nhất thì khối chóp

có thể tích bằng

Câu 40: Cho hình lăng trụ đều Biết khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

a, góc giữa hai mặt phẳng và bằng với (tham khảo hình vẽ dưới đây) Thể tích khối lăng trụ bằng

Câu 41: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều, góc giữa (SCD và )

(ABCD ) bằng o

60 Gọi M là trung điểm của cạnh AB Biết rằng hình chiếu vuông góc của

đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD ) nằm trong hình vuông ABCD Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC là

a

3

113

a

Câu 43: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA a= và vuông góc với mặt

phẳng đáy Gọi lần lượt là trung điểm SB và SD (tham khảo hình vẽ), α là góc giữa

(BCD)

3 67

3 25

3 427

72

3624

ABC A B C′ ′ ′

3 23

Câu 45: Cho hình lăng trụ đều ABC A B C ′ ′ ′ Biết khoảng cách từ

điểm C đến mặt phẳng (ABC′ ) bằng a , góc giữa hai mặt

phẳng (ABC′ và ) (BCC B′ ′ bằng ) α với cos 1

3

α = (tham khảo hình vẽ dưới đây)

Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ bằng

A

3

3 1510

a

3

3 1520

a

3

9 1520

a

M N

B

A S

A

B

C

D M

Câu 46: Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N , P thuộc các cạnh BC , BD , AC sao cho BC=4BM ,

Câu 48: Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng a Người ta cắt khối

đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích

bằng nhau Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cắt bởi mặt phẳng nói trên (Giả thiết rằng

tổng thể tích của hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá đầu)

A

2

23

a

2 3

4

a

Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD=2AB=2BC=2CD=2a Hai

mặt phẳng (SAB và ) (SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N, lần lượt là

trung điểm của SB và CD Tính cosin góc giữa MN và (SAC), biết thể tích khối chóp S ABCD

Câu 50: Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A′

lên mặt phẳng (ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường

a

B

33.6

a

C

33.3

a

D

33.24

a

M

C A

N

Q

P

[Phương pháp tự luận]

Gọi M, H lần lượt là trung điểm của AB và CD

Ta có tam giác ABC , ABD cân lần lượt tại C và D Suy ra CM AB AB (CDM)

Ta có: ∆CAB= ∆DAB c c c( ) suy ra MC=MD Ta được MH CD⊥

Tứ diện BMCH có đường cao BM , đáy là tam giác MHC vuông tại H

Cắt hình chóp theo cạnh SA rồi trải các mặt bên ra ta được hình như hình vẽ ( A′ là điểm sao cho khi gấp lại thành hình chóp thì trùng với A)

Khi đó chu vi tam giác AB C ′ ′ bằng AB′+B C′ ′+C A ′ nhỏ nhất khi A, B′, ′C , A′ thẳng hàng hay AB′+B C′ ′+C A′ =AA ′

Khi đó tam giác SAA có ′ SAA′=   90ASB′+B SC′ ′+C SA′ ′= ° nên vuông cân tại S và có SA=a

Thể tích khối tứ diện ABYZ là 1

αα

Do X và Fcố định nên đường cao XFcủa tam giác AXFkhông đổi

Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy AB ngắn nhất khi

4

π

α = Suy ra AX =BX = XF Hay X là trung điểm AB

( AYZ , BYZ )=(FA FB, )=AFB= °90

Xét tam giác vuông ABF có FX là đường cao không đổi (Do XF là đường cao của ∆XYZ

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi XA= XB

Vậy thể tích khối tứ diện ABYZ nhỏ nhất khi X là trung điểm AB

Nhận xét KP BD// và MH BD// nên KP MH// , suy ra 4 điểm , , ,M K P H đồng phẳng

Tương tự : MK//AB′, DC′//AB′; DC HN′// nên MK HN// suy ra 4 điểm , , ,M K H N đồng phẳng

Vậy mặt phẳng (MNP) chứa các điểm H K, đồng thời mặt phẳng (MNP) song song với mặt

phẳng (BDC′) Suy ra mặt phẳng (MNP) song song với B D′ ′

Xét mặt phẳng (A B C D′ ′ ′ ′) , qua N kẻ NE B D// ′ ′ cắt A B′ ′ tại E là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán

C B

E

N

M

P K

H

NP = PI suy ra NP là đường trung bình tam giác BIJ Suy ra là trung điểm

3

JCM BCM

BI S

S

BI

52

N CMP

V = −V V = V

S

=

SM x

I

1

V V

13

B

C

I

hay luôn đi qua

V +V =

Câu 12: Chọn D

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có mặt phẳng cắt các mặt theo giao tuyến và cắt mặt

theo giao tuyến Thiết diện tạo bởi mặt phẳng với hình chóp là hình thang

M

A

B

C S

MNABPQ N ABPQ N AMQ

SMNPQC MNABPQ

V

I P

Q

N M

A

B

C S

11

⋅ ⋅ = ⇒ =

Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác , ta có:

49

S

P

M N

Q

Q P

H

N

K M

I O

D

S

A

B C

S S

JAI DAB

S S

S S

 

=  =

 

29

B

C I

H

1

BC BI

⇒ =

−

305

a

=

1.2

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng

SBC

S∆ =

.

1.3

A SBC SBC

V = d S∆ 3 S ABC.

SBC

V d

S∆

⇒ =

70 339

8 133

O

C

D A

B

SM x SB

2

x≥

2

1 3

P Q

B

D E

212

a

V =

1

1118

Câu 21: Chọn C

Lời giải

Bước 1: Lập mối quan hệ giữa bán kính mặt cầu và cạnh khối mặt đều:

Gọi là tâm khối mặt đều, xét mặt phẳng chung đỉnh là Khi đó là chóp tam giác đều và vuông góc với

S

B' A'

Ta có

Bước 3: Tính góc:

Gọi tâm của các mặt và là ,

Có vuông góc với hai mặt này nên góc giữa hai mặt bằng góc giữa và Lại có cùng thuộc một mặt phẳng (trung trực của )

M T

2 2

sinTOM TM

Gọi là tâm bốn mặt cầu, không mất tính tổng quát ta giả sử ,

Gọi lần lượt là trung điểm của Dễ dàng tính được Gọi là tâm mặt cầu nhỏ nhất với bán kính tiếp xúc với bốn mặt cầu trên Vì nên nằm trên đoạn

Gọi , lần lượt là các mặt phẳng trung trực đoạn và

Tứ diện có suy ra là đường vuông góc chung của và

Giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng cắt các cạnh của hình vuông, giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng cắt các cạnh của hình vuông (hình vẽ), trong các hình vuông này có cặp hình vuông cùng chung một hình lập phương đơn vị, nên suy ra mặt phẳng cắt ngang khối lập phương mặt trên

Tương tự mặt phẳng cắt ngang khối lập phương mặt dưới cùng

Giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng cắt các cạnh của hình vuông, giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng cắt các cạnh của hình vuông (hình vẽ), trong đó có 3 cặp hình vuông cùng chung với một hình lập phương đơn vị, nên suy ra mặt phẳng cắt ngang khối lập phương mặt thứ hai

Vậy, mặt phẳng cắt ngang (không đi qua đỉnh) khối lập phương đơn vị Cách khác

Giả sử các đỉnh của khối lập phương đơn vị là , với , , và đường chéo đang xét của khối lập phương lớn nối hai đỉnh là và Phương trình mặt trung trực của là Mặt phẳng này cắt khối lập phương đơn vị khi và

và chỉ khi các đầu mút và của đường chéo của khối lập phương đơn vị

C B

nằm về hai phía đối với Do đó bài toán quy về đếm trong số bộ , với , ,

, có bao nhiêu bộ ba thỏa mãn:

Các bộ ba không thỏa điều kiện , tức là là

Vậy có khối lập phương đơn vị bị cắt bởi

Câu 27: Chọn A

Lời giải

Gọi , lần lượt là trung điểm của và , ta có:

44

−

2 21

=

max

2 327

V =

2 2

⇒ =

3 3 3 3 3 3 2 9 2

Câu 31: Chọn D

Lời giải

Gọi , lần lượt là trung điểm của và

Gọi là hình chiếu của lên Ta có , ,

Khi đó suy ra tam giác vuông tại

C AM =x AN = y x y, ∈[ ]0; 2 M x( ; 0; 0) N(0; ; 0y ) ( ; 0; 2)

x y

− ≤ ⇔ ≥+

2 2

1

S AMCN

x y

x y

Do đó góc giữa và bằng góc giữa và Suy ra

Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng

y OF

1

S AMCN

x y

x y

.

1

.3

3a

=

Câu 34: Ch ọn C

Lời giải

Gọi là đỉnh thứ tư của hình bình hành

của lên

Do đó đạt giá trị lớn nhất khi lớn nhất Vì tam giác vuông tại nên

P A

B

C

D

Thiết diện của tứ diện được cắt bởi mặt phẳng là tứ giác

Áp dụng định lí Menelaus trong các tam giác và ta có:

MNPQ A B C D ABCD A B C D

C'

D' B'

C B

D A

A

.

Thể tích khối chóp là

Thể tích khối đa diện bằng

N K

Câu 38: Chọn C

Lời giải

Xây dựng bài toán tổng quát

Từ giả thiết ta có: MNDC là hình thoi; các tam giác CAN, DAM là các tam giác cân, suy ra:

c

b a

2 2 2 2

2 2 2 2

4

15 74

7

=

S

Theo định lý Pythagore đảo thì SMI∆ vuông tại . 3

33

,

5154

SMNC MN

MNPQ A B C D ABCD A B C D

Áp dụng, xem khối đa diện AMNPBCD≡AMNP ABCD ta có:

.

C'

D' B'

C B

D A

A

N K

Thể tích khối chóp A BMNC là

.

1 .3

α chính là góc giữa KA và KO , suy ra sinα =sin AKO

Gọi H là hình chiếu của A lên SO

H

Xét tam giác SAO vuông tại A có AH là đường cao nên

2

2

32

62

a a

sin sin

364

a AH AKO

AK a

1

31

3

BMN

BMN BCD BCD

d A BMN

S V

S S

a CC′

⇒ = ; ( )2 3

3 4

C

B A

Câu 46: Ch ọn A

L ời giải

Trong mặt phẳng (DBC v) ẽ MN cắt CD tại K

Trong mặt phẳng (ACD v) ẽ PK cắt AD tại Q

Theo định lý Mennelaus cho tam giác BCD∆ cát tuyến MNK ta có KC ND MB 1

KD NB MC =3

KC KD

⇒ =

Theo định lý Mennelaus cho tam giác ACD∆ cát tuyến PKQ ta có KC QD PA 1

KD QA PC =3

2

QA QD

5

QA AD

⇒ = Đặt V =V ABCD, ta có

• .

.

1

BMN BCD

S S

AB MNPQ MNPQ

V V

P Q S

A

D H

b M

O

Theo ycbt : . 3 1

2

S MNPQ V

k

3

12

=

1.31.3

=

1.2

cắt SC tại Q , cắt AC tại K Gọi I là giao điểm của MN và QK ⇒ ∈I (SAC)

Suy ra:P, Q, K lần lượt là trung điểm củaAB, SC và AC

Lại có: ABCD là hình thang cân có AD=2AB=2BC=2CD=2a

KN là đường trung bình của tam giác 1

a KC

⇒ =

Suy ra: tam giác KNC vuông tại C ⇒ C là hình chiếu vuông góc của N lên (SAC )

⇒ góc giữa MN và (SAC là góc ) NIC

Cách 2 Vì ABCD là hình thang cân có AD=2AB=2BC=2CD=2a