ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN! 1 Thầy Hồ Thức Thuận Sứ Giả Truyền Cảm Hứng Yêu Thích Môn Toán THẦY HỒ THỨC THUẬN TÀI LIỆU THUỘC KHÓA HỌC “LIVE VIP 2K4” INBOX THẦY ĐỂ[.]
Trang 1
_
THẦY HỒ THỨC THUẬN
TÀI LIỆU THUỘC KHÓA HỌC
“LIVE VIP 2K4”
INBOX THẦY ĐỂ ĐƯỢC TƯ VẤN
VÀ ĐĂNG KÝ HỌC!
Bài toán: Tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
Thể tích vật thể:
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; ( ) S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a Giả sử ( )x b) S x
là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]a b
Thể tích của vật thể B được xác định: ( )
b
a
V =S x dx
Bài toán: Tính thể tích khối tròn xoay
Thể tích khối tròn xoay:
Dạng 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x = quanh trục Ox: b
Thể tích khối tròn xoay là: b ( ) 2
a
V =f x dx
Dạng 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x( ), ( )
y=g x và hai đường thẳng x=a, x = quanh trục Ox: b
Thể tích khối tròn xoay là: 2 2
( ) ( )
b
A Lý Thuyết
Bài Toán 06: Ứng dụng tích phân
trong thể tích
( )
B
O
x
( )
S x
x
y
O
( )
y=f x
b
a
x
y
( )
y=f x
( )
y=g x
Trang 2Câu 1 Thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai đường thẳng x = và 1 x = , biết rằng khi cắt vật thể bởi 3 mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 x 3) thì thiết diện là một hình chữ nhật
có hai cạnh là 3x và 3x −2 2
A V =32 2 15+ B 124
3
3
V = D V =(32 2 15+ )
Lời giải:
Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích thiết diện là: S=3x 3x2− 2
Thể tích vật thể là: 3 ( )
1
3
2 1
124 3
3x 3x 2
Chọn đáp án C
Câu 2 Cho phần vật thể ( )H giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình là x = và 0 x = , cắt phần vật thể 2
( )H bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x 2) ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng x 2− Thể tích V của phần vật thể bằng bao nhiêu? x
3
3
Lời giải:
Do thiết diện là tam giác đều nên diện tích thiết diện bằng: ( ) ( 2 )2 3 2(2 ) 3
S x
Thể tích vật thể cần tìm là: 2 ( ) ( ) 3 4
2 2
0
0
2
0
4 3
−
=
Chọn đáp án B
Câu 3 Gọi ( )D là hình phẳng giới hạn bởi các đường , 0, 1, 4
4
x
y= y= x= x= Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình ( )D quanh trục Ox
A 21
16 B
21 16
8
16
Lời giải:
21
b
a
Chọn đáp án B
Câu 4 Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y= x2+ , trục hoành và các đường thẳng 1 x=0; x= 1
Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
3
= B V =2 C 4
3
Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: 1( )2
0
3
1
3
1 0 3
x x
+
Chọn đáp án A
B Ví Dụ
Trang 3Câu 5 Cho hình phẳng ( )D giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
2
y= x x − và trục Ox Thể tích của khối tròn xoay
được tạo thành khi quay ( )D quanh trục Ox bằng
A 256
15
15
15
3
Lời Giải:
Ta có: ( ) 2 2
:
0
D
y
= −
=
Phương trình hoành độ giao điểm là: 2 0
2
x
x
=
− = =
2
2 2 0
0
2 5
0
x
Chọn đáp án C
Câu 6 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường cos , 0, 0,
4
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng ( )H quay xung quanh trục Ox bằng:
A ( 2)
4
+
8
+
8
+
2
1 4
+
Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
2
sin 2 ( 2)
x
Chọn đáp án C
Câu 7 Cho hình phẳng H (phần gạch chéo trong hình vẽ) Thể tích khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox được tính theo công thức nào
dưới đây ?
1
4x 8x 4 dx
−
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường 2 2
, 2
y=x y= − là: x 2 2
x = −x = x
x −x −x nên thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox là:
1
−
1
2
y=x
2
2
y= −x
x
y
Trang 4Câu 8 Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi
parabol ( )P có đỉnh O Gọi S là hình phẳng (như hình vẽ ) Tính thể tích V
của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox
5
3
5
5
=
Lời giải:
Khi quay hình vuông OABC quanh trục Ox ta được khối trụ có bán kính đáy R =4;
đường cao h = Thể tích khối trụ là 4 V1 =R h2 =64 (đơn vị thể tích)
Vì parabol đi qua điểm O( )0; 0 nên parabol có dạng ( ) 2
: y
( )P đi qua B( )4; 4 nên ta có: ( ) 1 2
: 4
Thể tích giới hạn bởi các đường ( ) 1 2
4
P y= x y= x= x= khi quay quanh Ox
4 2
2
2
x
Vậy thể tích khối tròn xoay khi cho S quay quanh trục Ox là
64 256 64
= − = − = (đơn vị thể tích)
Chọn đáp án D
Câu 9 Cho hình ( )H giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol và một
đường thẳng tiếp xúc với Parabol đó tại điểm A( )2; 4 , như hình vẽ bên Thể tích
vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình ( )H quay quanh trục Ox bằng
A 16
15
5
C 2
3
5
Lời Giải:
Parabol có đỉnh là gốc tọa độ như hình vẽ và đi qua A( )2; 4 nên có phương trình 2
y= x
Tiếp tuyến của Parabol đó tại A( )2; 4 có phương trình là y=4(x− + =2) 4 4x− 4
Suy ra thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là 2( )2 2 2( )2
2
2
32 d
5 5
x
16
x
Vậy 2( )2 2 2( )2
32 16 16
Chọn đáp án A
y
x
4
4
S
C
A
B
O
Trang 5Câu 10 Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30 ,cm thiết diện vuông góc với trục
và cách đều hai đáy có bán kính là 40 ,cm chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ) Biết
rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol,
hỏi thể tích của thùng rượu (đơn vị lít) là bao nhiêu?
A 425162 lít B 212581 lít
C 212,6 lít D 425, 2 lít
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Ox chứa trục của thùng rượu, trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng
nối hai tâm của hai đáy của thùng rượu
Khi đó mặt phẳng Oxy cắt mặt xung quanh thùng rượu là đường parabol có đỉnh thuộc Oy nên phương trình
parabol có dạng: ( ) 2
P y=ax +c
:
P y=ax +c cắt trục tung tại điểm có tung độ 40 và đi qua điểm A(50;30) nên ta có
( )
1
250
250
30 50
50 30
40
y
c
=
=
Thể tích của thùng rượu là thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi:
250
P y= − x + y= x= x= − quanh trục Ox
Vậy thể tích thùng rượu là:
−
425162, 2058cm 425, 2dm 425, 2
Chọn đáp án D
O
y
x
40
50 50
−
40
−
( 50;30 )
A
2
40 250
x
Trang 6Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn 3; 4 Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( ),
y= f x trục hoành và hai đường thẳng x=3, x = Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục 4 hoành được tính theo công thức
A
4
3
( )
4 2 3
( )
4
3
( )
4 2 3
( )
V =f x dx
Câu 2 Thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = và x0 = , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x ) là một tam giác đều cạnh 2 sin x
Câu 3 Thể tích V của vật thể nằm giữa hai đường thẳng x = và 0 x = , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt 3 bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x 3) là một hình tròn có chu vi là 2 3x+1
2
2
Câu 4 Thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = và 1 x = , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt 4 phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 x 4) thì ta được thiết diện là một hình lục giác
đều có độ dài cạnh bằng 2x
A V=63 3 B V =126 3 C V =63 3 D V =126 3
Câu 5 Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = và 0 x = , biết rằng khi cắt bởi mặt phẳng 4
tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 x 4) thì được thiết diện là nửa hình tròn có bán kính
4
R=x − x
3
3
3
3
=
Câu 6 Cho vật thể T giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0;x= Cắt vật thể 2 T bởi mặt phẳng vuông góc với
trục Ox tại x(0 x 2) ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng (x+1)e x Thể tích vật thể ( )T
bằng
A ( 4 )
13 1
4
B
4
13 1
4
e
C 2 e2 D 2e2.
Câu 7 Cho ( )T là vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0,x = Tính thể tích V của 1 ( )T biết rằng khi cắt ( )T
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng , 0 x ta được thiết diện là tam giác đều x 1
cạnh bằng 1 x+
2
8
8
2
V =
C Bài Tập Tự Luyện
Trang 7Câu 8 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = và 1 x = , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt 2
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x , (1 x 2)là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh
là x và x +2 3
A 7 7 8
3
−
3
−
3
− D 8 2−4
Câu 9 Thể tích của khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành và đường thẳng x b= (phần tô đậm
trong hình vẽ) được tính theo công thức nào dưới đây? (( )D quay quanh trục
Ox )
dx
c
b
dx
c
b
S = f x
dx
b
c
dx
b
c
S = f x
Câu 10 Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong 2
1
y= x + , trục hoành và các đường thẳng x=0; x= 1
Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
3
= B V =2 C 4
3
Câu 11 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y= , trục hoành và đường thẳng e x x=0, x= Khối tròn 1
xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A
2
2
e
V =
2
e
2
1 2
e
2
e
Câu 12 Cho hàm số x
y = có đồ thị ( )C Gọi Dlà hình phẳng giởi hạn bởi ( )C , trục hoành và hai đường thẳng 2
x = , x =3 Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay Dquanh trục hoành được tính bởi công thức:
A
2
2
3
d
x
3 3 2
d
x
3 2 2
d
x
3 2 2
d
x
V = x
Câu 13 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đườngy= ln ,x x=1,x=e y, =0 quanh trục Ox được tính bởi biểu thức nào sau đây?
A
1
ln d
e
1
ln d
e
x x
C
1
ln d
e
x x
D 2
1
ln d
e
x x
Câu 14 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 3
2 , 0, 0, 1
y= x + x y= x= x= quay xung quanh trục Ox.Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng
A 7
4
B 5
9 4
D 5 4
O
y
x
Trang 8Câu 15 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y= − + , x3 x 1 y =0, x = , 0 x = Gọi V là thể tích khối 2 tròn xoay được tạo thành khi quay ( )H xung quanh trục Ox Mệnh đề nào sau đây đúng?
3
0
1 d
2 3
0
1 d
2 3
0
1 d
0
1 d
V = x −x + x
Câu 16 Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= − +e x 4x, trục hoành và hai đường thẳng x =1
; x = Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình 2 ( )H xung quanh trục hoành Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
1
4 dx
x
1
4 dx
x
1
4 x dx
1
4 x dx
Câu 17 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
4
x
y = , y = , 0 x = , 1 x = khi quay 4
quanh trục Ox bằng
16
Câu 18 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường 2
y= , x y=2x Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( )H xung quanh trục Ox bằng
A 32
15
15
15
15
Câu 19 Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) 2
: =
đường thẳng :d y=2x quay xung quanh trục Ox
2 2
0
x − x x B
x x−x x C
2 0
x−x x
Câu 20 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
3
và trục hoành, quanh trục hoành
A 81
10
10
7
7
Câu 21 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= tanx, 0, 0,
4
y= x= x=
quay xung quanh trục Ox Thể
tích khối tròn xoay tạo thành là:
A ln 2
2
B ln 3
4
C
4
D ln 2
Trang 9Câu 22 Cho hàm số y= cosx với 0
2
, có đồ thị là ( )H như hình vẽ bên, quay hình ( )H quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?
2
4
C
4
Câu 23 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y= 2 sin+ x, trục hoành và các đường thẳng x=0; x=
Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A V =22 B V =2 ( +1) C V =2 D V =2(+1)
Câu 24 Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y=tanx, hai đường thẳng x = , 0
3
= và trục hoành
Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hoành có thể tích V là
3
V = +
B V 3 3
= − C 3
3
3
V = −
Câu 25 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường cos , 0, 0,
4
= = = = Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng ( )H quay xung quanh trục Ox bằng:
A ( 2)
4
+
8
+
8
+
2
1 4
+
Câu 26 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số bậc ba y= f x( ) và
các trục tọa độ là S =32(hình vẽ bên) Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo
thành khi quay hình phẳng trên quanh trục Ox
A 3328
35
5
C 13312
35
5
Câu 27 Một khối cầu có bán kính là , người ta cắt bỏ hai phần của
khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc với đường kính và
cách tâm một khoảng để làm một chiếc lu (hình vẽ) Thể tích chiếc
lu là:
( )
5 dm
( )
3 dm
43
3 dm 100 ( )3
3 dm
132 dm
O
y
x
2
1
O
y
x
P
Q
K
I A
O
Trang 10Câu 28 Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh 2 2, phía ngoài hình vuông
vẽ thêm bốn đường tròn nhận các cạnh của hình vuông làm đường kính (hình vẽ) Thể
tích của khối tròn xoay sinh bởi hình trên khi quay quanh đường thẳng AC bằng
A 32 4 2
3
+ B 16 2 2
3
+
3 + D 64 8 2
3
+
Câu 29 Gọi ( )H là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm
số =2 , =1−x, =0
x (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên) Thể tích của vật
thể tròn xoay tạo thành khi quay ( )H quanh trục hoành bằng
A 5 2 ln 2
3
V = −
. B
5
2 ln 2 3
V = +
.
C 2 ln 2 2
3
V = −
. D
2
2 ln 2
3
V = +
Câu 30 Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm
một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay Mặt cắt qua
trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới Biết rằng , ,
, đường cong là một phần của parabol có đỉnh là điểm Thể tích của chiếc mũ bằng:
5
20
3
2750
3 cm
3 cm
3
2050
3 cm
3 cm
O'
A A'
O B