Công thức giải toán nhanh lớp 12

HỆ THỐNG ĐÀO TẠO PHÁC ĐỒ TOÁN VỀ ĐÍCH ĐẶC BIỆT 9 + 2021 TOÀN BỘ CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN LỚP 12 HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2021 Cập nhật mới nhất Đầy đủ, chi tiết nhất Hình vẽ trình bày lại, rất.

HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2021

Cập nhật mới nhất Đầy đủ, chi tiết nhất Hình vẽ trình bày lại, rất đẹp

Ẵm trọn mục tiêu 8 điểm

ngochuyenlb.edu.vn App mobile “Ngọc Huyền LB” (IOS/Android)

facebook.com/ngochuyenlb

Chủ đề 1: Các công thức giải nhanh về Hàm số và ứng dụng của đạo hàm 3

Chủ đề 2: Các công thức giải nhanh về Lũy thừa – mũ và logarit 10

Chủ đề 3: Các công thức giải nhanh về Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng 12

Chủ đề 4: Các công thức giải nhanh về Số phức 18

Chủ đề 5: Các công thức giải nhanh về Khối đa diện 19

Chủ đề 6: Các công thức giải nhanh về Mặt cầu – mặt trụ – mặt nón 22

Chủ đề 7: Các công thức giải nhanh về Phương pháp tọa độ trong không gian 27

MỤC LỤC

Tổng hợp Công thức giải nhanh Toán 12 Chủ đề 1: Hàm số

CHỦ ĐỀ 1: CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH VỀ HÀM SỐ

VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Vấn đề 01: Số điểm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

1 Số điểm cực trị của hàm số y f x bằng tổng số điểm cực trị của hàm số   y f x  và số nghiệm đơn (nghiệm bội lẻ) của phương trình f x 0. Hay nói cách khác: Bằng tổng số điểm cực trị của hàm số

 



y f x và số lần đổi dấu của hàm số yf x 

2 Số điểm cực trị của hàm số y f x bằng   2a1, trong đó a là số điểm cực trị dương của hàm số

1 Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị:  y b23ac0

2 Hàm số đồng biến trên khi

8 Trong các tiếp tuyến của  C , tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất khi a0; và

là tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất khi a0.

a.hai điểm cực trị x x trái dấu 1, 2 là phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt trái

dấu, tức ac0

b hai điểm cực trị x x cùng dấu 1, 2

là phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, tức

2

1 2

03

c hai điểm cực trị x x thỏa mãn 1, 2 x1  x 2 là x1 x2   0

d hai điểm cực trị x x thỏa mãn 1, 2 x1x2  là   

10 Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

a A x y A; A và B x y B; B nằm cùng phía, hoặc

khác phía so với đường thẳng :ax by c  0

* Điều kiện nằm cùng phía

ax Aby Ac ax Bby B c 0

* Điều kiện nằm khác phía

ax Aby Ac ax Bby B c 0

b nằm cùng phía, hoặc khác phía so với trục Oy

* Điều kiện nằm cùng phía: Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu hay phương trình y 0 có hai

nghiệm phân biệt x x cùng dấu (công thức 1, 2 6.b)

* Điều kiện nằm khác phía: Hàm số có có hai điểm cực trị trái dấu hay phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt x x trái dấu (công thức 1, 2 6.b)

c hai điểm cực trị đều nằm phía trên trục Ox

là phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt

d hai điểm cực trị đều nằm phía dưới trục Ox

là phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt

Tổng hợp Công thức giải nhanh Toán 12 Chủ đề 1: Hàm số

e hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục Ox

là phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt

1, 2

x x và y CĐ.y CT 0 ;

hoặc đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân

biệt  Phương trình hoành độ giao điểm

 0

f x có ba nghiệm phân biêt

f hai điểm cực trị A và B đối xứng nhau qua

  ; lập thành cấp số

nhân nếu một nghiệm là 3 d

x a

 

10 Cách nhận diện đồ thị hàm số bậc ba:

a Để xác định của a ta chú ý đến hình dáng của đồ thị hàm số Đồ thị đi lên ở bên phải thì a0.

Đồ thị đi xuống ở bên phải thì a0.

b Để xác định dấu của b ta chú ý vào vị trí của điểm uốn và hoành độ tương ứng là

3

b x a

x = – b

3a

Hình dáng đồ thị cho dấu

của tham số a

O

S , bán kính đường tròn nội tiếp

là 

 

2S

r

a b c , trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác.

6 Một số điều kiện về tam giác ABC

Dữ kiện Công thức thỏa mãn ab 0

8a b 0

c Tam giác ABC có diện tích SABC S cho trước 0 3 2 5 

b a

Tổng hợp Công thức giải nhanh Toán 12 Chủ đề 1: Hàm số

g Tam giác ABC có độ dài cạnh BC m cho trước  0 2 

j Tam giác ABC có ba góc nhọn b8a b 30

k Tam giác ABC nhận O làm trọng tâm b26ac

n Tam giác ABC nhận O làm tâm đường tròn nội tiếp b38a4abc0

o Tam giác ABC nhận O làm tâm đường tròn ngoại tiếp 3  

p Tam giác ABC có cạnh BC kAB kAC   b k3 28a k 240

q Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng

c c là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

2 Hàm số đồng biến trên D nếu ad bc   0, d D

c và nghịch

biến trên D nếu ad bc 0, d D

c

3 Tiếp tuyến với tiệm cận

* Tiếp tuyến tại M thuộc đồ thị hàm phân thức cắt các tiệm

cận tại A và B thì M là trung điểm của AB

* Khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng: d1 1 cx Md

c với I là giao điểm của hai đường tiệm cận

* Diện tích tam giác IAB không đổi và S IAB 22 ad bc

* Điểm M thỏa mãn một trong các yếu tố: Tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ

nhất/ Khoảng cách IM ngắn nhất/ Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại M đạt GTLN/ Tiếp tuyến tại M vuông góc với IM/ Tam giác IAB vuông cân/ Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất/ AB nhỏ nhất/ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất/ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ nhất thì

điểm M đó phải thỏa mãn tính chất        2  

1

* Các bài toán:

- Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của  C sao cho MN nhỏ nhất

- Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của  C sao cho tiếp tuyến của  C tại M, N song

song và khoảng cách giữa hai tiếp tuyến lớn nhất

 Đều có chung một lời giải trắc nghiệm là giải phương trình y  1 Tìm được hoành độ của M, N

3 Cách nhận diện đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Tổng hợp Công thức giải nhanh Toán 12 Chủ đề 1: Hàm số

Vấn đề 05: Các kiến thức cơ bản về phương trình, bất phương trình

3 ax2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt dương khi  0,S0,P0

ax2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt âm khi  0,S0,P0

ax2bx c 0 có hai nghiệm trái dấu khi P0

4 ax2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt x1x2  khi    1 2

ax2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt x1  x2 khi  0,x1 x2   0

ax2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt x1    x2 khi  

CHỦ ĐỀ 2: CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH VỀ

LŨY THỪA – MŨ VÀ LOGARIT

Vấn đề 01: Đồ thị hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

y a luôn đi qua điểm I 0;1

và có tiệm cận ngang là trục hoành Ox

* Đồ thị hàm số y x  luôn đi qua điểm I 1;1

Vấn đề 02: Bài toán lãi suất

1 Lãi đơn: Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra

Bài toán: Khách hàng gửi vào ngân hàng a đồng với lãi đơn r%/ kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được

Tổng hợp Công thức giải nhanh Toán 12 Chủ đề 2: Mũ – logarit

2 Lãi kép: Tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau

Bài toán: Khách hàng gửi vào ngân hàng a đổng với lãi kép r%/ kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được

cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn n  là  1 n

n

3 Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào một thời gian cố định

Bài toán: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền a đồng với lãi kép r%/ tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng n  (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là        

n n

* Số tiền còn lại sau n tháng là  1   .1  1

n n

Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là r %

m thì số tiền thu được sau n

CHỦ ĐỀ 3: CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH VỀ NGUYÊN HÀM –

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Vấn đề 01: Bảng nguyên hàm thường gặp và bảng nguyên hàm mở rộng

1 Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp

Tổng hợp Công thức giải nhanh Toán 12 Chủ đề 3: Tích phân

C a

C a

Q x với P x và   Q x là đa thức của x  

a Nếu bậc của P x lớn hơn hoặc bằng bậc của   Q x thì ta dùng phép chia đa thức  

b Nếu bậc của P x nhỏ hơn bậc của   Q x thì ta có thể xét các trường hợp:  

* Khi Q x 0 chỉ có các nghiệm đơn x x1, 2, ,x thì sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số tìm n

Tổng hợp Công thức giải nhanh Toán 12 Chủ đề 3: Tích phân

x x

b Tích phân dạng x ma bx npdx với a,b là các số thực; m,n,p là các số hữu tỉ

* Nếu p nguyên thì ta đặt t N x N là mẫu số chung của m và n ,

Vấn đề 04: Một số tính chất đặc biệt của tích phân

1 Nếu f x là hàm chẵn và liên tục trên đoạn   a a thì ;       

Tổng hợp Công thức giải nhanh Toán 12 Chủ đề 3: Tích phân

;1

quay quanh a

  2 2

43

CHỦ ĐỀ 4: CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH VỀ SỐ PHỨC

1 Nếu quỹ tích của M z là đường tròn tâm   I a b bán kính R đồng thời môđun của số phức cần tìm  ;

4 z là một số thực nếu zz và z là một số thuần ảo nếu z z

5 Nếu az2bz c 0với , ,a b c có hai nghiệm phức thực sự z z thì đây là hai số phức liên hợp của 1; 2nhau, đồng thời z12 z22 z z1 2 c

z là số thuần ảo thì OMM là tam giác vuông tại O 

10 Nếu cho số phức z thỏa mãn z z 1  z z2 2a z1z2 2 ; ,a z z1 2  c ci,  Để tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z z0 ta áp dụng bảng công thức tính nhanh dưới đây:

1 2 0

max

2min

2

Tổng hợp Công thức giải nhanh Toán 12 Chủ đề 5: Khối đa diện

CHỦ ĐỀ 5: CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH VỀ KHỐI ĐA DIỆN

Vấn đề 01: Những điều cần nhớ về đa diện

Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại MPĐX

SABC

a b a

V  

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng

a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 

3

. tan24

S ABC

a

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng

a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 

3

. tan12

S S V

ABCD

3 cot cot cot ABC

Cho hình chóp đều SABCD có cạnh bên

bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng   

3

3 2

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy

bằng a và góc ở đáy của mặt bên bằng  với

Khi đó thể tích của tứ diện tạo bởi 4 đỉnh bất kì không đồng phẳng là

1 Cắt khối chóp bởi một mặt phẳng song song với đáy

Xét khối chóp S A A 1 2 A Mặt phẳng n   song song với đáy và cắt cạnh

1

SA tại điểm M thỏa mãn 

1

SM k

SA Khi đó   chia khối chóp ban đầu

thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V 

và 

 3

V

k

V (V là thể tích khối chóp ban đầu).

2 Cắt khối lăng trụ tam giác bởi một mặt phẳng

Cho khối lăng trụ ABC A B C có thể tích V Mặt phẳng      cắt các cạnh

Tổng hợp Công thức giải nhanh Toán 12 Chủ đề 5: Khối đa diện

4 Cắt khối chóp tứ giác (đáy là hình bình hành) bởi một mặt phẳng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Mặt phẳng   cắt 4

cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại bốn điểm M, N, P, Q sao cho:

1 1 1 14

CHỦ ĐỀ 6: CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH VỀ MẶT CẦU –

MẶT TRỤ – MẶT NÓN

Vấn đề 01: Mặt trụ, khối trụ

Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Hình 5

1 Hình 1:

* Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính R

* Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trong đó AB  2 R và AD h Nếu thiết diện qua trục

5 Hình 5: Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ thì đường chéo của hình vuông cũng bằng

đường chéo của hình trụ Nghĩa là: Đường chéo hình vuông bằng 4R2h2

Tổng hợp Công thức giải nhanh Toán 12 Chủ đề 6: Mặt cầu - trụ - nón

* Thiết diện vuông góc trục cách đỉnh một khoảng x cắt hình nón theo một đường tròn có bán kính là r

* Nếu h là chiều cao của hình nón ban đầu thì ta có tỉ số: r x

Rh

* Thiết diện chứa trục là một tam giác cân

* Nếu tam giác đó vuông cân thì h R Nếu tam giác đó là tam giác đều thì h R 3

2 Hình 2:

+ Thiết diện đi qua đỉnh mà không chứa trục cắt hình nón theo một tam giác cân SAB:

+ (SO,(SAB)̂ ) = OSM ̂ , ((SAB),(ABC)̂ ) = SMÔ

+ Nếu M là trung điểm của AB thì ABSMO

đường tròn ngoại tiếp mặt đáy):

a Nếu đáy là tam giác vuông thì 1

d Nếu đáy là tam giác cân có góc 120 cạnh bên bằng a thì cạnh đáy bằng 0 a 3 còn R D a

e Nếu đáy là tam giác thường thì áp dụng công thức Herong

c Nếu đáy là hình vuông, hình O là giao điểm hai đường chéo và

là trung điểm mỗi đường

5 Mặt cầu loại 5: Nếu hai mặt vuông góc với nhau (mặt bên vuông

góc mặt đáy) thì 2  2 2 2

4

AB

R R R trong đó AB là giao tuyến

6 Mặt cầu loại 6: Chóp S ABC tổng quát có chiều cao SH và tâm đáy

c Cho tứ diện ABCD với các kích thước như hình vẽ bên

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là       

6

p p a a p b b p c c R

1 Mô hình tổng quát khối nón trong các khối

Khối nón  N trong khối

Tổng hợp Công thức giải nhanh Toán 12 Chủ đề 6: Mặt cầu - trụ - nón

Khối nón nội tiếp khối lập

V

2 Mô hình mặt cầu nội tiếp – ngoại tiếp các khối

Khối cầu ngoại tiếp hình

 Nếu cạnh tứ diện tăng (giảm)

n lần thì thể tích khối cầu ngoại

tiếp nó tăng (giảm) n lần 3

Tỉ số thể tích 3 3

2

c td

V

Khối cầu nội tiếp tứ diện

Khối cầu ngoại tiếp khối

chóp đều (đáy là tứ giác)

Bán kính    

 

 

2 22

c

h

Tổng hợp Công thức giải nhanh Toán 12 Chủ đề 7: Hình Oxyz

CHỦ ĐỀ 7: CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH VỀ PHƯƠNG PHÁP

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Vấn đề 01: Các vấn đề cơ bản của Oxyz

Xác định điểm thông qua hệ thức vectơ

ta được x M Tương tự như vậy nếu nhập y y ta được A, B y và nhập M z z ta được A, B z M

Xác định tọa độ các điểm đặc biệt trong tam giác

1 Tọa độ trực tâm H là nghiệm của hệ:

2 Cho BC a AC b AB c ,  ,  ta có: Chân đường phân giác trong D của góc A: bDB cDC 0

3 Cho BC a AC b AB c ,  ,  ta có: Chân đường phân giác ngoài E: bED cEC 0

4 Cho BC a AC b AB c ,  ,  ta có: Tâm nội tiếp: aIA bIB cIC  0

Chú ý: Nếu một hình hộp chữ nhật biết diện tích ba mặt thì thể tích của nó: V  S S S 1 2 3

5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng:    

Mối quan hệ song song và vuông góc

1 Mối quan hệ song song: //P P n n d d, //  u u P d, //  n u

2 Mối quan hệ vuông góc: PP n n d,   d u u P,   d n u

Nếu d  P u u A B, ,   P n AB

 

     

Cho mặt phẳng  P ax by cz d:    0 và mặt cầu     2  2 2 2

S x x  y y  z z R

1 Trường hợp 1:  P không cắt  S nếu d I P ;  R

2 Trường hợp 2:  P tiếp xúc với  S nếu d I P ;  R và khi đó tiếp điểm sẽ là hình chiếu vuông góc

của tâm I trên mặt phẳng  P

3 Trường hợp 3:  P cắt mặt cầu S theo một đường tròn giao tuyến khi d I P ;  R Khi đó tâm đường

tròn sẽ là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mặt phẳng  P đồng thời bán kính r của đường tròn thỏa

mãn hệ thức:     2

R r  d I P 

Tương giao đường thẳng và mặt cầu

1 Đường thẳng d cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt

Giả sử mặt phẳng  P qua M và cắt các trục tọa độ tại A a ;0;0 , B 0; ;0 ,b  C 0;0; c Khi đó: 

1 Nếu M là trọng tâm tam giác ABC thì: a3x M,b3y M,c3z M

2 Nếu M là trực tâm của tam giác ABC thì OM n  P

3 Nếu V O ABC. min thì M là trọng tâm của tam giác ABC

4 Nếu 12 12 12

OA OB OC min thì M là trực tâm của tam giác ABC

5 Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là ; ;

Vấn đề 02: Các bài toán cực trị trong Oxyz

1 Viết  P chứa d sao cho (d',(P)̂ ) lớn nhất: n P  u d,u u d, d

2 Viết d nằm trong  P sao cho (d,̂ ) nhỏ nhất: d' u d  n P,n u P, d

3 Viết  P chứa d sao cho ((P),(Q)̂ ) nhỏ nhất: n P  u d,u n d, Q

4 Viết d nằm trong  P và qua A sao cho d M d nhỏ nhất:  ,  u d n P,n AM P, 

5 Viết  P chứa d sao cho d M P ,   lớn nhất: n P u d,u AM d,  với A bất kỳ trên d

6 Viết d nằm trong  P và qua A sao cho d M d lớn nhất:  ,  u d n AM P, 

Chú ý về tam diện vuông:

Tổng bình phương diện tích các mặt bên bằng bình phương diện tích mặt còn lại: