Tổng hợp công thức Động lực học và điều khiển

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP Trang 1 MỤC LỤC CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE 3 1 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN NẮM VỀ ĐỘNG LỰC HỌC 4 1 2 PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE 5 1 3 TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA M.

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE 3

1.1 CÁC KIẾN THỨC CẦN NẮM VỀ ĐỘNG LỰC HỌC 4

1.2 PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE 5

1.3 TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA MỘT SỐ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE 6

CHƯƠNG 2: HÀM TRUYỀN ĐẠT 14

2.1 ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 15

2.2 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU 19

2.3 HÀM TRUYỀN ĐẠT 21

2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA MẠCH ĐIỆN 22

2.5 HÀM TRUYỂN ĐẠT CỦA HỆ MASS – SPRING - DAMPER 26

CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH HÓA TRONG MIỀN THỜI GIAN 28

3.1 TÌM PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI CHO HỆ CƠ 30

3.2 TÌM PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI CHO HỆ ĐIỆN 31

3.3 TÌM PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI TỪ HÀM TRUYỀN CÓ TỬ LÀ HẰNG SỐ 32

3.4 TÌM PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI TỪ HÀM TRUYỀN CÓ TỬ LÀ HÀM 33 CHƯƠNG 4: THỜI GIAN ĐÁP ỨNG 34

4.1 ĐỒ THỊ ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ CỦA HỆ THỐNG 35

4.2 THỜI HẰNG 35

4.3 THỜI GIAN LÊN 35

4.4 THỜI GIAN XÁC LẬP 35

4.5 HỆ THỐNG BẬC 2 36

4.6 CÁC THÔNG SỐ CƠ BẢN 37

4.7 CÔNG THỨC ĐỐI VỚI CƠ HỆ 39

4.8 ĐÁNH GIÁ VIỆC LOẠI BỎ POLE – ZERO BẰNG CÁCH SỬ DỤNG DƯ LƯỢNG 39

4.9 BIẾN ĐỔI LAPLACE TỪ PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 40

CHƯƠNG 6: KHẢO SÁT ĐỘ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 41

6.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 42

6.2 PHƯƠNG PHÁP MẶT PHẲNG PHỨC 42

6.3 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ ROUTH - HURWITZ 44

6.4 PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ 47

CHƯƠNG 7: SAI SỐ XÁC LẬP 53

7.1 SAI SỐ XÁC LẬP CỦA VÒNG KÍN 54

7.2 CÁC HỆ SỐ 54

7.3 CÁC LOẠI SAI SỐ XÁC LẬP 55

7.4 SAI SỐ XÁC LẬP KHI CÓ TÁC ĐỘNG NGOẠI 56

7.5 SAI SỐ XÁC LẬP CỦA HỆ THỐNG Ở MIỀN KHÔNG GIAN 56

CHƯƠNG 12: THIẾT KẾ THÔNG QUA MIỀN KHÔNG GIAN 58

12.1 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN 59

12.2 KHẢ NĂNG ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC 62

12.3 THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT 62

12.4 KHẢ NĂNG QUAN SÁT ĐƯỢC 64

12.5 SAI SỐ XÁC LẬP CỦA THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN 64

1.1 CÁC KIẾN THỨC CẦN NẮM VỀ ĐỘNG LỰC HỌC

1.1.1 Động năng tịnh tiến: Tồn tại khi bất kỳ vật nào có khối lượng và chuyển động

21

1

2 

với I (kg.m ) là moment quán tính của cơ hệ 2

Hình 1 1: Moment quán tính của một số vật thể

1.1.3 Thế năng trọng trường:

PmghThế năng trọng trường mang tính tương đối Trong trường hợp hai vật cùng có khối lượng như nhau nhưng khác vật liệu thì sẽ mang năng lượng khác nhau

1.1.4 Thế năng đàn hồi:

2 e

1

2



1.1.4 Phân tích động lực học trong các trường hợp cụ thể:

Trường hợp 1: Lấy sợi chỉ mỏng buộc vào hòn đá sau đó cầm đầu còn lại sợi chỉ và quay vòng tròn

Do cơ hệ có chuyển động quay quanh tâm nên sẽ tồn tại động năng tịnh tiến (với tiếp tuyến từng điểm trên quỹ đạo tròn) Còn sợi chỉ mỏng (không xét đến kích thước hình học) nên sẽ không tồn tại moment quán tính cũng như động năng quay

Trường hợp 2: Lấy thanh kim loại dày một đầu kẹp hòn đá sau đó cầm đầu còn lại thanh kim loại và quay vòng tròn

Do cơ hệ có chuyển động quay quanh tâm nên sẽ tồn tại động năng tịnh tiến Còn thanh kim loại dày có kích thước hình học đáng kể nên tồn tại moment quán tính và động năng quay

Trường hợp 3: Xe máy đang chạy thẳng trên quốc lộ

Do xe chuyển động thẳng nên chỉ tồn tại động năng tịnh tiến và không có động năng quay (động năng quay chỉ xuất hiện trong trường hợp xe vào cua)

1.2 PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE

1.2.1 Định nghĩa:

Ở những môn học trước, ta đã biết rằng có nhiều phương pháp để viết phương trình

chuyển động của một cơ hệ như Định luật III Newton, Nguyên lý D’Alembert, Nguyên

lý công ảo,… Mặc dù những phương pháp này có thể giúp ta giải quyết được những bài

toán từ cơ bản đến phức tạp nhưng lại mất khá nhiều thời gian để có thể giải quyết và hay dẫn đến những sai lầm trong quá trình giải Trong môn học này, ta sẽ đến với một phương pháp mới để có thể giải quyết được những bài toán cơ hệ nhanh chóng đó là

Phương pháp D’Alembert

Bản chất của phương pháp D’Alembert là chuyển hệ thống (cơ hệ) ban đầu thành phương trình đặc trưng (hay phương trình toán học/chuyển động/năng lượng)

1.2.2 Công thức:

Hàm Lagrange:

Là hàm thể hiện chênh lệch giữa tổng động năng và tổng thế năng của cơ hệ

L K PTrong đó:

1.3.1 Hệ vật có khối lượng và lò xo:

Hình 1 2: Hệ vật có khối lượng và lò xo

Động năng:

2 2

2 2

Hình 1 5: Hệ con lắc đôi

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Kết quả:

   

   

2

2 1



1.3.5 Hệ tay máy quay hai bậc:

Hình 1 6: Hệ tay máy quay hai bậc

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Lưu ý:

Phương trình năng lượng tổng quát của cơ hệ sau khi giải:

mxcxkx F Trong đó:

m: khối lượng vật

c: hệ số giảm chấn

k: độ cứng lò xo

F: ngoại lực tác dụng lên cơ hệ

2.4 Hàm truyền đạt của mạch điện

2.5 Hàm truyền đạt của hệ mass – spring – damper

2.1 ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.1.1 Sơ đồ khối:

Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống Sơ đồ khối gồm có ba thành phần là khối chức năng, bộ tổng và điểm rẽ nhánh:

- Khối chức năng: Tín hiệu ra của khối chức năng bằng tích tín hiệu vào và hàm truyền

- Điểm rẽ nhánh: Tại điểm rẽ nhánh mọi tín hiệu đều bằng nhau

- Bộ tổng: Tại điểm rẽ nhánh mọi tín hiệu đều bằng nhau

Hình 2 1: Các thành phần cơ bản của sơ đồ khối

a) Khối chức năng; b) Điểm rẽ nhánh; c) Bộ tổng

2.1.2 Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối:

Hệ thống nối tiếp:

Hình 2 2: Hệ thống nối tiếp

n i

i 1

G(s) G (s)





Hệ thống song song:

Hình 2 3: Hệ thống song song

n i

dấu “+” ứng với hồi tiếp âm và dấu “-” ứng với hồi tiếp dương

Hệ hồi tiếp nhiều vòng:

Đối với các hệ thống phức tạp gồm nhiều vòng hồi tiếp, ta thực hiện các phép biến đổi tương đương với sơ đồ khối để làm xuất hiện các dạng két nối đơn giản (nối tiếp, song song, hồi tiếp một vòng) và tính hàm truyền tương đương theo thứ tự từ trong ra ngoài

Hai sơ đồ khối được gọi là tương đương nếu hai sơ đồ khối đó có quan hệ giữa các tín hiệu vào và tín hiệu ra như nhau Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối thường dùng là:

Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía trước ra phía sau một khối:

Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía sau ra phía trước một khối:

Chuyển bộ tổng từ phía trước ra phía sau một khối:

Chuyển bộ tổng từ phía sau ra phía trước một khối:

Chuyển vị trí hai bộ tổng:

Tách một bộ tổng thành hai bộ tổng:

Không tồn tại hai phép biến đổi sau đây:

2.2 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU

2.2.1 Định nghĩa:

Để biểu diễn hệ thống tự động, ngoài phương pháp sử dụng sơ đồ khối, ta còn có thể

sử dụng phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu

Hình 2 5: Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ dòng tín hiệu

a) Sơ đồ khối; b) Sơ đồ dòng tín hiệu

Sơ đồ dòng tín hiệu là một mạng gồm các nút và nhánh:

- Nút: một điểm biểu diễn một biến hay tín hiệu trong hệ thống

- Nhánh: đường nối trực tiếp hai nút, trên mỗi nhánh có mũi tên chỉ chiều truyền của

tín hiệu và có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ giữa tín hiệu ở hai nút

- Nút nguồn: nút chỉ có các nhánh hướng ra

- Nút đích: nút chỉ có các nhánh hướng vào

- Nút hỗn hợp: nút có cả các nhánh ra và các nhánh vào Tại nút hỗn hợp, tất cả các

tín hiệu ra đều bằng nhau và bằng tổng đại số của các tín hiệu vào

- Đường tiến: đường gồm các nhánh liên tiếp có cùng hướng tín hiệu đi từ nút nguồn

1



trong đó:

k

P : độ lợi của đường tiến thứ k

: định thức của sơ đồ dòng tín hiệu:

- Có thể gộp hai bộ tổng liền nhau thành một nút

- Có thể gộp một bộ tổng và một điểm rẽ nhánh liền sau nó thành một nút

- Không thể gộp một điểm rẽ nhánh và một bộ tổng liền sau nó thành một nút

Ví dụ 2.1: Tìm hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau:

Sơ đồ dòng tín hiệu tương đương của hệ thống như sau:

Độ lợi của các đường tiến:

Hàm truyền G(s) của một hệ thống là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra C(s) và biến đổi Laplace của tín hiệu vào R(s) khi điều kiện đầu bằng 0

ta có thể dùng hàm truyền để mô tả hệ thống Nói cách khác dựa vào hàm truyền ta có thể đánh giá được đặc tính của hệ thống tự động

2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA MẠCH ĐIỆN

2.4.1 Biến đổi Laplace trở kháng của các khâu thụ động:

Tụ điện có điện dung C: C 1

Phương trình dòng mắt lưới tại vòng mắt lưới i:

   

I Z  I Z V i  jtrong đó:

 : tổng điện áp trong lưới i

Ví dụ 2.2: Viết phương trình dòng mắt lưới của mạch điện sau:

Phương pháp điện thế nút sử dụng các phương trình tại các nút của định luật Kirchoff

về dòng điện (KCL) để tìm các hiệu điện thế xung quanh mạch Nếu có n nút trong mạch thì sẽ có n 1 phương trình độc lập và chỉ những phương trình này là đủ để mô tả và giài được mạch

Tại mỗi điểm nút, viết phương trình KCL, sau đó biểu thị mỗi dòng điện trong phương trình theo điện áp trên nhánh chứa dòng điện đó Ứng với phương trình tại nút bất kỳ i, điện áp tại nút i sẽ được làm chuẩn và các điện áp j có liên quan đến nút i sẽ được đo liên quan đến nút i này

Ví dụ 2.3: Viết phương trình diện thế nút tại hai nút 𝑉𝐿 và 𝑉𝐶 của mạch điện sau:



2.4.3 Tìm hàm truyền đạt của mạch điện chứa các khâu thụ động:

Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp dòng mắt lưới

- Thực hiện biến đổi Laplace cho các giá trị trở kháng trong mạch điện

- Ký hiệu dòng mắt lưới 𝐼𝑚𝑖 cho từng vòng

- Viết phương trình dòng mắt lưới cho từng vòng tương ứng

- Từ các phương trình dòng mắt lưới biến đổi tìm ra hàm truyền

Phương pháp 2: Thay thế nguồn áp thành nguồn dòng

- Thay thế các giá trị trở kháng trong mạch điện thành giá trị dung kháng

- Thay thế nguồn áp thành nguồn dòng

Hình 2 7: Biến đổi nguồn áp thành nguồn dòng

với j er

- Viết các phương trình KCL tại mỗi nút, lưu ý rằng I(s)  Z(s)V(s)

- Từ các phương trình thực hiện biến đổi tìm ra hàm truyền

Ví dụ 2.4: Tìm hàm truyền G(s)V (s) / V(s)C của mạch điện sau:

Chuyển đổi toàn bộ giá trị trở kháng trong mạch thành giá trị dung kháng theo biến đổi Laplace và thay thế nguồn áp thành nguồn dòng tương đương

G Gs

2.5 HÀM TRUYỂN ĐẠT CỦA HỆ MASS – SPRING - DAMPER

Chương 3

MÔ HÌNH HÓA TRONG MIỀN THỜI GIAN

Nội dung:

3.1 Tìm phương trình trạng thái cho hệ cơ

3.2 Tìm phương trình trạng thái cho hệ điện

3.3 Tìm phương trình trạng thái từ hàm truyền có tử số là hằng số

3.4 Tìm phương trình trạng thái từ hàm truyền có tử là hàm

𝑑𝑡 = 𝑖(𝑡)𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢

] , 𝐵 = [01

𝐿] , 𝑢 = 𝑣(𝑡)

3.1 TÌM PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI CHO HỆ CƠ

Hình 3 2: Cơ hệ lò xo - giảm chấn - khối lượng

𝑀2]𝑓(𝑡)

3.2 TÌM PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI CHO HỆ ĐIỆN

𝑥̇ = [

𝑣𝐶̇1

𝑖𝐿

𝑣𝐶̇2] =

𝑦 = [1 0 0] [

𝑥1

𝑥2

𝑥3]

3.4 TÌM PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI TỪ HÀM TRUYỀN CÓ TỬ LÀ HÀM

𝑦 = [2 7 1] [

𝑥1

𝑥2

𝑥3]

Chương 4

THỜI GIAN ĐÁP ỨNG (TIME RESPONSE)

4.7 Công thức đối với cơ hệ

4.8 Đánh giá việc loại bỏ pole – zero bằng cách sử dụng dư lượng

4.9 Biến đổi Laplace từ phương trình trạng thái

𝑇𝑐 = 1

𝑎

4.3 THỜI GIAN LÊN

Thời gian lên (Rise Time) là thời gian để c(t) tăng từ 10% đến 90% giá trị xác lập

Natural response: 𝑐𝑛(𝑡) = 𝐴𝑒−𝜎 𝑑 𝑡cos(𝜔𝑑𝑡 − 𝜙)

4.5.3 Không giảm chấn (Undamped):

Poles: 2 cực ảo là ±𝑗𝜔1

Natural response: 𝑐𝑛(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔1𝑡 − 𝜙)

4.5.4 Giảm chấn tới hạn (Critically damped):

4.6.3 Thời gian lên đỉnh:

𝑐𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 × 100

4.6.5 Tần số tắt dần của dao động:

𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜁2

𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝜁

4.6.6 Tần số tắt dần lũy thừa:

𝜎𝑑 = 𝜁𝜔𝑛

Lưu ý: Các công thức trên chỉ áp dụng cho hệ thống có 2 pole và ko có zero Để áp

dụng các công thức trên cho hệ thống có nhiều hơn 2 pole hoặc có zero ta cần chuyển về gần đúng là hệ thống bậc 2 với 2 cực:

Với hệ thống 3 cực với cắp cực phức −𝜁𝜔𝑛± 𝑗𝜔𝑛√1 − 𝜁2 và cực thực thứ 3 −𝛼𝑟:

𝐶(𝑠) = 𝐴

𝑠 +

𝐵(𝑠 + 𝜁𝜔𝑛) + 𝐶𝜔𝑑(𝑠 + 𝜁𝜔𝑛)2+ 𝜔𝑑2 +

𝐷

𝑠 + 𝛼𝑟Phương trình trong miền thời gian:

𝑐(𝑡) = 𝐴𝑢(𝑡) + 𝑒−𝜁𝜔𝑛 𝑡(𝐵𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 + 𝐶𝑠𝑖𝑛𝜔𝑑𝑡) + 𝐷𝑒−𝛼𝑟 𝑡

4.7 CÔNG THỨC ĐỐI VỚI CƠ HỆ

𝐺(𝑠) =

1𝐽

Cho 𝐴𝑛×𝑛 có 𝐷 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴) và 𝐷𝑖𝑗 là định thức con của D bỏ đi hàng i cột j

6.3 Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh - Hurwitz

6.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

6.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH

Hệ thống được gọi là ở trạng thái ổn định nếu tín hiệu đầu vào bị chặn thì đáp ứng của

hệ cũng bị chặn (Bounded Input Bounded Ouput - BIBO)

Một trong những yêu cầu tiên quyết đối với một hệ thống điều khiển tự động là hệ thống phải giữ được trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh hưởng của nhiễu lên hệ thống

Phân biệt được ba trạng thái cân bằng: tuyệt đối ổn định (Hình 6.1b và d), ổn định có điều kiện (Hình 6.1a) và không ổn định (Hình 6.1c)

Pole (cực) là nghiệm của phương trình A(s)0 Đó có thể là nghiệm thực cũng có thể

là nghiệm phức liên hợp và được gọi là nghiệm cực của hệ thống Đa thức mẫu số hàm truyền đạt là A(s) có bậc n do đó hệ thống có n nghiệm cực pjj 1, n 

Ổn định của hệ thống chỉ phụ thuộc vào nghiệm cực mà không phụ thuộc vào nghiệm zero, do đó mẫu số hàm truyền đạt là A(s) 0 được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thống

Vùng ổn định của hệ thống là nửa trái mặt phẳng phức số S (Hình 6.2) Đáp ứng quá độ

có thể dao động hoặc không dao động tương ứng với nghiệm của phương trình đặc trưng

là nghiệm phức hay nghiệm thực

Ổn định Tất cả nghiệm pi  a bj của phương trình đặc trưng đều có phần

thực âm (các nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức):

i

p | a 0

Không ổn định Tồn tại dù chỉ một nghiệm cực có phần thực dương (một nghiệm

phải) còn lại các nghiệm đều có phần thực âm (nghiệm trái):

- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh – Hurwitz

- Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

6.3 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ ROUTH - HURWITZ

s 4s 5s 2s 1 0 Chưa kết luận được

6.3.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh:

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

a s a s    a sa 0Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập

bảng Routh theo quy tắc:

Phát biểu tiêu chuẩn Routh:

Điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái

mặt phẳng phức là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương Số lần

đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức

Ví dụ 6.1: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:

6.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz:

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

a s a s    a sa 0Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập

ma trận Routh theo quy tắc:

- Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n n

- Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a đến 1 a n

- Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu bên trái đường chéo

- Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẵn theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu bên trái đường chéo

Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz:

Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương

Ví dụ 6.2: Cho hệ thống tự động có phương trình đặc trưng là:

s 4s   3s 2 0Hỏi hệ thống có ổn định không?

6.4 PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ

6.4.1 Khái niệm:

Xét hệ thống có phương trình đặc trưng:

2

s 4s K 0Nghiệm của phương trình đặc trưng ứng với các giá trị khác nhau của K:

Hình 6 3: Quỹ đạo nghiệm số

Vẽ các nghiệm của phương trình đặc trưng tương ứng với các giá trị của K lên mặt phẳng phức Nếu cho K thay đổi liên tục từ 0 đến +∞, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình tạo thành đường đậm nét như hình 6.3 Đường dậm nét đó gọi là quỹ đạo nghiệm số

Định nghĩa:

Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 → ∞