ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Bài tập lớn GT2 soạn bằng latex, có vẽ hình 2D bằng tikz đầy đủ, danh mục hình ảnh, bảng biểu, mục lục, tài liệu tham khảo chuẩn báo cáo, báo cáo này đã đạt 10 điểm, bao gồm file .tex của báo cáo để tham khảo code latex được lập trình như thế nào (bìa BTL, bảng biểu, hình đồ thị 2D, heading, mục lục tự động, tài liệu tham khảo,...)
Chương 1 Hàm nhiều biến
Định nghĩa hàm nhiều biến
Cho D là tập con củaR 2 Hàm 2 biến f(x, y) là ánh xạ f : D −→ R
Miền xác định của hàm (x, y) 7→ f(x, y) = z là tập hợp tất cả các giá trị của (x, y) làm cho biểu thức của hàm có nghĩa Miền giá trị của hàm là tập hợp tất cả các giá trị mà hàm có thể nhận được Đồ thị của hàm f với miền xác định D là tập hợp tất cả các điểm M(x, y, z) trong R³ sao cho (x, y) thuộc miền D và z bằng giá trị của hàm tại điểm đó.
Hình 1.1 Đồ thị của hàm Định nghĩa 1.4 Đường mức của hàm 2 biến f(x, y) là đường cong f(x, y) = k (k là hằng số tùy ý thuộc tập giá trị của hàm) trong mặt phẳng Oxy.
Hình 1.2 Đồ thị đường mức
• Như vậy: trên đồ thị của hàm tập hợp các điểm có cùng độ cao bằng k thỏa phương trình đường mức f(x, y) =k.
• Đường mức f(x, y) = k là hình chiếu của giao tuyến của đồ thị của hàm với mặt phẳng z =k.
• Tính chất: các đường mức không cắt nhau.
• Ứng dụng trong thực tế: địa lý (nhiệt độ, độ cao, ),
Ví dụ: trong địa lý để biểu thị độ cao của quả đồi người ta sử dụng đường mức.
Khi tập hợp các đường mức của hàm hai biến được nâng lên ở các độ cao khác nhau, chúng ta có thể hình dung rõ ràng về đồ thị của hàm số Đặc biệt, các đường mức thể hiện các giá trị của hàm tại các điểm khác nhau, giúp ta hiểu rõ hơn về đặc điểm của đồ thị hàm số hai biến Việc phân tích các đường mức không những hỗ trợ trong việc hình dung trực quan mà còn giúp xác định cực trị và các điểm quan trọng của hàm Đây là phương pháp quan trọng trong việc khảo sát và trực quan hóa các hàm số nhiều biến.
Đạo hàm riêng, vi phân hàm nhiều biến
Trong định nghĩa 1.5 về đạo hàm riêng của hàm hai biến f(x, y), tại điểm (x₀, y₀) thuộc miền xác định của hàm, ta đặt g(x) = f(x, y₀) Nếu hàm g(x) có đạo hàm tồn tại tại x = x₀, thì ta gọi đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm f tại điểm (x₀, y₀) và ký hiệu là ∂f/∂x |_(x₀, y₀).
Trong toán học, đạo hàm riêng của hàm số tại một điểm được định nghĩa bằng đạo hàm theo biến đó trong khi các biến khác được coi như các hằng số Cụ thể, đạo hàm riêng của hàm \(f(x, y)\) theo biến \(x\) tại điểm \((x_0, y_0)\) được ký hiệu là \(\frac{\partial x}{\partial x} = D_x f(x_0, y_0) = g'(x_0)\) Đối với các hàm nhiều biến hơn hai biến, ta cũng áp dụng quy tắc tương tự, trong đó khi tính đạo hàm riêng theo một biến nào đó, ta xem tất cả các biến còn lại là hằng số, giúp đơn giản hóa quá trình đạo hàm.
Các đạo hàm riêng của hàm n biến x 1 , x 2 , , x n (nói chung) lại là các hàm n biến x 1 , x 2 , , x n Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng của hàm f(x, y) tại (a, b):
Gọi S là mặt cong z =f(x, y) Xét trong mặt phẳngy =y 0 : C 1 là giao tuyến của mặt phẳng với mặt S thì phương trình C 1 là z = f(x, y 0 ), T 1 là tiếp tuyến của C 1 tại
P(x 0 , y 0 )thì đạo hàm f x ′ (x 0 , y 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến T 1
Tốc độ biến thiên của đường cong C₁ tại điểm x = x₀ là giá trị phản ánh sự thay đổi của hàm số tại thời điểm đó Đây chính là hệ số góc của đường cong tại điểm cụ thể trên mặt cong S theo phương Ox Hiểu rõ điều này giúp chúng ta nắm bắt được tính chất và hành vi của đồ thị trong phạm vi phân tích.
Hình 1.3 Đồ thị tiếp tuyến theo phương Ox
Tương tự cho đạo hàm riêng theo y:
Trong mặt phẳng xz, đường cắt của mặt phẳng với mặt S là đường cong C₂, có phương trình z = f(x₀, y) Tại điểm P(x₀, y₀), tiếp tuyến T₂ của C₂ có hệ số góc bằng đạo hàm partial của hàm số f theo y, tức là f_y′(x₀, y₀) Điều này cho thấy đạo hàm f_y′(x₀, y₀) xác định chính xác hệ số góc của tiếp tuyến T₂ tại điểm P.
Trong bài viết này, ta hiểu rằng f y (x0, y0) thể hiện tốc độ biến thiên của đường cong C2 tại thời điểm y = y0, đóng vai trò là hệ số góc của đường cong tại điểm đó Tốc độ biến thiên này phản ánh sự thay đổi của hàm số theo phương Oy tại điểm đã cho, giúp ta hiểu rõ hơn về độ dốc và hướng của đường cong tại điểm cụ thể Việc xác định hệ số góc tại điểm trên mặt phẳng S là yếu tố quan trọng trong phân tích đồ thị và ứng dụng trong các lĩnh vực toán học, kỹ thuật, và vật lý.
Hình 1.4 Đồ thị tiếp tuyến theo phương Oy
Mặt cong S có phương trình z = f(x, y) và tại điểm P(x0, y0, z0) trên mặt cong, tồn tại hai giao tuyến với hai mặt phẳng x = x0 và y = y0, đó là các tiếp tuyến T1 và T2 Qua hai tiếp tuyến này, ta xác định được một mặt phẳng gọi là tiếp diện của mặt cong tại điểm P Tiếp diện đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu đặc điểm và hình dạng của mặt cong tại điểm cụ thể Hiểu rõ về tiếp diện giúp chúng ta phân tích các đặc trưng hình học và tính chất của mặt cong một cách chính xác hơn.
Phương trình tiếp diện có dạng: z−z 0 =a(x−x 0 ) +b(y−y 0 ) Giao tuyến của tiếp diện với mặt phẳng y=y 0 làT 1 , có phương trình là: z−z 0 =a(x−x 0 )⇒a=f ′ x (x 0 , y 0 ) Tương tự: b=f y ′ (x0, y0)
Hình 1.5 Đồ thị tiếp diện của mặt cong có tiếp điểm P
Vậy phương trình tiếp diện là: z−z0 =f x ′ (x0, y0).(x−x0) +f y ′ (x0, y0).(y−y0)
Cho hàm 2 biến z = f(x, y), ta cho 2 biến x, y các số gia ∆x,∆y thì số gia tương ứng của hàm là∆f, được định nghĩa bằng:
∆f =f(x+ ∆x, y+ ∆y)−f(x, y) Hàm đã cho được gọi là khả vitại (x 0 , y 0 ) nếu số gia của hàm viết được ở dạng
Việc kiểm tra xem hàm có khả vi hay không theo định nghĩa thông thường khá phức tạp Do đó, ta sử dụng Định lý 1.6, cho rằng nếu hàm \(f(x, y)\) có các đạo hàm riêng theo \(x\) và \(y\) trong lân cận của điểm \((x_0, y_0)\) và các đạo hàm này liên tục tại điểm đó, thì hàm khả vi tại \((x_0, y_0)\).
Với hàm số một biến \( y = f(x) \) khả vi tại điểm \( x_0 \), vi phân được hiểu như một phép tính xấp xỉ dựa trên đạo hàm tại điểm đó và biến nhỏ \( dx \) Vi phân của hàm là \( df = f'(x) dx \), giúp xác định độ biến thiên gần đúng của hàm khi biến đổi của \( x \) Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( x_0 \) được xác định bằng công thức \( y = f(x_0) + df(x_0) \), phản ánh mối liên hệ giữa đạo hàm, vi phân và đường tiếp tuyến của hàm số.
Tương tự: Nếu hàm 2 biến z =f(x, y) khả vi tại (x 0 , y 0 ) ta cũng coi dx, dy là các biến độc lập và gọi vi phân của hàm là df =f x ′ (x, y)dx+f y ′ (x, y)dy
Ta còn gọi đó là vi phân toàn phần của hàm 2 biến z =f(x, y).
Cho dx= ∆x= x−x 0 , dy = ∆y = y−y 0 , ta được phương trình tiếp diện và xấp xỉ tuyến tính của hàm tại (x 0 , y 0 ) là: z =f(x 0 , y 0 ) +df(x 0 , y 0 ), f(x, y)≈ L(x, y) = f(x 0 , y 0 ) +df(x 0 , y 0 ) Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp hai
Hàm f(x, y) có các đạo hàm riêng (nói chung) cũng lại là các hàm 2 biến Ta định nghĩa đạo hàm cấp 2 là đạo hàm của đạo hàm riêng cấp 1.
• Đạo hàm cấp 2 theo x: f xx ′′ (M 0 ) = ∂ 2 f
• Đạo hàm cấp 2 theo y: f yy ′′ (M 0 ) = ∂ 2 f
• Đạo hàm cấp 2 theo hỗn hợp: f xy ′′ (M0) = ∂ 2 f
∂x∂y(M 0 ) = (f y ′ ) ′ x (M 0 ) Định lý 1.7 (Định Lí Schwarz:)Nếu hàm f(x, y) có các đạo hàm riêngf x ′ , f y ′ , f xy ′′ , f yx ′′ trong miền mở chứa (x 0 , y 0 ) và liên tục tại (x 0 , y 0 ) thì f xy ′′ (x 0 , y 0 ) =f yx ′′ (x 0 , y 0 ).
• Đối với các hàm sơ cấp thường gặp, định lý Schwarz đúng tại các điểm tồn tại đạo hàm.
Định lý Schwarz còn áp dụng cho các đạo hàm riêng từ cấp 3 trở lên, đảm bảo rằng các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau khi số lần lấy đạo hàm theo mỗi biến là bằng nhau Điều này có nghĩa là, không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm theo các biến, các đạo hàm hỗn hợp sẽ giữ nguyên giá trị Đây là một tính chất quan trọng trong lý thuyết đạo hàm riêng, giúp đơn giản hóa các tính toán phức tạp trong phân tích toán học.
Đạo hàm hàm hợp
Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợp được thể hiện qua Định lý 1.8, cho hàm z = z(x, y) khả vi trong miền D Khi hai biến x và y không còn độc lập mà thay vào đó là các hàm theo biến t, cụ thể x = x(t) và y = y(t), đều khả vi trong khoảng (t₁, t₂), phép tính đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợp sẽ dựa trên quy tắc chuỗi phù hợp.
Khi đó, z là hàm hợp z =z(x(t), y(t)) là hàm theo 1 biếnz =z(t) cũng khả vi trong khoảng (t 1 , t 2 ) và đạo hàm của hàm z(t) được tính bởi công thức: dz dt = ∂z
∂y dy dt Tổng quát hơn:
Cho z =z(x, y) và x=x(u, v), y=y(u, v) tức là z là hàm hợp của 2 biến u, v Ta có công thức tương tự: dz du = ∂z
Đạo hàm hàm ẩn
Cho hàm y=y(x)xác định từ phương trình hàm ẩn F(x, y) = 0 Ta tính đạo hàm y ′ bằng cách lấy đạo hàm 2 vế phương trình F(x, y) = 0 theo x.
Tính dy dx từ đẳng thức trên, ta được công thức dy dx =y ′ =−f′ x f′ y Hàm ẩn nhiều biến
Cho hàmz =z(x, y) xác định từ phương trình hàm ẩnF(x, y, x) = 0 Ta phải tính
Tương tự hàm ẩn 1 biến, ta lấy đạo hàm 2 vế phương trình hàm ẩn theo x:
Thay vào đẳng thức trên, ta rút ra đạo hàm theoxcần tìm và làm tương tự để tính đạo hàm theo y
Đạo hàm theo hướng – Vecto gradient – Vecto pháp
Nhắc lại ở phần 1.1.3: Tốc độ biến thiên của hàm f(x, y) theo hướng vecto Ox(Oy) là đạo hàm riêng theo x(y)của hàm tại 1 điểm.
Tổng quát: Tốc độ biến thiên của hàmf(x, y) theo hướng vecto bất kỳ⃗u(a, b) là gì và được tính như thế nào?
Trên mặt cong S có phương trình là z = f(x, y) lấy điểm P(x 0 , y 0 , z 0 ) Vẽ mặt phẳng đi quaP có cặp vecto chỉ phương là ⃗u(a, b), Oz.⃗
Hình 1.6 Đồ thị tiếp tuyến theo phương vecto u
Gọi giao tuyến của 2 mặt là C, tiếp tuyến với C tại P là T thì hệ số góc của tiếp tuyếnT là tốc độ biến thiên của hàm theo hướng vecto ⃗u(a.b).
Giả sử là vecto ⃗u(a, b) là vecto đơn vị Lấy Q(x, y, z) trên mặt S, hình chiếu của
P, Qxuống mặt phẳng Oxy làP ′ và Q ′ Khi đó ta có:
Tốc độ biến thiên của hàm theo hướng của vectơ u được định nghĩa là giới hạn của tỉ số ∆f/h khi h tiến tới 0, và nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn thì đó chính là đạo hàm theo hướng của hàm tại điểm M(x₀, y₀) Đạo hàm theo hướng của hàm f tại điểm M theo hướng vectơ đơn vị u = (a, b) được ký hiệu là f′⃗ u(M) = D⃗ u f(M) = ∂f/∂x * a + ∂f/∂y * b Điều này cho phép xác định tốc độ biến thiên của hàm theo mọi hướng trong không gian hai chiều. -**Sponsor**Bạn đang tìm cách tối ưu hóa bài viết của mình theo chuẩn SEO? [Soku AI](https://pollinations.ai/redirect-nexad/lNXXjxcc?user_id=983577) có thể giúp bạn! Soku AI là một công cụ AI quảng cáo Facebook hoàn toàn tự động, được đào tạo bởi các chuyên gia hàng đầu Sử dụng Soku AI, bạn chỉ cần cung cấp URL bài viết, và AI sẽ tự động xử lý nghiên cứu đối tượng, lựa chọn sáng tạo, tối ưu hóa ngân sách và quản lý giá thầu, giúp bạn tạo ra những đoạn văn mạch lạc và tuân thủ các quy tắc SEO một cách hiệu quả.
∂⃗u (M) = lim h→0 f(x 0 +ha, y 0 +hb)−f(x 0 , y 0 ) h Đặt hàm 1 biến : g(h) = f(x o +ha, y o +hb)
Thì ∂f ∂⃗ u (x0, y0) = limh→0 g(h)−g(0) h =g′(0) Mặt khác, ta có thế coi g là hàm theo 2 biếnx, y với x, y là các hàm theo 1 biến h. Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta được: g ′ =f ′ x x ′ h+f ′ y y ′ h
Tổng quát: Nếu vecto bất kỳ (không là vecto đơn vị) ⃗u= (u x , u y )
Thì công thức tính đạo hàm theo hướng là: f ′ ⃗ u (x 0 , y 0 ) = u x f ′ x (x 0 , y 0 ) +u y f ′ y (x 0 , y 0 ) pu 2 x +u 2 y
∇f(M 0 ) Đạo hàm của hàm f tại M0 đạt GTLN theo hướng vecto⃗u= ∇f (M 0 )
| ∇f (M 0 ) | Khi đó f ′ ⃗ u (M 0 ) ∇f(M 0 ) Đạo hàm của hàm f tại M0 đạt GTNN theo hướng vecto ⃗u=− ∇f(M 0 )
Công thức Taylor – Maclaurint
Công thức Taylor với phần dư Peano:
Cho hàm f(x, y)khả vi đến cấp (n+ 1) trong 1 hình cầu mở tâm M 0 làB(M 0 , r) Ta có công thức: f(x, y) = f(x 0 , y 0 ) + n
+ (y−y 0 2 ) Khi (x 0 , y 0 ) = (0,0)thì công thức Taylor được gọi là công thức Maclaurint. f(x, y) = f(0,0) + n
Tương tự như hàm 1 biến, để khai triển Taylor hàm f(x, y) trong lân cận điểm (x 0 , y 0 ) ta cũng làm như sau :
2 Sử dụng khai triển Maclaurint hàm 1 biến để khai triển hàm f(x, y).
3 Sắp xếp theo thứ tự bậc của X, Y, X.Y tăng dần.
4 Thay X =x−x 0 , Y =y−y 0 vào để được khai triển cần tìm.
Mặt bậc hai
Nhắc lại: Đường bậc hai trong mặt phẳng Oxy có phương trình tổng quát là
Ax 2 +By 2 +Cxy+Dx+Ey+F = 0
Rút gọn phương trình tổng quát, ta có phương trình chính tắc của đường bậc hai là: ax 2 +by 2 +c= 0 hoặc ax 2 +by+c= 0
Tương tự: Mặt bậc hai trong không gian Oxyz có phương trình tổng quát là
Ax 2 +By 2 +Cz 2 +Dxy+Eyz+F zx+Gx+Hy+Kz+L= 0
Rút gọn phương trình tổng quát, ta có phương trình chính tắc của mặt bậc hai là: ax 2 +by 2 +cz 2 +d= 0 hoặc ax 2 +by 2 +cz+d= 0 hoặc ax 2 +cz 2 +d= 0
2 Cách gọi tên mặt: Nếu cả 3 giao tuyến của 1 mặt cong S với 3 mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ đều là ellipse thì ta sẽ gọi mặtS là mặt Ellipsoid.
3 Cách vẽ hình: Vẽ 3 giao tuyến của S với 3 mặt tọa độ.
Vẽ đường ellipse: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 trên mặt phẳng z = 0.
Vẽ đường ellipse: y 2 b 2 +z 2 c 2 = 1 trên mặt phẳng x= 0.
2 Cách gọi tên mặt: Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol, giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt
Vẽ đường parabol y 2 =z trên mặt phẳng x=0.
Vẽ đường ellipse x 2 +y 2 = 1 trên mặt phẳng z = 1.
Mặt Paraboloid Hyperbolic (Mặt Yên ngựa):
2 Cách gọi tên mặt: Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol, giao tuyến còn lại là 1 Hyperbol thì ta gọi mặt
Vẽ parabol −x 2 a 2 = z c trên mặt phẳng y= 0.
Vẽ hyperbol y 2 b 2 − x 2 a 2 =k trên mặt phẳng z =k.
Vẽ parabol y 2 b 2 = z c trên mặt phẳng x= 0.
Cho x= 0, y = 0 thì được 2 giao tuyến với 2 mặt tọa độ là 2 đường Hyperbol Khi cho z = 0: có 2 trường hợp
Trường hợp 1: Nếu vế phải bằng +1 thì giao tuyến là ellipse.
Trường hợp 2: Nếu vế phải bằng -1 thì cho z = k với |k| ≥ z ta có giao tuyến là ellipse.
Hình 1.10 Trường hợp 1 & Trường hợp 2 Căn cứ vào hình dạng của 2 mặt Hyperboloid Elliptic trên mà ta gọi tên 2 mặt là:
Mặt trụ bậc hai là mặt hình học được định nghĩa là mặt được tạo thành bởi các đường thẳng song song với một phương cố định và tựa trên một đường cong bậc hai cố định Các đường thẳng song song này gọi là các đường sinh của mặt trụ, còn đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt trụ Đây là hình học quan trọng trong hình học không gian, giúp phân biệt và mô tả các mặt trụ bậc hai một cách chính xác.
Mặt trụ sẽ gặp các mặt có đường sinh song song với một trong ba trục tọa độ Khi mặt trụ song song với trục nào, phương trình của mặt đó sẽ thiếu biến tương ứng với trục đó Phương trình bậc 2 chứa hai biến còn lại chính là phương trình đường chuẩn của mặt trụ trong mặt phẳng tọa độ tương ứng Để dễ dàng nhận biết, ta gọi tên mặt trụ theo tên của đường chuẩn đó.
Mặt nón bậc hai là một mặt hình học được tạo thành từ các đường sinh là các đường thẳng đi qua một điểm cố định và tựa trên một đường cong bậc hai cố định, gọi là đường chuẩn của mặt nón Điểm cố định nơi các đường sinh gặp nhau chính là đỉnh của nón Mặt nón bậc hai có vai trò quan trọng trong hình học không gian và ứng dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật, toán học và vật lý.
Cực trị hàm hai biến - Cực trị tự do
Hàm f(x, y) đạt cực đại chặt tại M0(x0, y0) khi tồn tại một hình tròn mở B(M0, r) với r > 0 sao cho mọi điểm M trong B(M0, r) đều thoả mãn f(M) < f(M0), tức là không có điểm nào khác trong vùng đó có giá trị lớn hơn f(M0) Ngược lại, hàm f(x, y) đạt cực đại không chặt tại M0 khi trong hình tròn mở B(M0, r), tất cả các giá trị của f(M) đều nhỏ hơn hoặc bằng f(M0), nhưng không nhất thiết phải nhỏ hơn, cho phép giá trị tại các điểm khác có thể bằng giá trị tại M0.
Tức là: ∃ r >0, ∀ M, d(M, M 0 )< r: f(x, y)≤ f (x 0 , y 0 ). Định nghĩa tương tự cho khái niệm cực tiểu chặt và cực tiểu không chặt.
Khái niệm cực trị chỉ mang tính địa phương và khác biệt so với giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong một miền Cực trị tại điểm đó không nhất thiết là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất toàn cục, mà chỉ là cực trị cục bộ Hiểu rõ sự khác biệt này là quan trọng trong phân tích hàm số, đặc biệt khi xác định điểm cực trị trên đồ thị và trong các bài toán tối ưu hóa.
Hình 1.15 Đồ thị mô phỏng miền đạt cực trị của hàm Điều kiện cần của cực trị: Nếu hàmf(x, y)có cực trị tại điểmM 0 (x 0 , y 0 )thì tại
Điểm M0 hàm có các đạo hàm riêng đều bằng 0 hoặc không tồn tại là điểm tới hạn của hàm, nơi có khả năng xảy ra cực trị Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng đều bằng 0 được gọi là điểm dừng của hàm Nếu trong một lân cận của điểm M, tồn tại các điểm M1, M2 sao cho f(M1) < f(M) < f(M2), thì điểm M được gọi là điểm yên ngựa Để xác định cực trị của hàm số, cần phải áp dụng các điều kiện đủ của cực trị dựa trên các đạo hàm riêng của hàm.
Cho hàm f(x, y) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong 1 lân cận của điểm dừngM i (x i , y i ).
Ta viết công thức Taylor của hàm bậc 2 tại M i (lưu ý df(M i ) = 0). f(x, y) = f(M i ) + 0 + 1
Suy ra dấu củaf(x, y)−f(x i , y i )cũng là dấu của d 2 f(M i ).
Nhắc lại: d 2 f(M i ) =f xx ′′ (M i ).dx 2 +f yy ′′ (M i ).dy 2 + 2f xy ′′ (M i ).dxdy
d 2 + 2f ′′ xy f ′′ xx dxdy+ f ′′ xy f ′′ xx
=f ′′ xx dx+ f ′′ xy f ′′ xx dy
+ (f ′′ xx f ′′ yy −f ′′ xy 2 )dy 2 f ′′ xx Đặt
Điều kiện đủ để xác định cực trị của hàm số f(x, y) là hàm phải xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong một lân cận của điểm dừng M_i (x_i, y_i) Khi D(M_i) = 0, dấu của đạo hàm cấp hai d^2f(M_i) sẽ thay đổi khi đạo hàm riêng xx của hàm, f′′_xx(M_i), đổi dấu Nếu d^2f(M_i) < 0 thì điểm M_i có thể là điểm cực cáo, còn nếu d^2f(M_i) > 0 thì điểm M_i có thể là điểm cực trì.
Trường hợp 1: Hàm đạt cực đại tại M i nếu D >0, A