CÁC ỨNG DỤNG của PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH học

Ban học tập và NCKH LCĐ Viện Toán ứng dụng và Tin học Nguyễn Trung Nghĩa Lương Tùng Dương CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC § 1 ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC 1 1 Tiếp tuyến của một đường tại[.]

CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN

TRONG HÌNH HỌC

1.1.1 Điểm chính quy, điểm kì dị

- Cho f (x, y) = 0 có đồ thị L Điểm MO(xo, yo) ∈ L được gọi là:

+ Điểm chính quy nếu: fx0(xo, yo)2+ fy0(xo, yo)26= 0

+ Điểm kì dị nếu:

(

fx0(xo, yo) = 0

fy0(xo, yo) = 0

- Cho (L) dạng tham số:



x = x(t)

y = y(t) và MO (xo(to), yo(to)) là điểm chính quy nếu tồn tại



x0t(to)

y0

t(to)

1.1.2 Các công thức

* Tiếp tuyến tại điểm MO(xo, yo) là điểm chính quy

(d1) : fx0(x − xo) + fy0(y − yo) = 0

(d2) : x − x(to)

x0t(to) =

y − y(to)

y0t(to) (d3) : Nếu y = f (x) thì y = yo+ f0(xo).(x − xo)

* Pháp tuyến tại MO(xo, yo) chính quy

(n1) : x − xo

f0

x(MO)=

y − yo

f0

y(MO) (n2) : x0(to)(x − x(to)) + y0(to)(y − y(to)) = 0

1.2.1 Khái niệm

Cho L là:

- Đường cong không tự giao nhau (Jordan)

- Có tiếp tuyến tại mọi điểm

- Chọn một chiều chạy trên L làm chiều dương

- Trên tiếp tuyến của L chọn một hướng tương ứng hướng dương của L ⇒ " tiếp tuyến dương"

1.2.2 Công thức tính

1 Dạng: y = f (x) thì: C(M ) = |y00|

(1 + y02)3/2

2 Dạng tham số:



x = x(t)

y = y(t) thì: C(M ) =

x0 y0

x00 y00

(x2+ y2)3/2

3 Dạng tọa độ cực r = r(ϕ)

Có:



x = r(ϕ) cos ϕ

y = r(ϕ) sin ϕ ⇒



x0= r0(ϕ) cos ϕ − r(ϕ) sin ϕ

y0 = r(ϕ) sin ϕ + r0(ϕ) cos ϕ Khi đó:

C(M ) = |r2+ 2r02− r.r00|

(r2+ r02)3 Bài tập: Tính độ cong của các hàm sau:

Bài tập 1.1



x = a(t − sin t)

y = a(1 − cos t) (a > 0) tại một điểm bất kì.

Bài tập 1.2 y = −x3 tại x = 1

2 Bài tập 1.3 r = a.eba (a, b > 0) tại điểm bất kì

Bài tập 1.4 (2015-2)



x = t2− 1

y = t3 tại M (0, 1)

Giải 1



x0 = a(t − cos t)

y0= a sin t ⇒



x00= a sin t

y0= a cos t

⇒ C = |x

0.y00− x00.y0|

(x02+ y02)3 =

| cos t − 1|

2√ 2a(1 − cos t)3 =

1

|4a sint

2| Xác định tại những điểm ứng với t 6= 0

2 y = −x3 có y0= −3x2; y” = −6x

C(M ) =

y00 12

3



1 + y0 1

2



3 2

= |−3|



1 + 9 16

3

=192 125

3 r0 = a.b.ebq; r00= ab2.ebq⇒ C = √ 1

1 + b2.r 4



x0 = 2t

y0= 3t2 ⇒



x00= 2

y00= 6t ⇒ M (0, 1) ⇔ to= 1

C = |x0.y00− y0.x00|

(x02+ y02)3

= |2.6 − 3.2|

(22+ 32)tf rac32 =

6

√

133

1.3.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Cho đường cong L phụ thuộc một hay nhiều tham số Nếu mỗi đường cong họ (L) đều tiếp xúc

và đường cong (E) tại một điểm nào đó trên E và ngược lại, tại mỗi điểm thuộc E đều tồn tại 1 đường cong họ (L) tiếp xúc (E) tại điểm đó thì (E) được gọi là hình bao của họ đường cong (L)

1.3.2 Quy tắc tìm

Định lý 1.1 Cho họ đường cong F (x, y, c) = 0 với c là tham số Nếu họ đường cong này không có điểm kì dị thì đường bao được xác định bằng hệ sau:



F (x, y, c) = 0

Fc0(x, y, c) = 0

Chú ý 1.1 Nếu các đường thẳng F (x, y, c) = 0 có điểm kì dị thì hệ bao gồm phương trình (E) - hình bao và quỹ tích của các điểm kì dị

Ví dụ 1.1 (L) : (y − c)2= (x − c)3

⇔



F (x, y, c) = (x − c)3− (y − c)2= 0

Fc0(x, y, c) = 3(x − c)2− 2(y − c) = 0

(2) ⇔ (y − c) = 3

2(x − c)

2 thay vào (1) ta có:

(x − c)3−9

4(x − c)

4= 0 ⇔ (x − c)3



1 − 9

4(x − c)



= 0

⇔



x = c

y = c hoặc







x = c +9

4

y = c + 8

27

Mà y = x là quỹ tích của các điểm kỳ dị của họ (L)

Vậy phương trình hình bao là: x − y = 4

27.

Ví dụ 1.2 (L) : c.x2+ c2.y = 1 (Nhận xét: c 6= 0)



F (x, y, c) = c.x2+ c2.y − 1 = 0

Fc0(x, y, c) = x2+ 2c.y = 0 ⇔ x2= −2cy

Xét



Fx0(x, y, c) = 0

F0

y(x, y, c) = 0 ⇔

 2cx = 0

c2 = 0 ⇒ c = x = 0 là những điểm kì dị nhưng x = c = 0 /∈ (L) ⇒ (L) không chứa điểm kì dị

Giải hệ



F (x, y, c) = 0

Fc0(x, y, c) = 0 ⇔







x =2 c

y = −1

c2

⇒ y = −x

2

4

Vậy đường bao là y = −x2

4 trừ điểm O (0, 0).

Bài tập 1.5 (20152 - 1) Tìm hình bao của họ đường cong

(Lc) y = x

c +

1

c + c

2 (tham số c)

Bài tập 1.6 (20162 - 1) Tìm hình bao của họ đường cong

x2+ y2− x cos α − y sin α − 2 = 0 Bài tập 1.7 (20142 - 3) Tìm hình bao của họ đường cong

2x cos α + y sin α = 1 Bài tập 1.8 (20142 - 5) Tìm tập các điểm kì dị của họ (Lc)

(x + c)2= (y − c)3 Bài tập 1.9 Xét họ quỹ đạo của viên đạn bắn từ một khẩu pháo với vận tốc vo, phụ thuộc góc bắn α Hãy tìm phương trình hình bao của họ quỹ đạo của viên đạn

Giải

5 (Lc) : y = x

c +

1

c + c

2 (c 6= 0)

F (x, y, c) = x

c − y +1

c + c

2

Xét hệ







Fx0 = 1

c 6= 0

F0

y= −1 6= 0

⇒ Không có điểm kì dị

Fc0(x, y, c) = 0

F (x, y, c) = 0 ⇔







−x

c2 + 2c = 0 x

c − y +1

c + c

2= 0

⇔

(

x = 2c3

y = 3c2+ 1

⇒r x3

2 −r y − 1

3 = 0 là phương trình đường bao.

6 x2+ y2− x cos α − y sin α − 2 = 0

Fα0(a, y, α) = x sin α − y cos α

(

F (x, y, α) = 0 (1)

F0

α(a, y, α) = 0 (2) ⇔

( (2) ⇒ x = y tan α (1) ⇒ x2+ x2tan2α − x cos α − x tan αsinα − 2 = 0

⇔ x2(1 + tan α) − x cos α − x1 − cos

2α cos α − 2 = 0

⇔ x2 1

cos2α− x

cos α− 2 = 0

⇔ x

cos α+ 1

  x cos α− 2= 0 ⇔

"

x = 1

2cos α và y = − sin α

x = 2 cos α và y = 2 sin α

⇔



x2+ y2= 1

x2+ y2= 4 là phương trình hình bao.

(

Fx0(a, y, α) = 0

Fy0(a, y, α) = 0 ⇔

( 2x − cos α = 0 2y − sin α = 0 ⇔







x = 1

2cos α

y = 1

2sin α hay x2+ y2=1

4 là tập các điểm kì dị.

7 Ta có

(

F (x, y, α) = 2x cos α + y sin α − 1 (1)

Fα0(x, y, α) = −2x sin α + y cos α (2)

Xét



F (x, y, α) = 0

Fα0(x, y, α) = 0 ⇔

( (2) y = 2x tan α (1) ⇒ 2x cos α + 2x tan α sin α − 1 = 0

⇔ 2x cos2α + 2x sin2α − cos α = 0

⇔ 2x = cos α ⇔







x = 1

2cos α

y = sin α

⇒ (2x)2+ y2= 1 là phương trình hình bao

8 F (x, y, c) = (x + c)2− (y − c)3

(

Fx0(x, y, c) = 0

Fy0(x, y, c) = 0 ⇔

(

2 (x + c) = 0

−3 (x + c)2= 0 ⇔

(

x = −c

y = c ⇒ y = −x là quỹ tích các điểm kì dị

9







x = vo.t cos α

y = −1

2gt

2+ vo.t sin α ⇒ y = x tan α − g

2.v2 cos2α.x

2

Đặt c = tan α ⇒ y = c.x − g

2.v2 1 + c2
x2

Lấy đạo hàm hai vế theo c suy ra c = v

2

gx Thay vào phương trình: y = v

2

2g − g 2v2x2 Đây là phương trình bao quỹ đạo của viên đạn

§ 2 ỨNG DỤNG TRONG KHÔNG GIAN

Cho I là một khoảng trong R Ánh xạ

I → R3

t 7→ r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 được gọi là một hàm vectơ với biến t

−

→r (t) = x(t)−→i + y(t)−→j + z(t)−→k Giới hạn của hàm vectơ

−

→a được gọi là giới hạn của−→r (t) khi t → t

onếu lim

t→to

−→r (t) −−→a

= 0

kí hiệu lim

t→t o

−

→r (t) =−→a

Đạo hàm của hàm vectơ

Kí hiệu−→r0(t) hay d

−

→r (t) dt

−

→r0(to) = lim

t→t o

−

→r0(t) −−→r0(to)

t − to

= (x0(to) , y0(to) , z0(to))

Ý nghĩa:−→r0(to) là vectơ chỉ phương của tiếp tuyến đường tốc đồ của hàm







x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

tại t = to

Nếu x(t), y(t), z(t) khả vi tại to thì−→r0(t) khả vi tại to

Ví dụ 2.1 Cho −→p = (x

1(t), y1(t), z1(t)) và −→q = (x

2(t), y2(t), z2(t)) Ta có

−

→p −→q = x

1.x2+ y1.y2+ z1.z2

−

→p ∧ −→q = 

y1 z1

y2 z2

,

z1 x1

z2 x2

,

x1 y1

x2 y2



Chứng minh:

Ta có:

d

dt[−

→p −→q ] = −→p dp

dt + −

→q dq

dt và

d

dt[−

→p ∧ −→q ] = −→p ∧dq

dt +

dp

dt ∧ −→p

Cho đường cong :







x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

và MO(x0, y0, z0) là điểm chính quy

1 Phương trình tiếp tuyến tại M:

(d): x − x0

x0(t0) =

y − y0

y0(t0) =

z − z0

z0(t0)

2 Pháp diện tại M là mặt phẳng vuông góc với tiếp tuyến d tại M0 chứa mọi pháp tuyến của L tại M0

(P) x0(t0)(x − x0) + y0(t0)(y − y0) + z0(t0)(z − z0) = 0

3 Độ cong:

C =

x0 y0

x00 y00

2

+

y0 z0

y00 z00

2

+

z0 x0

z00 x00

2!1 2

[(x00)2+ (y00)2+ (z00)2]

3 2

Cho mặt cong S: f (x, y, z) = 0 tại M (x0; y0; z0)

Mặt phẳng tiếp diện: chứa mọi tiếp tuyến của S tại M0

Pháp tuyến: đường thẳng qua M0 và cùng hướng −→n = (f0

x, fy0, fz0) Phương trình pháp tuyến tại M

(d0) : x − x0

f0

x(M ) =

y − y0

f0

y(M ) =

z − z0

f0

z(M ) Phương trình tiếp diện tại M

(P0) : fx0(M )(x − x0) + fy0(M )(y − y0) + fz0(M )(z − z0) = 0

Chú ý 2.1 Nếu mặt S: z = z(x, y) thì mặt phẳng pháp diện có phương trình là:

fx0(M )(x − x0) + fy0(M )(y − y0) = z − z0

Cho L;

(

f (x, y, z) = 0

g(x, y, z) = 0

−→

nf: pháp tuyến của mặt phẳng pháp diện của f và −n→

g: pháp tuyến của mặt phẳng pháp diện của g thì −n→

f∧ −n→g : vectơ chỉ phương của L PTTQ:

(

fx0(M )(x − x0) + fy0(M )(y − y0) + fz0(M )(z − z0) = 0

g0x(M )(x − x0) + gy0(M )(y − y0) + gz0(M )(z − z0) = 0

PTCT : x − x0

f0

y(M ) f0

z(M )

g0y(M ) g0z(M )

= x − x0

f0

z(M ) f0

x(M )

gz0(M ) gx0(M )

=  x − x0

f0

x(M ) f0

y(M )

gx0(M ) g0y(M )

Bài tập 2.1 (20152-1) Viết phương trình tiếp diện của mặt cong (S) : x2+ 2y3− yz = 0 tại M (1, 1, 3)

Bài tập 2.2 (20152-3) Tìm pháp diện của đường cong







x = t3

y = t2+ 1

z = 2t + 1

tại A(1; 1; −1)

Bài tập 2.3 (20152-3) Tìm tiếp tuyến của đường cong (L) :

(

x2+ y + z2= 3

x + y2− z2= 1 tại M (1, 1, 1) Bài tập 2.4 (20124-1) Tìm tiếp tuyến và pháp diện của đường cong (L)







x = 2 cos t

y = sin t

z = 2 sin t + 3

tại t = π

Bài tập 2.5 (20142-3) Tính độ cong của (L) :







x = 2 cos t

y = 2 sin t

z = 3t + 1

tại t = 0

§ ỨNG DỤNG TRONG KHÔNG GIAN

Cho I... c)3 Bài tập 1.9 Xét họ quỹ đạo vi? ?n đạn bắn từ pháo với vận tốc vo, phụ thuộc góc bắn α Hãy tìm phương trình hình bao họ quỹ đạo vi? ?n đạn

Giải

5 (Lc)... số c)

Bài tập 1.6 (20162 - 1) Tìm hình bao họ đường cong

x2+ y2− x cos α − y sin α − = Bài tập 1.7 (20142 - 3) Tìm hình bao họ đường cong

2x cos α +