Ch ng minh MN vuông góc v i BD và tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng MN và AC... HD: CE vuông góc AD, thì t giác OBCE là hình vuông nên CE=AE=ED=a.
Trang 1Nguoithay.vn 1
BÀI P KHÔNG GIAN RO G I I H
Kh i B-2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a, AD =a 2, SA
= a và SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD) G i M, N l n l t là trung đi m c a AD và SC; I là giao đi m c a BM và AC Ch ng minh r ng m t ph ng (SAC) vuông góc v i m t ph ng (SMB) Tính th tích c a kh i t di n ANIB
HD: Cách 1: D th y I là tr ng tâm ABD BI = 2BM
3 =
a 2
3 và AI =
1AC a 3
3 3
ABI có BI2
+ AI2 =
2a 3a
a AB
3 9
BI AI và BI SA BI(SAC) (SMB) (SAC)
h i t di n SABC có th chia làm t di n:
SABN ; CNBI ; ANIB
G i V = VSABC; V1 = VSABN; V2 = VCNBI
Ta có : V1 V2 SN.SA.SB CN.CI.CB
V V SC.SA.SB SC.CA.CB
V V1 2 1 1 2 1 1 5.
V 2 2 3 2 3 6
VANIB = 1 SABC 1 1
V BA.BC.SA
6 6 6
= 1 a.a 2.a
36 VANIB = a 23
36
Cách 2:
Xét ABM và BCA vuông đ ng d ng ?
ABM +BAC =BCA+ BAC =90 AIB 90 MB AC(1)
3
a
K h i A-2006.Cho hình tr có các đáy là hai hình tròn tâm O và O' , bán kính đáy b ng chi u cao và b ng a Trên đ ng tròn đáy tâm O l y đi m A, trên đ ng tròn đáy tâm O' l y đi m B
sao cho AB= 2a Tính th tích c a kh i t di n OO'AB
đ ng sinh AA' G i D là đi m
đ i x ng v i A ' qua O' và H là hình
chi u c a B trên đ ng th ng A'D
Do BH A'D và BH AA' nên BH (AOO'A')
VOO’AB = (1/3)BH.SAOO’
Ta có: A'B2 = AB2 - A'A2 = 3a2 và BD2 = A'D2 - A'B2
= a2 ,suy ra BO'D đ u BH= ?
Vì AOO' là tam giác vuông cân c nh bên b ng a nên:
SAOO' = a2 /2
V y th tích kh i t di n OO'AB là: 1 3. 2
3 2 2
a a
K h i D-2006 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, SA = 2a và SA
vuông góc v i m t ph ng (ABC) G i M và N l n l t là hình chi u vuông góc c a A trên các
đ ng th ng SB và SC Tính th tích c a kh i chóp A.BCNM
y
z
x
B
S
C
D
M
I
a
a
a 2
C
I H M N
D A
B
C E
O A
O'
C B
H
Trang 2Nguoithay.vn 2
HD:
3
.
a
+ SAB vuông t i A có AM là đ ng cao
5
SB SB
+ SAC vuông t i A có AN là đ ng cao
5
SN SA
SC SC
.
SAMN
SABC
VABCMN = VSABC– VSAMN =
3
25 SBAC 50
a
K h i A-2007 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a, m t bên SAD là tam giác đ u
và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy G i M, N, P l n l t là trung đi m c a các c nh SB,
BC, CD Ch ng minh AM vuông góc v i BP và tính th tích c a kh i t di n CMNP
HD:
G i H là trung đi m c a AD
Do SAD đ u nên SH AD
Do (SAD) (ABCD) nên
SH (ABCD) SH BP (1)
Xét hình vuông ABCD ta có
CDH = BCP
CH BP (2)
T (1) và (2) BP (SHC)
Vì MN//SC và AN // CH (AMN) // (SHC)
Do đó: BP(AMN) BP AM
M (ABCD) , Ta có: VCMNP = (1/3)MK.SCNP
MK SH S CN CP V
-
K h i B-2007 Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a G i E là đi m đ i
x ng c a D qua trung đi m c a SA, M là trung đi m c a AE, N là trung đi m c a BC Ch ng
minh MN vuông góc v i BD và tính (theo a) kho ng cách gi a hai đ ng th ng MN và AC
HD:
G i H là tâm ABCD SH (ABCD)
T BH AC và BH SH suy ra BH (SAC)
Và G i I, là trung đi m SA và AB :
IH BE và M BE nên IH M
MK//IH (1) và KN//AC (2)
(1) và (2) (MKN) // (SAC)
(MKN) BD MN BD
Kho ng cách gi a MN và AC
b ng kho ng cách t H đ n ( MN) = HQ/2
A
B
C
S
I
N
K
H
D A
S E
M
K M
P
N H
D
C S
Trang 3Nguoithay.vn 3
K h i D-2007.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ABC= BAD= 900
, BA = BC = a,
AD = 2a C nh bên SA vuông góc v i đáy và SA = a 2 G i H là hình chi u vuông góc c a A trên SB Ch ng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) kho ng cách t H đ n m t ph ng
(SCD)
HD:
CE vuông góc AD, thì t giác OBCE là hình vuông nên CE=AE=ED=a S d ng đ nh lý
Pitago ta có: CD2 =2a2 ,SC2 = 4a2 ,SD2 = 6a2 ;
SD2 =SC2 + SD2 ∆ SCD vuông t i C
b) G n vào h tr c t a đ Oxyz:
A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); C(a, a, 0); D(0, 2a, 0); S(0, 0, a)
H HI vuông góc v i AB, H vuông góc SA
3
a
SBa AI AK a
Pt mp(SCD): x y 2 z 2 a 0
d(H;(SCD))=a
3
K h i A-2008.Cho l ng tr ABC.A'B'C' có đ dài c nh bên b ng 2a, đáy ABC là tam giác vuông
t i A, AB = a, AC = a 3 và hình chi u vuông góc c a đ nh A' trên m t ph ng (ABC) là trung
đi m c a c nh BC Tính theo a th tích kh i chóp A'.ABC và tính cosin c a góc gi a hai
đ ng th ng AA', B'C'
HD:
G i H là trung đi m c a BC
2BC2 a a a
Do đó : A'H =A'A2 – AH2 = 3a2 =a 3
1 '
A ABC ABC
a
Trong tam giác vuông A'B'H có: HB'2= A'B' 2 + A'H2 =4a2 nên tam giác
' ;cos =
BB' 2.2 4
a
B BH
a
K h i B-2008 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh 2a, SA = a, SB = a 3
và m t ph ng (SAB) vuông góc v i m t ph ng đáy G i M, N l n l t là trung đi m c a các c nh
AB, BC Tính theo a th tích c a kh i chóp S.BMDN và tính cosin c a góc gi a hai đ ng th ng
SM, DN
H
B
C' B'
A'
N
M
D A
S
H
E
E
M
A B
C
A' B'
C'
A
C
E
S
K
D I
B H
Trang 4Nguoithay.vn 4
G i H là hình chi u c a S trên AB, suy ra SH (ABCD) Do đó SH là đ ng cao c a hình chóp
S.BMDN.Ta có: SA2 + SB2 = AB2 nên tam giác SAB vuông t i S, suy ra SM = AB/2 Do đó tam
giác SAM đ u, suy ra SH =a 3/2 Di n tích t giác BMDN là
SBMDN=SABCD/2 = 2a2 Th tích kh i chóp S.BMDN là VSBMDN=
3 3 3
a
ME DN t là góc gi a hai đ ng th ng SM và DN Ta có (SM,ME) =
Theo đ nh lý ba đ ng vuông góc ta có SA AE
SE2 = SA2 + AE2 = 5a2/4 ; ME2= AM2 + AE2 = 5a2 /4 Suy ra tam giác SME cân t i E nên và
;cos =
a SME
a
-
K h i D-2008 Cho l ng tr đ ng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, c nh
bên AA' =a 2 G i M là trung đi m c a c nh BC Tính theo a th tích c a kh i l ng tr
ABC.A'B'C' và kho ng cách gi a hai đ ng th ng AM, B'C
HD:
T gi thi t suy ra tam giác ABC vuông cân t i B Th tích kh i l ng tr là
VABC.A'B'C'= AA’.SABC =
3 2
2
a
G i E là trung đi m c a BB’ hi đó m t ph ng (AME) song song v i B’C nên kho ng cách gi a hai đ ng th ng AM,B’C b ng kho ng cách gi a B’C và m t ph ng (AME)
Nh n th y kho ng cách t B đ n m t ph ng (AME) b ng kho ng cách t C đ n mp(AME)
G i h là kho ng cách t B đ n m t ph ng (AME)
Do t di n BAME có BA, BM, BE đôi m t vuông góc nên suy ra đ ng cao :
12 12 12 1 2 7
7
a h
h BE BA BM
ho ng cách gi a hai đ ng th ng B’C và AM b ng