M T S PH NG PHÁP GI I H PH NG TRÌNH
KHÔNG M U M C
H ph ng trình là m t d ng toán khá ph bi n trong các đ thi tuy n sinh H,
C và đ thi HSG các c p i v i nhi u h c sinh, bài toán gi i h ph ng trình đ c coi là bài toán khó, th m chí là câu khó nh t trong c u trúc đ thi H, C
Qua quá trình gi ng d y h c sinh ôn thi H, C và b i d ng h c sinh gi i ph i tr c
ti p h ng d n h c sinh gi i các h ph ng trình này, tôi th y c n ph i rèn cho h c sinh thành th o các k n ng gi i h ph ng trình thông th ng và chú ý t i m t s k n ng
th ng áp d ng khi gi i “h không m u m c” Trong bài vi t này tôi xin g i nh v y
đ i v i các h ph ng trình mà thu t gi i không đ c trình bày trong sách giáo khoa Bài vi t đ c chia làm ba m c: M đ u là tóm t t các h ph ng trình th ng g p,
đã đ c gi i thi u khá chi ti t trong sách giác khoa M c th hai là m t s k n ng gi i
h ph ng trình không m u m c Các bài toán đ a ra ph n l n là tôi s u t m t nhi u ngu n tài li u khác nhau, m t s ít do tôi ra trong các kì thi KS, thi HSG,…L i gi i các bài toán này tôi ch chú ý đ n cách đ a h không m u m c v d ng quen thu c mà không quan tâm đ n k t qu cu i cùng Cu i cùng là h th ng các bài t p đ b n đ c tham kh o
Chuyên đ dùng gi ng d y ôn thi H, C và ôn thi HSG cho h c sinh kh i 12
Th i gian gi ng d y chuyên đ này cho h c sinh kh i 12 khi ôn thi H, C là 2 bu i
M c dù r t tâm huy t v i chuyên đ , nh ng do th i gian và kh n ng có h n nên bài
vi t khó tránh kh i nh ng thi u sót T i r t mong nh n đ c s góp ý c a quí th y cô,
b n bè đ ng nghi p và các em h c sinh đ chuyên đ đ c hoàn thi n h n và tr thành tài li u có ích trong gi ng d y và h c t p
I M T S H PH NG TRÌNH TH NG G P
M t s h ph ng trình đ c h c trong ch ng trình ph thông có ph ng pháp gi i rõ ràng, h c sinh ch c n nh thu t gi i, rèn luy n các k n ng bi n đ i, tính toán là có th làm đ c Th c ch t các h ph ng trình này ta g p r t nhi u c THCS và THPT, không riêng b môn toán mà c môn lí, môn hóa,… M t l n n a ta nh c l i các d ng h
ph ng trình nh v y
1 H hai ph ng trình b c nh t hai n
a) nh ngh a: Là h ph ng trình có d ng
ax by c
a x b y c
, trong đó x, y là n
b) Cách gi i: V i h này ta có th gi i b ng nhi u cách khác nhau nh : Ph ng pháp
th , ph ng pháp c ng, s d ng đ th , s d ng máy tính c m tay, tính đ nh th c,
đ t n ph ,…
2 H ba ph ng trình b c nh t ba n
Trang 2a) nh ngh a: Là h ph ng trình có d ng
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
, trong đó x, y, z là
n
b) Cách gi i: V i h này ta có th gi i b ng nhi u cách khác nhau nh : Ph ng pháp
th , ph ng pháp c ng, s d ng máy tính c m tay, tính đ nh th c, ph ng pháp
kh Gauss,…
3 H g m m t ph ng trình b c nh t vƠ m t ph ng trình khác
a) nh ngh a: Là h ph ng trình có d ng 0
( , ) 0
ax by c
f x y
, trong đó x, y là n còn f(x,y) là bi u th c hai bi n x, y
b) Cách gi i: S d ng ph ng pháp th
4 H đ i x ng lo i 1
a) nh ngh a: Là h mà khi ta đ i vai trò c a hai n cho nhau trong m i ph ng trình,
t ng ph ng trình đó không thay đ i
b) Cách gi i: Bi n đ i t ng đ ng làm xu t hi n t ng và tích c a các nghi m r i đ t
t ng b ng S, tích b ng P ( 2
S ) P Thông th ng sau b c này ta đ c m t h đ n
gi n
5 H đ i x ng lo i 2
a) nh ngh a: Là h mà khi ta đ i vai trò c a hai n cho nhau trong m i ph ng trình,
ph ng trình này bi n thành ph ng trình kia
b) Cách gi i: Tr v cho v làm xu t hi n nhân t chung x-y r i đ a h đã cho v hai
h m i đ n gi n h n
6 H đ ng c p
a) nh ngh a: Là h có d ng 1 2
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
f x y f x y
, đó f x yi( ; ) &g x yi( ; ) là các đa
th c đ ng c p hai bi n và cùng b c
b) Cách gi i: Xét riêng x=0 N u x khác 0 thì ta đ t y=kx r i nh n xét và chia v cho
v ta đ c ph ng trình m t n k Tìm đ c k ta tìm đ c x và y
II M T S PH NG PHÁP GI I H PH NG TRÌNH KHÔNG M U M C
1 Ph ng pháp bi n đ i t ng đ ng
M t s k n ng th ng áp d ng nh phân tích thành tích, bình ph ng ho c l p
ph ng hai v , thêm b t làm xu t hi n nhân t chung,…
Bài 1 Gi i h ph ng trình:
2 2 2 (1)
1 2 (2)
Gi i: K: x Ta bi n đ i ph ng trình (1) làm xu t hi n nhân t chung y 1 0
2 2 (4)
Trang 3T (3) & (2) ta có x=y=1 T (4) & (2) ta có
0; 2
2 2
K t lu n : H có 3 nghi m
Bài 2 (Báo TH&TT) Gi i h ph ng trình:
2
2
1 (1) (2)
xy
x y
x y
Gi i: K: x Ta có y 0
1 (3) 2
0 (4)
xy
x y
x y
-T (3) và (2) ta có 2 0; 1
3; 2
-Vì x nên (4) ky 0 hông th a mãn V y h có hai nghi m
Bài 3 ( thi TS c ) Gi i h ph ng trình:
1 19 (1)
6 (2)
Gi i: N u x=0, (1) tr thành 1=0, vô lí V y x khác 0 Nhân hai v c a (1) v i 6, hai v c a (2) v i 19x ta đ c:
6 6 114
C ng v v i v ta đ c: 3 3 2 2
6x y 19x y 19xy 6 0, gi i ph ng trình b c ba này ta đ c 2; 3; 1
xy xy xy
-N u 2
3
xy thì 8 3 1
xy x x y
-N u xy 1,(1) vô lí x 0,
Bài 4 (HSG QG 1996) Gi i h ph ng trình:
1
3 (1 ) 2 (1)
1
x
y
Gi i: K x0 &y D th y x=0 ho c y=0 không thõa mãn h V i x>0, y>0 0
ta có
Trang 41 2 1 2 2
1
( nhân v v i v )
21xy (7y 24 )(x x y) 24x 38xy 7y 0 y 6x
(vì x, y d ng)
Thay vào ph ng trình (1) ta đ c 1 2 1 1 0 1 7 1 2
T đó suy ra x và y
2 Ph ng pháp đ t n ph
M t s ph ng trình sau khi nhân ho c chia hai v cho cùng m t bi u th c khác không ho c b ng m t s đ ng tác tách và ghép khéo léo ta làm xu t hi n các đ i
l ng mà nh cách đ t n ph ta có th đ a h ph c t p v m t h đ n gi n, quen thu c
Bài 5 Gi i h ph ng trình: 2 2 2 12 4 (1)
( ) 2 7 2 (2)
Gi i: Nh n th y y=0 không th a mãn h V i y khác không, chia c hai v c a (1) và (2) cho y ta đ c:
2
2 2
1
4
1
x
x y y
x
x y
y
t 2
1
a x y x b
y
ta đ c
3, 1
T đây ta tìm đ c x và y
Bài 6 Gi i h ph ng trình:
6 (1)
y xy x
x y x
Gi i: Nh n th y x=0 không th a mãn h Chia c hai v c a (1) và (2) cho 2
x ta đ c h
2
2
2 2
2
1
6 6
y
x x x
x
y
n đây ta đ t 2
1
6
x
P x
Gi i h này ta tìm đ c S và P, t đó ta tìm đ c x và y
Bài 7 Gi i h ph ng trình:
49
1 1 ) (
5
1 1 ) (
2 2 2
2
y x y
x
xy y
x
Gi i : Tr c h t ta th y h này có d ng quen thu c là h đ i x ng lo i 1, tuy nhiên n u
Trang 52 2
5
49
, và n u đ t
1 1
x
y
thì ta đ c 2 25
53
a b
a b
n đây ta có
m t h quen thu c
Bài 8 (KA - 2008) Gi i h ph ng trình:
5 4 5 (1 2 )
4
x y x y xy xy
Gi i: H đã cho t ng đ ng v i
5
4 5
4
x y xy x y xy
t x2 y a
xy b
ta
;
a
T đó ta tìm đ c x, y
3 Ph ng pháp th
Nhi u ph ng trình sau khi rút m t n (ho c m t bi u th c) t ph ng trình này th vào ph ng trình kia ta đ c m t ph ng trình đ n gi n ho c nh đó mà ta có cách
bi n đ i v m t h đ n gi n Ta th ng áp d ng cách này v i các h mà ta quan sát
th y m t ph ng trình nào đó c a h mà m t n ch có nh t ho c c hai ph ng trình c a h có cùng m t bi u th c chung nào đó
Bài 9 (HSG QG – 2001) Gi i h ph ng trình: 7 2 5 (1)
Gi i: K: 7 0
, t (2) ta suy ra 2x , th vào (1) ta đ c y 2 y x
7x Do đó ta có h y 3 x y
1
19; 10
x y
D th y nghi m x th a mãn h còn nghi m kia thì không y 1
Bài 10 (KS-THPT Chuyên VP) Gi i h ph ng trình
Trang 6
2
3
1
x
Gi i : K x y 0.Ph ng trình th nh t t ng đ ng v i
2
2
T ph ng trình th hai ta suy ra 1 3 2x
x y
, th vào ph ng trình (*) ta đ c
7
T đây và ph ng trình th hai c a h ta tìm đ c các nghi m x và y
Bài 11 (HSG QG – 2004) Gi i h ph ng trình:
3 49 (1)
x xy
Gi i : V i h này, c hai n và hai ph ng trình đ u khó có th rút n này theo n kia Tuy nhiên, n u rút 2
y t (2) và th vào (1) thì ta đ c m t ph ng trình mà n y
ch có b c 1:
x x x xy y x xy x x x x
-N u x=0 thì (1) vô lí
-N u x=-1 thì h tr thành 2
y y
-N u x 1&x thì t (3) suy ra 0 2 2 49 49
24
y
x
Th tr l i ph ng trình (2)
ta đ c
2
2
192 (2 49 49) 49.192
196 196 2205 4606 2401 0 196 2205 2401 0
196 196 2205 2205 0 196 196 2401 0
Ph ng trình cu i cùng vô nghi m, ch ng t h ch có hai nghi m (-1;4) và (-1;-4) Không phái lúc nào ta c ng may m n khi áp d ng ph ng pháp ‘‘ th đ n cùng’’ nh
v y, ch ng h n nh g p ph ng trình b c 4 mà không nh m đ c nghi m nh bài toán sau :
Trang 7Gi i : Rõ ràng ph ng trình đ u có b c nh t đ i v i b và c, đi u đó g i ý cho ta rút
m t n t ph ng trình này và th vào ph ng trình kia Tuy nhiên sau khi rút g n ta
đ c m t ph ng trình b c 4 mà nghi m l đây ta c n m t k n ng tách khéo léo
h n :
Ta có (1)2 (c b 1) b2 4 2 (c b 1) b22b 1 2b 2 5, rõ ràng b=1 không th a mãn, v i b suy ra 1 2 1 2 5
1
c b
b
, th vào (2) ta đ c
2
5
1
b
Suy ra
;
H ph ng trình này xu t hi n khi ta gi i bài toán hình h c ph ng: Trong h t a đ
4 Ph ng pháp s d ng tính đ n đi u c a hƠm s
v n d ng ph ng pháp này ta c n đ n m t tính ch t quan tr ng sau đây: N u hàm s f(x) đ n đi u và liên t c trên kho ng ( ; ) thì ph ng trình f(x)=0 có nghi m duy nh t trên kho ng ( ; ) , h n n a f(a)=f(b) khi và ch khi a=b
Bài 13 (HSG K12 ng Nai) Gi i h ph ng trình:
2
(1)
Gi i: K: 5
4
x N u y=0 thì t ph ng trình (1) ta suy ra x=0, th vào ph ng trình (2) ta th y không th a mãn, v y y khác 0 t x=ky ta đ c (1) tr thành
k y ky y y k k y y (3) Xét hàm s 5
( )
f t t t trên , ta có
4
f t t t Do đó f(t) là hàm s đ ng bi n trên , v y
2
(3) f k( ) f y( ) k y x y Th vào (2) ta đ c
4x 5 x 8 6 5x 13 2 4x 37x40 362 4x 37x40 23 5 x
41
x
Suy ra x=1 và do đó y 1
Bài 14 (KS kh i 12 chung đ t 1 n m h c 2011-2012, THPT Yên L c)
Gi i h ph ng trình:
Trang 8Gi i: K x0,y0 Ta th y đây là m t h đ i x ng lo i 2, nên tr v cho v và
2 x 5 2 x 1 x 2 y 5 2 y 1 y (3)
f t t t t trên [1;+ ) , d th y f’(t)>0 trên (1; nên ) f(t) đ ng bi n trên [1;+ ) và do đó (3) t ng đ ng v i x=y Th vào (1) ta đ c
2 x 5 2 x 1 x Gi i b ng MTCT ta đ c x=2 Do đó ta bi n đ i nh sau
2
2
1 1
5 3
x x
2
2
2 (4)
1 1
x
x
x x
x
Ph ng trình (4) có VP>3, VT<2 nên (4) vô nghi m V y h có nghi m x=y=2
Bài 15 (KA-2010) Gi i h ph ng trình:
2
Gi i: K : 3
4
x t u = 2x; v 5 2 y
Ph ng trình (1) tr thành u(u2
+ 1) = v(v2 +1) (u - v)(u2
+ uv + v2 + 1) = 0 u = v
3 0
4
5 4 2
x
x y
Th vào (2) ta đ c: 25 2 4
Xét hàm s 4 2 25
4
f x x x x trên 0;3
4
'( ) 4 (4 3)
3 4
f x x x
x
< 0
M t khác : 1 7
2
f
nên (*) có nghi m duy nh t x = 1
2 và y = 2
V y h có nghi m duy nh t x = 1
2 và y = 2
Th c t là các h ph ng trình d ng này có nhi u cách gi i phong phú, các k thu t tách c ng r t đa d ng Trong khuôn kh chuyên đ tôi ch d ng l i b n k n ng thông d ng nh trên Ti p theo tôi xin gi i thi u các h ph ng trình t ng t đ b n
đ c có thêm ngu n tài li u gi ng d y, h c t p r t mong đ c ti p t c th o lu n trao đ i
v chuyên đ này cùng các th y cô và các em h c sinh