M t s ph ng pháp gi i ph ng trình và b t ph ng trình vô t
Trong ch ng trình Toán ph thông c s (PTCS), ph thông trung h c (PTTH) và nh t là trong các đ thi tuy n sinh vào các tr ng đ i h c và cao đ ng
th ng g p nhi u bài toán v gi i ph ng trình ho c b t ph ng trình vô t Ngay
c ch ng trình i h c s ph m ho c Cao đ ng s ph m c ng yêu c u sinh viên
ph i h c và n m v ng các k n ng này ( các môn đ i s s c p, th c hành gi i toan, ph ng pháp d y h c toán,…) Tuy nhiên khi g p lo i toán này, đa s h c sinh-sinh viên còn g p nhi u khó kh n, l i gi i th ng thi u ch t ch , do đó không
đ t đi m t đa
I M t s đ nh lý v ph ng trình và b t ph ng trình vô t :
nh lý 1:
Ph ng trình f(x) g(x) t ng đ ng v i h :
) ( ) (
0 ) (
2
x g x f
x g
nh lý 2:
B t ph ng trình f(x) g(x) t ng đ ng v i h :
) ( ) (
0 ) (
x g x f
x g
nh lý 3:
B t ph ng trình f(x) g(x) t ng đ ng v i h :
) ( ) (
0 ) (
0 ) (
0 ) (
2
x g x f
x g
x g
x f
nh lý 4:
B t ph ng trình f(x) g(x) t ng đ ng v i h :
) ( ) (
0 ) (
0 ) (
2
x g x f
x g
x g
I M t s ph ng pháp gi i ph ng trình và b t ph ng trình vô t :
Ph ng pháp 1: Nâng lên lu th a đ phá d u c n
M t trong các nguyên t c đ gi i ph ng trình và b t ph ng trình ch a
c n th c là chúng ta ph i làm m t d u c n Thông th ng chúng ta s d ng m t trong các đ nh lý trên đ b d u c n c a ph ng trình ho c b t ph ng trình
Th ng ch nên áp d ng m t ho c hai l n và khi đó s đ a ph ng trình và b t
Trang 2Ví d 1: Gi i b t ph ng trình: 1 x 1 x x (1)
Gi i: i u ki n đ ph ng trình có ngh a là 1 1 0 1 0 1 x x x Ta xét các kh n ng có th x y ra sau đây: 1 N u 1 x 0: Khi đó (1) x 1x 1xx (2)
Do 1 x 0 nên hai v c a (2) không âm, ta có th bình ph ng hai v , khi đó ta đ c: 0 4 4 4 4 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 4 2 4 2 x x x x x x x x x x B t ph ng trình cu i cùng đúng v i m i x tho mãn 1 x 0, v y 0 1 x là nghi m c a b t ph ng trình đã cho 2 N u 0 x 1: Khi đó 1+x1-x 1 x 1 x 0 Khi đó ta có (1) 0 x
0 4 4 4 4 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 4 x x x x x x x x x x
Nghi m nà b lo i V y nghi m c a b t ph ng trình là 1 x 0 Ph ng pháp 2: Chia kho ng đ xét các tr ng h p N i dung c a ph ng pháp này là đ a các b t ph ng trình c n th c v b t ph ng trình tích, tìm nghi m các th a s r i xét d u đ tìm nghi m Ví d 2: Gi i b t ph ng trình: (x3) x42 x2 9 (1)
Gi i: i u ki n đ ph ng trình có ngh a là x2-40|x|2 Khi đó ta có : (1)(x3)( x2 4x3)0 (2)
Xét ph ng trình x2 4x30, khi đó ta có : 6 13 6 13 3
9 6 4 0 3 3 4 0 3 4 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x Xét d u c a v trái c a 2 ta có: V y nghi m c a b t ph ng trình là: x-13/6 và x3 Ví d 3: Gi i b t ph ng trình: x 10x2 x2 6 (1)
Gi i: i u ki n đ b t ph ng trình có ngh a là 10-x2010 x2
-2
-13/
2
3
-
+
- +
Trang 3
x V i đi u ki n đó ta có: (1) x 10x2 x2 60(2)
Xét ph ng trình : x 10x2 x2 60 x 10x2 x2 6
36 12
) 10 (
0 ) 6 (
2 4
2 2
2
x x
x x
x x
0 18 11
6 ,
0 6
2 4
x x
x x
2 , 9
6 ,
0 6
2 2
x x
x x
2 ,
3
6 ,
0 6
x x
x x
2
3 x x
Xét d u v trái c a (2) ta có:
V y nghi m c a b t ph ng trình là: 10 x 2 , 3 x 10
Ph ng pháp 3: Ph ng pháp đ t n ph
M t s bài toán v gi i ph ng trình và b t ph ng trình có ch a c n th c
có th gi i đ c nh vi c đ a thêm vào các n ph đ phá c n th c ho c có th
đ a v các ph ng trình ho c b t ph ng trình đ i s Thông th ng có th đ t n
m i b ng m t c n th c (ho c t ng hay hi u hai c n th c) nào đó Th ng g p 3
d ng n ph sau:
D ng 1: t n ph đ đ a v m t ph ng trình hay b t ph ng trình v i
m t n m i
D ng 2: t n ph đ đ a v m t h hai ph ng trình hai n
D ng 3: t n ph đ đ a v m t ph ng trình v i hai n (ph ng pháp s
d ng ph ng trình b c hai)
Ví d 4: Gi i b t ph ng trình: x x x1 x2 x2 (1)
Gi i: i u ki n đ b t ph ng trình có ngh a là 1
0 1
0
x x
x
t t=x x 1, do 1 nên t1 Khi đó ta có
2
1 )
1 ( 2 1
2 2
2
2
t t
t
x x
x x
x x
x x
1 1
1 2
1
0
1
2
x
x x
x x
x
x
V y ta có x=1
+
+
-
10
2
10
3
Trang 4Ví d 5: Gi i ph ng trình:
4 3 1
5 3 2 3
7
3x2 x x2 x2 x x2 x (1)
Gi i: i u ki n đ b t ph ng trình có ngh a là
0 4 3
0 1 5 3 20
0 3 7 3
2 2 2 2
x x
x x x
x x
(*)
t 3x2 7x3 a
x2 2b
3x2 5x1c
x2 3x4 d
đi u ki n a,b,c không âm, d d ng Khi đó ta có:
) (
2 ) (
3 4
3
1 5 3
4 3
3 7 3
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
b d c
a d
x x
c x x
b x
x
a x
x
Khi đó v i đi u ki n (*), ta có :
0 , 0 , ,
0 ) 2 2 3 3 )(
( 0
, 0 , ,
) (
2 ) (
3 )
1
d c b a
d b c a c a
d c b a
d c b a
b d c
a
d c b a
2 1
5 3 3 7 3
0 2 2
áp s : x=2
Ví d 6: Gi i ph ng trình:
28
9 4 7
x x
Gi i: i u ki n đ ph ng trình có ngh a là
4
9 0
9
4 x x
t
2
1 28
9
4
t
x
(đi u ki n t-1/2)
2
1 7
7 4
1 28
9
4 2 2
Khi đó ta có:
(3) 2
1 7
7
(2) 2
1 7
7 ) 1 (
2 2
x t t
t x x
L y (2) tr đi (3) ta có:
7(x2-t2)+7(x-t)=t-x(x-t)(7x-7t+8)=0
0 8 7 7
0 t x
t x
Xét hai kh n ng
x y ra:
i N u x-t=0t=x Thay vào (2) ta có 7x2
+7x=
2
1
x 14x2
+12x-1=0
14
2 5
6
x Do đi u ki n x=t
2 1
nên
14
2 5
6
Trang 5ii N u 7x2+7t+8=0
7
8
7
t x , thay vào (2) ta có :
7x2+7x+8=0
7 2
23 4 2
1 7
8
2
1
,
ta có
7 2
23
4
áp s :
7 2
23
4
14
2 5
6
Nh n xét: Qua bài toán trên n u mu n s d ng ph ng pháp h ph ng trình ta
th ng đ a v h ph ng trình đ i x ng Khi đ t n ph ta ph i chú ý ki m tra
đi u ki n c a các n m i và n c
Ví d 7: Gi i ph ng trình: 2(1x) x2 2x1 x2 2x1 (1)
Gi i: i u ki n đ ph ng trình có ngh a là x2 x 2 1 0 (*)
t t= x2 2x1t2 x2 2x1 Thay vào ph ng trình (1) ya có: 2(1-x)t=t2-2x+1-2x-1 hay t2-2(1-x)t-4x=0, ta coi đây là m t ph ng trình
b c hai đ i v i t, khi đó ta có ’t=(1-x)2+4x=(1+x)2 t1=1-x+1+x=2, t2 =1-x-1-x=2x
Xét hai tr ng h p:
i V i t=2, t đó suy ra x2
+2x-1=22=4x2+2x-5=0x1 6 , tho mãn đi u ki n bài toán
ii V i t=2x,
0 1 2 3
0 4
1 2
0 2 2
1
2
x x
x x
x x
x x
x
trình này vô nghi m
V y ph ng trình đã cho có nghi m x1 6
Ví d 8: Gi i ph ng trình: 5 x3 12(x2 2) (1)
Gi i: i u ki n đ ph ng trình có ngh a là x3 1 0 x -1 Khi đó (1) 5 x1 x2 x12(x2 2) t u x1,v x2 x1, v i đi u ki n u0, v0, khi đó ta có: u2 x 1 , v2 x2 x 1 u2 v2 x2 2 Thay vào
ph ng trình trên ta có: 5uv=2(u2+v2), suy ra 2u2-5uv+2v2=0, t đay ta có u1=2v,
u2= v
2
1
Xét hai tr ng h p:
i V i u=2v, t đó suy ra x12 x2 x1x14(x2 x1) , 4 x2 5 x 3 0 52 4 4 3 0, ph ng trình này vô nghi m
ii V i u= v
2
2
1
1 2 2
thi u…
Trang 6Ph ng pháp 4 : Nhân v i bi u th c liên h p đ quy v ph ng trình ho c b t
ph ng trình tích
M c đích c a ph ng pháp này là nhân v i bi u th c liên h p c a c n th c nào đó đ xu t hi n th a s chung hai v (n u là b t ph ng trình thì có th gi i
b ng ph ng pháp kho ng)
Ví d 9: Gi i b t ph ng trình: 2 x 1 x 2 x 2 (1)
Gi i: i u ki n đ b t ph ng trình có ngh a là 1
2
1 0
2
0 1
x x
x x
x
(2) Nhân hai v c a b t ph ng trình (1) v i 2 x 1 x 2 0 ta có :
(3) , 0 ) 3 2 1
2 )(
2 ( 3 ) 2 1
2 )(
2 ( ) 2 (
)
1
(
4 x x x x x x x x
Xét ph ng trình
2 4 7 15 11 0
17 14 15 11
0 153 126
9 15 11 25
110 121 ) 2 (
16
0 5 11
5 11 2 4
9 ) 2 )(
1 ( 4 2 )
1 (
4
3 2 1
2 0 3 2 1
2
2
2 2
2
2
x
x x
x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x
Xét d u v trái c a (3), ta có:
V y nghi m c a h b t ph ng trình là: 74 2 x2
Ví d 10: Gi i ph ng trình:
2 3
2 2 2 3 1
2x2 x2 x x2 x x2x (1)
Gi i: i u ki n đ b t ph ng trình có ngh a là
0 2 3
0 2
0 2
0 3 2
0 2 3
0 1 2
2 2
2 2 2 2
x x x
x x
x x
x x x
Khi đó ta có :
0 2 2
3
1 1
2 3 2 2
1 )
2 ( 2
2 2
3
) 2 (
2 3 1
2 3 2 2
1 2 3 2 2
2 2
3 1
2 3 2 2 )
1
(
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x x x
x x
x x x
x x x
x
x x x
x x
x x
x x
x
x x x
x x
x x
2 0
2
x x , tho mãn đi u ki n (*)
+
-
+
1
2 4
7
2
Trang 7V y ph ng trình có nghi m x=-2
Ph ng pháp 5: S d ng đ o hàm
i v i các bài toán d ng tìm tham s đ ph ng trình ho c b t ph ng trình vô t có nghi m, có nghi m duy nh t, có hai nghi m, ng i ta th ng s
d ng công c đ o hàm đ gi i Thông th ng ta chuy n tham s v m t v , sau đó
kh o sát s bi n thiên c a v không ch a tham s b ng ph ng pháp đ o hàm, t
đó suy ra k t qu
Ví d 11: Tìm m đ b t ph ng trình sau có nghi m duy nh t:
mx x 3 m 1 (1)
Gi i: i u ki n đ b t ph ng trình có ngh a làx 3 0 x 3 Ta có:
1
1 3 1
3 )
1 (
)
1
(
x
x m x
x
Xét hàm s
1
1 3
x
x
) 1 ( 3 2
3 2 ) 3 ( 2 1 1
1 3 3
2
1 '
x x
x x
x x
x x
x y
2
) 1 ( 3 2
3 2 5
'
x x
x x
3 2 7 3
2 7
5 0
37 14
5
10 25 ) 3 ( 4
0 5
5 3 2 0 3 2 5
0
'
2
2
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x y
1
1 3 y
x x
x Lim
x 3 72 3 +
y’ + 0 -
y
4
1
3
2
1 0
V y đ b t ph ng trình ym có nghi m thì maxym m
4
1 3
áp s :
4
1
3
m
Ví d 12: Tìm m đ ph ng trình sau có nghi m:
x2 x1 x2 x1m (1)
Gi i: Xét hàm s : y x2 x1 x2 x1 v i xR Ta có:
Trang 81 2 1 2
1 2 '
2
x x
x x
x
x
1
1 2 1
2
1 2 0
'
2
x x
x x
x
x y
0 2 1
) 1 )(
1 4 4 ( ) 1 )(
1 4 4
(
0 ) 1 2 )(
1 2
(
1 )
1 2 ( 1 )
1 2
(
2 2
2 2
2 2
x
x
x x x x x
x x x
x x
x x x x
x x
V y ph ng trình y’=0 vô nghi m i u đó ngh a là y’>0 ho c y’<0 v i
m i x Nh ng y’(0)=1>0 suy ra y’>0 v i m i x M t khác:
1 1 1 1 1 1 1
2
1 1
2 1
1 y
1 1 1 1 1 1 1
2
1 1
2 1
1 y
2 2
x
2 2
x 2
2 x
x
2 2
x
2 2
x 2
2 x
x
x x x
x Lim
x x x
x
x Lim
x x x
x Lim Lim
x x x
x Lim
x x x
x
x Lim
x x x
x Lim Lim
Ta có b ng bi n thiên:
x - +
y +1
-1
V y đ ph ng trình y=m có nghi m thì -1<m<1, t c là ph ng trình đã cho
có nghi m khi -1<m<1
Ph ng pháp 6: L ng giác hoá
Ví d 13: Gi i b t ph ng trình sau:
2 2
1
3 1
1
x
x
x
Gi i: i u ki n đ b t ph ng trình có ngh a là 1-x2>0, t c là |x|<1 Khi đó ta đ t x=sint, t(2,2) Khi đó ta có :
1 tgt
2 tgt 2 3 1
3 cos
1 1 sin 1
sin 3 sin
1
1 )
1
2
t t
t t
Xét hai kh n ng:
i tgt 2 sint 2cost (vì cost>0) 2 2
1 2 sin
1 2 sint t x x
Trang 91 5
2 5 2
1 0
) 1 ( 4
1 0
2
x x
x x
x
x
ii tgt<1sintcostsint 1-cos2t x 1-x2
2
1 1
2
1 0
0 1
2 1 0
0 1
1 0
1 1 0
2 2
x x
x x x
x x
x
x x
2
1 1
, 1 5
2 x x
Ph ng pháp 7: Ph ng pháp đánh giá
Ví d 14: Gi i các b t ph ng trình sau:
a x 1 3 x 4 x 2 x x3 10 (1)
2 2 1 2
1 x x x (2)
Gi i:
a i u ki n đ đ các c n th c trong b t ph ng trình có ngh a là:
1 3
0
0 3
0 1
x x
x x
Khi đó ta có: ( 1 ) x3 4 x 2 x 8 2 x 1 3 x 0
Mà x34x 2x8(x x2 2)2 0,x[1,3] và
0 3
1 2
3 1 4
3 1 )
3 ( ) 1 ( ) 1
1
x x
x x
x x
x x
V y b t ph ng trình luôn đúng v i x[1,3]
b i u ki n:
2
1 0
2 1
0 2 1
x x
x
V i đi u ki n này ta có 2-x2>0 nên:
0 0
0 1 4 1
0 1
4 1 0 1
4 1 2
0 4 4
1 2 2 ) 2 2 ( 4 1 2 2 1 2 1 )
2
(
2
4 2 2 4
2
2 4 2 2
2 2
x x
x
x x
x x
x x x x
x x
x
4x -1 2
V y b t ph ng trình có nghi m là x=0
Ví d 15: Tìm a đ ph ng trình sau có nghi m:
) 1 ( 1
1 1
1x x a a
Gi i: i u ki n : 1
0 1
0 1
x x
x
Khi đó ta có:
V y ta có: 1 x 1 x 2 M t khác ta l i có: 1a 1a 1a1a 2
Trang 10V y d u ‘=’ ph ng trình trên x y ra khi và ch khi c hai v c a ph ng trình
đ u b ng 2, t c là:
1 1
0 0
) 1 )(
1 (
0 2
1 1
1 1
a
x a
a
x a
a
x x
V y ph ng trình có nghi m khi 1 a 1
K t lu n: Trên đây là m t s d ng toán c b n nh t v ph ng trình và b t
ph ng trình vô t và ph ng pháp gi i chúng Tuy nhiên trong t c t , đ gi i m t bài toán có khi ph i k t h p s d ng nhi u ph ng pháp khác nhau Sau đây là m t
s bài t p mà đ c gi có th gi i đ c b ng các ph ng pháp đã gi i thi u trên
Bài 1: Cho ph ng trình : x xx x2 m
17
a Gi i ph ng trình khi m=3
b Tìm m đ ph ng trình có nghi m
Bài 2: Gi i b t ph ng trình sau:
16 9
8 12 2
2 4 2
2
x
x x
x
Bài3: Gi i các b t ph ng trình sau:
a
2 9
2 1 1
4
2
2
x
,
b x31 x2 13x x10
c 2 x24x3x3 x1 x32
d
2
3 1
2 1
x
Bài 4: Gi i các ph ng trình sau:
2 4 14 10 5 7 6
3x x x x xx
b x2 2 x 2 2 x 1
c x x1 3x2 x21
1 2 2
e (4x1) x212x2 2x1
f 8 x 1 3 x 5 7 x 4 2 x 2
1 1
2 3 1 1
4 x x x x
h
12
35 1
1 1
2
x
Bài 5: Tìm m đ các ph ng trình sau có nghi m:
a
1 )
1
2 2
x
m x x
m x
b 4x2 mx2m
c x2 2x3 xm
d x x x 12 m ( 5 x 4 x )
Bài 6: Gi i các ph ng trình sau:
a x3 4 x x 6
1 3 1 1 ) 1 ( 2