3 điểm Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB; trên nửa đường tròn lấy điểm C cung BC nhỏ hơn cung AB, qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn tâm O cắt AB tại D... BD Xột tam giỏc ABC cú
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Ngày 21 Tháng 4 Năm 2013
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức A = 2 3 3 : 2 2 1 (víi 0, 9)
9
x
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 1
3
Câu 2 (1,5 điểm)
Cho hàm số yx2 (P) và y(m3)xm (d) 3
a) Vẽ đồ thị hàm số (P)
b) Chứng tỏ (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Câu 3 (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
10
1 20
1
y x
y y x
y
Câu 4 (1,5 điểm)
Cho phương trình: x22mx (1) Tìm 1 0 mđể X = 2 2 2 2
1 ( 1 2012) 2 ( 2 2012)
x x x x đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó (x1, x là hai nghiệm phân biệt của (1)) 2
Câu 5 (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB; trên nửa đường tròn lấy điểm C (cung BC nhỏ hơn cung AB), qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn tâm O cắt AB tại D Kẻ CH vuông góc với AB (H AB),
kẻ BK vuông góc với CD (K CD); CH cắt BK tại E
a) Chứng minh: CB là phân giác của góc DCE
b) Chứng minh: BK + BD < EC
c) Chứng minh: BH AD = AH BD
Câu 6 (1 điểm)
Chứng minh rằng: 21 a 1 3 b 1 31
, với , a b 0
-HẾT -
Họ tên thí sinh:……….Số báo danh:………
HƯỚNG DẪN
Câu 1: a) Với x0, x ta có: 9
Trang 2
9
x
:
b) Tìm x để A = 1
3
A = 1
3
3
x
Vậy A = 1
3
khi x 36
Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P): yx2
Ta có bảng giá trị:
x - -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
x2(m3)xm 3 x2(m3)xm 3 0 (1)
a = 1 ; b = ( m3) ; c = m 3
(m 3) 4.1.(m 3) m 6m 9 4m 12
=(m1)2200 víi m
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Câu 3:
2
2
2
2
10
1 (I)
20
1
y
x
y
y
x
y
Đặt x2u ( u 0) và
2
10 1
y v y
Hệ (I) trở thành:
Với u 1 x2 1 x 1
Trang 3Với
2 2
2 10
1
2
y y
1; 2 hoặc 1
2
x y y Vậy hệ (I) cú 4 nghiệm (1 ; 2) ; (1 ; 1
2 ) ; (-1 ; 2) ; (-1 ;
1
2 )
Cõu 4: Phương trỡnh: x22mx 1 0 (1) Ta cú: ' m21
Để phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt x1, x2 thỡ
1
m m
m
Theo Viet ta cú:
1 2
2 (I) 1
x x
Theo đề ta cú: X = 2 2 2 2 4 2 4 2
1 ( 1 2012) 2 ( 2 2012) 1 2012 1 2 2012 2
(x x ) 2x x 2012(x x ) (x x ) 2x x 2(x x ) 2012 (x x ) 2x x
Thay hệ thức (I) vào biểu thức X ta cú:
(4m 2) 2012(4m 2) 2 = 2 2 2 2 2
(4m 2) 2.(4m 2).1006 1006 1006 2 = (4m22) 1006 2(100622) -(100622)
X đạt giỏ trị nhỏ nhất khi 4m2 2 100604m2 1008m2252
6 7
6 7
m
m
thỏa điều kiện phương trỡnh cú nghiệm
Khi đú minX = -(10062 + 2)
Cõu 5:
a) Chứng minh CB là phõn giỏc của gúc DCE
Ta cú: DCBã CAB (cùng chắn BC)ã ằ
BCEã CAB (góc có cạnh tương ứng vuông góc)ã
Do đú CB là tia phõn giỏc của gúc DCE
b) Chứng minh BK + BD < EC
Xột ∆CDE cú: EK CD (BK CD) B là trực tâm của CDE
DH CE (CH AB)
CB DE tại F
hay CB là đường cao của ∆CDE Mà CB là tia phõn giỏc của gúc DCE nờn ∆CDE cõn tại C CEDã CDEã
Mặt khỏc: Dả1 E (góc có cạnh tương ứng vuông góc)à1
Do đú ∆BDE cõn tại B BD = BE BD + BK = BE + BK = EK
Trong tam giỏc CKE vuụng tại K cú: EK < EC (cạnh huyền lớn nhất) BK + BD < EC
c) Chứng minh BH AD = AH BD
Xột tam giỏc ABC cú: ACBã 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)0
BH BA = BC
(hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giỏc vuụng)
Ta lại cú: BHC BFD (g-g) BH BC BH BD = BC BF
BH.(BA+BD) = BC.(BC + BF)BH AD = BC CF (1)
Mặt khỏc ta cú: AC // DE (cựng vuụng gúc với CF)
2
2
1
1
F E
K
H
C
D B
A
O
DCB BCE
D E
Trang 4
2
0
ACH
mµ AHC DFB 90
~ DBF (g - g)
AH BD = DF AC (2)
Mặt khác: ABC CDF (g -g) AC CF BC CF = DF AC (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra: BH AD = AH BD
Câu 6: *Ta có:
Với a b, 0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta được:
3 3
21a 2 21a 6 7
a a (1)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:
Mà: 12 7 144.7 1008 ; 31 312 961 12 731
21 a 3 b > 31