CHUYÊN ĐỀ : TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1 1 Cơ sở lý luận * Mục tiêu đào tạo của trường THCS là phải trau dồi cho học sinh những kiến thức và kỹ năng cơ bản c[.]

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Cơ sở lý luận

* Mục tiêu đào tạo của trường THCS là phải trau dồi cho học sinh những kiến thức và

kỹ năng cơ bản của các môn học nhằm góp phần giáo dục toàn diện cho các em, trên cơ sở đó các em vận dụng sáng tạo vào trong đời sống và trong kỹ thuật

* Toán học là bộ môn khoa học vô cùng quan trọng, nó là nền tảng cho việc học tập

các bộ môn khác và kiến thức toán được vận dụng rất nhiều trong thực tiễn Vì vậy, việc truyền thụ những kiến thức cơ bản của bộ môn cho học sinh góp phần không nhỏ trong việc hoàn thành mục tiêu đào tạo của cấp học

* Để nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nói chung và bồi dưỡng học sinh khá giỏi nói riêng, ngoài việc giúp học sinh nắm vững lý thuyết cần phải rèn luyện kỹ năng vận dụng

và ứng dụng lý thuyết vào giải bài tập một cách thành thạo Việc hình thành cho học sinh phương pháp giải bài tập theo chủ đề, theo các mảng kiến thức sẽ giúp học sinh tiếp cận nhanh với đề ra, từ đó phán đoán các phương án giải bài tập một cách nhanh nhất Vì vậy,

việc phân loại bài tập là vô cùng cần thiết đối với mọi học sinh

1.2 Cơ sở thực tiễn

* Trong quá trình dạy học Toán ở THCS tôi nhận thấy: nhiều kiến thức trong chương trình chỉ được trình bày một cách khái lược, hình thành cho học sinh những kiến thức Toán học cơ bản ban đầu mà không đi sâu vào khai thác vận dụng Vì vậy, phần lớn học sinh chưa thực sự nắm vững, hiểu sâu về các kiến thức, việc rèn luyện kỹ năng giải bài tập trong quá trình bồi dưỡng phụ đạo gặp không ít khó khăn Và đây cũng là một trong những nguyên nhân gây nên hiện tượng nắm không sâu sắc, không bền vững nội dung kiến thức đã học

* Trong chương trình Toán lớp 7 phần “Tính chất dãy tỉ số bằng nhau” tôi thấy là một nội dung kiến thức tuy không khó nhưng lại có hệ thống bài tập đa dạng, phong phú và cũng thường được dùng trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi của cấp THCS Việc hệ thống hóa kiến thức, bài tập và hướng dẫn học sinh giải bài tập về tỉ lệ thức một cách có hệ thống là điều cần thiết, nó sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức, nắm vững phương pháp giải, tăng hiệu quả học tập và khả năng tư duy của học sinh, để từ đó học sinh tích cực chủ động trong việc tiếp cận tri thức, đồng thời giúp học sinh rèn luyện một số kỹ năng cơ bản khi giải bài tập về tỉ lệ thức

Trên cơ sở đó tôi xin trình bày kinh nghiệm: “ Phân loại bài tập vận dụng tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau ” với mong muốn hoạt động dạy và học của giáo viên cũng như học sinh

sẽ thu được kết quả cao hơn Ngoài ra, cũng muốn tạo ra hướng đi mới trong việc tham khảo các loại sách bài tập nâng cao

2 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

2.1 Đối tượng nghiên cứu

-Tỷ lệ thức

- Tính chất dãy tỷ số bằng nhau

- Tính chất cơ bản của phân số

- Tính chất của đẳng thức

2.2 Phạm vi nghiên cứu

Bài tập về Tỷ lệ thức rất phong phú đa dạng, có nhiều cách để phân loại các dạng bài tập này, tuy nhiên với bản thân tôi Tuy nhiên trong đề tài này tôi xin được trình bày một số dạng thường gặp khi vận dụng tính chất tỷ lệ thức và tính chất dãy tỷ số bằng nhau

3 MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

3.1 Mục tiêu nghiên cứu

Góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán nói chung và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán nói riêng

Góp phần tạo hứng thú cho học sinh khi học Toán

Rèn cho học sinh có tư duy sáng tạo trong giải toán

-Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, và biết vận dụng các kiến thức toán học vào gải các bài toán trong thực tế

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống hóa và các bước giải bài tập về tính chất tỷ lệ thức và tính chất dãy tỷ số bằng nhau

4 GIẢ THIẾT KHOA HỌC

Nếu nghiên cứu đưa ra và áp dụng tốt giúp học sinh phân loại và nắm được các cách giải các dạng bài tập thì có thể giúp học sinh đạt kết quả cao hơn trong các kỳ thi

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Điều tra số liệu

- Thực nghiệm dạy học

6 ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài này tôi đã áp dụng vào việc dạy ôn tập cho học sinh với những bài tập có mức độ

từ dễ đến khó, nên có thể linh hoạt để sử dụng cho phù hợp với các đối tượng học sinh khác nhau Rèn cho học sinh có tư duy sáng tạo trong giải toán

-Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, và biết vận dụng các kiến thức toán học vào gải các bài toán trong thực tế

PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

* Ttính chất của tỉ lệ thức:

+ Nếu ad bc

d

c b

a







+ Nếu a,b,c,d  0 thì :

ad bc

* Về tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

+ Từ dãy tỉ số b a d c hoặc b a d c e f Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

*

d b

c a d b

c a d

c b

a







































f d b

e c a f d b

e c a f

e d

c b

a

2 CÁC DẠNG TOÁN:

Dạng 1: Tìm các số khi biết tổng (hoặc tích) và tỷ số của chúng.

VD1: Tìm x,y,z biết:

a) 2x 3y 4z và xyz 18; b) 2x 3y 4z và x y z 15

Giải:

a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:









































8 4.2

6 3.2

4

2.2 2

9

18 4 3 2 4 3

2

z y

x z

y x z y

x

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút x,y,z theo k

2

3 (1)

2 3 4

4







 



Theo (1) ta có: x = 4; y = 6; z = 8

Cách 3: Rút x, y theo z.

1 2 3

2 3 4

4

18

8; 4; 6







 



b)













































12 4.3

9 3.3

6

2.3 3

5

15 4 3 2 4 3

2

z y

x z

y x z y x

VD2: Tìm x, y,z biết:

a)

5 4 3

z y x



 và x 2y 4z   93; b)

5 4 3

z y x



 và  2xy 3z  34

Giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

a)

























































15 5.3

12 4.3

9

3.3 3

31

93 20 8 3

4

2 20

4 8

2 5 4

3

z y

x z

y x z y z y x

b)



































































10 5.2

8 4.2

6

3.2 2

17

34 15 4 6

3

2 15

3 6

2 5 4

3

z y

x z

y x z x z y x

VD3: Tìm x, y,z biết: 2x 3y 4z= =

Giải:

15 16 18 5

4 4

3 3

2x y z x y z











Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:











































30 15.

2

32 16.

2

36 18.

2 2 110

220 60 32 18

4

2 15 16

18

z y

x z

y x z y x

VD 4: Tìm x, y biết:

a) 5 x 7y và x 2 y 51; b) a.x b.y(a  0 ,b 0 ,b a)và x yb a

Giải:

a) Từ 5x 7y 7x 5y

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

























15

21 3

17

51 10 7

2 5

x y

x y

x

b) Từ a.xb.y b x a y

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:





























a y

b

x a

b

a

b a b

y

x a

y

b

x

1

VD5: Tính các góc của tam giác ABC biết 2A=B; 3B=C    

Giải:

Từ:      

0 0

A 20 ; B 40 ;C 120

 

Tổng quát :

Tìm x,y,z biết x y z= =

a b c và mx+ny+pz=d

Với a, b, c, d là các số cho trước và m,n,p≠ 0 Phương pháp giải là: ta chỉ cần áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để để tạo ra tỷ số

là hằng số

Cụ thể:

Từ x y z mx ny pz= = = = =

a b c ma nb pc

ma nb pc ma nb pc

 

VD6: Tìm x,y,z biết:

a) 2x 3y và xy 24; b) 2x 3y 4z và xyz 24

Giải:

a) Cách 1:

24

2

x

x

   

         

   

Với x = 4  y = 6

Với x = - 4  y = - 6

(*)

Cách 2: Đặt x y k x 2k;y 3k

3

2     Thay x 2k;y  3k vào xy  24 ta được:

2 4

24 6

3

.













k

k

-Với k  2  x 4 ;y  6

-Với k   2  x  4 ;y  6

b) Đặt x y z k x 2k;y 3k;z 4k

4 3

Thay x 2k;y  3k;z  4k vào xyz 24 ta được:































4 3

2 1

1 24

24 4.

3.

z y

x k

k k

k k

k

VD7: Tìm x, y,z biết:

a) 3x 4y 5z và 2 2 2 4 2 141





x

b) 3x 4y 5z và 2 2 2 3 2 77









Giải:

a) Từ 2 2 2

(1)

3 4 5

9 16 25

 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

2

9 16 25 32 100 9 32 100 141

 

kết hợp với (1)



















5 4 3

z y

x

hoặc





















 5 4 3

z y x

b) Từ

25 16 9 ) 1 ( 5 4 3

2 2

x z

y x











Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

2

9 16 25 18 75 18 16 75 77

kết hợp với (1)



















5 4 3

z y

x

hoặc





















 5 4 3

z y x

Tổng quát :

Tìm x,y,z biết a x b y c z và mx k ny k pz k d







Với a,b,c,d,m,n,p,d,k là các số khác 0 k  N*

Phương pháp giải như sau:

k k k k k

pc

pz nb

ny ma

mx c

z b

y a

x











Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số k

k k k k k

pc

pz nb

ny ma

mx



 ta được:

k k k k k k

k k k k k k k k k

pc nb ma

d pc

nb ma

pz ny mx pc

pz nb

ny ma

mx





















Dạng 2: Chứng minh đẳng thức từ một hệ thức cho trước.

VD1: Cho tỉ lệ thức: (a,b,c,d 0 ;a b;c d)

d

c b

a













Chứng minh rằng:

a)a a b b c c d d











b) a b c d



Giải:

a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.

Từ b a d c  c a d b Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

a c d b c a d b c a d b















do :

d c

d c b a

b a d c

b a d c

b a























Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:

Đặt

1 1 1 1

a kb

k

b d









Vậy: a a b b c c d d











Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.

b)do: b a+b= a+b c+d=

d c+d b d

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:

Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.

Cách 4: a c a 1 c 1 a b c d

VD2: Cho tỉ lệ thức:a c=

b dChứng minh rằng:

a)

Giải:

a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.

do: b a d c  a c d b Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

a b 2a 3b 2a+3b 2a-3b= = = = =

c d 2c 3d 2c+3d 2c-3d

từ : 2a+3b 2a-3b= 2a+3b 2c+3d=

2c+3d 2c-3d 2a-3b 2c-3d

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:

Đặt

2a+3b 2kb+3b 2k+3

a=kb

= =k

c=kd 2c+3d 2kd+3d 3k+3

b d

2c-3d 2kd-3d 2k-3





   



Vậy: 2a+3b 2c+3d=

2a-3b 2c-3d

Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.

b) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.

do: b a d c  a c d b Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

3a 7a 10b 5ab 3a +5ab 7a -10b

3c 7c 10d 5cd 3c +5cd 7c -10d 3a +5ab 3c +5cd

= 7a -10b 7c -10d

   

   



từ 3a +5ab 7a -10b22 = 22 22 3a +5ab22 2 = 3c +5cd22 2

3c +5cd 7c -10d  7a -10b 7c -10d

Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:

Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.

Tổng quát :

Nếu: a c=

b d thì:

Nhận xét: Hầu hết các bài tập trong hai dạng toán trên đều có thể giải bằng nhiều cách tuy nhiên ở mỗi bài ta nên chọn c ách giải hợp lý nhất.

VD 3: Cho tỉ lệ thức:

d c

d c b a

b a











Chứng minh rằng: ab dc

Giải:

Dạng 3: Tính giá trị của một biểu thức

Ví dụ: Cho :a b c= =

b c a hãy tính giá trị của biểu thức

2

a +b +c M=

(a+b+c)

Giải:

2 2 2 2 2 2 2 2

a b c a+b+c

b c a a+b+c





3 BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tìm hai số x và y biết:

a) xy 73 và 5x – 2y = 87;

b) x y

19 21 và 2x – y = 34;

Bài 2: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.

Bài 3: Tìm các số x; y; z biết rằng:

a) x y z

10  6 24 và 5x + y – 2z = 28; b) x y

3 4; y z

5 7 và 2x + 3y – z = 186;

c) 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32; d) 2x 3y 4z

3  4 5 và x + y + z = 49;

e) x 1 y 2 z 3

  và 2x + 3y – z = 50;

Bài 4: Tìm các số x; y; z biết rằng:

a) x y z

2  3 5 và xyz = 810; b) x3 y3 z3

8 64216 và x2 + y2 + z2 = 14

Bài 5: Tìm các số x; y; z biết rằng:

a) y z 1 x z 2 x   y x y 3 z x y z1

  ; b) 1 2y 1 4y 1 6y

Bài 6: Ba người cùng góp vốn kinh doanh được tổng số tiền là 180 triệu đồng Biết rằng 3 lần

số vốn của người thứ nhất bằng 2 lần số vốn của người thứ hai và 4 lần số vốn của người thứ hai bằng 3 lần vốn của người thứ 3 Tính số vốn mà từng người đã góp

Bài 7: Cho tỉ lệ thức: ab dc ; Chứng minh rằng:

a) 5a 3b5a 3b 5c 3d5c 3d

7a 3ab 7c 3cd 11a 8b 11c 8d



Bài 8: Cho tỉ lệ thức: 2a 13b 2c 13d

3a 7b 3c 7d



  Chứng minh rằng: a c

b d

Bài 9: Cho dãy tỉ số : bza cy cxb az aycbx Chứng minh rằng: x y z

Bài 10: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4

Chứng minh rằng:

 



Bài 11*: Cho tỉ lệ thức : a22 b22 ab

c d cd





 Chứng minh rằng: a c

Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c

b c c a a b    Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?

Bài 13: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 sao cho:

a+b-c a-b+c -a+b+c= =

Tìm giá bằng số của biểu thức: M (a+b)(b+c)(c+a)

abc



Bài 14: Cho biểu thức: P=x+y y+z+ + z+t +t+x

z+t t+x x+y z+y Tìm giá tri của biểu thức P biêt rằng: y+z+tx z+t+xy t+x+yz x+y+zt

Bài 15: Cho 2008 số thoả mãn a1+a2+ +a2008  0 và 1 2 2007 2008

a a

= = = =

Hãy tính giá trị của biểu thức:

2

a +a + a +a N=

(a +a + +a +a )

Bài 16: Cho

2

ax + bx + c

a x + b x + c Chứng minh rằng nếu

= =

Thì giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của x

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 KẾT LUẬN

Các bài tập có liên quan đến tỷ lệ thức và tính chất dãy tỷ số bằng nhau nhìn chung là không quá khó đối với học sinh lớp 7 Tuy vậy, nếu giáo viên cung cấp cho học sinh kiến thức một cách hệ thống, đồng thời có một hệ thống bài tập rèn luyện kĩ năng phù hợp, chắc chắn học sinh sẽ tiếp thu thuận lợi hơn, đồng thời các em có thể khắc sâu được kiến thức, giải được nhiều bài toán thực tế cũng như các bài tập trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, Kích thích khả năng tìm tòi, khám phá các kiến thức về Toán học Và quan trọng hơn là hình thành khả năng tự học, tự nghiên cứu và có thái độ yêu thích môn học

2 KIẾN NGHỊ

Để hướng dẫn học sinh giải các bài tập Toán nói chung trước hết giáo viên cần cung cấp, củng cố, khắc sâu các kiến thức liên quan, các bài tập đưa ra cho học sinh phải có tính hệ thống và đi từ bài dễ đến bài khó, trong các bài giải cần định hướng cho học sinh cách tư duy phán đoán dạng bài tập từ đó định hướng cách giải ban đầu; Đối với học sinh cần có thái độ nhìn nhận đúng đắn về tầm quan trọng của bộ môn để từ đó có thái độ học tập đúng đắn, nhằm tiếp thu một cách tốt nhất kiến thức bài học

Các bài tập tôi đưa ra trên đây có thể là không điển hình, cách giải có thể chưa thật gọn, trong các bài giải trên có thể có nhiều cách giải hay hơn, sắc sảo hơn Kính mong các đồng nghiệp góp ý bổ sung để bài viết được hoàn thiện hơn

Bài viết được hoàn thành bên cạnh sự nỗ lực học hỏi, tìm tòi của bản thân là sự giúp đỡ tận tình của các đồng nghiệp, nhưng không vì thế mà không còn nhiều thiếu sót Vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của các thầy giáo cô giáo và các bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm trên thực sự có tác dụng trong giảng dạy, bồi dưỡng Toán