BÀI tập lớn trình bày ý tưởng và thuật toán phương pháp cầu phương gauss 2 giải bài tập project 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ***** BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỀ TÀI 2 1 Trình bày ý tưởng và thuật toán phương pháp cầu phương Gauss 2 Giải bài tập Projec[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

*****

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

ĐỀ TÀI 2:

1 Trình bày ý tưởng và thuật toán phương pháp cầu phương Gauss

2 Giải bài tập Project 2

Giảng viên lý thuyết: Cô Đoàn Thị Thanh Xuân Giảng viên bài tập: Thầy Lê Văn Lai LỚP: L10 – DH_HK212

Mục lục

Lời cảm ơn 3

PHẦN I : LÝ THUYẾT 4

1 Ý tưởng phương pháp cầu phương Gauss 4

2 Thuật toán phương pháp cầu phương Gauss : 5

3 Code MATLAB 8

PHẦN II : BÀI TẬP 10

Bài 1: 10

a 10

b 11

c 13

d 14

Bài 2: 15

a 15

b 17

Bài 3 18

a 19

b 19

Danh mục tài liệu tham khảo 20

Vì còn tồn tại những hạn chế về mặt kiến thức, trong quá trình trao đổi, hoàn thành bài tập lớn này, chúng em không tránh khỏi những sai sót, kính mong nhận được sự đóng góp từ quý thầy, cô Những góp ý từ thầy cô sẽ là động lực để chúng em hoàn thiện hơn Một lần nữa, nhóm xin gửi lời biết ơn chân thành đến thầy, cô vì đã giúp chúng

em đạt được kết quả này

PHẦN I : LÝ THUYẾT

1 Ý tưởng phương pháp cầu phương Gauss

Các công thức Newton-Cotes được rút ra bằng cách tích phân các đa hạng tử nội suy Thuật ngữ lỗi trong đa thức nội suy bậc n liên quan đến (n + l) đạo hàm của hàm được tính gần đúng, vì vậy công thức Newton-Cotes chính xác khi tính gần đúng tích phân của bất kỳ đa thức bậc nào nhỏ hơn hoặc bằng n

Tất cả các công thức Newton-Cotes đều sử dụng các giá trị của hàm tại các điểm cách đều nhau Điều này rất tiện lợi khi các công thức được kết hợp để tạo thành các quy tắc tổng hợp , nhưng nó có thể làm giảm đáng kể độ chính xác của hình ảnh xấp

xỉ Ví dụ, hãy xem xét công thức Hình thang được áp dụng để xác định các tích phân của các hàm có đồ thị được hiển thị trong Hình 4.15

Hình 4.15 :

Quy tắc Hình thang xấp xỉ tích phân của hàm số bằng cách tích phân tuyến tính hàm bao gồm các điểm cuối của đồ thị của hàm Nhưng đây không phải là cách tốt nhất để tính gần đúng tích phân Các đường như thể hiện trong Hình 4.16 dưới đây có thể sẽ đưa ra các giá trị gần đúng tốt hơn trong hầu hết các trường hợp

Trong phép cầu phương Gauss các điểm được chọn theo hướng tối ưu hơn là khoảng cách đều nhau Các nút , ,… , trong khoảng [a, b] và hệ số , , …., được chọn để giảm thiểu sai số dự kiến thu được trong giá trị gần đúng

n b

số Do đó, đây là lớp đa thức lớn nhất mà nó là hợp lý để cho ra một công thức chính xác Với sự chọn lọc thích hợp của các giá trị và hằng số, độ chính xác trên bộ giá trị này có thể được lấy

2 Thuật toán phương pháp cầu phương Gauss :

Để minh họa quy trình chọn các tham số thích hợp, ta sẽ trình bày cách

để chọn các hệ số và nút khi n = 2 và khoảng tích phân là [- 1, 1] Sau đó ta sẽ thảo luận về trường hợp tổng quát hơn đối với sự chọn lọc tùy ý của các nút và hệ số và cho biết công thức được thay đổi như thế nào khi tích phân trong một khoảng thời gian tùy ý

Giả sử ta muốn xác định c1,c2,x1 và x2 để tính tích phân

Cho kết quả chính xác khi f(x) là đa thức bậc 2(2) – 1 = 3 hoặc nhỏ hơn, đó là khi

Ta có tham số cho thấy rằng hệ phương trình này có nghiệm duy nhất

Nếu P(x) là đa thức bậc nhỏ hơn 2n thì:

Chứng minh: Trước hết ta hãy xem xét trường hợp của một đa thức P(x) bậc nhỏ hơn

n

Viết lại P(x) theo (n - l) st đa thức hệ số Lagrange với các nút ở gốc của đa thức

của P(x) Vì P (x) có bậc nhỏ hơn n nên đạo hàm cấp n của P (x) là 0, và đại diện này

là chính xác Cho nên:

Và

Do đó, kết quả đúng với đa thức bậc nhỏ hơn n

Bây giờ hãy xem xét một đa thức P (a) bậc ít nhất là n nhưng nhỏ hơn 2n Chia P (a) cho đa thức Legendre thứ n: 𝑃𝑛(𝑥) Điều này cho ta hai đa thức Q(x) và R (x), mỗi đa thức độ nhỏ hơn n, với:

2 0.5773502692

-0.5773502692

1.0000000000 1.0000000000

0.0000000000 -0.7745966692

0.5555555556 0.8888888889 0.5555555556

0.3399810436 -0.3399810436 -0.8611363116

0.3478548451 0.6521451549 0.6521451549 0.3478548451

0.5384693101 0.0000000000 -0.5384693101 -0.9061798459

0.2369268850 0.4786286705 0.5688888889 0.4786286705 0.2369268850

3 Code MATLAB

function q = quadadapt(f,a,b,tol,varargin)

% Evaluates definite integral of f(x) from a to b

if nargin < 4 | isempty(tol),tol = 1.e−6;end

else

qa = quadstep(f, a, c, tol, fa, fd, fc, varargin{:});

qb = quadstep(f, c, b, tol, fc, fe, fb, varargin{:});

q = qa + qb;

end

end

B là diện tích tam giác

Xét f(h) trên khoảng h  0.74, 0.75( )là khoảng cách ly nghiệm của hàm f(h)

0, 74;

0, 75

( ) 0.7400151787 ( ) ( )

( ) ( ) 0 0.740015218

0.7400151787

0, 75

( ) 0.740015218 ( ) ( )

( 2) 1.5848*10 10

b a

f b f a a

( ) 2 cos

V

r h rh h L

• (0,74; 0,75) là khoảng ly nghiệm theo chứng minh ở câu 1b suy ra ta chọn h0=0,74

( ) 2 cos

V

r h rh h

r h L

Suy ra h9 là điểm bất động, là độ sâu của chất lỏng

Công thức sai số hậu nghiệm cảu phương pháp lặp :|ℎ𝑛− ℎđ| ≤ 𝑘

Suy ra h=0,7400152181 là điểm biến động

b

Nhập ma trận A: [15 17 19; 0.3 0.4 0.55; 1 1.2 1.5];

Nhập ma trận B: [3890; 95; 282];

Ta có kết quả:

Bài 3

d

V =r dz=

-> thể tích theo tích phân từ 0 -> L là 2

Danh mục tài liệu tham khảo

[1] [Richard L Burden, J Douglas Faires, Annette M] Numerical Analysis (z-lib.org) [2] [Steven C Chapra, Raymon P Canale] Numerical Methods for Engineers 7th

Edit

[3][Steven C Chapra]Applied Numerical Methods with MATLAB® for Engineers

and Scientists Fourth Edition

[4] Giáo trình Phương pháp tính – Lê Thái Thanh – NXB ĐHQG TPHCM