Biến dạng đàn hồi của thanh chịu tải trọng dọc trục · Xét thanh có mặt cắt ngang thay đổi dần dọc theo chiều dài L của thanh như ở hình vẽ 4-3.. · Tại hai đầu thanh có hai lực P1, P2, và
Trang 1CHƯƠNG 4: TẢI TRỌNG DỌC TRỤC
I Biến dạng đàn hồi của thanh chịu tải trọng dọc trục
· Xét thanh có mặt cắt ngang thay đổi dần dọc theo chiều dài L của thanh như ở hình vẽ 4-3
· Tại hai đầu thanh có hai lực P1, P2, và một tải trọng phân bố dọc theo chiều dài của thanh
· (G: tải trọng phân bố này có thể là trọng lượng của một dầm thẳng đứng hoặc có thể là lực ma sát trên các bề mặt của thanh)
· Mục đích: tìm chuyển vị tương đối d của đầu thanh này so với đầu thanh kia
· Bỏ qua các biến dạng cục bộ ở các vị trí đặt lực, khi đó ứng suất được xem là phân bố đều ở một mặt cắt ngang nào đó
· Xét một đoạn thanh nhỏ có chiều dài dx tại vị trí x Diện tích mặt cắt ngang ở đoạn này là A(x)
L
d Hình 4-3
dx
dd Hình 4-4
cuu duong than cong com
Trang 2· Nội lực ở hai mặt cắt là P(x)
· Đầu bên phải của phần tử sẽ dịch chuyển so với đầu bên trái của phần tử một đoạn là dd (hình 4-4)
( )x A
x P
=
s
· Biến dạng:
dx
dd
e =
· Xét trong vùng đàn hồi tuyến tính, áp dụng định luật Hooke:
( ) ÷ø
ư ç è
ỉ
= Û
dx
d E x A
x
( )x E A
dx x P
( )
ị
=
E x A
x P
0
d Trong đó:
o d : chuyển vị của một điểm trên thanh so với một điểm khác
o L : khoảng cách giữa hai điểm
o P(x) : nội lực tại mặt cắt, tại vị trí x
o A(x) : tiết diện cắt ngang của thanh
o E : môđun đàn hồi của vật liệu
· Nếu tải trọng và diện tích mặt cắt ngang không đổi:
EA
PL
=
o EA : được gọi là độ cứng của thanh khi kéo hay nén
· Nếu thanh có n đoạn, trên mỗi đoạn có P và A không đổi:
=
= n
i i i
i i A E
L P
1
· Quy ước dấu:
+d
+d
cuu duong than cong com
Trang 3Ví dụ 4-1: Thanh chịu lực như ở hình vẽ 4-6a Cho E = 200000 MPa, A = 20 mm2 Hãy xác định dA Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất, chuyển vị của thanh
Lần lượt xét các mặt cắt như ở hình vẽ 4-6b, 4-6c, 4-6d
( )
mm
N A
NAB
20
5000
2 =
=
=
s
( )
mm
N A
NBC
20
3000
2 =
-=
=
s
( )
mm
N A
NCD
20
7000
2 =
-=
=
s
200 mm 300 mm 300 mm
Hình 4-6a
5 kN
A
N AB = 5 kN Hình 4-6b
5 kN A NBC = -3 kN
Hình 4-6c
B
200 mm
8 kN
7kN
N CD = -7 kN
D Hình 4-6d
200 mm 300 mm 300 mm
+
5 kN
-
N
+
250 MPa
-
s
0.5 mm 0.750 mm
-
cuu duong than cong com
Trang 4dA = dA/B + dB/C + dC/D
AE
L N AE
L N AE
L
A
´ +
´ +
´
=
Þd
( AB AB BC BC CD CD)
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
MPa mm
200000 20
1
´
=
Þd
525 0 225 0 25
.
-=
Ví dụ 4-2: Thanh chịu lực như ở hình vẽ 4-7 Cho E = 200000 MPa Hãy xác định dD Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất, chuyển vị của thanh
( )
mm
N A
N
CD
CD
200
20000
2 =
=
=
mm
N A
N BC
BC
600
10000
2 =
-=
= s
( )
mm
N A
N
AB
AB
600
40000
2 =
=
=
s
dD = dD/C + dC/B + dB/A
E A
L N E
A
L N E
A
L N
AB
AB AB BC
BC BC CD
CD CD D
´ +
´ +
´
=
Þ d
ú û
ù ê
ë
+
´
-´
=
600
300 40000
600
300 10000
200
400 20000
200000
1
mm
mm N
mm
mm N
mm
mm N
MPa D
d
1 0 025 0 2
.
=
300 mm 300 mm 400 mm
A = 600 mm 2
A = 200 mm 2
20 kN
50 kN
30 kN
Hình 4-7
B
N CD = 20 kN
20 kN
C
30 kN
20 kN
C
30 kN
B 50 kN
cuu duong than cong com
Trang 5Ví dụ 4-3: Hệ như ở hình vẽ 4-8a gồm một ống nhôm AB có diện tích mặt cắt ngang 400 mm2 và một thanh bằng thép có đường kính 10 mm được bắt xuyên qua ống nhôm bằng một vòng đệm tuyệt đối cứng Nếu ta kéo thanh thép với lực 80 kN, hãy xác định chuyển vị ở đầu C của thanh thép Cho Ethép = 200 GPa, Enhôm = 71 GPa
Phân tích lực ta thấy thanh thép chịu kéo 80 kN và ống nhôm chịu nén 80 kN như ở hình 4-8b
Chuyển vị của C so với B:
( ) ( )
mm N
E A
PL
B
200000 10
4 600
80000
2 2
´
´
´
´
=
=
p
d
thép thép thép
300 mm 300 mm 400 mm
A = 600 mm 2
A = 200 mm 2
20 kN
50 kN
30 kN
B
-
-10 kN
+
-
+
-16.7 MPa
N
s
0.1 mm
0.075 mm
0.275mm
600 mm
400 mm
C
80 kN
Hình 4-8a
80 kN
P BC = 80
kN
P AB = 80 kN
80 kN Hình 4-8b
cuu duong than cong com
Trang 6Nghĩa là điểm C dịch chuyển về bên phải so với điểm B một khoảng là 3.056 mm
Chuyển vị của B so với đầu cố định A:
( ) ( )
mm N
E A
PL
70000 400
400 80000
-´
´
-=
=
nhôm nhôm
nhôm
d
Nghĩa là điểm B dịch chuyển về phía phải so với điểm A một khoảng là 1.143 mm
Vậy dịch chuyển của C so với đầu cố định A là:
dC = dB + dC/B = 1.143 mm + 3.056 mm ÞdC =4.20mm
Ví dụ 4-4: Dầm AB được xem là cứng tuyệt đối đặt trên hai cột ngắn như ở hình 4-9a AC được làm bằng thép có đường kính 20 mm, BD được làm bằng nhôm có đường kính 40 mm Xác định chuyển vị của điểm F trên AB nếu dầm chịu tải thẳng đứng 90 kN như ở hình vẽ 4-9a Cho Ethép = 200 GPa, Enhôm = 70 GPa
+ å MA = 0; – 90000 N × 200 mm + RB × 600 mm = 0
Chuyển vị tại A và B:
( ) ( ) ( mm) (MPa) mm
mm N
E A
L P
AC
AC AC
200000 20
4 300
60000
-´
´
´
´
-=
=
p
d
thép
200 mm
90 kN
400 mm
300 mm
A
C
B
D
F
Hình 4-9a
200 mm
90 kN
400 mm
Hình 4-9b
60 kN
P AC = 60 kN PBD = 60 kN
30 kN
Hình 4-9c
600 mm
400 mm
0.102 mm
dF
0.102 mm
0.184 mm 0.286 mm
Hình 4-9d
cuu duong than cong com
Trang 7Vậy điểm A đi xuống một khoảng 0.286 mm
( mm) (MPa) mm
mm N
E A
L P
BD
BD BD
70000 40
4 300
30000
-´
´
´
´
-=
=
p
d
nhôm Vậy điểm B đi xuống một khoảng 0.102 mm
Từ hình 4-9d, chuyển vị của điểm F là:
( ) ( ) ( ) mm
mm
mm mm
mm
600
400 184
0 102
=
d
Vậy điểm F đi xuống một khoảng là 0.225 mm
Ví dụ 4-5: Dầm AD được xemlà cứng tuyệt đối liên kết với thanh CB như ở hình vẽ 4-10a Diện tích mặt cắt ngang của thanh CB là 14 mm2 Hãy xác định chuyển vị của điểm D theo phương thẳng đứng
Cho EBC = 70000 MPa
m
BC = 1.52 +22 =2.5
+ å MA = 0; – 300 N/m × 4 m × 2 m + NCB × Sina × 2 m = 0
N N
Sin
N
5 1
5 2 4
300 4
= Þ
a
300 N/m 1.5 m
C
Hình 4-10a
300 N/m
N CB
a
H A
R A
Hình 4-10b
A
C
B
B’
D
D’
H
y
Hình 4-10c
cuu duong than cong com
Trang 8Do biến dạng bé:
ỵ í
ì
»
»
' ˆ
ˆA H B B
B C
CH CB
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mm
mm MPa
mm N
A E
L N L
HB
CB CB
CB CB
14 70000
2500 2000
´
´
=
´
´
=
D
=
'
'
BB
HB
5 1
5 2 102
5 '
Sin
HB BB
( ) mm
DD ' = 2 ´ 8 503
II Bài toán siêu tĩnh
1 Định nghĩa: Hệ siêu tĩnh là hệ mà chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học thì không thể giải được
tất cả các phản lực hay nội lực Số phương trình thiếu được gọi là bậc siêu tĩnh
2 Phương pháp giải hệ siêu tĩnh
o Hệ có bậc siêu tĩnh n, thêm vào n phương trình
o Phương trình thêm vào được lập từ các điều kiện biến dạng của hệ (phương trình biến dạng) Các phương trình thêm vào được gọi là điều kiện tương thích
Ví dụ 4-6: Cho thanh ngàm hai đầu chịu lực như ở hình vẽ 4-11 Tìm các phản lực ở ngàm
0
=
-+ å Fy ; FB + FA – P = 0
Điều kiện tương thích:
dA/B = 0
0
=
´
-´
AE
L F AE
L
÷ ø
ư ç è
ỉ
= Þ
L
L P
ø
ư ç è
ỉ
= Þ
L
L P
B
Cả hai phản lực giải ra là dương, vậy chiều đã chọn của
chúng là đúng
Ví dụ 4-7: Một thanh bằng thép có đường kính 5 mm như ở hình vẽ 4-12a Đầu A của thanh được gắn cố định vào tường, đầu B cách tường 1 mm Nếu lực P = 20 kN tác dụng lên thanh như hình vẽ, hãy xác định phản lực tại A và B’ Bỏ qua kích thước của vòng đệm tại C Cho Ethép = 200 GPa
F A
F B
L
A
C
B
L AC
L CB
Hình 4-11
cuu duong than cong com
Trang 9Nếu không có tường ở đầu B, chuyển vị của B cũng chính là chuyển vị của C so với đầu cố định A
( ) ( ) ( mm) (MPa) ( )mm
mm N
E A
L
A
200000 5
4 400
20000
2
´
´
´
´
=
´
´
=
p d
Vậy điểm B sẽ đụng vào tường à bài toán siêu tĩnh
0
=
®+ å Fx ; – FA – FB + 20000 N = 0 (1)
Điều kiện tương thích:
( )mm
A
B/ =1
d
Từ hình vẽ 4-12b và 4-12c, ta có:
AE
L F AE
L F
A
B
´
-´
=
= 1
/
d
( ) ( ) ( ) ( mm) ( ) (MPa)
mm F
MPa mm
mm F
200000 5
4 800
200000 5
4 400
´
´
´
´
-´
´
´
´
=
p p
Þ FA ´ 400 mm – FB ´ 800 mm = 3927 Nmm (2)
Giải hệ (1) và (2) ta có: FA = 16.6 kN FB = 3.40 kN
Ví dụ 4-8: Ba thanh bằng thép được liên kết khớp bản lề với
dầm được xem là tuyệt đối cứng AE như ở hình vẽ 4-13a Nếu
dầm chịu tải 15 kN như hình vẽ, hãy xác định lực dọc trong các
thanh Diện tích mặt cắt ngang của thanh AB và EF là 25 mm2,
của thanh CD là 15 mm2
Đây là bài toán siêu tĩnh vì có 3 ẩn số nhưng ta chỉ có 2
phương trình cân bằng
0
=
-+ å Fy ; FA + FC + FE – 15 kN = 0 (1)
+ å MC = 0;
– F ´ 0.4 m + 15 kN × 0.2 m + F × 0.4 m = 0 (2)
800 mm
400 mm
A
B
1 mm
B’
P = 20 kN
C
Hình 4-12a
P = 20 kN
Hình 4-12b
F B
F B
Hình 4-12c
A
B
C
E 0.5 m
0.4 m 0.2 m 0.2 m
15 kN Hình 4-13a
cuu duong than cong com
Trang 10Điều kiện tương thích: Các điểm A, B, C sẽ dịch chuyển thành các điểm A’, B’ và C’ Từ hình 4-13b, ta có:
( )m ( )m
E C
E
A
4
0
8
0
d d
d
-=
2
1 2
= Þ
û
ù ê
ê ë
é
´
´ +
ú
ú û
ù ê
ê ë
é
´
´
=
´
´
Þ
thép thép
L F E
mm
L F E
mm
L
2 2
2
25 2
1 25
2
1 15
E A
Giải hệ phương trình (1), (2) và (3), ta được:
FA = 9.52 kN FC = 3.46 kN FE = 2.02 kN
III Ứng suất nhiệt
· Sự thay đổi nhhiệt độ à vật liệu thay đổi kích thước
· Nhiệt độ tăng à vật liệu dãn ra
· Biến dạng (độ co lại hoặc độ dãn) của thanh có chiều dài L:
o Trong đó:
§ a : hệ số dãn nở nhiệt [độ]
§ DT : độ tăng hoặc độ giảm nhiệt độ
§ dT : độ co hoặc độ giãn của thanh
· Nếu nhiệt độ thay đổi dọc theo chiều dài của thanh
0 a
· Biến dạng nhiệt làm thanh dãn ra hoặc co lại, tuy nhiên biến dạng này thường bị cản trở do các liên kết à gây ra ứng suất nhiệt
C
0.4 m 0.2 m 0.2 m
15 kN Hình 4-13b
0.4 m 0.4 m
C
C’
A
A’
dA
dE
dC
dE
E E’
Hình 4-13c
cuu duong than cong com
Trang 11Ví dụ 4-9: Một thanh thép ngàm ở hai đầu ở nhiệt độ T1 = 150C như ở hình vẽ 4-14a Nếu nhiệt độ tăng
T2 = 500C, hãy xác định ứng suất nhiệt trung bình trong thanh Cho a = 1.2 ´ 10-5 0C-1, E = 200 GPa
Từ hình vẽ 4-14b, do không có ngoại lực, lực ở A cân bằng với B và ngược chiều
0
=
-+ å Fy ; FA = FB = F
Đây là bài toán siêu tĩnh vì ta không thể giải các lực từ điều kiện cân bằng
Điều kiện tương thích:
· Vì dB/A = 0, chuyển vị nhiệt dT ở A sẽ xuất hiện nhưng chuyển vị này sẽ bị cản lại bởi lực F và chuyển vị do lực F gây ra là dF nay thanh về vị trí ban đầu (hình 4-14c)
· Do đó điều kiện tương thích ở A là:
dB/A = 0 = dT – dF
AE
FL L
-D
´
=
Mặt khác, ta có: F = a ´ DT ´ A ´ E
= 1.2 ´ 10-5 0C-1 ´ 350C ´ 13 mm ´ 13 mm ´ 200000 MPa
F = 14196 N
( )2
13 13
14196
mm
N A
F
´
=
=
610 mm
13 mm
13 mm
A
B
Hình 4-14a
F
F Hình 4-14b
dT
dF
Hình 4-14c
cuu duong than cong com