Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện điều kiện I.. Kiến thức cần nhớ về hệ thức Vi-ét và các ứng dụng 1.. Cách làm bài toán tìm m để phương trình bậc hai có hai n
Trang 1Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện điều
kiện
I Kiến thức cần nhớ về hệ thức Vi-ét và các ứng dụng
1 Định lý Vi-ét thuận
ax +bc+ =c a * có hai nghiệm x x1, 2 Khi
đó hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:
1 2
1 2
b
a c
P x x
a
−
= + =
Hệ quả: Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể
nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt sau:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm x =1 1 và x2 c
a
=
+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm x = −1 1 và x2 c
a
= −
2 Định lý Vi-ét đảo
Giả sử hai số thực x x1, 2 thỏa mãn hệ thức:
1 2
4
x x P
+ =
thì x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 −Sx+ =P 0
3 Cách làm bài toán tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều
kiện cho trước
+ Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường
là a 0 và 0)
+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho
Trang 2+ Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm
II Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn
điều kiện cho trước
Bài 1: Cho phương trình bậc hai 2 ( )
x − m− x+ m− = (x là ẩn số, m là tham số)
a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m,
b) Tìm m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6
Lời giải:
a, Ta có: =' b'2−ac
Vậy với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức
Vi-ét:
1 2
1 2
2 5
b
a c
a
−
Ta có tổng hai nghiệm bằng 6
Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn tổng hai nghiệm
bằng 6
Bài 2: Cho phương trình 2 ( )
x − m+ x+ =m (x là ẩn số, m là tham số)
a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt x x1; 2 của phương trình thỏa mãn x12 + x22 có giá
trị nhỏ nhất
Lời giải:
Trang 3a, Ta có 2 ( )2 2 ( )2
Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức
Vi-ét:
1 2
1 2
2 3
b
a c
a
−
+ = = +
Ta có
2 2
1 2 1 2 1 2
2
2
5 11 11 2
m
= + +
4
m −
=
4
m = −
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
nhất
Bài 3: Tìm m để phương trình 2 ( )
x + m+ x− = có hai nghiệm phân biệt thỏa
mãn 3x1+2x2 =4
Lời giải:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ' 0
' m 1 4 2 m 1 8 0 m
= + − − = + +
Với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:
Trang 4( ) ( )
2 2
2
b
a c
x x
a
+ = − = − + = − + −
= = −
Ta có 3x1+2x2 = −4 3 2(m+ −1) x2+2x2 =4
2 2 2
1
Có x x1 2 = − −2 (6m+10 4)( m+8)= −2
2 2
6 10 4 8 2
24 48 40 80 2
24 88 78 0
3 2 13 6
m
m
−
=
−
=
2
m = − hoặc 13
6
m = −
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 3x1+2x2 =4
Bài 4: Cho phương trình x2 −5x+ =m 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm
phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1−x2 =3
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0
4
Trang 5Vậy với 25
4
m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức
Vi-ét
1 2
1 2
5
b
a c
a
−
+ = =
A= x −x = A = x −x =
2 2
1 2 2 1 2 9 1 2 4 1 2 9
Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1−x2 =3
III Bài tập tự luyện về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn
điều kiện cho trước
Bài 1: Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 =2x2:
a) x2 +6x+ =m 0
b) x2 +mx+ =8 0
c) mx2 −3x+ =2 0
Bài 2: Tìm phương trình x2 +2x+ =m 0 (x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm
phân biệt thỏa mãn điều kiện trong các trường hợp sau:
a) 3x1+2x2 =1
b) x12 −x22 =12
c) x12 +x22 =1
Bài 3: Cho phương trình 2 ( 2 )
x −mx− m + = Tìm giá trị của m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn:
a) x12 +x22 =52
b) x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 6Bài 4: Cho phương trình 2 ( 2 )
1 0
x −mx+ m + = Tìm giá trị của m để các nghiệm
phân biệt của phương trình thỏa mãn x12 + x22 đạt giá trị lớn nhất