BÁO cáo bài tập lớn GIẢI TÍCH 2 đề 9 khối vật thể giới hạn bởi mặt cầu và mặt phẳng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 Đề 9 Khối vật thể giới hạn bởi mặt cầu và mặt phẳng Giảng viên giảng dạy Lê Nguyễn Hạnh Vy Nhóm 19 Lớp L38 Thành phố Hồ[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

Đề 9 : Khối vật thể giới hạn bởi mặt cầu và mặt phẳng

Giảng viên giảng dạy: Lê Nguyễn Hạnh Vy

Nhóm: 19 Lớp: L38 Thành phố Hồ Chí Minh – 2022

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

1913738 Lê Quốc Khánh khanh.le_saltpower@hcmut.edu.vn

2013948 Nguyễn Minh Nguyệt nguyet.nguyenmoon2510@hcmut.edu.vn

1813522 Nguyễn Diệp Hoàng Thanh Phong phong.nguyen2000bk@hcmut.edu.vn

Bảng phân công công việc

2013948 Nguyễn Minh Nguyệt Thuyết trình và tính toán 100%

1914427 Đào Trí Nhân Tổng hợp word và kiếm

1813522 Nguyễn Diệp Hoàng

Thanh Phong Vẽ xoắn ốc và làm cơ sởlý thuyết 100%

Mục Lục

Lời mở đầu ………4

I )Phần Nội Dung 1.1 định nghĩa ………5

1.2 Ý nghĩa hình học ……….6

1.3 Cách tính tích phân kép (trong hệ toạ độ descartes)……….7

1.4 Biến đổi trong tích phân kép ………8

II) Dựng Mô Hình và tính toán ……….11

III) Nhận xét ……… 21

IV) Tài liệu tham khảo ……… 21

LỜI MỞ ĐẦU

Những vấn đề thường gặp trong cuộc sống nói chung và hoạt động kinh tế nói riêng rất đa dạng và phức tạp Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho việc phát biểu, phân tích và

mang lại các lợi ích thiết thực Việc biết cách mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng các mô hình toán học thích hợp, vận dụng các phương pháp toán học để giải quyết chúng, phân tích và chú giải cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logic luôn

là một yêu cầu cấp bách đối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân tích kinh tế Hiểu được tầm quan trọng của toán học trong đời sống , nhóm chúng em đã chọn đề 9 Qua đó, đề tài sẽ tìm hiểu cụ thể hơn về các định nghĩa, công thức về tích phân cũng như các ứng dụng quan trọng của tích phân nhằm giải các bài toán trong các vấn đề sắp tới

Nội dung :

1.1 Định nghĩa.

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn D Chia miền D thành n mảnh rời nhau

D1, D2, , Dn có diện tích lần lượt là ΔS1, ΔS2, , ΔSn Trong mỗi mảnh Di , lấy tuỳ ý mộtđiểm Mi(xi, yi) Lập tổng (gọi là tổng tích phân của hàm f(x,y))

Nếu f(x,y) khả tích trên miền D, thì tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D

Do đó, ta chia miền D bởi các đường thẳng song song với các trục tọa độ Khi đó,

Đại lượng gọi là giá trị trung bình của f trên D.

1.2 Ý nghĩa hình học.

Ta xét bài toán: “Tìm thể tích của vật thể Ω giới hạn dưới bởi miền D (Oxy), giới hạn⸦trên bởi mặt cong có phương trình z = f(x,y) ≥ 0 và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ cóđường sinh song song với Oz và đường chuẩn là biên của D”

Ta tính thể tích của Ω bằng phương pháp gần đúng.

Chia miền D thành n mảnh rời nhau D1,D2, ,Dn có diện tích ΔS1, ΔS2, , ΔSn Lấy mỗimảnh nhỏ làm đáy, dựng hình trụ con có đường sinh song song với Oz, mặt phía trên giớihạn bởi mặt z = f(x,y)

Xét hình trụ con thứ i: đáy là Di, lấy tuỳ ý 1 điểm Mi(xi,yi) Ta có thể tích hình trụ con thứi: ΔVi ≈ f(xi,yi).ΔSi

Chú ý: Khi D = [a;b]x[c,d] và f(x,y) = g(x)h(y), ta có:

 Trường hợp 2: D :{ a≤ x ≤b

f1(x)≤ y≤ f2(x)

 Trường hợp 3: D :{ c≤ y ≤ d

g1( y)≤ x ≤ g2( y)

1.4 Biến đổi trong tích phân kép.

a Biến đổi tổng quát.

 Đổi biến {x=x(u,v)(∗)

y= y(u, v)Giả sử rằng:

 x=x(u,v), y=y(u,v) là các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp 1 trênmiền D’ của mặt phẳng Ouv

 Công thức (*) xác định một song ánh từ D’ lên D

 Định thức Jacobi

Khi đó,

 Khi D là một miền đối xứng qua Ox hoặc Oy hoặc gốc O, ta có kết quả sau:

D = D1∪ D2 với D1 và D2 rời nhau

 Nếu D1 đối xứng D2 qua Ox thì

Chú ý: x2 + y2 = r2

tgφ= y

x

 Phép biến đổi trong toà độ cực.

Đổi biến {x=r cosφ

y− y0=r sinφ

Khi đó định thức Jacobi J = |cosφ − r sinφ

sinφ r cosφ|

Khi lấy cận của r , φ ta coi như gốc toạ độ dời về tâm hình tròn

 Trường hợp 2: Miền phẳng D là Ellipse a x22+ y2

Vật thể được tạo bởi x2+ y2+z2 =4 và z = 1.

Vật thể được tạo bởi x2+ y2+z2 =4 và z = -1.

Thể tích vật: tính bằng cách lấy thể tích toàn cầu trừ thể tích chỏm cầu dưới

Vật thể được tạo bởi x2+ y2+z2 =4 và z = x + y, 13vật thể được chia cách với phần còn lại bởi z=0.

Vật thể được tạo bởi x2+ y2+z2 =4, z=1 và z = -1.5.

x2+ y2 = 7 4

Với x¿(1ưu)(3+cos(v))cos(4 πu), y=(1ưu)(3+cos(v))sin(4 πu),z=3u+sin ⁡(v)(1ư u)

Đổi biến: dxdydz = Jdudv

Với J là định thức jacobi xác định như sau:

4 πsin(4 πu)×(cos(v)+3)×(u−1)− cos(4 πu)×(cos(v)+3) cos(4 πu)×sin(v)×(u−1)

− sin(4 πu)×(cos(v)+3)−4 πcos(4πu)×(cos(v)+3)×(u−1) sin(4 πu)× sin(v)×(u− 1)

Với ma trận trên, chưa thể tính được định thức Jacobi nên chưa tìm được thể tích vật

- Đây là tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế

- Tích phân kép có khả năng ứng dụng vào tính diện tích, thể tích của vật thể , diện tích mặt cong ,

1 Giáo trình giải tích 2 trường đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh

2 ThS.Bùi Xuân Diệu, Giáo trình giải tích 2, truy cập từ

https://vieclamvui.com/viec-lam-giao-duc-dao-tao/giai-tich-2-1942.html#1giao-trinh-giai-tich-2-bui-xuan-dieu

3 ThS.Lê Nguyễn Hạnh Vy giải tích 2 truy cập từ,

http://elearning.hcmut.edu.vn/pluginfile.php/1936292/mod_resource/content/0/N3_TICHPHANKEP.pdf

4 Mark zegarelli (January 24, 2012), Calculus II For Dummies