TIỂU LUẬN CHỦ đề tìm HIỂU THUẬT TOÁN, THUẬT TOÁN đệ QUY và THUẬT TOÁN KHÔNG đệ QUY

1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  BÀI TIỂU LUẬN CHỦ ĐỀ TÌM HIỂU THUẬT TOÁN, THUẬT TOÁN ĐỆ QUY VÀ THUẬT TOÁN KHÔNG ĐỆ QUY Giảng viên hướng dẫn Nguyễn Văn Trường 2 Thái Nguyên, tháng 10[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- -BÀI TIỂU LUẬN CHỦ ĐỀ:

TÌM HIỂU THUẬT TOÁN, THUẬT TOÁN ĐỆ QUY VÀ

THUẬT TOÁN KHÔNG ĐỆ QUY

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Văn Trường

Mục lục

I LỜI MỞ ĐẦU 5

II PHẦN MỞ ĐẦU 7

1 Lý do chọn đề tài 7

2 Mục tiêu của đề tài 8

3 Đối tượng nghiên cứu 8

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 8

5 Phương pháp nghiên cứu 9

III PHẦN NỘI DUNG 9

CHƯƠNG I THUẬT TOÁN 10

1 Khái niệm 10

2 Đặc trưng của thuật toán 10

3 Các kiểu biểu diễn của thuật toán 14

4 Áp dụng thuật toán vào chương trình giáo dục phổ thông 17

CHƯƠNG II THUẬT TOÁN ĐỆ QUY 17

4 Áp dụng thuật toán đệ quy vào chương trình giáo dục phổ thông 22

CHƯƠNG III THUẬT TOÁN KHỬ ĐỆ QUY 24

IV PHẦN KẾT LUẬN 29

DANH SÁCH CÁC TỪ VIẾT TẮT

1. LỜI MỞ ĐẦU

Cấu trúc dữ liệu (CTDL) và giải thuật là môn học đóng vai trò quan trọng trong quá trình đào tạo cử nhân các ngành khoa học máy tính và công nghệ thông

tin Bài tiểu luận này được viết dựa trên cơ sở giáo trình “Cấu trúc dữ liệu và giảithuật”.

Chủ đề lần này của bài thảo luận của chúng em là tìm hiểu về Thuật toán, thuật toán đệ quy và thuật khử đệ quy Bài thảo luận này gồm 3 phần: Phần mở đầu, phần nội dung, và phần kết luận

Nội dung của bài thảo luận được trình bày sau đây sẽ phần nào giúp các bạn hiểu sâu sắc hơn về thuật toán, thuật toán đệ quy và các giải thuật liên quan tới nó.Trong đề tài này chúng tôi trình bày gồm có 3 chương.Mỗi chương chúng em

đã cố gắng trình bày ngắn gọn, trực tiếp vào bản chất của vấn đề, đồng thời sử dụng cài đặt tất cả các chương trình bằng ngôn ngữ lập trình C++,hy vọng sẽ mang lại sự gần gũi, dễ hiểu cho các sinh viên,mong rằng nó sẽ thực sự giúp ích cho các bạn trong quá trình nghiên cứu về đệ quy

Ở phần nội dung của bài thảo luận này sẽ gồm 3 chương:

 Chương 1: Trình bày khái niệm thuật toán, các tính chất của

thuật toán, biểu diễn thuật toán Đưa ra các kiểu dữ liệu và giải thích về độ phức tạp của thuật toán

 Chương 2: Trình bày khái niệm thuật toán đệ quy, ý tưởng, ví dụ,

độ phức tạp của thuật toán đệ quy và các chương trình cài đặt.

 Chương 3: Trình bày khái niệm thuật toán đệ quy, ý tưởng, ví dụ,

độ phức tạp của thuật toán khử đệ quy và các chương trình cài đặt.

Bài thảo luận này sẽ giúp mọi người nâng cao kiến thức cơ bản về Tin học Bài thảo luận này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, chúng em chân thành mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy

Nhóm tác giả.

3 Lý do chọn đề tài.

Đối với một lập trình viên, việc học thuật toán và sử dụng chúng đúng cách sẽgiúp bạn giải quyết vấn đề một cách dễ dàng, chính xác trong thời gian ngắn nhất Vì thế thuật toán là một phần quan trọng không thể thiếu trong bộ môn

“Cấu trúc dữ liệu và giải thuật”

Chúng em chọn đề tài này vì tính quan trọng của thuật toán như đã nêu trên,

và sẽ giúp mọi người hiểu hơn

Đệ quy không những giúp người lập trình giải quyết tốt các bài toán mà còn giúp nâng cao tư duy toán, rèn luyện kỹ thuật lập trình.Tuy rằng bên cạnh giải thuật đệ quy vẫn có những giải thuật lặp khá đơn giản và hữu hiệu,chẳng hạn nhưgiải thuật lặp tính n! nhưng đệ quy vẫn có vai trò xứng đáng của nó, có những bài toán việc nghĩ ra lời giải đệ quy thuận lợi hơn nhiều so với lời giải lặp và có những giải thuật đệ quy thật sự cũng có hiệu lực cao nữa

4 Mục tiêu của đề tài.

Giúp mọi người hiểu hơn về thuật toán, cụ thể là thuật toán đệ quy và thuật toán khử đệ quy Cũng như là tìm hiểu về ý tưởng của thuật toán, cách cài đặt, ví

dụ cũng như là độ phức tạp của từng thuật toán

Nghiên cứu này phục vụ cho việc học tập môn CTDL&GT, cũng như là một bài tập lớn cho cả nhóm

5 Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu bao gồm:

 Thuật toán.

 Thuật toán đệ quy.

 Thuật toán khử đệ quy.

6 Nhiệm vụ nghiên cứu.

Việc nghiên cứu về thuật toán đóng một vai trò quan trọng trong khoa học máy tính vì máy tính chỉ giải quyết được bài toán khi đã có hướng dẫn giải rõ ràng đúng đắn Nếu giải thuật sai hoặc các bước mập mờ, không rõ ràng sẽ dẫn đến việc không giải quyết dược yêu cầu mà bài toán đặt ra

7 Phương pháp nghiên cứu.

Chúng em sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu, và phân tích để tổng hợp lại những kiến thức một cách cô đọng nhất để mọi người có thể tiếp cận

Chúng em sẽ sử dụng kiến thức của môn Toán rời rạc (cụ thể là phần “quy nạp”) để áp dụng vào 1 số bài toán sử dụng thuật toán đệ quy

8. PHẦN NỘI DUNG.

CHƯƠNG I THUẬT TOÁN.

1 Khái niệm.

Thuật toán trong tiếng Anh có nghĩa là Algorithms, khái niệm đề cập đến

một quá trình được sử dụng để xử lý, tính toán hay giải quyết một vấn đề nào

đó Khái niệm thuật toán vốn được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực công nghệ,trong toán học, trong ngành khoa học máy tính hay thậm chí là trong kinh doanh và marketing, tuỳ thuộc vào từng điều kiện cụ thể, các thuật toán được ứng dụng theo những cách khác nhau

Trong tin học, thuật toán là một hệ thống chặt chẽ và rõ ràng các quy tắc nhằm xác định một dãy các thao tác trên những đối tượng, sao cho sau một số

hữu hạn bước thực hiện các thao tác, ta đạt được mục tiêu đã định trước

2 Đặc trưng của thuật toán.

Thuật toán được đặc trưng bởi 6 yếu tố, bao gồm:

 Tính xác định.

Tính xác định của thuật toán thể hiện ở chỗ: Các thuật toán thực hiện một số bước cố định và luôn kết thúc với trạng thái chấp nhận hoặc từ chốivới cùng một kết quả Ở mỗi bước của thuật toán thì các thao tác phải rõ ràng, không gây ra sự nhầm lẫn, lẫn lộn,… Những thuật toán có kết quả ngẫu nhiên được gọi là không xác định

Ví dụ một đoạn chương trình về tính xác định:

function is_odd(n):

if n mod 2 = 1

then return true

else return false

Đây là một thuật toán xác định vì nó được sử dụng để xem một số nhất định có phải số lẻ hay không.

 Tính hữu hạn.

Một thuật toán bao giờ cũng phải dừng lại sau một số hữu hạn bước

Tức là nó sẽ bắt đầu và sau một số bước thì phải kế thúc và đưa ra kết quả như mong muốn Tính hữu hạn là tính chất dễ bị vi phạm nhất, thường do sai sót khi không trình bày

Để tránh việc lặp vô tận khi cài đặt thì các thuật toán phải có tính hữu hạn (tính dừng)

i <= n, thì biến t sẽ có giá trị là t*(i), nếu biến i > n thì sẽ trả giá trị t lại =1

 Tính tổng quát.

Thuật toán cần phải có tính tổng quát khi áp dụng được cho mọi trường hợp chứ không trong trường hợp nào cụ thể cả Vì thuật toán sẽ làm việc trên nhiều kiểu dữ liệu khác nhau, trong một miền xác định và luôn dẫn đến kết quả mong muốn và cần tính tổng quát cho mọi trường hợp

Ví dụ về tính tổng quát:

Int giaipt(float a, float b, float c) {

float delta = b*b – 4*a*c;

cout << “Phuong trinh da cho co 2 nghiem”; }

Thuật toán trên để giải phương trình bậc hai và cho biết có nghiệm hay không cho từng trường hợp của delta

 Dễ hiểu đối với con người

 Dễ cài đặt trên máy tính

Thông thường các thuật toán thường không đảm bảo thỏa mãn đầy đủ các tiêu chuẩn ở trên Chẳng hạn người ta thấy rằng một thuật toán sử dụngnhiều bộ nhớ thường chạy nhanh và ngược lại nếu nó sử dụng ít bộ nhớ thì hay chạy chậm

 Tính đúng.

Thuật toán cần đảm bảo tính đúng đắn, nghĩa là sau khi đưa dữ liệu vào

nó có thể hoạt động và đưa ra kết quả như ý muốn Tuy nhiên, đây là tính chất khó đạt tới nhất Điều này tương tự như khi ta giải một bài toán, tất cả chúng ta đều mong đưa ra đáp án đúng, nhưng không phải lúc nào cũng đạtđược Việc chứng minh tính đúng đắn của thuật toán rất quan trọng Đối với nhiều vấn đề, không thể khẳng định độ tin cậy của một thuật toán cho đến khi nó đưa ra đầu ra chính xác cho mỗi đầu vào hợp lệ

Ví dụ về tính đúng: Cho một dãy A[1…n], xét x xem x có thuộc vào dãy A[1…n]?

Void timkiem(int a[], int x) {

for (i -1;i <= n; i++)

if (a[i] == x)

cout << “Co xuat hien”;

else cout << “Khong xuat hien”;

Đây là một đoạn chương trình nhìn qua thì tưởng đúng nhưng thực chất

là sai, vì tính không rõ ràng, nó xuất hiện cả hai kết quả Dẫn đến không cótính đúng

 Tính có đại lượng vào và ra.

Ở bài toán nào khi sử dụng đến thuật toán cũng cần đảm bảo các đại lượng vào và ra Đại lượng vào mà ta thường gọi là dữ liệu vào (input), các

dữ liệu vào thường lấy từ một tập xác định cho trước

Sau khi thuật toán chay xong thì cần có một dữ liệu ra (output)

Ví dụ về tính có đại lượng vào và ra:

VD: Tìm phần tử lớn nhất trong mảng A:

Input: Mảng A gồm n số nguyên

Output: GTLN của mảng A

3 Các kiểu biểu diễn của thuật toán.

Các phương pháp biểu diễn thuật toán phổ biến:

 Ngôn ngữ tự nhiên

Trong cách biểu diễn thuật toán theo ngôn ngữ tự nhiên, người ta

sử dụng ngôn ngữ thường ngày để liệt kê các bước của thuật toán Phương pháp biểu diễn này không yêu cầu người viết thuật toán cũng như người đọc thuật toán phải nắm các quy tắc Tuy vậy, cách biểu diễn này thường dài dòng, không thể hiện rõ cấu trúc của thuật toán, đôi lúc gây hiểu lầm hoặc khó hiểu cho người đọc

Ví dụ:

 Sơ đồ khối (flowchart).

Sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật toán Biểu diễn thuật toán bằng lưu đồ sẽ giúp người đọc theo dõi được sựphân cấp các trường hợp và quá trình xử lý của thuật toán Phương pháp lưu đồ thường được dùng trong những thuật toán có tính rắc rối, khó theo dõi được quá trình xử lý

Ðể biểu diễn thuật toán theo sơ đồ khối, ta cần lưu ý các thao tác với nhau

 Thao tác chọn lựa: Thao tác chọn lựa được biểu diễn bằng một hình thoi, bên trong chứa biểu thức điều kiện

 Thao tác xử lý: Thao tác xử lý được biểu diễn bằng một hình chữnhật, bên trong chứa nội dung xử lý

 Đường đi: Đường đi được biểu diễn bằng các mũi tên, chỉ hướng đi.

Ví dụ:

 Mã giả

Mọi ngôn ngữ lập trình đều có những thao tác cơ bản là xử lý, rẽ nhánh và lặp Dùng mã giả vừa tận dụng được các khái niệm trong ngôn ngữ lập trình, vừa giúp người cài đặt dễ dàng nắm bắt nội dungthuật toán Tất nhiên là trong mã giả ta vẫn dùng một phần ngôn ngữ

tự nhiên

Ví dụ:

if Delta > 0 then begin

x1=(-b-sqrt(delta))/(2*a)x2=(-b+sqrt(delta))/(2*a)xuất kết quả : phương trình có hai nghiệm là x1 và x2end

else

if delta = 0 thenxuất kết quả : phương trình có nghiệm kép là -b/(2*a)else {trường hợp delta < 0 }

xuất kết quả : phương trình vô nghiệm

 Ngôn ngữ lập trình

Vì ngôn ngữ lập trình có ngữ nghĩa được quy định rõ ràng, nên

nó cho chép biểu diễn giải thật toán một cách chính xác Bài thảo luận này sử dụng ngôn ngữ lập trình C++ để biểu diễn thuật toán

4 Áp dụng thuật toán vào chương trình giáo dục phổ thông.

CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG MÔN TIN HỌC (Ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm

2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo)

Chương trình môn Tin học ở cấp trung học phổ thông thể hiện sự phân hoá sâu hơn về định hướng nghề nghiệp Do vậy, chương trình có các yêu cầu cần đạt chung về năng lực tin học bắt buộc đối với mọi học sinh và có các yêu cầu bổ sung riêng tương ứng với học sinh chọn định hướng Tin học ứng dụng hoặc Khoa học máy tính

Giúp học sinh có những hiểu biết cơ bản về hệ thống máy tính, một số

kĩ thuật thiết kế thuật toán, tổ chức dữ liệu và lập trình; củng cố và phát triển hơn nữa cho học sinh tư duy giải quyết vấn đề, khả năng đưa ra ý tưởng và chuyển giao nhiệm vụ cho máy tính thực hiện

CHƯƠNG II THUẬT TOÁN ĐỆ QUY.

1 Tổng quan về thuật toán đệ quy.

Đệ quy (Recursion) là một trong những giải thuật quen thuộc trong lập trình, hay rộng hơn là trong toán học (thường được gọi với cái tên khác là

“quy nạp”) Có một số bài toán, bắt buộc người giải phải sử dụng đệ quy mới giải quyết được, chẳng hạn như duyệt cây

Mô tả đệ quy được hiểu là một đối tượng được mô tả thông qua chính nó

Một bài toán mang tính chất đệ quy khi nó có thể được phân ra thành các bài toán nhỏ hơn nhưng vẫn mang cùng tính chất với bài toán ban đầu Các bài toán nhỏ lại được phân ra thành các bài toán nhỏ hơn nữa theo cùng như tính chất đó

Để tránh việc lặp vô tận khi cài đặt TTĐQ, hàm đệ quy cần có tính dừng: Nếu gặp 1 điều kiện nào đó, nó cần phải dừng lại việc tự gọi lại chính mình

2 Một số bài toán cơ bản của thuật toán đệ quy.

Bài 1: Tìm phần tử Fibonacci (bài toán Fibonacci).

Ý tưởng: Số tiếp theo trong dãy số sẽ được tính bằng cách cộng 2 số

trước với nhau

Cài đặt chương trình:

Kèm link driver ở cuối

Ví dụ:

Chúng ta sẽ diễn giải cách chạy của hàm đệ quy trong bài toán

Fibonancci qua từng bước:

Bước 1: Nếu n = 0, hoặc n = 1; thì giá trị của fibo(int n) sẽ trả về 1.Bước 2: Không thì giá trị của fibo (int n) sẽ luôn được gọi bằng tổng giá trị của số ở vị trí (n-1) + số ở vị trí (n-2)

Hàm fibo() có điều kiện dừng chính là n = 0, hoặc n =1

Độ phức tạp:

Bài 2: Tính giai thừa bằng thuật toán đệ quy.

Ý tưởng: Giai thừa của một số là số đó nhân với số trước đó

Bước 2: Không thì giá trị của giaithua(int n) sẽ luôn được gọi trả về giátrị của số n * giaithua(n-1).

Hàm giaithua() có điều kiện dừng chính là n =1

Độ phức tạp:

Bài 3: Tính số mũ của một số bằng thuật toán đệ quy.

Ý tưởng: Số mũ n của một số là n lần số đó nhân với nhau.

Bước 1: Nếu n = 0; thì giá trị của somu(int n,int k) sẽ trả về 1

Bước 2: Nếu n = 1; thì giá trị của somu(int n,int k) sẽ trả về n

Bước 3: Không thì giá trị của somu(int n,int k) sẽ luôn được trả về giá trị của số n*somu(n,k-1)

Hàm somu() có điều kiện dừng chính là n=0, n =1

Độ phức tạp:

Bài 4: Tìm UCLN của hai số bằng thuật toán đệ quy.

Ý tưởng: Tìm UCLN của hai số bằng cách dùng thuật toán Euclid.

Chia lấy số dư của số lớn cho số bé, sau đó lấy số chia chia tiếp cho số

dư (của phép tính trước) Nếu kết quả bằng 0, thì số chia là UCLN, còn không thì số dư cuối cùng sẽ là UCLN

m = 0 => n là uclnn%m == 0 => m là uclnn%m = k; m%k = l, k%l = 0 => l là ucln

Bước 1: Nếu m = 0; thì giá trị của UCLN(int n,int m) sẽ trả về n

Bước 2: Nếu n%m == 0; thì giá trị của UCLN(int n,int m) sẽ trả về m.Bước 3: Không thì giá trị của UCLN(int n,int m) sẽ luôn được trả về giátrị của số ucln (n,n%m)

Hàm UCLN() có điều kiện dừng chính là m=0, n%m =0

Độ phức tạp:

3 Ưu điểm và nhược điểm của thuật toán đệ quy.

 Ưu điểm:

 Công cụ mạnh, diễn đạt tư duy rất rõ ràng, chặt chẽ

 Ngắn gọn, có khả năng định nghĩa một tập hợp rất lớn các đối tượng bằng một số câu lệnh hữu hạn

 Làm cho chương trình trông đẹp mắt, dễ đọc, dễ hiểu và chương trình được nêu bật rõ ràng hơn

 Nhược điểm:

 Đệ quy tốn bộ nhớ nhiều hơn khi không đệ quy vì mỗi lần gọi đệ quy lại cần thêm một vùng nhớ mới trong khi vùng nhớ cũ vẫn được duy trì

 Tốc độ thực hiện chương trình chậm hơn khi không đệ quy

4 Áp dụng thuật toán đệ quy vào chương trình giáo dục phổ thông.

Theo CTGDPT 2018 môn Tin học, chuyên đề học tập sẽ được đi theo hai định hướng:

 Định hướng Tin học ứng dụng

 Định hướng Khoa học máy tính

Chúng ta sẽ đi cụ thể vào định hướng KHMT, lớp 11 sẽ có chuyên đề: Thực hành thiết kế thuật toán theo kĩ thuật Đệ quy Ở chuyên đề này, mục tiêu là: Giúp học sinh có khả năng thiết kế thuật toán theo kĩ thuật Đệ quy

Cụ thể chuyên đề này có những bài toán cơ bản như sau mà học sinh cần hiểu và có thể viết được chương trình:

 Trình bày được tính đệ quy trong một vài định nghĩa sự vật, sự việc

 Xác định được phần cơ sở và phần đệ quy trong mô tả đệ quy

 Ứng dụng được kĩ thuật Đệ quy trong thiết kế một vài thuật toán như:

 Tính an (hoặc n!)

 Tìm phần tử thứ n của dãy Fibonaci

 Bài toán Tháp Hà Nội

 Viết được chương trình sử dụng kĩ thuật Đệ quy cho một vài bài toán đơn giản

 Nhận biết được tính ưu việt của kĩ thuật Đệ quy trong định nghĩa

sự vật,mô tả và thiết kế thuật toán

Ở bài thảo luận này thì chúng em sẽ chỉ đưa ra những phần cài đặt chương trình cũng như ý tưởng thuật toán, biểu diễn, và cài đặt chương trình cho 3 bài toán ứng dụng ở trên Các khái niệm về thuật toán thì chúng

em đã nêu ra ở trên

cơ bản của thuật toán Đệ quy).

Bài toán tìm phần tử thứ n của dãy Fibonaci (đã nêu kèm ở trên)

(phần Một số bài toán cơ bản của thuật toán Đệ quy).

Bài toán Tháp Hà Nội:

Ý tưởng:

Nếu đã biết cách chuyển N - 1 đĩa từ cột A sang cột B, ta chỉ cần

chuyển đĩa thứ N (đĩa cuối cùng) từ cột A sang cột C, rồi chuyển N - 1 đĩa

từ cột B sang cột C

Giải thuật không còn đệ quy khi chỉ có 1 đĩa, vì ta chuyển trực tiếp từ cột A sang cột C luôn mà không cần thông qua cột B

Biểu diễn: