Chuyên đề bồi dưỡng HSG, một số vấn đề về giới hạn của dãy số

Chuyên đề bồi dưỡng HSG, một số vấn đề về giới hạn của dãy số, Chuyên đề bồi dưỡng HSG, một số vấn đề về giới hạn của dãy số, Chuyên đề bồi dưỡng HSG, một số vấn đề về giới hạn của dãy số, Chuyên đề bồi dưỡng HSG, một số vấn đề về giới hạn của dãy số,

Một số vấn đề về giới hạn của dãy số

I Lí do chọn đề tài:

- Dãy số là một chủ đề lớn trong nội dung của học sinh giỏi quốc gia Bài toán tìm giới hạn

của dãy số vẫn là một bài toán khó đối với học sinh THPT Ngoài các dạng bài toán quen thuộc

thì nhiều bài toán tìm giới hạn dãy số vẫn là một thách thức đối với nhiều học sinh nhất là

trong các bài tập về giới hạn dãy số trong các kì thi học sinh giỏi Với mong muốn giúp học

sinh có một cách tiếp cận dễ dàng hơn về một số chủ đề giới hạn của dãy số vì vậy trong

chuyên đề này, tôi xin phép trình bày về ba nội dung của dãy số:

- Trong nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi về phần dãy số, ta thường gặp một lớp bài toán

giúp học sinh có một cách nhìn đơn giản hơn về việc chứng minh dãy số  u n

hội tụ tôi xin

phép được trình bày về nội dung sự hội tụ của dãy số dạng u n1f u n

và ứng dụng của

hàm co và hằng số Lipschitz trong các bài toán về giới hạn của dãy số.

- Bên cạnh đó trong các bài toán giải tích thi chọn học sinh giỏi môn toán trong các đề thi

học sinh giỏi tính và học sinh giỏi quốc gia ta thường gặp các bài toán về dãy nghiệm

phương trình Để giải những bài toán này, chúng ta thường sử dụng các định lí của giải tích

như: Định lí Lagrange, định lí Weierstrass, định lí giá trị trung bình, Do đó đòi hỏi học sinh

và giáo viên phải có sự vận dụng, kết hợp khéo léo các định lí này của giải tích để giải quyết

một cách tốt nhất các bài toán về dạng này.

II Nội dung đề tài

1 Tính hội tụ của dãy số dạng x n1f x n

 

n

f x x

.

liên tục trên D nên F x 

giữ nguyên dấu trên các

cùng âm, ta chứng minh tương tự

Vậy ta luôn có phương trình f x  x

Định lí 2: Cho hàm số f D:  D là hàm số đồng biến Dãy  x n

b) Chứng minh tươn tự như a) ta có điều phải chứng minh.

Định lí 3: Cho hàm số f D:  D là hàm số nghịch biến Dãy  x n

liên tục trên D thì   là nghiệm của phương trình: , f f x    x

Khi đó nếu phương trình f f x    x

có nghiệm duy nhất thì   và lim n

131

Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được u n  1;0 ,  n 2

Trong đó:   là nghiệm của phương trình: , f f x    x mà phương trình f x x

có nghiệm duy nhất x  1 3 nên phương trình f f x   x

u u

Xét hàm số :

  1.2

b u u

2 2 2

1

02

b u u

Theo giả thiết, ta có : u n1 4 8u n1

Lấy giới hạn hai vế, ta có : x 4 8x1

x2 42 8x 1

     x4 8x2 8x15 0  x1 x 3 x24x5 0

 

13

Bài 7: Cho dãy số  u n

có giới hạn hữu hạn khi n   Tìm giới hạn đó.

Bài 8: Cho dãy số  u n

thỏa mãn :

1 1

01

có giới hạn hữu hạn khi n   Tìm giới hạn đó.

Bài 9: Cho dãy số  u n

có giới hạn hữu hạn khi n   Tìm giới hạn đó.

Bài 10: Cho dãy số  u n

thỏa mãn :

 1

1;01

1, 1, 2,3,

1

n n

được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi  0 nhỏ tùy ý, luôn tồn

tại số tự nhiên n0 sao cho u m u n ,m n n,  0

Định lí 1: Dãy số  u n

hội tụ khi và chỉ khi dãy  u n

là dãy Cauchy

Định nghĩa 2: Cho ánh xạ :f D D với D   Khi đó ánh xạ f được gọi là một ánh

xạ co trên D nếu tồn tại số thực 0;1

sao cho với mọi ,x y D ta luôn có:

f x  f y  x y

(  được gọi là hằng số Lipschitz)

Định nghĩa 3: Cho hàm số :f D   Hàm số f được gọi là co trên D , nếu tồn tại số

- Trước hết, ta chứng minh dãy  u n

là một dãy Cauchy Thật vậy, với m n  , * và

là một dãy hội tụ Từ điều kiện của

bài toán, ta có f là một hàm số liên tục.

2.2 Các ví dụ minh họa:

2.2.1 Các bài toán về chứng minh dãy số hội tụ

- Từ điều kiện của bài toán, ta xác định khoảng giới hạn cho u nD

Khi đó theo định lý 3, thì dãy số  u n

là một dãy số hội tụ nên dãy số  u n

có giới hạn

hữu hạn khi n  

Nhận xét :

- Trong bài toán này ta có thể làm thuần túy chứng minh theo tiêu chuẩn hội tụ Cauchy và

sử dụng định lí Lagrange nhưng khi ta chứng minh theo tiêu chuẩn của định lí 3 thì lời giải sẽ

đơn giản hơn

- Để học sinh có thể nắm vững hơn, tôi xin đưa ra ví dụ tiếp theo.

Bài 2: Cho dãy số ( )x n

xác định như sau

1 1

sin 2 sin 3

2020

, 1, 2sin

n n

x x

mà sinxsin 2xsin 3x2sin 2 cosx xsin 2x

2sin 2 cosx x 2cos sinx x

Bài 5: Cho dãy số  a n

được xác định như sau :

 0

c  là điều kiện để dãy số  x n

xác định với mọi n và tồn tại giới hạn hữu hạn

 

2.2.2 Các bài toán về tìm giới hạn hữu hạn của dãy số

- Sau khi chỉ ra f x   , 0;1 và từ đó có được điều kiện dãy số  u n

hội tụ và

  

.Từ giả thiết của bài toán: u n1 f u n

Thực hiện lấy giới hạn hai về, ta thiết

lập được phương trình f x  x

Giải phương trình này, ta sẽ xác định được giới hạn của

dãy số  u n

.

Bài 1: Cho dãy số  u n

Bài 2: Cho dãy số  u n

1 3

2u n 1 u n

3 1

12

n n

12

n n

Bài 3: Cho dãy số  u n

được xác định như sau :

 1

2 1

Bài 4: Cho dãy số  u n

được xác định như sau :

2 2

1

11

x x

Ta có

1

n n

n

u u

x

31

x x x

2

311

x

x x

2 2 2

1131

x

l x

x x

9 3 52

Bài 5: Cho dãy số  a n

được xác định như sau :

1

2

12

1

n n

n

a   n

a a

a a

 

11

1

n n

a a

11

n n

n

x n

Lấy giới hạn hai vế, ta có

122

x x

48

n n

n

x x

8

n n n

1

, 1, 2 3

2

n x n

1 32

n n

x x

  

  Lấy giới hạn hai vế, ta có 2

31

1

x x

111

Bài 1: Cho trước số thực a  và dãy số ( )1 u n

131

* 1

33,3

n n

n

u u

2

n n

Bài 6: Cho dãy số  u n

1

2 1

20201

f a f b  thì phương trình f x ( ) 0 có nghiệm trên khoảng ( ; )a b .

Định lí 2 Cho hàm số yf x( ) xác định trên D ( D có thể là một khoảng, một đoạn,

nửa khoảng, nửa đoạn) Khi đó, nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì

phương trình f x ( ) 0 có không quá một nghiệm trên D

Định lí Lagrange Cho hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn [ ; ],a b a b Khi đó, nếu hàm

số có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b thì tồn tại c( ; )a b sao cho

Định lí Weierstrass Cho dãy số  u n

với n   Khi đó, nếu dãy ( )* u n tăng và bị chặn

trên, hoặc giảm và bị chặn dưới, thì dãy ( )u n

có giới hạn hữu hạn

Định lí giới hạn kẹp Cho ba dãy số ( ),( ),( )u n v n w n

3.2 Các ví dụ và bài tập minh họa

3.2.1 Dạng 1: Dãy số sinh bởi nghiệm của các phương trình dạng hàm phân thức

Xét phương trình có dạng yf x 

với x D

+ Từ phương trình đã cho, ta xác định được hàm số yf x 

mà hàm số này đơn điệu

  hoặc sử dụng nguyên lý giới hạn kẹp

Bài 1: Cho phương trình

Điều này là vô lí Vậy ta phải có lim x n 0

2xx1x 4 x n  với n là số nguyên dương.

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình đã cho có duy nhất

nghiệm trong khoảng 0;1

Đối với các hàm phân thức có dạng như hàm số   1 1 1 1 2

hàm số này đơn điệu giảm trên khoảng 0;1

và có nghiệm trên khoảng 0;1

3xx1 x 8 x n  với n là số nguyên dương.

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình đã cho có duy nhất

nghiệm trong khoảng 0;1

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất

+ Việc chứng minh lim n 4

  

thì mấu chốt là ta sử dụng định lí Lagrange để chỉ ra được

 x n

kẹp giữa hai dãy số mà hai dãy số ấy đều có giới hạn bằng 4

3.2.2 Dạng 2: Dãy số sinh bởi nghiệm của các phương trình dạng hàm đa thức

Cũng giống như dạng 1, trong dạng này dãy số sinh bởi nghiệm của phương trình dạng hàm

đa thức ta thường nhận thấy các điều kiện sau được xảy ra:

+ Hàm số xuất hiện trong bài toán là hàm số đơn điệu.

+ Nghiệm được chặn trong một khoảng cho trước do đó nếu ta chỉ ra dãy nghiệm  x n

nếu

tăng hoặc giảm thì đương nhiên sẽ hội tụ.

+ Để xác định lim n

  thì ta phải kết hợp các kiến thức tổng hợp về giới hạn và dãy số để khai

thác các tính chất đặc biệt trong bài toán.

Ta xét các bài toán sau đây:

Bài 1: Cho phương trình: x n x n1 x 1 0

     Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương thì

phương trình đã cho có duy nhất nghiệm nguyên dương x n

và tìm lim n

 

Lời giải

Khi n  thì phương trình đã cho trở thành: 1 01 x   x Phương trình này có 1nghiệm duy nhất một nghiệm nguyên dương là x 1 1.

Suy ra: phương trình f x  n  0

có duy nhất một nghiệm dương x  n 0;1

a a a



1lim

Bài 2: Cho n là một số nguyên dương.

x x

y n

y y

Câu hỏi đặt ra ở đây, liệu ta có thể thay hằng số 1 ở bài toán trên bằng một số dương

lớn hơn 1 được không?

Ta có các bài toán sau được giải quyết một cách tương tự như sau:

Bài 3: Cho n là một số nguyên dương.

a) Chứng minh phương trình x2n1 x 

  với   là một số thực tùy ý cho trước1

luôn có một nghiệm duy nhất x n

b) Tính tìm lim n

 

Lời giải

Bài tập tương tự:

Bài 4: Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên dương n  xét phương trình 2 x n  x 2021

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm dương duy nhất x x n

b) Xét tính hội tụ của dãy ( )x n

Bài 5: Cho n là một số nguyên dương thỏa mãn: n  3

a) Chứng minh phương trình x n  x n luôn có một nghiệm dương duy nhất x n

n n

n x n

 



ny n

  

hay

 1

1lim

ln

n n

x n n

 





Bài 6: Cho n,n3và phương trình x n x2 x 1

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có một nghiệm dương duy nhất x x n

x x

tại hữu hạn và khác không.

Bài 7: Cho n,n2và phương trình x n x n1 x n2 x 1

( 1)

0( 1)

n n

n n

n

n x

x

x x

12

n n n

x x

n f n





  là yếu tốt then chốt của bài toán

Việc xử lí bằng việc giải f x  0

để xác định được cực tiểu của hàm số

21

CT

n x

n

n x

Thật vậy, xét f n1( )x n x f x n n( ) 1n  ax n1 Vì f n1(x n1)a và f n1( )x tăng trên khoảng

(0;1) nên để chứng minh dãy ( )x n

11

11

là dãy giảm Do đó ta có điều phải chứng minh.

3.2.3 Dạng 3: Dãy số sinh bởi các dạng phương trình khác.

Bài 10: Xét phương trình: cosx x n với n   *

a) Chứng minh phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Bài 11: Xét phương trình: x n  với e x n*,n3.

a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có một nghiệm dương duy nhất x n0;n

x x

n x

n

x x

2

ln 1

n

n

x x

 



 nên

S    n

và không tồn tại số

12

  sao cho

Bài 5: Cho dãy hàm

2 1

1

.( ) ( ( ))

Trên đây là một số vấn đề về tìm giới hạn dãy số mà tôi đã tổng hợp được trong quá

trình giảng dạy nhằm giúp các em học sinh có được một cách nhìn tương đối rõ nét

về một số bài toán tìm giới hạn của dãy số Hi vọng chuyên đề này sẽ góp phần để

việc dạy và học môn Toán, đặc biệt là việc ôn luyện các đội tuyển học sinh giỏi các cấp

được hiệu quả hơn

Trong quá trình viết chuyên đề tôi chỉ mới đưa ra được một số ví dụ và phân tích cụ

thể cho định hướng giải các bài toán nên chắc chắn còn nhiều hạn chế và sai sót Rất

mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô, bạn bè để việc giảng dạy chuyên đề về

dãy số cho học sinh được hiệu quả hơn Tôi trân trọng cảm ơn!

Tài liệu tham khảo:

1 Chuyên khảo dãy số - Nguyễn Tài Chung,NXB ĐHQG Hà Nội 2014

2 Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Olympic toán 11- Văn Phú Quốc-Huỳnh

Công Thái

3 Chuyên đề dãy nghiệm phương trình Lương Ngọc Huyên, Chuyên Tuyên Quang

4 Dãy số sinh bởi phương trình – Trần Nam Dũng

5 Chuyên đề giới hạn dãy số - Nguyễn Tất Thu

6 Một vài ứng dụng của nguyên lí điểm bất động trong dãy số - Dương Trọng Luyện,

hội thảo khoa học Ninh Bình 2018

7 Các tài liệu internet và các diễn đàn toán học