Giáo trình IUH Kỹ thuật robot Chương 3 Động học vi phân và tĩnh học

Trong chương này sẽ giói thiệu các phương trình động học vi phân mô tả mối quan hệ giữa vận tốc khớp và vận tốc dài, vận tốc góc của khâu tác động cuối.. Ma trận Jacobi rất hữu ích cho v

Chương 3

Động học vi phân và Tĩnh học

Trong chương 2, chúng ta đã thiết lập các phương trình động học thưận mô tả mối quan

hệ giữa các biến khớp và tư thế của khâu tác động cuối Trong chương này sẽ giói thiệu

các phương trình động học vi phân mô tả mối quan hệ giữa vận tốc khớp và vận tốc dài, vận tốc góc của khâu tác động cuối Mối liên hệ này được mô tả bởi một ma trận gọi

là Jacobi hĩnh học, ma trận Jacobi hình học phụ thuộc vào cấu hình của robot Ma trận Jacobi có thể được tính thông qua đạo hàm các phương trình động học thuận theo các biến khớp Ma trận Jacobi sinh ra gọi là Jacobi giải tích, khác vởi ma trận Jacobi hình học Ma trận Jacobi rất hữu ích cho việc tìm kiếm các điếm kỳ dị, phân tích dư bậc, xác

định các thuật toán động học ngược, mô tả mối quan hệ giữa lực tác động lên khâu tác

động cuối và các mô-men sinh ra tại các khớp (tĩnh), cũng như sẽ được sử dụng ỏ các chương tiếp theo trong việc tạo ra các phương trình động lực học và thiết kế sơ đồ điều khiển trong không gian hoạt động

trong đó q — [qy qn]Ẵ là véc-tơ của các biến khớp Cả vị trí và hướng của khâu tác động

cuối thay đổi khi q thay đổi

Mục tiêu của các phương trình động học vi phân là tìm mối quan hệ giữa vận tốc khớp vói các vận tốc dài và vận tốc góc của khâu tác động cuối Nói cách khác, vận tốc dài Pe

và vận tốc góc cae của khâu tác động cuối là một hàm của vận tốc khớp q Các mối quan

hệ này được biểu diễn như sau:

À = Jp(q)q

= Jo(q)q

(3.2)(3.3)

Trong phương trình (3.2) Jp là ma trận (3 X n) liên quan tới việc góp phần tạo ra vận

tốc đài ở khâu tác động cuối Pe của vận tốc tại các khớp q, trong khi đó Jo là là ma trận

(3 X n) hên quan tới việc góp phần tạo ra vận tốc góc ở khâu tác động cuối úy của vận tốc tại các khởp q Cấc phương trình (3.2), (3.3) có thể được viết lại như sau:

Phương trình (3.1) biểu thị cho phương trĩnh động học vi phân của tay máy Ma trận J

kích thước (6 X n) là ma trận Jacobi hình học:

(3.5)

Ma trận Jacobi J là một hàm của các biến khớp

Dể tính toán ma trận Jacobi hình học, cần lưu ý một số đặc tính của ma trận quay và các kết quả quan trọng về động học vật thể cứng

3.1.1 Đạo hàm ma trận quay

Phương trình động học thuận của tay máy trong (3.1) mô tả tư thế của khâu tác động cuối là một hàm của các biến khớp được biểu diễn dưới dạng véc-tơ vị trí và ma trận quay Mục đích là biểu diễn các vận tốc dài và vận tốc góc của khâu tác động cuối nên

ta xem xét lấy đạo hàm của ma trận quay theo thời gian.

Xét ma trận quay biến đói theo thời gian R = R(t) Vói R là ma trận quay trực giao, ta

có tính chất:

R(t)RT (í) = I

trong đó, lấy đạo hàm theo thời gian, ta có:

/ỉ (f) R7 (í) + R (í) RT(t) = oĐặt

PƠ) - R(t)p

Phương trình (3.8) có thể được viết lại như sau:

p(t) = S(t)R(t)p'

Nếu véc-tơ Lơ(t) biểu thị vận tốc góc của R(t) đối với hệ tọa độ tham chiếu tại thòi điểm

í, ta có phương trình sau:

p(t) = u(i) X R(t)p'

Do đó, toán tử ma trận S(í) mô tả tích véc-tơ giữa véc-tơ cư và véc-tơ R(t)p' Ma trận

S(t) có các phân tử đối xứng qua đường chéo là các thành phần trong véc-tơ u(t) — [ ívx Uy UZ]T S(t) được viết lại dưới dạng ma trận như sau:

~UZ

0

CƯ.;y y Ur .1.

Wy -^x

Xét ma trận quay quanh trục z cho trong công thức (2.6) Nếu a là một hàm theo thời

gian, bằng cách lấy đạo hàm /?2(a(í)), phương trình (3.6) trỏ thành:

—àsina —àcosa 0' ’ co sa sina 0“

biếu diễn vận tốc góc của hệ tọa độ quanh trục z

Trong Hình 2.11, xét chuyển đổi tọa độ một điểm p từ Hệ tọa độ 1 sang Hệ tọa dộ 0; theo phương trình (2.38), ta có:

Lấy đạo hàm phương trình (3.12) theo thời gian í, ta có:

ị>° = ó',’ + R<Ì p ' + R'íp' (3.13)

Hình 3.1: Đặc tính Khâu i của cánh tay máy

Sử dụng cách biển diễn đạo hàm của ma trận quay (3.8):

Đặt và Pi tương ứng là véc-tơ vị trí của gốc tọa độ của Hệ ỉ — 1 và i Tương tự, đặt

ị biểu thị vị trí của gốc tọa độ của hệ tọa độ i so với hệ tọa độ i — 1 được biểu diễn

trong hệ tọa độ ỉ — 1 Theo phép biến đói tọa độ (3.10), ta có:

từ (3.8), đạo hàm theo thòi gian, ta có:

trong đó, • biểu thị vận tốc góc của Hệ tọa độ i đối với Hệ tọa độ i — 1 thể hiện trong

Hệ tọa độ i - 1 Từ (2.4), số hạng thứ hai ở bên trái của công thức (3.17) có the được viết lại như sau:

Các mối quan hệ trong các công thức (3.16), (3.18) biểu thị khác nhau tùy vào loại Khớp

2 (khớp tịnh tiến hay khớp quay)

Hình 3.2: Biểu diễn các véc-tơ cần thiết để tính toán phần đóng góp tạo ra vận tốc

của khớp quay cho vận tốc dài ở khâu tác động cuối

Khi Khớp i chuyển động thì Hệ tọa độ i quay quanh Hệ tọa độ i — 1 Do đó, các biểuthức của vận tốc góc (3.18) và vận tốc dài (3.16) tương ứng trở thành:

a)ị — ^i-l +

Pi = Pi-! + X rt_!

(3.25)(3.26)trong đó (3.18) được sử dụng để dẫn ra công thức (3.26)

Biểu thức trên cho biết pe có thể thu được từ tổng các số hạng (jijp Mỗi số hạng biếu

diễn phần đóng góp vận tốc của khớp i đơn lẻ vào việc tạo ra vận tốc dài của khâu tác động cuối và tất ctí các khớp còn lại cũng tương tự như vậy

Do đó, bằng cách phân biệt trường hợp khớp tĩnh tiến (qi = dị) so với khớp quay ((Ịi — ty,

• Nếu Khớp i là khớp quay, quan sát thấy rằng phần đóng góp vào vận tốc dài được tính

vói tham chiếu gốc của hệ tọa độ khâu tác động cuối (Hình 3.2), ta có:

qdpi = ^1-1 ,i X 7’i—I,e = X (pe - Pi~d

Từ đó ta rút ra:

jpi = Zj_i X (pe - Pi~i)

Dối với phần đóng góp tạo ra vận tốc góc, dựa trên (3.18), ta có:

• ^-1 có được từ cột thứ 3 của ma trận quay tức là:

trong đó Zo — [0 0 1]T cho phép lấy cột thứ 3 của ma trận quay

• pe là 3 phần tử đầu tiên của cột thứ tư của ma trận biến đổi thuần nhất Te°, tức là nếu biểu diễn pe dưới dạng thuần nhất (4 X 1):

trong đó pQ — [0 0 0 1]T cho phép lấy cột thứ 4 của ma trận biến đổi thuần nhất.

• p.,-1 lấy từ 3 phần tử đầu tiên của cột thứ 4 của ma trận biến đổi thuần nhất tức

là Pi~i có thể được lấy ra từ:

Pi-1 = AỈ(ợ1) A*_?(?.-i)Po (3.33)Các phương trình trên có thể được sử dụng để tính toán dễ dàng các vận tốc dài và vận tốc góc của bất kỳ điểm nào dọc theo cấu trúc của tay máy miễn là chúng ta biết mối liên hệ các hàm động học thuận vói các điểm đó f'

Cuối cùng, cần lưu ý rằng ma trận Jacobi phụ thuộc vào hệ tọa độ, ở đó vận tốc của khâu tác động cuối được biểu diễn Các phương trình trên cho phép tính toán Jacobi hình học

so vởi hệ tọa độ gốc Nếu muốn biểu diễn Jacobi ở Hệ toạ độ khác (u), cần biết ma trận quay tương dối Ru Mối quan hệ giữa các vận tốc trong hai hệ tọa độ:

Trong phần tiếp theo, Jacobi được tính toán cho một số các cấu trúc tay máy dien hình

đã được giới thiệu ỏ cấc chương trước đây.

3.2.1 Tay máy ba khâu phẳng

Vói loại tay máy này, từ (3.30) Jacobi là:

0Tính các véc-tơ đơn vị của trục khóp quay ta có kết quả như sau:

0

z0 = Zỵ = z2 = 0

1

Vì tất cả các trục z song song với Z() Từ (3.29) ta có:

— <2151 — «2512 — <235123

CLỵCỵ + «2«12 + «3«123

0 0

— «2512 — «35123

«2 «12 + «3 «123

0001

- «35'123

<23 «123 0

001

(3.35)0

1Trong ma trận Jacobi (3.35), chỉ có ba hàng là khác không (hạng của ma trận tối đa là 3); đó là 2 thành phần của vận tốc dài dọc trục Xo, yo và thành phần vận tốc quay quanh trục ZQ Kết quả này có thể rút ra bằng cách quan sát thấy rằng 3 bậc tự do cho phép đặc tả ba biến khâu tác động cuối; vz, UJX, O)y luôn bằng 0 cho cầu trúc động học này Nếu không đổ ý tới yếu tố quay, thì ma trận Jacobi (2x3) cho phần chuyển động dài có thế rút ra bằng cách lấy 2 dòng đầu tiên, tức là:

3.2.2 Tay máy hình người

Với loại tay máy này, từ (3.30) Jacobi là:

0 «25'2

P3 =

«1 («2«2 + ÍỈ3C23) 5'1 («2 «2 + <2'3 «23)

«2 5'2 + «35'23

Ngoài ra các véc-tơ đơn vị của các trục khớp quay như sau:

51

■ 0 ■01

-C1(«252 + «3523) -51 («252 + «3523)

Chỉ có 3 trong 6 dòng của ma trận Jacobi (3.37) là độc lập tuyến tính

Thành phần Jacobi vận tốc dài như sau:

—51 («2^2 + ÍỈ3C23) 6’1 («2 c2 T «3623)

Jp mô tả mối quan hệ giữa vận tốc các khớp và vận tốc dài của khâu tác động cuối

3.2.3 Tay máy Stanford

Với loại tay máy này, từ (3.30) ta có:

z4 X (p6 -p4) z4

Z5 X (p6 - p5) Z5

Tính toán các véc-tơ vị trí của các khâu khác nhau ta có:

Po = P1 =

0

P3 = P4 = p5 =

6i52d3 -51^2 5'152^3 + cld2 c2d:i

P6 =

CiS2d-4 ~ sỉd2 + (61(62646'5 + 5'265) — S\S4S^dQ s4s2d-4 + Cid2 + (si(c2c4s§ + 6265) + 616455)6^

c2^3 + ( —'S2C4'S5 + £205)^6

trong khi các véc-tơ đơn vị của các trục khớp như sau:

CiS‘2 SiS2 (■2

— 6'16'2 Ã'4 — 's'lc4

— 1 £‘2 5'4 4“ C ị 6'4 S2.S4

C1 (£‘26465 + S2C5) — 616465 81(626465 + 5’265) + 61.84.85

—S2C4S5 + 6265

Việc xây dựng các công thức tính như trong (3.29) có thể tìm được ma trận Jacobi, từ

đó biểu diễn vận tốc góc và vận tốc dài của khâu tác động cuối như là một hàm số của các vận tốc khớp

3.3 Các điểm kỳ dị của động học

Ma trận Jacobi trong phương trình động học vi phân của một tay máy xác định một ánh

xạ tuyến tính

Ưe = J(q)q (3.39)

giữa véc-tơ q của vận tốc khớp và véc-tơ ve = [j)Ị cư7]7 của khâu tác động cuối Nói chung, Jacobi một hàm của cấu hình ợ; các cấu hình mà ở đó J thiếu hạng thì được gọi

là cấc điểm kỳ dị động học Việc tìm các điểm kỳ dị của một tay máy là một vấn đề cần thiết vì những lý do sau:

a) Các điểm kỳ dị thể hiện cấu hình mà ở đó hạn chế khả năng di chuyển của tay máy, nghĩa là không the di chuyến khâu tác động cuối một cách tùy ý

b) Khi cấu trúc tay máy rơi vào diểm kỳ dị, có thể tồn tại nghiệm vô hạn trong bài toán động học ngược

c) Trong vùng lân cận điểm kỳ dị, những chuyển động nhỏ trong vùng không gian hoạt động cũng có thể tạo ra vận tốc lởn tại không gian khớp

Các điểm kỳ dị có the được phân loại thành:

• Các điểm kỳ dị biên xảy ra khi tay máy vươn ra hoặc rút về Có thể hiểu rằng các điểm

kỳ dị này không hoàn toàn là bất lợi, vì chúng có thể tránh được với điều kiện ta.y máy không dược điều khiến tới các vùng biên trong không gian hoạt dộng mà nó có the vói tới được

• Các đỉêm kỳ dị bẽn trong xảy ra bên trong không gian hoạt động và thường gây ra do

sự đồng tâm của từ 2 trục chuyển động trở lên, hoặc do bởi một cấu hình đặc biệt nào

đó của khâu tác động cuối Không giống như trên, các điểm kỳ dị này gây ra các vấn

đề nghiêm trọng, chúng có thế gặp phải bất cứ nơi đâu trong không gian làm việc đối với một quỹ dạo đã hoạch dịnh mà tay máy có thể tiếp cận được trong không gian hoạt động

Để minh họa cho hoạt động của một tay máy ỏ một điểm kỳ dị, xét một tay máy hai khâu phẳng như Hình 3.3 Trong trường hợp này, ta chỉ xem xét hai thành phần px và Py của vận tốc dài trong mặt phẳng Như vậy, Jacobi là ma trận (2x2):

d2 = 0 = 7T,

X

di không liên quan tới định thức của cấu hình điểm kỳ dị Những điều này xuất hiện khi đầu mút tay máy nằm ở vị trí biên ngoài (i?2 '= 0) hoặc gập vào biên trong (ứ2 = 7ĩ) của không gian làm việc mà tay máy tiếp cận được Hình 3.3 minh họa tư thế của tay máy

tại -Ớ2 = 0

Hình 3.3: Tay máy hai khâu phẳng ở tại điểm kỳ dị biên

Bằng cách phân tích chuyển động vi phân của cấu trúc tay máy trong cấu hình như vậy,

ta có thể thấy rằng có hai véc-tơ cột [—(«1 + «2)^1 («1 + «2)ci]T và [—«2'5'1 «2Ci]r của

ma trận Jacobi là song song, và do đó hạng của ma trận Jacobi là 1; điều này có nghĩa rằng các thành phần vận tốc của đầu cuối tay máy là không độc lập (xem mục a) phía trên)

3.3.1 Tách điểm kỳ dị

Việc tính toán các điểm kỳ dị bên trong thông qua tính định thức ma trận Jacobi có thể gặp khó khăn và không dễ đạt được lòi giải cho các cấu trúc phức tạp Với những tay máy có khớp cổ tay là khớp cầu, bằng cách tương tự như tính toán động học ngược, có the chia bài toàn tính điểm kỳ dị thành hai bài toán riêng biệt:

• tính toán cấc điểm kỳ dị của phần cánh tay từ sự chuyển động của 3 khâu trở lên,

• tính toán các điểm kỳ dị ở cổ tay của tay máy từ sự chuyển động của các khớp ở co tay

Dể đơn giản, ta hãy xét trường hợp n — 6, ma trận Jacobi có thể chia thành các khối có kích thước (3 X 3) như sau:

Jỉỉ J‘2\

-ử5 0

Hình 3.4: Khớp cổ tay dạng khởp cầu tại một điểm kỳ dị

Vì các điểm kỳ dị là diển hình của cấu trúc cơ khí và không phụ thuộc vào các hệ tọa

độ đã chọn để mô tả động học, nên để thuận tiện ta chọn gốc tọa độ của hệ tọa độ trên khâu tác động cuối tại vị trí giao điểm của các trục khớp cổ tay (Xem Hình 2.32) Việc chọn p = pw ta có kết quả như sau:

.712-[0 0 0]

vì tất cả các véc-tơ pw — Pi đều song song với các véc-tơ đơn vị Zi , với Z = 3,4, 5, nên

không có vấn đề gì về cách chọn các hệ tọa độ 3, 4, 5 theo quy tắc D-H Theo cách chọn này, ma trận Jacobi tong the sẽ là ma trận khối tam giác dưới Trong trường hợp này, việc tính toán định thức khá đơn giản, và nó là tích của các định thức của hai khối trên đường chéo, tức là:

Và do đó có thể tách điểm kỳ dị', điều kiện:

det{Jn) = 0

giúp xác được cấc điếm kỳ dỉ ở phần cánh tay, trong khi đó điều kiện:

det( ,/22) = 0

giúp xác định được các đỉểm kỳ dị ở phần cổ tay máy.

Tuy nhiên lưu ý rằng, dạng này của ma trận Jacobi không cung cấp mối liên hệ giữa vận tốc các khớp và vận tốc khâu tác động cuối, nhưng nó dẫn tới việc đơn giản hóa tính toán điểm kỳ dị Dưởi đây là 2 loại điểm kỳ dị sẽ được sử dụng để phân tích một cách chi tiết

Hình 3.5: Cánh tay hình người tại điểm kỳ dị khớp khuỷu tay

3.3.2 Các điểm kỳ dị ở cổ tay

Trên cơ sở tách điểm kỳ dị như nói ỏ trên, các điểm kỳ dị ở khớp cổ tay có thể được xác định bằng cách kiểm tra khối J22 trong (3.43) Ta có thể nhận thấy rằng khớp cổ tay sẽ rơi vào cấu hình điểm kỳ dị bất cứ khi nào mà vcc-tơ đơn vị Z3 , Z4 , Z5 là phụ thuộc tuyến tính, cấu trúc động học của cổ tay cho thấy một điểm kỳ dị xảy ra khi ZẦ và Z5

thẳng hàng nhau, tức là, bất cứ khi nào:

^5 = 0 ứ5 = 7T

Nếu chỉ xem cấu hình đầu tiên (Hình 3.4), khả năng di chuyển bị giới hạn có thể xảy ra

do thực tế là các phép quay cùng biên độ quanh trục đối diện trên ^4 và 'ỚQ không tạo

ra bất kỳ chuyển động quay nào ở khâu tác động cuối Hơn nữa, cổ tay không được phép

quay quanh trục trực giao với Zí^ và Z3 , (xem điểm a ở trên) Điểm kỳ dị này được mô tả

một cách tự nhiên trong không gian khớp và có thể gặp bất kỳ đâu bên trong không gièm làm việc mà tay máy có thể với tói được; do dó cần đặc biệt lưu ý khi lập trình chuyển động cho khâu tác động cuối

Hình 3.6: Phần cánh tay của tay máy hình người tại điểm khởp vai

Đối với ữ2, a3 7^ 0, định thức bằng không nếu «3 = 0 và/hoặc (ữ2c2 + <23^23) = 0- Điều kiện đầu tiên xảy ra nếu như:

^3 = 0 ứ3 = 7T

Điều này có nghĩa là khớp khuỷu tay giãn ra hết mức hoặc gập rút về hết mức và được coi là vị trí điểm kỳ dị khớp khuỷu tay (Hình 3.5) Lưu ý rằng loại điểm kỳ dị này tương

tự như điểm kỳ dị ở cánh tay hai khâu phẳng

Trong phương trình động học thuận (2.66), có thể thấy rằng điều kiện thứ hai xảy ra khi điểm cổ tay nằm trên trục Z q (Hình 3.6); được xác đinh bởi-:

Px = Py = 0

và được gọi là điểm kỳ dị khớp vai.

Lưu ý rằng toàn bộ trục ZQ mô tả một cách liên tục các cấu hình điểm kỳ dị; chuyển động quay của biến Ĩ?1 không gây ra bất kỳ dịch chuyển tịnh tiến nào của vị trí cổ tay (cột đầu tiên của Jp luôn là 0 tại một điểm kỳ dị khớp vai), và vì thế phương trình động học có thể có vô số nghiệm Hơn nữa, không thể cho phép chuyển động bắt đầu từ cấu hình kỳ

dị mà khớp cổ tay dọc theo hướng Z1 (xem điểm b ở trên)

Nếu một cổ tay hình cầu được kết nối với một cánh tay hình người (Hình 2.26), thì động học thuận của cánh tay sẽ khác Trong trường hợp này ma trận Jacobi để xem xét đại diện cho khối <711 cửa Jacobi trong (3.42) với p — Pw- Phân tích định thức của nó cho thấy có cùng cấu hình điểm kỳ dị, có liên quan tới các giá trị khác nhau của các biến khớp thứ 3, so sánh (2.66) và (2.70)

Diều cuối cùng, quan trọng là cần lưu ý rằng, không giống nhií các điểm kỳ dị khớp cổ tay, các điểm kỳ dị cánh tay dễ xác định hơn trong không gian hoạt động, và vì vậy chúng

có thể tránh trong giai đoạn hoạch định quỹ đạo của khâu tác động cuối