Sách Bài T�p Cơ luu ch�t (lưu hành n�i b�)� B� môn Cơ Lưu Ch�t BÀI T�P TH� LƯU CÓ L�I GI�I Bài 6 1 M�t chuy�n ñ�ng ph�ng c�a lưu ch�t không nén có vector v�n t�c yxu;xyu 2 y 2 x == H�i chuy�n ñ�ng có[.]
Trang 1BÀI T P TH LƯU CÓ L I GI I
Bài 6.1 M t chuy n ñ ng ph ng c a lưu ch t không nén có vector v n t c:
ux = xy2 ; uy = x2y
H i chuy n ñ ng có t n t i không?
Bài gi i:
y
u x
u u
∂
∂ +
∂
∂
=
V y chuy n ñ ng không t n t i
Bài 6.2 M t chuy n ñ ng ph ng có vectơ v n t c
2 x 3 u
; y
ux = y = −
Xác ñ nh tính ch t c a chuy n ñ ng?
Bài gi i:
0 0 0 y
u x
u u
∂
∂ +
∂
∂
0 k 2 5 k 2 3 1 k x
u y
u u
t
o
∂
∂
−
∂
∂
=
V y ñây là chuy n ñ ng n ñ nh, 2 chi u, quay c a lưu ch t không nén
ñư c
Bài 6.3 M t chuy n ñ ng có vectơ v n t c
0 u
; axy 2 u
; y x a
ux = 2 − 2 y = − z =
H i chuy n ñ ng có t n t i không? N u t n t i xác ñ nh phương trình hàm dòng và hàm th v n t c
Bài gi i:
y
u x
u u
∂
∂ +
∂
∂
=
V y ñây là chuy n ñ ng 2 chi u c a lưu ch t không nén ñư c
b) Phương trình hàm dòng:
2 2
y
∂
ψ
∂
axy 2 x
∂
ψ
∂
−
Tích phân phương trình (1) ta có :
Trang 2x f 3
ay y
=
L y vi phân phương trình (3) và so sánh v i (2)
axy 2 x f axy 2
∂
ψ
∂
V y f ′ x = 0 hay f = const
Phương trình hàm dòng là :
C 3
y y x
−
= ψ
c) Phương trình hàm th v n t c:
2 2
x
∂
φ
∂
=
axy 2 y
∂
φ
∂
Tương t như trên ta có :
y f xy
3
x
−
= φ
const y
f hay 0
y f axy
2 y
f axy
2
∂
φ
∂
C xy
3
x
−
= φ
Bài 6.4 M t chuy n ñ ng có vectơ v n t c
0 u
; axy 2 u
; y x a
Xác ñ nh phương trình ñư ng dòng qua ñi m A(2, 3) và lưu lư ng ch y qua
ñư ng cong n i 2 ñi m A và B(2, 1)
Bài gi i:
3
y y x
−
= ψ
Giá tr C có th ch n b t kỳ
N u ch n C = 5, hàm dòng qua A(2, 3) có giá tr :
Trang 36 5 3
3 3
2 3 5 3
y y x
−
−
= +
−
= ψ
V y phương trình ñư ng dòng qua A(2, 3) là :
1 y y x 3 hay 6
5 3
y y x
−
Tương t , hàm dòng qua B(2, 1) có giá tr :
16 5 3
1 1 2 3 5 3
y y x
−
= +
−
= ψ
Lưu lư ng ch y qua ñư ng cong n i 2 ñi m A và B là :
s m 10 16 6
Bài 6.5 Không khí (kh i lư ng riêng 1,21kg/m3) chuy n ñ ng như m t xoáy t do
ñ t t i g c t a ñ Chênh l ch áp su t gi a 2 ñi m A trên ñư ng dòng có bán kính 1m và ñi m B trên ñư ng dòng có bán kính 1,2m là 150Pa Tìm giá tr cư ng ñ xoáy Γ
Bài gi i:
r 2
π
Γ
=
A A
u
π
Γ
=
B B
u
π
Γ
=
Phương trình Bernoulli :
g 2
u p
z g 2
u p
B
2 A A
γ +
= +
γ
+
N u b qua nh hư ng c a tr ng l c ta có :
γ
− γ
=
−
⇒ +
γ
= +
2 B
2 A
2 B B
2 A
g 2
u g 2
u g
2
u
p g 2
u p
Hay :
21 , 1
2
150 2
, 1
1 1
1
π
Γ
Suy ra cư ng ñ xoáy : Γ = 178 , 98 m2 s
Bài 6.6 M t hình tr có bán kính r0 = 0,4m quay ñ u quanh tr c th ng ñ ng v i
v n t c quay 2rad/s trong không khí có ρ = 1,21kg/m3 Xác ñ nh v n t c và áp su t
t i ñi m A cách m t tr 0,2m B qua nh hư ng c a tr ng l c
Trang 4Bài gi i:
N u trong tr có ch t l ng thì chuy n ñ ng c a ch t l ng trong kh i tr xem như m t xoáy cư ng b c (ho c xem như tĩnh tương ñ i, ñã h c chương 2) Không khí bên ngoài tr b kéo chuy n ñ ng theo và xem như m t xoáy t do Như v y v n t c t i ñi m B sát m t tr s có v n t c theo xoáy cư ng b c :
0
u = v i = 2 rad s là v n t c quay ñ u
theo xoáy t do :
0
B 2 r
u
π
Γ
= v i Γ là cư ng ñ xoáy
Ta suy ra Γ = r0 × 2 π r0 = 2 × 0 , 42 × 2 π = 2 , 01 m2 s
r 2
u
A
π
Γ
=
B qua nh hư ng c a tr ng l c ta có :
m 0145 , 0 g
2
u
p g
2
u
p g 2
u
A A
2 2
A
Hay : pA = − 0 , 0145 × 1 , 21 * 9 , 81 = 0 , 172 Pa
Bài 6.7 M t ngu n có lưu lư ng q = 2 m2 sñ t t i v trí ( 1, 0) và m t xoáy t
do theo cùng chi u kim ñ ng h có cư ng ñ Γ = 3 m2 s ñ t t i v trí (1, 0) Xác
ñ nh giá tr v n t c t i ñi m A(1, 2)
Bài gi i:
V n t c t i A do ngu n có phương chi u như hình v và có giá tr :
s m 113 , 0 828 , 2 2
2 AB
2
q
× π
= π
=
V n t c t i A do xoáy có phương chi u như hình v và có giá tr :
•
•
•
Trang 5s m 239 , 0 2 2
3 AC
2
× π
= π
Γ
=
V y v n t c t i A có giá tr :
s m 328 , 0 2
2 u
2
2 u
u
u
2 Ang
2 Ang
Axoay
× +
× +
=
Bài 6.8 M t dòng ch y ñ u theo phương x có v n t c u0 = 2 m s ch ng nh p
v i m t ngu n ñ t t i g c t a ñ có lưu lư ng q = 3 m2 s Xác ñ nh v trí ñi m
d ng A trên tr c hoành
Bài gi i:
T i ñi m d ng A : uA = 0
Chuy n ñ ng ch ng nh p nên : uA = ud + ung
0 r 2
3 2
r 2
q u
u u
u
A A
0 xng xd
π
−
= π
−
= +
=
⇒
m 24 , 0 x
hay m
24 , 0 4
3
π
=
⇒
Bài 6.9 Gió th i ñ u v i v n t c u0 = 2 m s quanh m t tr tròn ñ ng yên có bán kính r0 = 0 , 5 m Xác ñ nh áp su t nh nh t trên m t tr B qua nh hư ng
tr ng l c
Bài gi i:
Theo phương trình Bernoulli :
g 2
u p
z g 2
u p
γ +
= +
γ
ði m có v n t c l n nh t s có áp su t nh nh t
Trên m t tr v n t c l n nh t là : umax = 2 u0 = 4 m s
Áp su t nh nh t là :
g 2
u
3 g
2
u
4 g 2
u g 2
u g 2
u
0
2 0
2 0
2 max
2 0
γ Pa 26 , 7
pmin = −
⇒
•
Trang 6Bài 6.10 Gió th i ñ u v i v n t c u0 = 2 m squanh m t tr tròn ñ ng yên có bán kính r0 = 0 , 5 m Xác ñ nh áp su t t i ñi m A(1, 1) B qua nh hư ng tr ng
l c
Bài gi i:
V n t c t i A :
−
=
×
+
×
−
= θ
+
−
=
=
×
−
×
= θ
−
=
2
2 2
5 , 0 1 2 sin
r
r 1 u u
237 ,1 2
2 2
5 , 0 1 2 cos r
r 1 u u u
2 2
2 0 0
2 2
2 0 0
r A
s m 016 , 2
uA =
⇒
Theo phương trình Bernoulli : p∞ = pa = 0
g 2
u g 2
u
p g
2
u
p g 2
u
γ
⇒ +
γ
= +
Pa 038 , 0
pA = −
⇒
Bài 6.11 M t hình tr ñư ng kính D = 1,2m; dài L = 8m; quay ñ u quanh tr c
th ng ñ ng c a nó v i v n t c 12 vòng/phút trong dòng nư c ch y ñ u v i v n t c
U0 = 4m/s th ng góc v i tr c tr B qua nh hư ng tr ng l c Tính l c tác d ng lên hình tr theo phương vuông góc v i dòng nư c
Bài gi i:
Hình tr xoáy quanh tr c v i cư ng ñ xoáy :
s m 84 , 2 2
2 ,
1 60
12 4
2
D 60
n 2 2 2
D 2
u
2
D
2 2
2 2
=
×
×
=
=
=
=
L c tác d ng lên m t tr :
N 90958 8
84 , 2 4 1000 L
U
BÀI T P TH LƯU CÓ ðÁP S
Bài 6.12 Chuy n ñ ng 2 chi u c a lưu ch t không nén ñư c có các thành ph n v n
t c:
x 4 y u
y 4 x u
y
x
−
−
=
−
=
Tìm phương trình hàm dòng và hàm th v n t c
Trang 7ðS: ψ = 2 x2 + xy − 2 y2 + C ; C
2
y yx 4 2
= ϕ
Bài 6.13 Hàm dòng nào sau ñây là hàm dòng c a chuy n ñ ng th :
1) ψ = xy
2) ψ = 2 x2 + xy − 2 y2
3) ψ = − 2 x2 + y
4) ψ = 3 x2y − y3
ðS: 1) và 2)
Bài 6.14 Cho hàm dòngψ = 3 x2y − y3 có ñơn v là m2/s trong h t a ñ x, y tính b ng m
a) Xác ñ nh phương trình ñư ng dòng ñi qua ñi m M(1, 2)
b) Tính lưu lư ng ñơn v qua ñư ng n i 2 ñi m A(1, 0) và B(0, 1)
ðS: a)3 x2y − y3 + 2 = 0; b) q = 1m2/s
Bài 6.15 Các thành ph n v n t c c a chuy n ñ ng 2 chi u là:
y u
;
x
a) Xác ñ nh phương trình hàm dòng
b) N u ch ng nh p thêm 1 dòng ch y có ψ = ythì phương trình hàm dòng như th nào?
c) Xác ñ nh hàm th v n t c c a chuy n ñ ng ch ng nh p
ðS: a) ψ = xy + C
b) ψ = xy + y + C c) x C
2
y
+ +
−
=
Bài 6.16 Chuy n ñ ng c a lưu ch t không nén có các thành ph n v n t c như sau:
t x 5 y 5 , 1 u
; t y 5 xy 3
Vi t phương trình ñư ng dòng t i th i ñi m t = 1s
3
5 y x 5 ,
Bài 6.17 Phương trình ϕ = 0 , 04 x3 + axy2 + by3 bi u di n hàm th (tính b ng
m2/s ) c a chuy n ñ ng 2 chi u trong h t a ñ vuông góc n m ngang v i x, y tính
b ng m
Trang 8a) Xác ñ nh các h ng s a và b
b) Tính chênh l ch áp su t gi a 2 ñi m (0, 0) và (3, 4), bi t lưu ch t có
kh i lư ng riêng là 1300kg/m3
ðS: a) a = − 0 , 12 ; b = 0 b) p = 5,85 kN/m2
Bài 6.18 Dòng ch y th g m 1 ngu n có lưu lư ng 30m2/s ñ t t i g c t a ñ và 1 ngu n khác có lưu lư ng 20m2/s ñ t t i M(1, 0) Xác ñ nh v n t c t i 2 ñi m A(−1, 0) và B(1, 1)
ðS: uA= 6,37m/s; uB= 6,06m/s
Bài 6.19 Ba dòng th : dòng ñ u v i v n
t c Uo, hai xoáy t do v i cùng cư ng ñ
Γ, ch ng nh p như trên hình v V i x1 =
0,50m, x2 = 0,25m, Γ = 2,0m2/s, U0 =
1,0m/s Tính v n t c t i g c t a ñ
ðS: 0,91m/s
Bài 6.20 M t chuy n ñ ng th 2 chi u g m dòng
ñ u v i v n t c U0 và ñi m ngu n có lưu lư ng q
Áp su t xa vô cùng xem như b ng áp su t khí tr i
V i U0 = 1m/s, q = 5m2/s, ñi m ngu n ñ t t i to ñ
(0m, 1m) Tính áp su t dư t i g c to ñ (0,0)
ðS: 0,049m lưu ch t
Bài 6.21 Dòng ch y th g m 1 ngu n có lưu lư ng 30m2/s ñ t t i g c t a ñ và 1 ngu n khác có lưu lư ng 20m2/s ñ t t i M(1, 0) Xác ñ nh áp su t t i A(1, 1) Bi t
áp su t xa vô c c là áp su t khí tr i và kh i lư ng riêng c a lưu ch t là ρ = 2kg/m3 B qua nh hư ng c a tr ng l c
ðS: pB = 36,72N/m2 Bài 6.22 M t tr tròn bán kính 4cm có tr c ñi qua g c t a ñ O, ñ t trong dòng
ch y ñ u v i v n t c 30m/s theo phương x Xác ñ nh v n t c t i A ( 4cm, 1cm)
Bài 6.23 Trong không khí (ρ=1,228kg/m3) chuy n ñ ng v i v n t c U0=10m/s, có
m t xoáy t do v i cư ng ñ xoáy Γ = 60π (m2/s) Xem chuy n ñ ng là có th
•
Γ Γ
Hình bài 6.19
Hình bài 6.20
Trang 9Ch n tr c t a ñ x theo hư ng dòng khí, g c t i tâm xoáy Giá tr áp su t t i ñi m A(5m, −2m) là bao nhiêu?
ðS: 44.5N/m2 Bài 6.24 M t dòng nư c ch y có th trong m t ph ng n m ngang có hàm th v n
t c
10
−
=
Bi t áp su t t i g c t a ñ O là pO = 0 Áp su t t i ñi m M(1, 2) có giá tr bao nhiêu?
ðS: 1,13KN/m2 Bài 6.25 Chuy n ñ ng c a nư c xem như là m t chuy n ñ ng th ch ng nh p c a
m t xoáy t do theo ngư c chi u kim ñ ng h v i cư ng ñ Γ = 5m2/s và m t
ñi m hút t i g c t a ñ O v i lưu lư ng q = 5m2/s Xem áp su t và v n t c xa vô
c c là 0 Áp su t t i A(1, 1) có giá tr bao nhiêu?
ðS: 317N/m2 Bài 6.26 M t mái l u có d ng bán tr ñư c làm thí nghi m ñ tính l c nâng khi gió
th i Tính l c nâng khi gió th i tác d ng lên 1m chi u dài l u Bi t bán kính l u là 3m, v n t c gió là 20m/s và không khi có ρ =1,16kg/m3
ðS: 2320N Bài 6.27 Dòng nư c ch y v i v n t c 5m/s bao quanh 1 tr tròn xoay v i cư ng ñ 1m2/s Tính l c nâng trên 1m dài tr
ðS: FL = 5000N Bài 6.28 M t tr tròn có ñư ng kính 1m ñ t trong không khí (ρ=1,22kg/m3) chuy n ñ ng ñ u v i v n t c 3m/s Tr tròn xoáy ñ u quanh tr c c a nó sao cho
ch có 1 ñi m d ng trên m t tr Xác ñ nh l c nâng tác d ng lên 1m dài tr
ðS: FL = 68,95N Bài 6.29 M t tr tròn di chuy n ñ u trong nư c ñ sâu 10m Tính t c ñ c a tr
ñ không x y ra hi n tư ng n i b t trên b m t tr Nư c nhi t ñ 50C
ðS: u = 11,41m/s
BÀI T P L C C N CÓ L I GI I
Bài 6.30 Nư c ch y qua b m t t m ph ng ñư c ñ t song song v i chi u dòng
ch y v i v n t c b ng 2 cm/s Hãy tính v n t c nư c t i ñi m cách 10mm so v i b
m t t m kho ng cách b ng 1,5m và 15m tính t mũi t m Ch n s Reynolds t i
h n là 3.105 và phân b v n t c trong l p biên theo qui lu t parabol:
Bài gi i:
S Reynolds t i h n:
Trang 10kho ng cách x=1,5m, v trí này trong l p biên t ng B dày l p biên v trí này:
V n t c ñ kho ng cách 10mm=0,01m so v i b m t t m ph ng:
Bài 6.31
Hình 6.31
Tr c u có ti t di n hình ch nh t 1m x 2m trong kênh v i m c nư c sâu 10m và
v n t c dòng nư c b ng 10m/s, như trên Hình 6.31 Xem phân b v n t c nư c trong kênh là ñ u Hãy tính mô ment u n do dòng nư c tác d ng lên chân tr c u
L y h s l c c n b ng 2,5
Bài gi i
Khi xem phân b v n t c nư c trong kênh là ñ u, l c c n phân b ñ u trên toàn b ph n b m t tr c u ng p trong nư c L c c n t ng h p D có ñi m ñ t
gi a chi u cao c a tr , như trên Hình 6.31a
10 m
D 5m
Trang 11Hình 6.31a
L c c n tác d ng lên tr c u:
Moment tác d ng lên chân tr c u:
Bài 6.32
Máy bay có di n tích cánh b ng 18,6 m2 và tr ng lư ng b ng 8896 N Hãy tính công su t l c ñ y c n thi t ñ máy bay duy trì ch ñ bay b ng (bay ngang) Bi t
h s l c nâng b ng 0,4 và h s l c c n b ng 0,05
ðS: V n t c bay ngang = 12,63 m/s, L c c n = 89 N, Công su t = 1123,6 W
Bài gi i
ch ñ bay b ng, l c nâng b ng v i tr ng lư ng và l c ñ y b ng v i l c c n
ρ
L c c n:
D=CD*0,5*
Công su t l c ñ y:
P=DV=1112*44,64=49637,2 W
BÀI T P L C C N CÓ ðÁP S
Bài 6.34
Nư c ch y trên b m t t m ph ng ñư c ñ t song song v i chi u dòng ch y V n
t c nư c b ng 0,5m/s Hãy tính kho ng cách t mũi t m ph ng ñ l p biên trên b
m t t m ph ng b t ñ u r i Hãy tính b dày l p biên v trí ñó Ch n s Reynolds
t i h n là 3.105 ð nh t c a nư c b ng 106 m2/s
ðS: 0,6m; 5,5mm
Bài 6.35
Dòng lưu ch t ch y qua b m t t m ph ng ñư c ñ t song song v i dòng B dày
l p biên v trí 1,3m tính t mũi t m ph ng b ng 12 mm Hãy tính b dày l p biên các v trí 0,2m, 2,0m và 20m tính t mũi t m ph ng Gi s l p biên t ng Bi t nhi t ñ b ng 200C
ðS: 4,7mm; 14,9mm; 47,1mm
Bài 6.36
Ma sát gi a gió và ñ a hình trên m t ñ t hình thành l p biên khí quy n Phân b
v n t c trong l p biên ñó có th ñư c x p x b ng qui lu t hàm mũ:
Trang 12v i h s a và n ph thu c vào ñ a hình, như trên Hình 6.36
N u v n t c gió b ng 16 km/h t ng th 10 c a toà nhà trong ñô th l n, hãy tính
v n t c gió trung bình t ng th 16 c a toà nhà ñó Xem chi u cao các t ng là như nhau
Hình 6.36
ðS: 19,3km/h Bài 6.37
Áp su t và ng su t ma sát trên b m t t m ph ng vuông v i di n tích b ng 1m x 1m ñư c cho như trên Hình 6.37
Hình 6.37 Hãy tính l c nâng và l c c n lên t m ph ng trong hai trư ng h p:
a) ch tính do áp su t, b qua ng su t ma sat
b) tính ñ n c áp su t và ma sát
So sánh giá tr l c trong hai trư ng h p
ðS: a) D=3,474 kN; L= 0,427 kN; b) D= 3,457 kN, L=0,559 kN; Bài 6.38
T m ph ng vuông ñư c ñ t vuông góc v i chi u dòng lưu ch t Áp su t trên m t trư c c a t m b ng 0,7 l n giá tr áp su t d ng trong khi áp su t trung bình trên
m t sau c a t m là áp su t chân không và b ng 0,4 l n áp su t d ng Hãy tính h s
l c c n lên b m t t m Xem áp su t tĩnh c a dòng lưu ch t b ng 0
ðS: 1,1
Trang 13Bài 6.39
Toà nhà cao t ng có di n tích sàn hình ch nh t v i kích thư c 50m x 75m và cao 250m Hãy tính l c và moment u n do gió có v n t c b ng 50 km/h tác ñ ng lên chân nhà theo hai hư ng:
a) vuông góc v i c nh ng n, v i h s l c c n b ng 1,9
b) vuông góc v i c nh dài, v i h s l c c n b ng 2,8
Xem phân b v n t c gió là ñ u
ðS: a) D= 2748,8kN, Moment= 343,6 MNm; b) D=6,08 MN; Moment= 759,5 MNm
Bài 6.40
B n nư c hình c u có ñư ng kính Ds=20m ñư c ñ b ng tr ch ng như trên Hình 6.10 Tr có ñư ng kính Dc=5m và chi u cao b=30m Gi s l c c n do gió tác
d ng lên c h th ng ñư c có th ñư c tính cho t ng ph n: b n nư c và tr Hãy tính moment u n tác d ng lên chân tr khi v n t c gió b ng 50 km/h Xem v n t c gió là phân b ñ u
ðS: Rec u= 1,8.107, CD= 0,4 (tra ñ th ), Dc u= 14544.4N; Retr = 4,6.106, CD= 0,8 (tra ñ th ), Dtr = 13889N; Moment= 790109 Nm
Hình 6.40 Bài 6.41
H s l c c n lên hai mô hình xe t i ñư c cho như trên hình Hãy tính công su t
ñ ng cơ c n thi t ñ xe di chuy n v i v n t c ñ u b ng 105 km/h, bi t chi u cao và chi u r ng l n nh t c a xe b ng h=4,2 m và b=3,5 m
ðS: a) 153,2 kW; b) 210,1 kW
Bài 6.42
S i cáp có ñư ng kính b ng 12 mm ñư c treo gi a hai c t cách nhau 50 m Hãy tính l c kéo (theo phương ngang) do s i cáp tác d ng lên t ng c t khi gió th i qua
s i cáp có v n t c b ng 30m/s
ðS: Re= 24 000, CD= 1,5, D= 486N, L c tác d ng lên m i tr = 243 N Bài 6.43
Qu bóng bàn có ñư ng kính b ng 38,1mm và tr ng lư ng b ng 0,0245 N ñư c
th ra t ñáy h bơi Hãy tính v n t c n i lên m t nư c c a qu bóng khi qu bóng
ñã chuy n ñ ng n ñ nh, n u xem h s l c c n c a qu bóng b ng 0,5
ðS: L c ñ y Archimedes = L c c n + Tr ng l c => V=0,95 m/s