chỉ số và khả nghịch Drazin của Ma trận khối. CỤC THÔNG TIN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUỐC GIA NATIONAL AGENCY FOR SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION ... Địa chỉ: Số 2426 Lý Thường Kiệt, Q. Hoàn. Trong đại số tuyến tính, một ma trận khả nghịch hay ma trận không suy biến là một ma trận vuông và có ma trận nghịch đảo trong phép nhân ma trận.
Trang 1CH S À KH NGH CH DRAZ N C A MA TR N KH
V T n c Khoa oán và Khoa khoa h c t nh n
Ema l ducvt dhhp edu vn Ngày nh n bài: 03/3/2022
Ngày PB ánh giá: 28/3/2022
Ngày duy t ng: 29/3/2022
TÓM T T
Trong bài báo này c p n m t s k t qu v ch s và ngh ch o Drazin c a ma tr n kh i
M i quan h gi a ch s c a A và ch s c a BC c ng c làm rõ, ng th i
các ví d c a ra minh h a cho các quan h ó.
T khóa Ch s Drazin, kh ngh ch Drazin, ma tr n kh i.
THE INDEX AND THE DRAZIN INVERSE OF A BLOCK MATRIX
ABSTACT
In this paper , some results about the index and the Drazin inverse of a block matrix are
given Relationships between the index of A and the index of BC are determined, and examples are given to illustrate all such possible relationships.
Keyword Drazin index, Drazin inverse, block matrices
1 GIỚI THIỆU
Cho A là ma trận vuông phức cấp n Số nguyên không âm k nhỏ nhất thỏa mãn
, được gọi là chỉ số của ma trận A và ký hiệu là indA Cho ma trận vuông phức A cấp nvới indA k= Ma trận vuông phức X cấp
nđược gọi là khả nghịch Drazin của A nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
1
Ký hiệu khả nghịch Drazin của ma trận A là AD Khi indA =0 hoặc ind( ) 1 A =
th AD được gọi là nghịch đảo nhóm của A, và ký hiệu là A#
Nếu A là ma trận lũy linh bậc k th indA k= và AD = O; còn nếu A là ma trận khả nghịch thì indA =0 và AD = A- 1
Trang 2Vấn đề tìm kiếm các biểu diễn một cách chi tiết cho nghịch đảo Drazin của một ma trận khối tổng quát đã được Campbell và Meyer đặt ra ở [1] Kể từ đó, các trường hợp đặc biệt của vấn đề này đã được nghiên cứu Một số bài báo gần đây đề cập đến vấn đề biểu diễn nghịch đảo Drazin của các ma trận khối như vậy là [2 , 3 , [5 , 6 , tuy nhi n nhiều vấn đề chung vẫn còn bỏ ngỏ
Trong bài báo này ta nghiên cứu khả nghịch Drazin ma trận khối:
,
O B A
C O
ở đây là ma trận cỡ p n p ( - ), còn là ma trận cỡ ( n p p - )
2 CÁC KHỐI BIỂU DIỄN CỦA AD
Định lí 2.1 Xét ma trận có dạng (4) Khi đó:
( ) ( )
D D
D
A
Hơn nữa , nếu indBC q = th ind A 2 q + 1
Chứng minh Kí hiệu:
( ) ( )
D D
X
Ta có
O B
XA
C O
Lại có BC BC ( )D = ( BC BC )D n n AX XA=
Mặt khác thì
O B
XAX
C O
= O ( BC BC BC B )D ( )D
Trang 3Lại có ( BC BC BC )D ( )D = ( BC )D, suy ra
( ) ( )
D D
Vậy X là khả nghịch Drazin của ma trận
Đặt indBC q = , khi đó
1
1
.
q q
q
+ +
+
Suy ra
1
2 2
1
q
+ +
+
1
+
V ( ) CB q +1C C BC BC = ( )( ) ( BC ) = C BC ( )q +1 n n
1
+
Vậy ind A 2 q + 1
Bổ đề 2.1 Nếu T là ma trận vuông thì ( ) T2 D = ( ) TD 2
Chứng minh Ta có:
( ) TD T = T T T TD( D ) = ( T T T TD )( D ) ( = TTD)( TTD) = T T T T ( D )( )D = T T ( )D
( ) TD T T ( )D = ( T T T TT TD D )( D D) ( = T TTD D)( T TTD D) = T TD. D = ( ) TD Vậy ( ) T2 D = ( ) TD 2
Bổ đề 2.2 Với P là ma trận cỡ m n và Q là ma trận cỡ n m th
2
( PQ )D = P QP (( ) )DQ Chứng minh Đặt = P QP (( ) )2 DQ, ta có:
Trang 42 2
( ) (( ) ) ( ) (( ) ) ,
(( ) ) ( ) (( ) ) , ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) , ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
P QP Q PQ P QP Q
P QP QP QP QP QP QP Q
P QP QP QP QP QP QP Q
=
=
=
=
V (QP QP QP) (D )( )D =(QP)D, suy ra (PQ) =P QP QP Q( ) (D )D =
Mặt khác thì
2
( ) ( ) (( ) ) ( )( ) ( ) ,
P QP QP QP Q P QP Q
2
( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
PQ P QP Q PQ P QP QP QP Q
P QP QP QP Q P QP Q
Suy ra (PQ) = (PQ), do đó (PQ)D =P QP(( ) )2 DQ
Bổ đề 2.3 Với các ma trận B C, xác định ở (4), ta có:
(BC B B CB)D = ( )D và ( )CB C C BCD = ( ) D Chứng minh Bởi Bổ đề 2.1 và Bổ 2.2, ta có:
2
( ) ( )( ) ( )
BC B B CB CB B CB CB CB
B CB CB CB B CB
Thay đổi vai trò của ma trận B C, cho nhau ta được: ( )CB C C BCD = ( )D
Hệ quả 2.1 Với ma trận khối A xác định ở (4), ta có:
( ) ( )
D D
D
A
Nhận xét 1) Nếu A là ma trận khả nghịch thì B C, là ma trận khả nghịch Khi đó công thức ở Hệ quả 2.1 thành:
1 1
A
2) Nếu BC là ma trận lũy linh thì (BC)D =O, do đó AD =O
3) Nếu C B= * với rank( )B < p, thế thì BB* là ma trận suy biến và là ma trận Hermite suy ra indBB =* 1 Khi đó thì A cũng là ma trận Hermite và indA =1 Trong trường hợp này thì AD =A+, với A+nghịch đảo Moore-Penrose của A:
Trang 5* *
( ) ( )
+
3 MỐI QUAN HỆ GIỮA CHỈ SỐ AVÀ CHỈ SỐ CỦA BC
Kết quả trong phần này mà chúng tôi nêu đối với chỉ số theo BC và chỉ số
BC có thể được nêu theo cách khác là CB và chỉ số
Với ma trận ở (4) Với j =0,1,2,
( )
j j
j
A
j
Như vậy thì
rankA2 j =rank(BC)j+rank( )CB j (5)
2 1
rankA j + =rank(BC B)j +rank (C BC)j =rank ( )B CB j +rank( )CB Cj (6) Đặt indBC q= , giả sử q =0 Nếu n=2p th B C, là các ma trận vuông cấp p
khả nghịch, do đó indA =0 Trong trường hợp này ta có AD =A- 1
Nếu n 2p, khi đó rankBC=rankB=rankC =rankCB Suy ra
2
rankA=rankA , do đó indA =1 và AD = A#, với A# là nghịch đảo nhóm của A Sau đây ta sẽ sử dụng bất đẳng thức về hạng ma trận (xem 4 , trang 13) của Frobenius trong một số chứng minh ở phần này
Bổ đề 2.4 ( Bất đẳng thức Frobenius) Với các ma trậnU cỡ m k,V là k n
vàW là n p th :
rankUV +rankVW rankV +rankUVW Định lí 2.2 Cho ma trận A có dạng (4) và giả sử indBC q= 1 Khi đó
indA=2q-1,2q hoặc 2q +1
Chứng minh Theo Định lí 2.1 ta có indA 2q +1 Theo Bổ đề 2.4, ta có:
rank( ( ) ) rank(( )B CB q - + CB q -C) rank( )CB q - +rank(BC)q
V indBC q= n n rank(BC)q <rank(BC)q -1, suy ra
rank( ( ) ) rank(( )B CB q - + CB q - C) rank( )< CB q - +rank(BC)q - (7)
Trang 6Từ (5) , (6) và (7), suy ra rank A2 2 q - < rank A2 1 q - , do đó ind A = 2 q - 1,2 q hoặc
2 q + 1
Ở các định lí dưới đây, ta sẽ đưa ra các điều kiện cần và đủ cho mỗi giá trị của chỉ
số của ma trận được xác định ở Định lí 2.1
Định lí 2.3 Cho ma trận có dạng (4) và giả sử ind BC q = 1 Khi đó ind( ) 2 A = q - 1 nếu và chỉ nếu ít nhất một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:
i rank( BC )q = rank( BC )q -1B và rank( ) CB q = rank( ) CB q -1C
ii rank( BC )q = rank( ) CB q -1C và rank( ) CB q = rank( BC )q -1B
Chứng minh Từ (5) và (6) ta có, rank A2q = rank A2 1q - nếu và chỉ nếu
rank( ) CB q - + rank( BC )q = rank ( ) B CB q - + rank( ) CB q - C (8)
Ta chứng minh (8) thỏa mãn nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện i) hoặc ii) được thỏa mãn
Rõ ràng nếu i) hoặc ii) thỏa mãn thì (8) được thỏa mãn
Ngược lại, nếu (8) thỏa m n th i) và ii) thỏa m n Thật vậy, ta có:
1 1
rank( ) rank( ) rank( ) rank( )
và
1 1
rank( ) rank( ) rank( ) rank( )
-Rõ ràng nếu i) hoặc ii) kh ng thỏa m n th (8) kh ng xảy ra Do đó ta có điều phải chứng minh
Bổ đề 2.5 Nếu indBC q = th
rank( BC )q + = rank( BC )q = rank( BC B )q = rank ( C BC )q = rank( ) CB q + Chứng minh Đặt rank( BC )q = s Ta có:
1 1
+ +
Do đó
1
rank( BC )q + = rank( BC )q = rank( BC B )q = rank ( C BC )q = s Mặt khác theo Bổ đề 2.4, ta có:
2 s = rank ( C BC )q+ rank( BC B )q rank( BC )q + + rank( ) CB q +
Theo (5), ta có:
rank( BC )q + + rank( ) CB q + = rank A q + rank A q +
Trang 72 1
rank A q + = rank( BC B )q + rank ( ) C CB q = 2 s Suy ra rank( BC )q + 1+ rank( ) CB q + 1= 2 s rank( ) CB q + 1= s
Định lí 2.4 Cho ma trận A có dạng khối (4) và giả sử ind BC q = 1
Khi đó ind A = 2 q nếu và chỉ nếu ind( CB ) = q và
1
rank( BC )q < rank( BC )q - B hoặc rank( ) CB q < rank ( C BC )q -1
Chứng minh Giả sử ind A = 2 q , đặt s = rank( BC )q Khi đó:
rank A q = rank A q + = 2 s < rank A q - Lại có rank A2 q = rank( BC )q+ rank( ) CB q, suy ra rank( ) CB q = s
Theo (6) th
rank A q - = rank( ( )) B CB q - + rank(( ) CB q - C ) rank( ) CB q - + rank( BC )q
Do đó rank A2 1 q - rank( CB )q - 1+ s, suy ra
2 s < rank A q - rank( ) CB q - + s rank( ) CB q - > s
V rank( ) CB q +1= s n n ind( CB ) = q
Nếu rank( BC )q = rank( BC )q -1B và rank( ) CB q < rank ( C BC )q -1 thì theo Định
lí 2.3 ta có ind A = 2 q - 1, mâu thuẫn với giả thiết Do đó
1
rank( BC )q < rank( BC )q - B hoặc rank( ) CB q< rank ( C BC )q -1
Ngược lại, giả sử indCB q = và
1
rank( BC )q < rank( BC )q - B hoặc rank( ) CB q< rank ( C BC )q - 1
V indCB q = n n rank( ) CB q = rank( ) CB q +1= s theo Bổ đề 2.5
Từ Định lí 2.3 ta có ind A 2 q - 1 Nếu ind A = 2 q + 1 th
rank A q + < rank A q rank( BC B )q + rank ( C BC )q < rank( BC )q+ rank( ) CB q
Từ Bổ đề 2.5 suy ra s < rank( ) CB q, mâu thuẫn Kết hợp với Định lí 2.2 ta có
ind A = 2 q Định lí 2.5 Cho ma trận A có dạng khối (4) và giả sử ind BC q = 1 Khi đó ind A = 2 q + 1 nếu và chỉ nếu rank( ) CB q > rank( ) CB Cq
Chứng minh Đặt rank( BC )q = s và giả sử rằng ind A = 2 q + 1 Ta có:
rank A q + = rank A q + = 2 s < rank A q Theo (5) th
2
rank A q = rank( BC )q+ rank( ) CB q rank( ) CB q > s
Trang 8Bởi Bổ đề 2.5, ta có:
rank ( C BC )q = rank( ) CB q + = s rank( ) CB Cq = rank( ) CB q + = s
Do đó rank( ) CB q > rank( ) CB Cq
Ngược lại, nếu rank( ) CB q > rank( ) CB Cq = rank ( C BC )q, ta có:
rank( BC )q+ rank( ) CB q > rank( BC B )q + rank ( C CB )q rank A q > rank A q +
Do đó ind A = 2 q + 1
Hệ quả 2.2 Cho ma trận có dạng khối (4) và giả sử ind BC q = 1 Khi đó ind A = 2 q + 1 nếu và chỉ nếu ind CB = 2 q + 1
Chứng minh Giả sử ind A = 2 q + 1 Theo Định lí 2.5 thì
1
rank( ) CB q > rank( ) CB Cq rank( ) CB q + Suy ra ind CB q + 1 Ta có
rank A q + = rank A q + rank( BC )q + + rank( CB )q + = rank( BC )q + + rank( ) CB q +
V rank( BC )q + 1= rank( BC )q + 2 n n rank( ) CB q + 1= rank( ) CB q + 2
Do đó ind CB q = + 1
Ngược lại, giả sử ind CB q = + 1, suy ra rank( ) CB q > rank( ) CB q +1, do đó
rank A q > rank A q +
Sử dụng (5), (6) và Bổ đề 2.5 ta có rank A2 1q + = rank A2 2q +
Do đó ind A = 2 q + 1
Ví dụ 1 Xét ma trận A viết dưới dạng khối:
O B A
C O
với
1 1 1
1 1 2
1 1
- Khi đó
0
)
Trang 9Ta có rankBC =2; rank(BC)2 =rank(BC)3=1 n n indBC = =2 s
Lại có rankA=4; rankA2 =3;rankA3=rankA4 =2 n n indA= =3 2 1s-
Dễ kiểm tra được rằng điều kiện i) và ii) ở Định lí 2.3 được thỏa mãn
Ví dụ 2 Xét ma trận được cho dưới dạng khối:
O B A
C O
với
1 0 0 1
1 1 0 0 ;
0 1 1 0
- Khi đó
2
-
;
-
Ta có rank BC = rank( BC )2 = 2 và ind BC = = 1 s
Chú ý rằng rankCB= >3 rankCBC =2 và indCB =2 Khi đó theo Hệ quả 2.2
th indA=2 1 3s+ =
4 KẾT LUẬN
Trong bài báo này, ta đi nghiên cứu chỉ số và khả nghịch Drazin của ma trận khối
A
C O
= Ta đã đưa ra được công thức tìm khả nghịch Drazin cũng như mối quan hệ giữa chỉ số của ma trận khối với các khối ma trận thành phần Một số ví dụ cũng được đưa ra để minh họa cho các định lí được trình bày trong bài báo
Trang 10T I LI U THAM KH O
1 S L Campbell and C D Meyer (1991), Generali ed Inverses of Linear Transformations Pitman, London, 1979; Dover Publications, Inc., New York
2 N Castro-Gonzales and E Dopazo (2005), Representations of the Dra in inverse for
a class of block matrices Linear Algebra and its Applications
3 J Chen, Z Xu, and Y Wei (2009), Representations for the Dra in inverse of the sum
P + Q + R + S and its applications Linear Algebra and its Applications
4 R Hartwig, X Li, and Y Wei (2005), Representations for the Dra in inverse of a 2
2 block matrix SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2005
5 R.A Horn and C.R Johnson (1985), Matrix Analysis Cambridge University Press, New York
6 X Li and Y Wei (2007), A note on the representations for the Dra in inverse of 2 2 block matrices Linear Algebra and its Applications