SKKN Một số dạng bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn

SKKN Một số dạng bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn 1 MỤC LỤC I MỞ ĐẦU 2 1 Lý do chọn đề tài 2 2 Mục đích nghiên cứu 2 3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3 4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3 5 Các phương pháp n[.]

MỤC LỤC

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3

2.Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5

Dạng 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức 𝑓'(𝑥) = ℎ(𝑥) 𝑓𝑛(𝑥) , 𝑛 ∈ 𝑁∗

5

Dạng 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức

𝑓𝑛(𝑥).𝑓'(𝑥) = ℎ(𝑥)

8

Dạng 3: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức dạng

U(x).f’(x) + U’(x).f(x) = h(x)

9

Dạng 4: tích phân liên quan đến biểu thức có dạng

f’(x) + p(x).f(x)= h(x)

11

I.MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Mỗi một nội dung trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh Trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ và động

cơ học tập đúng đắn Thực tế dạy và học cho chúng ta thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết ,học sinh chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình giải toán và đặc biệt từ năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) Trong đó môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số

kĩ năng mới mà khi thi tự luận chưa được khai thác Chẳng hạn, trước đây thi tự luận khi dạy phần tích phân giáo viên chỉ tập trung hướng dẫn cách học sinh vận dụng các phương pháp tính tích phân để tính các tích phân Ví dụ, tính các tích phân sau:

a ∫2

1𝑥.ln (𝑥 + 1)𝑑𝑥

b ∫1

0𝑥.𝑒𝑥𝑑𝑥

c.∫3

0

3

3𝑥 ‒ 1𝑑𝑥

Khi thi tự luận gặp các bài toán này học sinh phải trình bày được các bước để dẫn đến kết quả đúng Nhưng khi thay đổi hình thức thi trắc nghiệm, với những bài toán kiểu như thế này thì học sinh chỉ cần sử dụng máy tính cầm tay hoàn toàn có thể chọn được một đáp án đúng mà không cần phải biết cách tìm tích phân đó như thế nào Đó chính là lý do quan trọng nhất mà người ra đề thi phải thay đổi hình thức ra đề để hạn chế tối đa việc sử dụng máy tính vào việc giải quyết các bài toán Việc sử dụng máy tính cầm tay chỉ hỗ trợ một phần nào đó thôi, quan trọng các e vẫn phải nắm được bản chất của bài toán thì mới làm được Vì vậy hệ thống bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn gần như còn mới

và lạ đối với cả giáo viên và học sinh Bằng những kinh nghiệm giảng dạy trên lớp và dạy bồi dưỡng tôi đã rút ra cho mình một số dạng bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn Đó chính là lý do tôi đưa ra đề tài "

2.Mục đích nghiên cứu:

Thông qua đề tài này giúp cho người đọc, đặc biệt là học sinh nhận thấy được

có một số bài toán về tích phân không thể dùng máy tính để chọn được đáp án đúng Từ đó giúp các em biết cách nhận biết và giải quyết một số bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn một cách nhanh chóng và hiệu quả cao trong các kì thi đặc biệt là trong các kì thi THPTQG ở các năm sau

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tập trung vận dụng lý thuyết về nguyên hàm

và tích phân trong SGK Giải tích 12 để giải quyết một số dạng bài tập về tích phân có liên quan đến hàm ẩn

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết, trên cơ sở đó phân dạng các bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn Giúp học sinh nhận dạng và giải quyết bài toán một cách hiệu quả nhất

5.Các phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm vào các dạng bài tập được sắp xếp và phân chia một cách hợp lý

II NỘI DUNG :

1 Cơ sở lý luận:

1.1 Nguyên hàm:

1.Định nghĩa:

+) F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên K nếu F’(x) = f(x), ∀𝑥 ∈ 𝐾 +) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên K thì F(x) + C (C là một hằng số bất kì) là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K và được kí hiệu:

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

2 Tính chất:

+) ∫𝑓'(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶

+) ∫𝑘.𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , ∀𝑘 ≠ 0

+) ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥

+) mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

3 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:

𝑥

𝑙𝑛𝑎+ 𝐶

∫𝑥∝𝑑𝑥 = 𝑥

∝+ 1

∝+ 1+ 𝐶 ( ∝≠‒ 1) ∫𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 =‒ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶

∫1𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶 ∫𝑐𝑜𝑠12𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶

∫𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥+ 𝐶 ∫𝑠𝑖𝑛12𝑥𝑑𝑥 =‒ 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝐶

4 Các phương pháp tìm nguyên hàm:

a Phương pháp đổi biến số:

∫𝑓(𝑢(𝑥)).𝑢'(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑢(𝑥)) + 𝐶

b Phương pháp nguyên hàm từng phần:

∫𝑢(𝑥).𝑣'(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥).𝑣(𝑥) ‒∫𝑣(𝑥).𝑢'(𝑥)𝑑𝑥 Hay ∫𝑢.𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 ‒ ∫𝑣𝑑𝑢

1.2 Tích phân:

1 Định nghĩa:

∫𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)|𝑏𝑎= 𝐹(𝑎) ‒ 𝐹(𝑏)

( Trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a;b])

2 Tính chất:

+) ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =‒ ∫𝑎𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥

+) ∫𝑏

𝑎[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫𝑏𝑎𝑔(𝑥)𝑑𝑥

+) ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑐𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑏𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥

+) ∫𝑏

𝑎𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 = 0 => 𝑓(𝑥) = 0

3 Các phương pháp tính tích phân:

a Phương pháp đổi biến số:

∫𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =∫𝛽

∝

𝑓(𝜑(𝑡)).𝜑'(𝑡)𝑑𝑡

b Phương pháp tính tích phân từng phần:

∫𝑏

𝑎

𝑢(𝑥).𝑣'(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥).𝑣(𝑥)|𝑏𝑎‒∫𝑏

𝑎

𝑣(𝑥).𝑢'(𝑥)𝑑𝑥

Hay ∫𝑏

𝑎𝑢.𝑑𝑣 = 𝑢.𝑣|𝑏𝑎‒ ∫𝑏𝑎𝑣.𝑑𝑢

2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Phần kiến thức về tích phân là một nội dung không thể thiếu trong cấu trúc đề thi THPTQG Năm học 2016-2017 là năm đầu tiên thay đổi hình thức thi trắc nghiệm, nhiều bài toán tích phân học sinh có thể dùng máy tính để chọn được được đáp án đúng mà không cần biết cách giải như thế nào Nắm được khe hở

đó từ năm 2017-2018 người ra đề thay đổi cách thức ra bài toán hạn chế việc sử dung máy tính chọn đáp án đúng Vì vậy trong các đề sau này xuất hiện một số bài tập về tích phân liên quan đến hàm ẩn,đây là một dạng bài tập mới lạ đối với các em nên các em sẽ thấy bở ngỡ và khó khăn Chính vì vậy đề tài này được đưa ra nhằm giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận và giải quyết một cách hiệu quả các dạng bài tập này

3.Giải pháp để giải quyết vấn đề:

Dạng 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức 𝑓'(𝑥) = ℎ(𝑥) 𝑓𝑛(𝑥), 𝑛 ∈

𝑁∗

Phương pháp:

' (𝑥) 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥 )→ln (𝑓(𝑥)) = ∫ℎ(𝑥).𝑑𝑥

Nếu n > 1: Ta có : 𝑓'(𝑥) = ℎ(𝑥).𝑓𝑛(𝑥)↔𝑓

' (𝑥)

𝑓𝑛(𝑥)= ℎ(𝑥)→ 1

(1 ‒ 𝑛).𝑓𝑛 ‒ 1(𝑥)= ∫ℎ(𝑥).𝑑𝑥

Ví dụ 1:

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R, thỏa mãn các điều kiện:

Tính f(ln2) 𝑓(𝑥) > 0,∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑓'(𝑥) =‒ 𝑒𝑥.𝑓2(𝑥),∀𝑥 ∈ 𝑅 𝑣à 𝑓(0) = 12

A B.29 ‒29 C D.23 13

Giải:

Từ 𝑓'(𝑥) =‒ 𝑒𝑥.𝑓2(𝑥)↔ ‒ 𝑓

' (𝑥)

𝑓2(𝑥)= 𝑒𝑥→𝑓(𝑥)1 = ∫𝑒𝑥.𝑑𝑥 = 𝑒𝑥+ 𝐶 Tại x = 0 ta có: 𝑓(0)1 = 𝑒0+ 𝐶→𝐶 = 1

Tại x = ln2: 𝑓(𝑙𝑛2)1 = 𝑒𝑙𝑛2+ 1→𝑓(𝑙𝑛2) =13 Vậy ta chọn đáp án D

Ví dụ 2:

Cho hàm số f(x) có đồ thị hàm số (C),xác định và liên tục trên R, thỏa mãn: 𝑓

(𝑥) > 0,∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑓'(𝑥) = (𝑥.𝑓(𝑥))2,∀𝑥 ∈ 𝑅 𝑣à 𝑓(0) = 2

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 của đồ thị hàm số (C)

A y = 6x+ 30 B y = -6x + 30 C y = 36x - 30 D y = -36x + 42

Giải:

𝑓'(𝑥) = (𝑥.𝑓(𝑥))2↔ ‒ 𝑓

' (𝑥)

𝑓2(𝑥)=‒ 𝑥2→𝑓(𝑥)1 = ∫ ‒ 𝑥2.𝑑𝑥 =‒13𝑥3+ 𝐶

Tại x = 0: 𝑓(0)1 = 𝐶→𝐶 =12→𝑓(𝑥)1 =‒𝑥33+12→𝑓(𝑥) = 1

‒𝑥

3

3 +12

Tại x = 1: f(1) = 6 và f’(1) = 36

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là: y = 36x - 30

Vậy chọn đáp án: C

Ví dụ 3:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên (0; + ∞), thỏa mãn:

𝑓'(𝑥) + (2𝑥 + 4).𝑓2(𝑥) = 0,𝑓(𝑥) > 0,∀𝑥 ∈ 𝑅 𝑣à 𝑓(2) =151

Tính f(1) + f(2) + f(3)

A B C D 157 1115 1130 307

Giải:

𝑓'(𝑥) + (2𝑥 + 4).𝑓2(𝑥) = 0↔ ‒ 𝑓

' (𝑥)

𝑓2(𝑥)= 2𝑥 + 4→𝑓(𝑥)1 =

∫(2𝑥 + 4).𝑑𝑥 = 𝑥2+ 4𝑥 + 𝐶

Tại x = 2: 𝑓(2)1 = 12 + 𝐶→𝐶 = 3

Tại x = 1: 𝑓(1)1 = 8→𝑓(1) =18

Tại x = 3: 𝑓(3)1 = 24→𝑓(3) =241

Suy ra : 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) =18+151 +241 =307

Vậy ta chọn đáp án: D

Ví dụ 4:

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:

𝑓(𝑥) ≠ 0,∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑓'(𝑥) = (2𝑥 + 3).𝑓2(𝑥) 𝑣à 𝑓(0) = ‒12

Tổng: 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(2018) =𝑎𝑏, 𝑎 ∈ 𝑍,𝑏 ∈ 𝑁∗𝑣à 𝑎𝑏 là phân số tối giản

Mệnh đề nào sau đây đúng:

A 𝑎𝑏<‒ 1 B 𝑎𝑏> 1 C a + b = 1010 D b - a = 3029

Giải

𝑓'(𝑥)

= (2𝑥 + 3).𝑓2(𝑥)↔ ‒ 𝑓

'(𝑥)

𝑓2(𝑥)=‒ (2𝑥 + 3)→

1 𝑓(𝑥)=‒∫(2𝑥 + 3).𝑑𝑥 =‒(𝑥2+ 3𝑥)+ 𝐶 Tại x = 0: 𝑓(0)1 = 𝐶→𝐶 =‒ 2

Tại x = 1: 𝑓(1)1 =‒ 6→𝑓(1) =‒16=‒(1

2‒13)

Tại x = 2:𝑓(2)1 =‒ 12→𝑓(2) =‒121 =‒(1

3‒14)

Tại x = 3: 𝑓(3)1 =‒ 20→𝑓(3) =‒201 =‒(1

4‒15)

Tại x = 2018: 𝑓(2018)1 =‒ 4078380→𝑓(2018) =‒40783801 =‒( 1

2019‒20201 )

𝑓(1) + 𝑓(2) + … + 𝑓(2018) =‒(1

2‒

1

2020)=‒1009

2020 Suy ra: b - a = 3029

Vậy chọn đáp án : D

Ví dụ 5:

Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên (0; + ∞), thỏa mãn: 𝑓(𝑥) =

Mệnh đề nào sau đây đúng:

𝑓'(𝑥) 3𝑥 + 1, ∀𝑥 > 0 𝑣à 𝑓(1) = 1

A 4<f(5)<5 B 2<f(5)<3 C 3<f(5)<4 D 1<f(5)<2

Giải:

𝑓(𝑥)

= 𝑓'(𝑥) 3𝑥 + 1↔𝑓'(𝑥)

𝑓(𝑥) =

1 3𝑥 + 1→ln (𝑓(𝑥)) =∫ 3𝑥 + 11 𝑑𝑥 =2 3𝑥 + 1

Tại x = 1: ln (𝑓(1)) =43+ 𝐶→𝐶 =‒43

Tại x = 5: ln (𝑓(5)) =43→𝑓(5) = 𝑒

4

3≈ 3,79→3 < 𝑓(5) < 4 Vậy chọn đáp án: C

Dạng 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức 𝑓𝑛(𝑥).𝑓'(𝑥) = ℎ(𝑥)

Phương pháp: Lấy nguyên hàm hai vế ta đươc:

𝑓𝑛 + 1(𝑥) =∫ℎ(𝑥).𝑑𝑥

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện: f’(x).f(x) = 𝑥4+ 𝑥2 và f(0) = 2 Tính 𝑓2(2)

A.31315 B 33215 C.32415 D 32315

Giải:

Ta có: ∫𝑓'(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(𝑥4+ 𝑥2)𝑑𝑥 <=>12𝑓2(𝑥) =𝑥

5

5 +𝑥

3

3 + 𝑐

Mà f(0) = 2 =>12𝑓2(0) = 𝑐 => 𝑐 = 2

Vậy 𝑓2(𝑥) =25𝑥5+23𝑥3+ 4 => 𝑓2(2) =33215

Vậy chọn đáp án D

Ví dụ 2:

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện: 𝑓6(𝑥).𝑓'

Khi đó phương trình f(x) = 3 có bao nhiêu nghiệm (𝑥) = 12𝑥 + 13, 𝑓(0) = 2

A 2 B 3 C.7 D 1

Giải: Ta có:

∫𝑓6(𝑥)𝑓'(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(12𝑥 + 13)𝑑𝑥 <=> 𝑓7(𝑥) = 6𝑥2+ 13𝑥 + 𝐶

Mặt khác: f(0) = 2 nên C= 128

Xét pt: 𝑓(𝑥) = 3 <=> 𝑓7(𝑥) = 37<=> 6𝑥2+ 13𝑥 + 128 = 2187

<=> 6𝑥2+ 13𝑥 ‒ 2059 = 0 Suy ra pt có 2 nghiệm nên chọn đáp án A

Dạng 3: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức dạng

U(x).f’(x) + U’(x).f(x) = h(x)

Phương pháp: từ gt ta có (U(x).f(x))’= h(x)

Lấy đạo hàm hai vế ta được: U(x).f(x) = ∫ℎ(𝑥)𝑑𝑥

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục và có đạo hàm trên R và thỏa mãn: (x+1).f’(x)+f(x) = 3𝑥2 - 2x , f(1) = -1 Tính f(2)

A.2 B C 3 D 23 52

Giải: Từ gt ta có

((x+1).f(x))’ = 3𝑥2‒ 2𝑥 => (𝑥 + 1).𝑓(𝑥) = ∫(3𝑥2‒ 2𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥3‒ 𝑥2+ 𝐶

Mà f(1) = -1 nên C = 2.f(1) = -2

Tại x = 2 ta có: 3.f(2) = 2 nên f(2) = 2/3

Vậy chọn đáp án B

Ví dụ 2:

Cho hàm số y = f(x) xác định, có đạo hàm trên (0;+∞) va thỏa mãn: 𝑓'(𝑥) +𝑓(𝑥)𝑥

, f(1) = 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x = 2

= 4𝑥2+ 3𝑥 (1)

là:

A y = 16x + 20 B y = -16x+ 20 C y = -16x -20 D y = 16x - 20

Giải:

Từ (1) <=> 𝑥.𝑓'(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 4𝑥3+ 3𝑥2<=> (𝑥.𝑓(𝑥))'= 4𝑥3+ 3𝑥2

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

𝑥.𝑓(𝑥) = ∫ (4𝑥3+ 3𝑥2)𝑑𝑥 = 𝑥4+ 𝑥3+ 𝐶

Mà f(1) = 2 nên C = 0 Vậy : 𝑓(𝑥) = 𝑥3+ 𝑥2

Tại x = 2: f(2) = 12, f’(2) = 16 nên pttt là: y = 16(x-2)+12 hay y = 16x-20

Vậy chọn đáp án D

Ví dụ 3:

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:

sinx.f’(x) + cosx.f(x) = 2x - 1 Tính: f( ).𝜋2

A 𝜋2+ 2𝜋4 B 𝜋2‒ 2𝜋4 C 2𝜋 ‒ 𝜋4 2 D 𝜋22‒ 𝜋

Từ gt ta có: (sinx.f(x))’=2x - 1

→𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑓(𝑥) =∫(2𝑥 ‒ 1).𝑑𝑥 = 𝑥2‒ 𝑥 + 𝐶 Mặt khác với x = 0 ta có: sin0.f(0) = 0 +C suy ra C = 0

Với 𝑥 =𝜋2→𝑠𝑖𝑛𝜋2.𝑓(𝜋

2)= (𝜋2)2‒𝜋2→𝑓(𝜋

2)=𝜋

2 ‒ 2𝜋 4

Vậy chọn đáp án B

Ví dụ 4:

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:

(1) và f(0) = 2 Tính f(3)

(𝑥2+ 1).𝑓'(𝑥) + 2𝑥.𝑓(𝑥) =‒ 𝑥

A ‒14 B C D 14 12 ‒12

Giải:

Từ (1) ta có:

( (𝑥2+ 1).𝑓(𝑥))'=‒ 𝑥→(𝑥2+ 1).𝑓(𝑥) = ∫ ‒ 𝑥.𝑑𝑥 =‒𝑥

2

2 + 𝐶 Mặt khác : f(0) = C = 2

Tại x = 3: 10.f(3) = ‒52→𝑓(3) =‒14 Vậy chọn đáp án A

Dạng 4: tích phân liên quan đến biểu thức có dạng

f’(x) + p(x).f(x)= h(x)

Phương pháp : Nhân cả hai vế với 𝑒∫𝑝(𝑥).𝑑𝑥 ta được:

𝑒∫𝑃(𝑥).𝑑𝑥

.𝑓(𝑥) + 𝑒∫𝑃(𝑥).𝑑𝑥

.𝑃(𝑥).𝑓(𝑥) = 𝑒∫𝑃(𝑥).𝑑𝑥

.ℎ(𝑥)

↔(𝑒∫𝑃(𝑥).𝑑𝑥

.𝑓(𝑥))'= 𝑒∫𝑃(𝑥).𝑑𝑥

.ℎ(𝑥)

→𝑒∫𝑃(𝑥).𝑑𝑥

.𝑓(𝑥) =∫𝑒∫𝑃(𝑥).𝑑𝑥

.ℎ(𝑥).𝑑𝑥

Ví dụ 1 :

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:

f(x) + f’(x) = sinx, ∀𝑥 ∈ 𝑅 (1) và f(0) = 1 Tính: 𝑒𝜋.𝑓(𝜋)

A 𝑒𝜋2‒ 1 B 𝑒𝜋2+ 1 C 𝑒𝜋2+ 3 D 𝜋 + 12

Giải: dễ dàng nhận thấy:

P(x) = 1 →∫𝑃(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑥 = 𝑥→𝑒∫𝑃(𝑥).𝑑𝑥= 𝑒𝑥

Nhân cả hai vế với ta được: 𝑒𝑥

𝑒𝑥.𝑓(𝑥) + 𝑒𝑥.𝑓'(𝑥) = 𝑒𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑥

↔(𝑒𝑥.𝑓(𝑥))'= 𝑒𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑥

→𝑒𝑥.𝑓(𝑥) =∫𝑒𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑑𝑥 =1

2(𝑒𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑥 ‒ 𝑒𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥)+ 𝐶 Tại x = 0: 𝑒0.𝑓(0) =12(𝑒0.𝑠𝑖𝑛0 ‒ 𝑒0.𝑐𝑜𝑠0)+ 𝐶→𝐶 =32

Tại 𝑥 = 𝜋: 𝑒𝜋.𝑓(𝜋) =12(𝑒𝜋.𝑠𝑖𝑛𝜋 ‒ 𝑒𝜋.𝑐𝑜𝑠𝜋)+32= 𝑒

𝜋 + 3 2

Vậy chọn đáp án C

Ví dụ 2 :

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:

và f(1) = -1.Tính: f(3)

𝑓'(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑥2.𝑒𝑥+ 1, ∀𝑥 ∈ 𝑅, (1)

A 26.𝑒33+ 3 B 26.𝑒33‒ 3 C 9.𝑒3+ 1 D 9.𝑒3‒ 1

Giải:

Từ (1) : 𝑓'(𝑥) ‒ 𝑓(𝑥) = 𝑥2.𝑒𝑥+ 1 (2)

Nhận thấy: P(x) = -1→𝑒∫𝑃(𝑥).𝑑𝑥= 𝑒∫ ‒ 𝑑𝑥= 𝑒‒ 𝑥

Nhân hai vế của (2) với 𝑒‒ 𝑥 ta được:

𝑒‒ 𝑥.𝑓'(𝑥) ‒ 𝑒‒ 𝑥.𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 𝑒‒ 𝑥

↔(𝑒‒ 𝑥.𝑓(𝑥))'= 𝑥2+ 𝑒‒ 𝑥

→𝑒‒ 𝑥.𝑓(𝑥) =∫ (𝑥2+ 𝑒‒ 𝑥).𝑑𝑥 =𝑥

3

3 ‒ 𝑒

‒ 𝑥+ 𝐶

Tại x = 1: 𝑒‒ 1.𝑓(1) =13‒ 𝑒‒ 1+ 𝐶→𝐶 =‒13

Tại x = 3: 𝑒‒ 3.𝑓(3) = 9 ‒ 𝑒‒ 3‒13→𝑓(3) =26.𝑒

3 ‒ 3 3

Vậy chọn đáp án B

Ví dụ 3:

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R, thỏa mãn:

(𝑥 + 2).𝑓(𝑥) + (𝑥 + 1).𝑓'(𝑥) = 𝑒𝑥,∀𝑥 ∈ 𝑅, (1)𝑣à 𝑓(0) = 1

2 Tính f(2)

A B C D 3𝑒 𝑒6 3𝑒2 𝑒2

6

Giải:

Từ (1) ta có: 𝑓'(𝑥) +𝑥 + 2𝑥 + 1.𝑓(𝑥) = 𝑒 (2)

𝑥

𝑥 + 1

Nhận thấy : 𝑃(𝑥) = 𝑥 + 2𝑥 + 1→𝑒∫𝑃(𝑥).𝑑𝑥= 𝑒∫

𝑥 + 2

𝑥 + 1 𝑑𝑥

= 𝑒𝑥 + ln (𝑥 + 1) = (𝑥 + 1).𝑒𝑥 Nhân cả hai vế của (2) với (𝑥 + 1).𝑒𝑥 ta được:

(𝑥 + 1).𝑒𝑥.𝑓'(𝑥) + (𝑥 + 2).𝑒𝑥.𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥

↔((𝑥 + 1).𝑒𝑥.𝑓(𝑥))'= 𝑒2𝑥

→(𝑥 + 1).𝑒𝑥.𝑓(𝑥) =∫𝑒2𝑥.𝑑𝑥 =𝑒

2𝑥

2 + 𝐶 Tại x = 0: 𝑒0.𝑓(0) =𝑒

0

2 + 𝐶→𝐶 = 0 Tại x = 2: 3.𝑒2.𝑓(2) =𝑒

4

2→𝑓(2) =𝑒

2

6

Vậy chọn đáp án D

Ví dụ 4:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [0;𝜋3], thỏa mãn:

f’(x).cosx + sinx.f(x) = 1 ,∀𝑥 ∈[0;𝜋3] (1) và f(0) = 1 Tính: 𝐼 = ∫

𝜋 3

0𝑓(𝑥).𝑑𝑥

A 3 + 12 B 3 ‒ 12 C D 12 12+𝜋3

Giải:

Từ (1) ta có: 𝑓'(𝑥) +𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑓(𝑥) =𝑐𝑜𝑠𝑥1 (2)

Nhận thấy:

𝑃(𝑥) =𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥→𝑒∫𝑃(𝑥).𝑑𝑥= 𝑒∫

𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

= 𝑒∫ ‒

𝑑(𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑒‒ ln (𝑐𝑜𝑠𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥1 Nhân cả hai vế của (2) với 𝑐𝑜𝑠𝑥1 ta được:

1 𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑓

'(𝑥) + 𝑠𝑖𝑛𝑥

(𝑐𝑜𝑠𝑥)2𝑓(𝑥) =

1 (𝑐𝑜𝑠𝑥)2

↔( 1 𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑓(𝑥))'= 1

(𝑐𝑜𝑠𝑥)2

𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑓(𝑥) =∫𝑐𝑜𝑠12𝑥.𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶 Tại x = 0: 𝑐𝑜𝑠01 .𝑓(0) = 𝑡𝑎𝑛0 + 𝐶→𝐶 = 1→𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝐼 = ∫

𝜋 3 0

(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥).𝑑𝑥 =∫

𝜋 3 0

𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑑𝑥 +∫

𝜋 3 0

𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑑𝑥 = 3 + 1

2 Vậy chọn đáp án A

Ví dụ 5:

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên R\{0;-1} và thỏa mãn:

𝑥(𝑥 + 1)𝑓'(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 𝑥 (1) 𝑣à 𝑓(1) =‒ 2.𝑙𝑛2

Giá trị f(2) = a + b.ln3, (𝑎,𝑏 ∈ 𝑅) Tính: 𝑎2+ 𝑏2

A B C D 254 92 52 134

Giải:

Từ (1) 𝑓'(𝑥) +𝑥.(𝑥 + 1)1 𝑓(𝑥) = 1 (2)

Nhận thấy: 𝑃(𝑥) =𝑥(𝑥 + 1)1 →𝑒∫𝑃(𝑥).𝑑𝑥= 𝑒∫

1 𝑥.(𝑥 + 1) 𝑑𝑥

= 𝑒∫(1

𝑥 ‒𝑥 + 11 )𝑑𝑥

=

= 𝑒𝑙𝑛|𝑥| ‒ ln |𝑥 + 1|= 𝑥

𝑥 + 1 Nhân hai vế của (2) với 𝑥 + 1𝑥 ta được:

𝑥

𝑥 + 1.𝑓

'(𝑥) + 1

(𝑥 + 1)2.𝑓(𝑥) =

𝑥

𝑥 + 1

↔( 𝑥

𝑥 + 1.𝑓(𝑥))'= 𝑥

𝑥 + 1

𝑥 + 1.𝑓(𝑥) =∫𝑥 + 1𝑥 𝑑𝑥 =∫ (1 ‒ 1

𝑥 + 1).𝑑𝑥 = 𝑥 ‒ 𝑙𝑛|𝑥 + 1| + 𝐶 Tại x = 1: 12.𝑓(1) = 1 ‒ 𝑙𝑛2 + 𝐶→𝐶 =‒ 1

Tại x = 2: 23.𝑓(2) = 2 ‒ 𝑙𝑛3 ‒ 1→𝑓(2) =32‒32𝑙𝑛3→𝑎 =32 , 𝑏 = ‒32

→𝑎2+ 𝑏2=9

2 Vậy chọn đáp án B

Một số dạng khác

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R\{0} thỏa mãn:

𝑥2.𝑓2(𝑥) + (2𝑥 ‒ 1).𝑓(𝑥) = 𝑥.𝑓'(𝑥) ‒ 1, ∀𝑥 ∈ 𝑅{0} (1) 𝑣à 𝑓(1) =‒ 2 Tính: 𝐼 = ∫21𝑓(𝑥).𝑑𝑥

A ‒12‒ 𝑙𝑛2 B ‒32‒ 𝑙𝑛2 C ‒ 1 ‒𝑙𝑛22 D ‒32‒𝑙𝑛22