TH Dao Ly - Khoa học 4 - Nguyễn Sơn Hồng - Thư viện Đề thi & Kiểm tra

SKKN Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt 1 MỤC LỤC 1 Mở đầu 2 1 1 Lý do chọn đề tài 2 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 1 3 Đối tượng ngiê[.]

Trang 1

MỤC LỤC

1. Mở đầu……… 2

1.1 Lý do chọn đề tài……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3 Đối tượng ngiên cứu………. 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 3

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……… 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……… 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm… 3

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề……… 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường……… 19

3. Kết luận, kiến nghị……… 20

3.1 Kết luận……… 20

3.2 Kiến nghị………. 20

3.3 Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được hội đồng SKKN Ngành GD huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên……… 20

Trang 2

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài:

Trong hai năm trở lại đây đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán bậc THPT tỉnh Thanh hóa luôn có câu hỏi về dãy số với mức độ khó so với các bài tập trong sách giáo khoa hiện hành và cũng không có bài tập nào trong sách giáo khoa tương tự như vậy làm cho nhiều học sinh khó khăn khi giải quyết vấn đề

Cụ thể:

Câu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2018): cho dãy số ( )u n xác định như sau 1 2 Tính giới hạn



n u n

Câu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019): cho dãy số xác định bởi 1 Tìm số hạng tổng quát và tính

* 1

2

4 3.4 ,n .

u







giới hạn lim2 2 3 1.

n

u

Bên cạnh đó các vấn đề về dãy số như hai câu trong đề thì học sinh giỏi bậc THPT môn toán tỉnh Thanh hóa hai năm 2018, 2019 không xuất hiện trong các đề thi THPT QG các năm trước đó nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này Tài liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít và nếu có chủ yếu viết cho học sinh theo chương trình THPT chuyên nên rất rộng, có bài vượt ngoài cơ

sở lý thuyết của sách giáo Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh ôn thi học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một cuốn tài liệu để đọc phù hợp

Mục tiêu của tổ bộ môn toán trường THPT Thường Xuân 2 là phải xây dựng được chuyên đề về dãy số phù hợp với cấu trúc đề thi của tỉnh nhà và bám sát chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản

Hiện tại chưa có nhiều tài liệu nghiên sâu vấn đề này mà lại bám sát chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, đồng nghiệp trong nhóm chuyên môn chưa có nhiều kinh nghiệm để giải quyết, khắc phục

Do vậy, tôi lựa chọn đề tài “Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt” là cấp thiết 1.2 Mục đích nghiên cứu:

Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau

Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theo quan điểm của học sinh trung học phổ thông không chuyên Hệ thống và phân tích các bài tập

về dãy số một cách logic từ dễ đến khó

Qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là các phép thế tuyệt đẹp,

nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát và là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích

Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài toán về dãy số

Trang 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu về dãy số và các tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân Để qua đó hình thành cách tìm số hạng tổng quát của một số dãy số thường gặp dựa vào sử dụng cấp số cộng và cấp số nhân

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp ghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết cho việc tìm số hạng tổng quát cho một số dãy số thường gặp bằng cách sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

2.1.1.Cấp số cộng

* Dãy số  u n là cấp số cộng u n1u n d với  ¥n *, trong đó là số d

không đổi gọi là công sai của cấp số cộng

* Nếu dãy số  u n là cấp số cộng thì u n  u1 n1 d

* Nếu dãy số  u n là cấp số cộng thì tổng

1 2  1 

2

n

2.1.2.Cấp số nhân

* Dãy số  u n là cấp số nhân u n1 u q n với  ¥n *, trong đó là số q

không đổi gọi là công bội của cấp số nhân

* Nếu dãy số  u n là cấp số nhân thì 1

1 n n

u u q 

* Nếu dãy số  u n là cấp số nhân vơi q1,q0 thì tổng

1 2 1.1

1

n

q



2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như sau:

Trong năm học 2018– 2019 sau khi học sinh lớp 11 đã học hết chương II tức là khi đã nghiên cứu khá đầy đủ về dãy số theo chương trình sách giáo khoa Đại

số và giải tích 11 chương trình cơ bản Tôi cho hai nhóm học sinh, mỗi nhóm 05 học sinh có lực học tương đương là nhóm 1 và nhóm 2 và đều là học sinh lớp 11B1 trường THPT Thường Xuân 2 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong tiết

5 của buổi sáng thứ 2 tuần học thứ 21

Nhóm Tên học sinh được kiểm tra / điểm TB môn toán học kỳ 1( 2018-2019)

1 Phong (8,3) C.Anh (7,5) Dũng (7,6) Sơn (6,5) H.Phương (5,8)

2 Giang (8,2) Q Hoa (7,6) T.Anh (7,7) Q.Chi(6,6) Trang (5,9)

(Bảng điểm học lực môn toán các học sinh ở học kỳ 1 năm học 2018-2019)

Trang 4

Với đề kiểm tra như sau:

Câu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:

1

)

u

a







1 1

2 )

u b







Câu 2 (4 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số   un xác định bởi:

1 1

2 2

u u





Câu 3 (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số   un xác định bởi:

1 1

u u





Kết quả thu được với các mức điểm được đã được làm tròn (theo số học sinh)

Điểm

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Trước hết ta giải quyết một số bài toán rất cơ bản để khai thác định nghĩa

và tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 1 Cho dãy số  u n xác định bởi công thức: 1

1

n n

u





   



Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số

Giải

Từ công thức truy hồi đã cho suy ra  u n là một cấp số cộng có u1 1và công sai

2

Kết luận

Để xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n thỏa mãn 1

1 ; 2

n n





   



Ta làm như sau u n1 u n b nên dãy số  u n là cấp số cộng với số hạng thứ nhất u1 avà công sai b nên u n  a (n1) b

Bài 2 Cho dãy số  u n xác định bởi công thức:

1

4 1

; 1

2

u









Trang 5

Giải

Từ công thức truy hồi đã cho suy ra  u n là một cấp số nhân có u1 4và công bội 1nên số hạng tổng quát là

2

q

1

2

n



 

Vậy 2 3 n

n

Kết luận

Để xác định số hạng tổng quát của dãy số  u n thỏa mãn 1

1







Ta thấy dãy số  u n là cấp số cộng với số hạng thứ nhất u1 avà công bội b nên

1

n

u a b 

Bài 3 Cho dãy số  u n có 1

1

2

u





    

 Tìm số hạng tổng quát của dãy số.u n

Giải

Theo đề bài suy ra

1 2

2 1 2

3 2 3

1

n n

u u  n

Cộng đẳng thức trên theo vế suy ra n

1 1 2 3

n

u      n

2

n n

    

Vậy:

2

n

1

3 ;n 1

u







Giải

1 1

1

2 1 3

2

3 2 3

1 3 n

u u 

Trang 6

1 1 2

1 3 3 3 3 n

n

u       

n

n n

 Vậy số hạng tổng quát của dãy số là 2 33 1 

2

n n

1

u







Giải

1 1

1

2

1 3 1 1 2.5 n

n n



n

u        n  n        

Trong đó 1 2 3  1  1

2

Và tổng 1 2 1là tổng số hạng đầu của cấp số nhân có số

5 5 5n

hạng thứ nhất a1 5, công bội q5

1 1

n

q



n

n n

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là 1 2 

2

n n

Trên cơ sở của cấp số cộng và cấp số nhân và cách tư duy tương tự các bài trên ta sẽ giải quyết một số bài toán về dãy số khá phức tạp dưới đây mà bản thân nó không phải cấp số cộng hoặc cấp số nhân

1

2

u







Giải

Ta xét u n  a 5u n1au n 5u n14 a

Trang 7

Kết hợp với đề bài 4 6 3.

2

n n

v u     v u v n 5v n1

Suy ra dãy số   vn là cấp số nhân có 1 7, công bội

2

1

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 7 1 3

n n

Kết luận: Theo cách giải của bài toán trên ta có thể tìm được số hạng tổng quát

của các dãy số cho bới công thức truy hồi có dạng:

 

1

u











Trong đó  ,q là các hằng số đã cho, f n là đa thức theo biến số n

* Nếu q1 ta được bài toán rất đơn giản như đã trình bày trong phần I

* Nếu q1 ta phải tìm một đa thức g n có bậc bằng bậc của f n sao cho phương trình u n1 qu n  f n u n1g n  1 q u n g n 

Khi đó việc tìm sẽ trở thành tìm trong đó dãy số u n v n  v n là một cấp số nhân

Bài 7 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  u n cho bởi công thức truy hồi a) 1

2 1

3

n n

u







b) 1

1

u







c) 1

2 1

5

u







Giải

a) Theo đề bài suy ra

1 3

2

2 1 6.2 2.2

2

3 2 6.3 2.3

2

4 3 6.4 2.4

…

2

1 6 2

n n

Trang 8

Cộng đẳng thức trên theo vế ta đượcn

n

u      n    n

n

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 3 2

n

u  n  n  b) Từ đề bài suy ra f n 4n2 là đa thức bậc nhất ẩn nên ta xét đa thức n

sao cho

 

g n  an b u n1g n  1 3u n g n 

1



Mà u n1 3u n 4n2 nên ta phải có

Do đó u n12n 1 3u n 2 n

Đặt v n u n 2n   v1 u1 2 3 và v n1 3 v n

Suy ra  v n là cấp số nhân có v1 3, công bội q3

mà

1. n 3.3n 3n

v v q  v 

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 3n 2

n

c) Từ đề bài suy ra f n 8n2 14n1 là đa thức bậc hai ẩn nên ta xét đa n

thức g n an2 bn c sao cho u n1g n  1 9u n g n 

2

1 9 8 14 1

8an  8b2a n8c b a  8n 14n1

a

c b a







   



suy ra

1

2

2 2

1

1 1

2

n n

v u n  n    v u v n1 9 v n

Suy ra  v n là cấp số nhân có 1 17, công bội

2

Trang 9

1 1 2 2 1

n

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 17 2 2 2 1

n n

Bài tập tương tự:

Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  u n cho bởi công thức truy hồi

a) 1

3 1

1

n n

u







b) 1

1

4

u







c) 1

2 1

3

u







Bài 8 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  u n cho bới công thức truy hồi

1

3 2 ;n 2.

n n

u







Giải

Cách 1 Theo đề bài suy ra

1 1

  2

2 1 2 3 2

  3

3 2 3 3 2

  4

4 3 4 3 2

…

 

1 3 2 n

n n

u u   n

Cộng đẳng thức trên theo vế ta đượcn

1 2.2 3.3 3n 3 2 2 2 n

n

Trong đó tổng A22   23 2n là tổng n1 số hạng đầu của một cấp số nhân có phần tử thứ nhất 2 , công bội

1 2 4

1 1

n

q



Xét B2.22 3.23 4.24   n.2 n

2B 2.2 3.2 4.2 n.2n

Trừ theo vế hai đẳng thức trên suy ra

Trang 10

 



  1  1    1

n

Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là  4 2 n 1 13

n

Cách 2 Xét hàm số g n   an b .2 n 1 sao cho

  1  1 

u  g n u  g n

1



n n

      

Mà 1  3 2 n nên ta phải có

n n

u u   n

 g n    n 4 2  n 1

1



        

1 1

n n

v u   n      v u  v n v n1

Suy ra  v n là cấp số nhân có v1 13, công bội q 1

mà 1

1 n 13

v u   n  u   n  Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là  4 2 n 1 13

n

Chú ý: Dãy số   un thỏa mãn

1

Tương tự cách giải của bài tập 7 và 8 ta có thể tìm được số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hôi như sau:

 

1

u













Trong đó , ,q  là các hằng số đã cho, f n  là một đa thức theo biến số n

Kết luận:

* Nếu q  1 ta sẽ tìm đa thức g n  có bậc bằng bậc của f n  cộng với 1 sao cho u n1 g n  1 u n  g n  Khi đó ta sẽ đưa về bài toán tìm số hạng tổng quát của một cấp số nhân

* Nếu  1và q1, ta có đề bài với cách giải tương tự bài tập số 8

* Nếu  1 , q , ta sẽ tìm đa thức g n  có bậc bằng bậc của f n  sao cho

 1 n 1   n

u  g n   q u  g n  

Trang 11

* Nếu q  1, ta sẽ tìm đa thức g n   có bậc bằng bậc của f n  cộng với 1

      

Vấn đề này được thể hiện rất rõ ràng qua các ví dụ sau đây theo thứ tự tương ứng

Bài 9 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  u n cho bởi công thức truy hồi 1

2 1

1

u







Giải

Theo đề bài   q  1, bậc f n  bằng 2  bậc g n  bằng 3

Xét g n an3 bn2 cn d sao cho

u   g n u  g n

2

0

a

a b c

 





   



Do đó u n1 g n  1 u n  g n 

2 3 5

3 2 6

n n

v u g n   v u g      v n1 v n

Suy ra  v n là cấp số nhân có v1 1, công bội q1 1

1 n 1

n

1

v u g n u  v g n  n  n  n

Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là 2 3 3 2 5

1

n

Chú ý: bài tập này có thể giải theo cách của bài số 7a.

Bài 10 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  u n cho bởi công thức truy hồi 1

2 1

0

u







Giải

Theo đề  q 2, 1, bậc của f n  bằng 2 suy ra bậc của g n  bằng 2

Xét g n an2 bn c sao cho: u n1  g n  1 2u n  g n 

Trang 12

 2 2

2

và

  2 2

    u n1g n  1 2u n g n 

Đặt v n u n g n   v1 u1 g 1 2 và v n1 2v n

Do đó  v n là cấp số nhân có công bội q2 nên 1 1

1 n 2.2n 2n n

  2n 2 2

n n

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 2n 2 2

n

Bài 11 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  u n cho bởi công thức truy hồi

1

2 1

1

1 3 ;n 1

u







Giải

Theo đề  q 1, 3, bậc của f n  bằng 2 suy ra bậc của g n  bằng 2

Xét hàm số g n an2 bn c sao cho   1  

2

Mà  2  nên ta phải có

u  u  n 

a





   



và

  1 2 3

2

1 1 3n 3 n

1 1

n n

v u g n   v u g   vn1  vn

Do đó  v n là cấp số nhân có công bội q1 nên v n   v1 2

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 1 2 3

n n

Bài 12 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  u n cho bởi công thức truy hồi u1 0



Trang 13

Giải

Theo đề  q 2, 3;q  , bậc của f n  là 1 suy ra bậc của g n là 1

Xét hàm số g n an b sao cho   1  

1 1 3n 2 3 n

      



Mà 1 2  1 3 n nên ta phải có

  2

1 1

n n

v u g n   v u g  v n1 2 v n

1 n 3.2n n

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 3.2n 1  2 3  n

n

 

1

3

u







Giải

Theo đề   q  2, bậc của f n  là 1 suy ra bậc của g n là 2

Xét hàm số g n an2 bn c sao cho

1 1 2n 2 2 n

      

Mà 1 2  5 2 n nên ta phải có

a

  



  1 2 9

1 1 2n 2 2 n

      

1 1

n n

v u  g n   v u g   v n1 2 v n

1 n 2.2n 2n n

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 2n  2 9 2  n 2

n

Trang 14

 

1

u







Giải

Theo đề  q 3, 3, bậc của 2n1 bằng 1 bậc của n1 bằng 1

Xét g n an b n cn d    3n sao cho: u n1g n  1 3u ng n 

Mà 1 3 2 1  1 3 n nên ta phải có :

u   u  n  n

a

b a

c





  

  



  



và

n

  u n1g n  1 3u ng n  Đặt v n  u n g n   v1 u g1  1 2 và v n13 v n

1 n 2.3n n

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là

n

Bài 15 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019) cho dãy số

xác định bởi 1 Tìm số hạng tổng quát

* 1

2

4 3.4 ,n .

u







Giải

Theo đề    q  4 1, bậc của f n  là 0 suy ra bậc của g n là 1

Xét hàm số g n an b a , ( 0)sao cho

1 1 4n 4 4 n

      



         

 

1 4 4 4 n

Mà 1 4 3.4n nên ta phải có và b tùy ý, nên ta chọn

4

  3

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	260,52 KB