SKKN Định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải nhanh một số dạng bài tập tích phân ở mức độ vận dụng

SKKN Định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải nhanh một số dạng bài tập tích phân ở mức độ vận dụng SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN Ở MỨC ĐỘ

VẬN DỤNG

Người thực hiện: Phạm Văn Quí Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2018

MỤC LỤC

Trang

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3.1 Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương

2.3.2 Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương

2.3.3 Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân liên quan đến

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

Danh mục

Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp

loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp cao hơn xếp

loại từ C trở lên

22

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Bài toán tích phân là bài toán thường xuất hiện ở các kỳ thi, vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệt đối với học sinh cũng như giáo viên Hơn nữa từ năm học 2016 –

2017 Bộ giáo dục đã chuyển môn toán sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan nên các bài toán về tích phân trở nên đa dạng và phong phú, đồng thời kiến thức trải rất rộng và có tính phân hóa cao Mặt khác vì hình thức thi trắc nghiệm khách quan nên phần lớn bài toán tích phân yêu cầu phải suy luận logic và hầu như ít sử dụng được máy tính cầm tay, đặc biệt là các câu hỏi ở mức độ vận dụng thường làm cho giáo viên và học sinh gặp khó khăn trong việc tìm tòi lời giải Ngoài ra, các tài liệu tham khảo cho những dạng toán trên hầu như chưa có và chỉ xuất hiện rời rạc ở những bài toán đơn lẻ và trong các đề thi thử Do đó việc tổng hợp và đưa

ra phương pháp giải nhanh các dạng toán trên là rất cần thiết cho học sinh trong quá trình ôn thi THPT quốc gia Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh nghiệm trong

quá trình giảng dạy và tham khảo một số tài liệu, tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Định

hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải nhanh một số dạng bài tập tích phân ở mức độ vận dụng” nhằm giúp các em hiểu và có kỹ năng giải quyết tốt các bài tập

để đạt kết quả tốt nhất trong các kì thi

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thông qua việc nghiên cứu các bài toán giúp học sinh hiểu, định hướng được cách làm bài tập, biết vận dụng lý thuyết để giải quyết một số bài toán tích phân mức độ vận dụng một cách chính xác và nhanh chóng Từ đó kích thích khả năng

tư duy, sự ham hiểu biết của học sinh đối với môn học

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Kiến thức chương nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong chương trình toán THPT

- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương pháp đổi biến

- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh một số bài toán tích phân bẳng phương pháp tích phân từng phần

- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh một số bài toán tích phân liên quan đến đồ thị và diện tích hình phẳng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm

- Phương pháp tổng hợp

- Phương pháp thống kê, so sánh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Những kiến thức cơ bản về tích phân

1 Khái niệm tích phân

Cho hàm số liên tục trên K và f a b, là hai số bất kỳ thuộc K Nếu là một F

nguyên hàm của trên K thì hiệu số: f F b F a  được gọi là tích phân của từ f

đến và kí hiệu là:

a

f x dx

2 Tính chất của tích phân

Giả sử các hàm số , liên tục trên K và f g a b c, , là ba số bất kỳ thuộc K

Khi đó ta có:

1)   0

a

a

f x dx



2) b   a  

f x dx  f x dx

3) b   c   c  

f x dx f x dx f x dx

4) b     b   b  

f x  g x dx f x dx g x dx

5) b   b   với

kf x dx k f x dx

6) Nếu f x 0 trên a b;  thì   0

b

a

f x dx



7) Nếu trên thì

   

f x dx g x dx

3 Một số phương pháp tính tích phân

a Phương pháp đổi biến số:

 

 

'

u b b

f u x u x dx   f u du

Trong đó u u x   có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y f u  liên tục và sao

cho hàm hợp f u x   xác định trên K; a v bà là hai số thuộc K  1

b Phương pháp tích phân từng phần:

   '        '

b a

u x v x dx u x v x  v x u x dx

Trong đó các hàm số u v, có đạo hàm liên tục trên K, và a v bà là hai số thuộc K  1

4 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

* Nếu hàm số y  f x  liên tục trên đoạn a b;  thì diện tích của hình phẳng S

giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a x b ,  là: b  

a

S  f x dx

* Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số S y f x , y g x   liên tục trên đoạn a b;  và hai đường thẳng x a x b ,  là:

   

b

a

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1 Đối với giáo viên

- Trước đây tích phân trong chương trình thi quốc gia (từ năm 2009 – 2016) chỉ là một bài áp dụng phương pháp đổi biến số hoặc tích phân từng phầnvà đặc biệt là các em học sinh có thể kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay

- Hiện tại với đề án thi mới của bộ giáo dục Thông qua các đề minh họa của

Bộ đưa ra và các đề thi thử của các sở, các trường, các câu hỏi trong phần tích phân

đã xuất hiện nhiều hơn, rộng hơn Đặc biệt những câu khó, hoặc rất khó và lạ (mức

độ vận dụng cao) mà trước đây chưa xuất hiện thì nay xuất hiện tương đối nhiều Tuy nhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu về vấn đề này vì vậy nguồn tham khảo của giáo viên còn hạn chế

- Các giáo viên chưa có nhiều thời gian nghiên cứu những dạng toán mới, vì vậy chưa có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy và định hướng cho học sinh giải những bài toán tích phân ở mức độ vận dụng

2.2.2 Đối với học sinh

- Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn về kinh

tế, khó khăn trong việc học tập vì vậy kiến thức cơ sở về môn toán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình

- Với lớp bài toán vận dụng, các em thường thụ động trong việc tiếp cận và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa có ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải các bài toán

- Số lượng tài liệu tham khảo cho các em còn ít

- Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh không chỉ hiểu đúng bản chất bài toán

mà còn phải tìm ra cách giải nhanh nhất để đạt kết quả tối đa

- Học sinh còn lúng túng nhiều vì các dạng bài toán tích phân ở mức độ vận dụng các em chưa được tiếp xúc nhiều, cũng như chưa được định hướng phương pháp đúng đắn nên chưa có nhiều kĩ năng giải loại bài tập này

Trước tình hình đó tôi muốn đưa ra một ý tưởng giải quyết các bài toán vận dụng phần tích phân bằng cách “ định hướng” cho học sinh cách giải một số bài tập

tích phân một cách “chính xác” và “nhanh chóng”, giúp các em phát triển tư duy

và kích thích sự ham học tập của các em

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Bài 1: Nếu f(x) liên tục trên [0;3] và f 3 x f x     1, x  0;3 Tính :

 

3

01

dx

f x





A

B 2 C D.3

2

3

3 2

* Phân tích:

Bài toán yêu cầu tính , nhưng giả thiết lại cho biểu thức liên quan

 

3

01

dx I

f x







đến f 3 x và f x , vì vậy ta có thể định hướng cho học sinh tạo mối liên hệ giữa f 3 x và f x  bằng cách đổi biến: t 3 x

Giải:

Tính: Đặt:

 

3

01

dx I

f x





 t  3 x dt  dx

Đổi cận: x  0 t 3; x  3 t 0

(*) (tích phân không phụ thuộc

01 01 3 01 3

I

vào biến)

Mặt khác:

3 1

1

3



 (**)

     

3

f x dx dx

I



3

0

2I dx 3

   

Bài2: Nếu f(x) > 0 thỏa mãn f  1 1; f x  f x'  3x1 Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A.4 f  5 5 B.2 f  5 3 C.3 f  5 4 D 1 f  5 2

* Phân tích:Giả thiết bài toán cho mối liên hệ giữa f x  và f x'  nhưng lại cho

nên ta có thể định hướng cho học sinh biến đổi về tỉ số quen thuộc trong

  0

tích phân là   Mặt khác đề bài yêu cầu tính nên ta có thể tính tích phân

 

'

f x

 

 

5

1

'

f x

dx

f x



* Giải: Ta có   '  3 1 '    1

3 1

f x



 

5

5 1

1

3 1

f x



Chọn C

  4   43

3

Bài 3: Cho 4   1 22   Tính

1

x f x

x





0

f x dx



A 6 B 2 C 3 D 1

* Phân Tích:

Đề bài cho 4   nhưng lại yêu cầu tính vì vậy ta có thể định

0

tan



0

I   f x dx

hướng cho học sinh đổi biến t tanx

1

1

dt



4

x  t x   t

(tích phân không phụ thuộc vào

4



biến)

Mặt khác: 1 2  

0

2 1

x f x

x



  I1 I2  1   1 2   1  

f x x f x

dx dx f x dx

Chọn A



Bài4: Cho y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [ 1; 2] thỏa mãn

Tính

'

f x

A -20 B -10 C 10 D 20

* Phân tích:

Đề bài đã cho   vì vậy ta có thể nghĩ ngay đến việc đổi biến

 

2

1

'

ln 2

f x dx

f x 



 

t f x

* Giải:

Đặt t  f x dt  f x dx' 

Đổi cận: x  1 t f  1 ; x  2 t f  2 Ta có:

 

 

 

   

2 2

1

f

f

I  f x dx  dt  f  f 

 

   

 

 

 

2 2

2

1

f

f f f



   

 

 

   

   

 

 

2

1

f

f





Chọn C



Bài5: Cho f6   x f x ' 12x13; f  0 2 Khi đó phương trình f x 3 có bao nhiêu nghiệm?

A 2 B 3 C 7 D 1

* Phân tích:Để xác định được số nghiệm của phương trình f x 3 thì ta phải xác định được hàm số f x  Như vậy từ giả thiết bài toán ta phải chuyển về bài toán tìm nguyên hàm Mặt khác ta có: f6   x f x ' 12x13 nên ta có thể định hướng cho học sinh tìm nguyên hàm  f6   x f x dx ' bằng cách đổi biến t f x 

* Giải:

Ta có: f 6   x f x ' 12x13  f6   x f x dx '  12x13dx

 

1

     f7 x 42x2 91x C

Mặt khác f  0 2 C 27 f x 7 42x2 91x27

  3 7 42 2 91 27 3 42 2 91 27 37 0

Phương trình có hai nghiệm Chọn A

2.3.2 Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Bài 1: (Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018) Cho hàm số f x  có đạo hàm và liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  1 0, 1   2 và Tính

0

f x dx

0

1 3

x f x dx



 

1

0

f x dx



7

* Phân Tích: Nếu chưa tiếp xúc với bài toán thì thực chất đây là bài toán khó định

hướng Nhưng nếu ta phân tích kỹ bài toán thì ta có thể có hướng giải quyết bài toán như sau:

- Giả thiết cho: 1 2   nên ta có thể sử dụng tích phân từng phần bằng

0

1 3

x f x dx



2

u f x

v x x

 







0

f x dx



- Sau sử dụng tích phân từng phần ta tính được 1 3   Như vậy ta đã biết

0

d

x f x x



và nên ta biến đổi đến hằng đẳng thức

 

1

2

0

'

f x dx

0

d

x f x x



Tuy nhiên không ngẫu nhiên ta lại có được biểu thức

 

1

2 3

0

f x  x dx



mà ta phải có kỹ thuật làm xuất hiện như sau:

 

1

2 3

0

f x  x dx



+ Ta muốn có dạng:

 

f x mx dx  f x  dx m x f x x m x x 

1

2

0

Vậy ta có: 1   32

0

f x  x dx



* Giải: Xét tích phân: 1 2   ta có:

0

1 3

x f x dx



Đặt     khi đó

3 2

,

3

x



 

 

1

x f x x f x  f x x    f x x   x f x x  

Mặt khác ta có:

 

49

7

f x  x dx f x  dx x f x dx x dx    

Vì:    32 1   32

0

f x  x   f x  x dx

Đẳng thức phải xảy ra nên ta có:



 

 32

4

f x  x   f x   x C

0

f   f x  x   f x x

Chọn A



* Nhận xét: Như vậy không tự nhiên mà ta có được tích phân 1   32 ,

0

f x  x dx



cũng không phải đề cho 1   2 mà xuất hiện hệ số 7 ở tích phân

0

f x dx



Bản chất của vấn đề là hướng dẫn kỹ thuật cho học sinh xác

 

1

2 3

0

f x  x dx



định hệ số m để xuất hiện 1   32 để áp dụng tích chất: Nếu

0

f x mx dx



trên thì

  0

b

a

f x dx



Bài 2:Cho hàm số f x  có đạo hàm và liên tục trên  0;1 thỏa mãn f  1 0,

 

1

2

0

64 '

11

f x dx

0

8 55

x f x dx

0

f x dx



7

4 7

23 55

* Phân tích:

- Đây cũng là dạng của bài bài 1, tuy nhiên đề bài cho 1 4   nên sử

0

8 55

x f x dx



dụng tích phân từng phần ta tính được 1 5   , từ đó sử dụng kỹ thuật tìm hệ

0

'

x f x dx



số như bài 1 ta sẽ có tích phân dạng: m 1   52

0

f x mx dx



- Cụ thể như sau: Đặt     khi đó:

5 4

,

5

x



 

 

4

8

x f x x f x  f x x 

5

x

f x x x f x x

- Ta muốn có dạng:

 

f x mx dx  f x  dx m x f x x m x  x

1

2

0

 

Vậy ta có: 1   52

0

f x  x dx



* Giải: Xét tích phân: 1 4   ta có:

0

8 55

x f x dx



1

4 5

4

8

5

x



 

5

x

f x x x f x x

Mặt khác ta có:

 

f x  x dx f x  dx x f x dx x dx    

 

Vì:    52 1   52

0

f x  x   f x  x dx

Đẳng thức phải xảy ra nên ta có:

3

f    C f x   x    f x x  x x

Chọn B



* Nhận xét: Với định hướng biến đổi và kỹ thuật thêm đưa về tích phân dạng

để đánh giá và xác định hàm từ đó suy ra hàm số

 

1

2 5

0

'

f x mx dx

và tính được tích phân 1   mà không phải suy luận phức tạp hay sử dụng đến

0

f x dx



bất đẳng thức tích phân (không nêu trong chương trình THPT)

Bài 3: Cho hàm số f x  có đạo hàm và liên tục trên  0;3 thỏa mãn f  3 0,

 

3

2

0

2834352 '

11

f x dx

0

708588 55

x f x dx

0

f x dx



11

729 11

8748 7

1458 55

* Phân tích: Bài toán này tương tự như bài 2, chỉ có một khác biệt nhỏ là tính tích

phân từ đến , nhưng giả thiết vẫn cho 0 3 f  3 0 nên về cơ bản vẫn là tương tự bài 2 vì vậy ta có thể giải quyết hoàn toàn tương tự

- Từ giả thiết 3 4   ta tính được

0

708588 55

x f x dx

0

708588 d

11

x f x x  



 

f x mx dx  f x  dx m x f x x m x  x

3 11 2

0

2834352 708588

x

m  m

2

2834352 1417176 177147

m

Vậy ta có: 3   52

0

f x  x dx



* Giải: Xét tích phân: 3 4   ta có:

0

708588 55

x f x dx



5 4

,

5

x



 

 

4

708588

x f x x f x f x x

5

x

f x x x f x x

Mặt khác ta có: 3   52 3   2 3 5   3 10

f x  x dx f x  dx x f x dx x dx

11

2834352 708588 16.3

Vì:    52 3   52

0

f x  x   f x  x dx

Đẳng thức phải xảy ra nên ta có:

3

3

f   C  f x   x 

 

6

f x x  x  x

Chọn C



Bài 4: Cho hàm số f x  có đạo hàm và liên tục trên  0;4 thỏa mãn f  4 2,

 

4

2

0

16384 '

7

f x dx

0

5760 7

x f x dx

0

f x dx



7

163 7

2178 5

1064 5

* Phân tích: Bài toán này tương tự các bài trên, chỉ có một khác biệt nhỏ là giả

thiết cho f  4  2 0 nên về cơ bản vẫn là tương tự như trên vì vậy vấn đề ở chỗ chỉ cần ta tính được4 3   và đưa ra được biểu thức là

0

d

x f x x

0

d 0

f x  x x



có thể giải quyết hoàn toàn tương tự

- Ta sẽ đưa về dạng: 4   32

0

f x mx dx



 

f x mx dx  f x  dx m x f x x m x x 

4 7 2

0

16384 16384

x

m m

2

16384 16384 16384

Vậy ta có: 4   32

0

f x x dx



* Giải: Xét tích phân: 4 2   ta có:

0

5760 7

x f x dx



3 2

,

3

x



 

 

4

2

5760

x f x x f x  f x x 

3

x

f x x x f x x

Mặt khác ta có: 4   32 4   2 4 3   4 6

f x  x dx f x  dx x f x dx x dx

16384 16384 16384

Vì:    32 1   32 Đẳng thức phải xảy ra nên ta có:

0

f x x   f x  x dx 

 

 32

0

4

f x x   f x   x C

0

1064

x

f   f x      f x x 

* Nhận xét chung: Qua bốn bài tập trên ta thấy bài toán được dễ dàng giải quyết

nếu ta biết được kỹ thuật đưa về tích phân dạng    2

'

b

n

f x kx dx

