Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và ứng dụng trong vũ trụ học.

Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và ứng dụng trong vũ trụ học.Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và ứng dụng trong vũ trụ học.Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và ứng dụng trong vũ trụ học.Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và ứng dụng trong vũ trụ học.Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và ứng dụng trong vũ trụ học.Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và ứng dụng trong vũ trụ học.Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và ứng dụng trong vũ trụ học.Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và ứng dụng trong vũ trụ học.Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và ứng dụng trong vũ trụ học.Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và ứng dụng trong vũ trụ học.Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và ứng dụng trong vũ trụ học.Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và ứng dụng trong vũ trụ học.Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và ứng dụng trong vũ trụ học.Lý thuyết tương đối tổng quát cải tiến f(R) đối xứng cầu và .

Lỵ thuyát hĐp dăn f(R)

Nhữ Â nõi náu Lagrange cừa trữớng hĐp dăn l L G = R thẳ tĂc dửng cừa hằ trữớng hĐp dăn-vêt chĐt l

Trong lý thuyết trường, hành động của vật chất được viết dưới dạng S = ∫ d^4x √(-g) L_M, trong đó L_M là Lagrangian của vật chất và g_{μν} là các thành phần của tensor metric mô tả độ cong của không-thời gian Lagrangian của vật chất phụ thuộc vào các trường vật chất và vào g_{μν} Bằng nguyên lý tác dụng tối ưu và sự biến đổi theo các metric g_{μν}, ta thu được phương trình trường Einstein.

Trong õ T àν l tensor nông-xung lữủng cừa vêt chĐt vợi

! (1.3) Cỏn náu L G = f (R) thẳ tĂc dửng cừa hằ l

Trong lý thuyết trọng lực f(R), hành động được viết S = ∫ d^4x √(-g) f(R), với g là determinant của metric và R là độ cong Ricci Việc biến thiên hành động theo metric cho ta các phương trình trường f(R), một hệ phương trình mở rộng so với thuyết GR cổ điển và chứa thêm các hiệu ứng do độ cong bậc cao Hàm f(R) đóng vai trò sửa đổi đặc trưng của lý thuyết, cho phép mô tả các tương tác giữa độ cong và khối lượng-energy, và khi f(R) = R − 2Λ ta trở về hành động Einstein–Hilbert với hằng số vũ trụ Λ Lagrangian của trường hấp dẫn được ký hiệu L_G = √(-g) f(R), và phân tích các phương trình trường trong khuôn khổ metric cho phép hiểu rõ sự liên hệ giữa curvature và cấu trúc không-thời gian.

TĂc dửng (1.4) l bĐt bián Thêt vêy, mối liản hằ cừa cĂc tensor metric giỳa hai hằ quy chiáu bĐt kẳ l g àν (x) = ∂x ′α

Tứ biºu thực n y sỷ dửng quy tưc nhƠn ma trên ta ữủc

Trong biến đổi tọa độ x → x′ với ma trận Jacobian J, tensor hai bậc g(x) biến đổi theo quy tắc g(x) = J g′(x′) J^T Nhờ đó, các thành phần của g(x) được xác định từ g′(x′) thông qua phép nhân với J và J^T, cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa g(x) và g′(x′) Từ hai vế của (1.6) và cấu trúc trên, ta có (1.7) g(x) = J g′(x′) J^T Đây là sự thực hiện đồng bộ của các ma trận [g(x)] và [J], và từ đó suy ra |g′(x′)| = 1.

Sỷ dửng (1.8) ta chựng minh ữủc (1.4) bĐt bián Thêt vêy

|g ′ |d n x ′ , (1.9) do R(x) v L M (x) l cĂc Ôi lữủng vổ hữợng v d n x ′ = |J |d n x (cổng thực bián ời tồa ở tẵch phƠn trong giÊi tẵch) nản kát hủp (1.8) vợi (1.9) ta dạ thĐy S ′ = S , tực l tĂc dửng (1.4) bĐt bián.

Ta chựng minh cĂc cổng thực sau:

Cổng thực [4] δg = gg να δg αν = −gg αν δg να , tùc l δ|g| = |g|g να δg αν = −|g|g αν δg να (1.10)

Chựng minh, trong cĂc giĂo trẳnh Ôi số tuyán tẵnh ta  biát g = X ν g àν G(à, ν) ∀à, (1.11) tờng trản ch¿ lĐy theo ch¿ số ν , trong õ G( à, ν) l phƯn bũ Ôi số cừa phƯn tỷ g àν tực l G(à, ν) = (−1) à+ν nhƠn vợi ành thực cỏn lÔi sau khi  bọ i h ng v cởt chựa g àν Trong cĂc giĂo trẳnh Ôi số tuyán tẵnh ta cụng  biát

LĐy bián phƠn (1.11) ta ữủc δg = δ[ X ν g àν G(à, ν)] = ∂[ P ν g àν G(à, ν)]

Biºu thực trản cõ rĐt nhiãu số hÔng vẳ lĐy tờng theo α v β , vẳ à cõ thº lĐy l bĐt kẳ thẳ biºu thực trong ngo°c vuổng [ ] ãu nhữ nhau (ãu l g) do õ ựng vợi mội số hÔng α xĂc ành thẳ ta lÔi lĐy à = α (iãu n y l ữủc ph²p) M°t khĂc G( α, ν ) khổng chựa phƯn tỷ g αβ do õ (1.13) ữủc viát lÔi l δg = G(α, ν) ∂g αν

∂g αβ δg αβ , (1.14) trong â ta l§y têng theo ν, β v c£ α dò nâ l°p l¤i 4 l¦n Suy ra δg = G(α, ν)δ νβ δg αβ = G(α, ν)δg αν , (1.15) kát hủp cổng thực trản vợi (1.12) ta ữủc δg = gg να δg αν (1.16)

M°t khĂc g να g αν = n , lĐy bián phƠn hai vá cổng thực n y, suy ra δg να g αν + g να δg αν = 0 Hay δg να g αν = −g να δg αν , (1.17) tứ Ơy kát hủp (1.16) ta cõ cổng thực (1.10) ữủc chựng minh.

T÷ìng tü (1.10) ta công câ dg = gg αλ dg λα = −gg αλ dg λα (1.21)

Thay dg = ∂x ∂g β dx β v dg λα = ∂g ∂x λα β dx β v o (1.21) ta ữủc

Tứ (1.22) v (1.20), cổng thực (1.18) ữủc chựng minh.

Chựng minh, theo tẵnh chĐt cừa Ôo h m hiằp bián

∂x α , (1.25) cổng thực (1.23) ữủc chựng minh.

2 g αβ [∇ à (δg βν ) + ∇ ν (δg àβ ) − ∇ β (δg àν )], (1.26) ð Ơy δ l ph²p lĐy bián phƠn, ∇ l kẵ hiằu Ôo h m hiằp bián.

2 g αβ (∂ à g βν + ∂ ν g àβ − ∂ β g àν ), (1.27) ð Ơy kẵ hiằu ∂ à ≡ ∂x ∂ à LĐy bián phƠn hai vá cổng thực n y ta ữủc [chú ỵ: δ(∂ à g βν ) = ∂ à (δg βν )] δΓ α àν = 1

∇ à (δg βν ) = ∂ à (δg βν ) − Γ σ àβ δg σν − Γ σ àν δg βσ (1.29) Thay (1.29) v o số hÔng ngo°c vuổng [ ] cừa (1.28) ta ữủc δΓ α àν = 1

+ g αβ Γ σ àν δg βσ , (1.30) ð Ơy ta  sỷ dửng tẵnh chĐt ối xựng Γ σ àν = Γ σ νà M°t khĂc tứ (1.27) ta thĐy g σβ Γ σ àν = 1

Sỷ dửng (1.31), cổng thực (1.30) ữủc viát lÔi l δΓ α àν = g σβ Γ σ àν δg αβ + 1

Sỷ dửng (1.17) ta thĐy số hÔng Ưu v cuối cừa (1.32) triằt tiảu nhau, cổng thực (1.26) ữủc chựng minh.

R α àβν = ∂ ν Γ α àβ − ∂ β Γ α àν + Γ α σν Γ σ àβ − Γ α σβ Γ σ àν , (1.34) lĐy bián phƠn cổng thực n y, ta cõ δR α àβν = ∂ ν (δΓ α àβ ) − ∂ β (δΓ α àν ) + δΓ α σν Γ σ àβ + Γ α σν δΓ σ àβ − δΓ α σβ Γ σ àν − Γ α σβ δΓ σ àν (1.35) M°t khĂc theo cổng thực Ôo h m hiằp bián, ta cõ

Thay (1.36) v o hai số hÔng Ưu cừa vá phÊi cừa (1.35) ta s³ ữủc cổng thực (1.33) c¦n chùng minh.

BƠy giớ ta i tẳm phữỡng trẳnh cừa lỵ thuyát hĐp dăn- f(R) LĐy bián phƠn tĂc dửng (1.4) theo cĂc tensor metric, ta cõ δS = c 3

Tẵch phƠn thự nhĐt cừa (1.37) l (ð Ơy ta ữa v o kẵ hiằu f ′ (R) = df dR (R) ) δS G = c 3

Sỷ dửng (1.17), cổng thực trản trð th nh g àα δΓ ν àν − g àν δΓ α àν = 1

Số hÔng thự nhĐt cừa (1.44) ữủc khai triºn nhữ sau f ′ (R)∇ α

Sỷ dửng (1.23), cổng thực (1.45) ữủc viát lÔi l δS G = c 3

BƠy giớ ta i tẵnh tẵch phƠn thự 2 cừa (1.37) (chú ỵ ang lĐy bián phƠn theo c¡c metric)

HƯu hát cĂc trữớng hủp L M phử thuởc v o g àν những khổng phử thuởc v o ∂g ∂x àν α do â

Phần thứ hai cho thấy cách vận dụng định lý Stokes để liên hệ tích phân đường quanh biên của A với một tích phân bề mặt của curl trên mặt giới hạn bởi biên đó Trong quá trình phân tích các thành phần liên quan đến sự tách rời và hiệu ứng biến đổi δg_{μν}, nếu δg_{μν} = 0 thì ∂α(δg_{μν}) cũng sẽ không đóng góp và biểu thức được giản lược Ở phần này ta cần dùng mặt S để gom các biến động δg_{μν} thành các số hạng biến dạng và thể hiện chúng thông qua các tác động lên hệ biến đổi δg_{μν}, xem [18] để chi tiết Những trường hợp không gian-thời gian rộng lớn hoặc phi tuyến có thể làm phức tạp việc tách phần nhưng vẫn cho thấy mối liên hệ giữa biến động δg_{μν} và các số hạng trên S khi tác dụng lên các trường biên.

GiÊ sỷ m°t lĐy tẵch phƠn l m°t cõ dÔng a àν (x)x à x ν = A 2 (1.55)

Trong bài, khi xét một hệ có biên giới, điều kiện biên δgν(x)=0 được áp dụng trên biên và tại các điểm xα sao cho δgν(xα)=0 theo các thỏa (1.55) Nếu ta xét tại xα và xα+Δxα, δgν(xα+Δxα) có thể không bằng δgν(xα) và có thể khác 0 do điều kiện (1.54) không cho phép đồng thời thỏa một biến trên hai vị trí; như vậy, một biến δgν ở xα+Δxα sẽ không bằng 0 Như vậy, ta tách phần 2 của các thành phần (1.53) và, theo nguyên lý tối thiểu δS=0, từ (1.53) ta suy ra được dạng f′(R)R^{ν−1}.

Lý thuyết trọng lực f(R) là một tổng quát của thuyết tương đối tổng quát (GR), được xây dựng trên một hàm f(R) của độ cong Ricci và các khái niệm liên quan như f′(R) và toán tử □ Phương trình trường f(R) có dạng 2 f(R) g^{νμ} + ∇_α ∇_ν f′(R) − g_{αν} □ f′(R) = − 8πG c^4 T_{αν}, cho thấy sự đóng góp của hàm f(R) và các đạo hàm của f′(R) vào sự cân bằng giữa độ cong của không-thời gian và nguồn vật chất T_{αν} Ký hiệu □ ≡ ∇_α ∇^α được gọi là toán tử d'Alembert và là thành phần chủ đạo trong mô hình động của trường Lý thuyết f(R) bao hàm GR khi f(R) = R − 2Λ, tức là GR được phục hồi như một giới hạn đặc biệt của f(R) Ứng dụng của f(R) trong vũ trụ học và vật lý thiên văn rất phong phú, nhằm giải thích sự mở rộng của vũ trụ và sự tăng tốc, cũng như các hiện tượng cấu trúc vũ trụ khác, được đề cập trong các nguồn tham khảo [15, 19, 20] và trong phần trình bày của luận án.

Lỵ thuyát hĐp dăn tensor-vổ hữợng v Vụ Trử Hồc

Vụ Trử tensor vổ hữợng

Lỵ thuyát ỡn giÊn nhĐt l lỵ thuyát tensor vổ hữợng vợi c°p tối thiºu (scalar field minimally coupled)

(viát trong hằ ỡn và 8πG = c = 1 ) Lỵ thuyát vợi c°p khổng tối thiºu õ l

Ta cõ thº l m dÔng (1.67) ỡn giÊn hỡn bơng mởt ph²p bián ời h m trữớng ω(φ) φ g àν ∇ à φ∇ ν φ −→ 1 2 g àν ∇ à φ∇ ν φv nõ trð th nh dÔng

, (1.68) ho°c vợi ph²p bián ời p(φ) −→ φ s³ ữủc

(1.69) é phữỡng trẳnh (1.69) náu ω = const ta s³ ữủc lỵ thuyát Brans-Dicke [15], nghiằm chẵnh xĂc cừa lỵ thuyát n y  ữủc nghiản cựu [23].

B i n y x²t tĂc dửng cừa lỵ thuyát hĐp dăn-tensor vổ hữợng dữợi dÔng ỡn giÊn nhĐt nhữ sau (viát trong hằ ỡn và 8πG = c = 1 ),

Trong vật lý trường, Lagrangian của trường trọng lực được xác định từ hành động Einstein–Hilbert: S_G = (1/16πG) ∫ d^4x √(-g) R, nơi g là determinant của tensor metric g_{μν} và R là Ricci scalar Biến thiên hành động theo metric cho phép ta thu được các phương trình trường Einstein khi bổ sung phần vật chất S_m và tổng hành động S = S_G + S_m, từ đó ta có hệ phương trình Einstein dưới dạng G_{μν} = 8πG T_{μν}, với G_{μν} là tensor liên quan đến độ cong của không gian–thời và T_{μν} là tensor mật độ năng lượng—nhạp, mô tả sự tương tác giữa hình dạng không gian–thời và vật chất Phương pháp này duy trì tính tương đối biến thiên và không phụ thuộc hệ tọa độ, phù hợp với bản chất của Lagrangian và các đại lượng vật lý trong thuyết tương đối tổng quát.

2 g àν ∇ α φ∇ α φ − g àν V (φ) − T àν , (1.71) náu lĐy bián phƠn theo h m vổ hữợng φ thẳ ta thu ữủc phữỡng trẳnh Klein- Gordon

Trong õ ∇ à l Ôo h m hiằp bián, □ = ∇ à ∇ à v V ′ (φ) = dV dφ (φ)

Nhữ ta  biát metric vụ trử Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) l [15] ds 2 = dt 2 − a(t) 2 dx 2 + dy 2 + dz 2

Hiện nay có nhiều bằng chứng cho thấy vũ trụ được mô tả tốt nhất bằng một mô hình dựa trên metric, cho phép giải thích sự mở rộng của không gian theo thời gian Trong khuôn khổ này, thước đo quy mô vũ trụ được ký hiệu a(t) và được tăng lên khi thời gian trôi qua, phản ánh quá trình giãn nở của vũ trụ Khi a(t) tăng lên, tốc độ giãn nở dựa trên định luật Hubble cũng tăng theo, cho thấy mối liên hệ giữa sự mở rộng của vũ trụ và khoảng cách giữa các vật thể Tổng quan về a(t) và tỉ lệ gia tăng của hệ số Hubble giúp giải thích nguồn gốc của sự phát triển vũ trụ và vai trò của các thành phần như vật chất tối và năng lượng tối trong vũ trụ hiện đại.

Trong vật lý thiên văn, H(t) được định nghĩa là H(t) = ȧ(t)/a(t), trong đó a(t) là thước đo quy mô của vũ trụ và ȧ(t) là đạo hàm theo thời gian của a(t) (1.74) Theo quy tắc Hubble, vận tốc lùi v giữa hai vật thể cách nhau một khoảng d tăng lên khi khoảng cách d tăng, với v = H d (1.75).

B i n y chúng tổi ữa ra mởt mổ hẳnh h m thá ữủc biºu diạn dữợi dÔng

Trong õ ϕ = 2 1 + h 3 √ 4β 3à λ(φ − φ 0 ) i 2/3 vợi β > 0, à, φ 0 l cĂc hơng số, tực l φ = φ 0 + 4β

Đoạn văn này giới thiệu cách chuẩn hóa hệ bằng cách đặt λ sao cho [λ] = [φ]^{-1}, từ đó biến φ thành một đại lượng có kích thước nhất quán Việc chọn λ = 1 làm cho [λ] = [φ]^{-1} và liên hệ với thước đo [E]^4, giúp đơn giản hóa các biểu thức động học liên quan Cuối cùng, nghiệm thời gian cho φ được cho là φ(t) = 2 ln(r^{3/2}) − β t + 1, cho thấy φ phụ thuộc logarit của bán kính và thời gian.

Tuời cừa vụ trử τ (thới gian tứ lúc vụ trử bưt Ưu giÂn nð án ng y n y) ữủc xĂc ành theo phữỡng trẳnh

Trong õ H(τ) l thổng số Hubble ng y nay (nõ ữủc o theo ành luêt Hubble v = Hd), do õ tứ (1.80) ta cõ thº tẵnh ữủc tuời cừa vụ trử τ (mổ hẳnh hơng số vụ trử Λ vợi H = const khổng cho ta cĂch tẵnh trỹc tiáp ữủc tuời cừa vụ trử nhữ vêy).

"BĂn kẵnh" ban Ưu cừa vụ trử a 0 cõ thº ữủc tẵnh tứ phữỡng trẳnh a(τ ) = a 0 exp

, (1.81) vợi "bĂn kẵnh vụ trử" ng y nay a(τ) cõ thº xĂc ành ữủc thổng qua cĂc dỳ liằu hẳnh hồc Nhữ vêy sau khi  tẵnh ữủc tuời cừa vụ trử theo phữỡng trẳnh (1.80), ta s³ tẵnh ữủc bĂn kẵnh ban Ưu a 0 cừa vụ trử, nõ l mởt Ôi lữủng khĂc khổng.

Ta cõ sỡ ỗ cừa Vụ Trử cho mổ hẳnh n y nhữ sau

Lý thuyết tensor đặt nền tảng cho sự mô tả các hiện tượng vật lý khi thời gian tiến tới vô cùng (t → ∞) và cho thấy sự tương đồng với thuyết của Einstein ở giới hạn này Có nhiều bằng chứng cho thấy sự chuyển đổi giữa hai chế độ động lực theo hai giới tốc độ khác nhau có liên quan tới vật chất tối và năng lượng tối ngày nay Trong mô hình được trình bày, khi tham số β vượt ngưỡng nhất định, hệ thống có thể phân tách thành hai chế độ đặc trưng: một chế độ liên quan tới sự lan tỏa của các hiện tượng và một chế độ tập trung của vật chất tối Vụ mô hình này phụ thuộc vào hai tham số β và một tham số bổ sung, và các kết quả lý thuyết được xác nhận thông qua phân tích và thử nghiệm thực nghiệm.

Trữớng vổ hữợng nhữ l hằ quÊ cừa lỵ thuyát hĐp dăn- f (R)

Các trường vật chất có thể được xem như những cấu thành của không-thời gian, hay nói cách khác là chúng sinh ra và biến đổi các hiện tượng vật lý trên nền không-thời gian Sự tồn tại và tương tác của các trường này ảnh hưởng đến cấu trúc và dynamics của vũ trụ, giúp giải thích một số hiện tượng từ vi mô đến vũ trụ học Ở bài viết này, chúng ta trình bày một khung lý thuyết liên quan đến mối quan hệ giữa các trường và khái niệm không-thời gian, tập trung vào mô hình f(R) – một dạng mở rộng của thuyết tương đối tổng quát bằng cách thay thế hành động cổ điển bằng một hàm f(R) của Ricci scalar.

Phép biến đổi conformal là một biến đổi của métric sao cho g'_{μν} = Ω^2 g_{μν}, với Ω(x) là một hàm không đồng nhất và luôn khác không trên miền Ω Phép biến đổi này bảo toàn các góc giữa các vectơ, trong khi độ dài bị tỉ lệ bởi Ω Trên miền Ω, ds^2 = g_{μν} dx^μ dx^ν sẽ biến thành ds'^2 = g'_{μν} dx^μ dx^ν = Ω^2 ds^2 Các hệ quả của biến đổi conformal được xác định thông qua metric và liên kết, với việc xác định Γ^α_{βγ} từ metric và biến đổi tương ứng khi g_{μν} được nhân với Ω^2, cho thấy sự thay đổi về quy mô của metric nhưng vẫn giữ được cấu trúc hình học ở mức tỉ lệ Với g'_{μν} = Ω^2 g_{μν} và Ω ≠ 0, phép biến đổi conformal cung cấp khung để phân tích các đặc trưng của hệ phương trình liên quan trong miền Ω.

R = Ω 2 (R + 6g àν ∂ à ω∂ ν ω − 6 □ ω) (1.91) vợi ω ≡ ln Ω Khi õ tĂc dửng cừa lỵ thyát f (R) s³ cõ dÔng ( k = 8πG c 4 )

− Ω −4 U i , (1.93) trong õ U = f ′ (R)R−f(R) 2k é trản Ω văn cỏn bĐt kẳ, bƠy giớ ta lĐy Ω dữợi dÔng

Trong không-thời gian cong, tác dụng của f(R) mang lại có thể được hiểu như một trường hiệu ứng phụ thuộc vào f′(R) Theo công thức (1.95) ta thấy tác dụng này thể hiện như một hiện tượng liên quan đến cấu trúc của trường trọng lực f(R) và có thể xem như một trường tổng hợp của lý thuyết Trạng thái của trường được xác định theo (1.94) với φ = √(3/(2k)) ln f′(R).

Ph²p bián ời bián phƠn [35]

Ngo i ph²p bián ời conformal cỏn cõ ph²p bián ời khĂc cụng cho thĐy trữớng vổ hữợng cõ thº xem nhữ l mởt hằ quÊ cừa lỵ thyát hĐp dăn- f (R) (ph²p bián ời kiºu n y Nghiản Cựu Sinh tÔm °t tản l ph²p bián ời bián phƠn) Nởi dung cõa nâ nh÷ sau

Trong tĂc dửng (1.98) cõ thº coi φ l mởt bián ởc lêp khĂc khi lĐy bián phƠn. Thêt vêy, δS = δ g S + δ φ S (1.99)

Cho bián phƠn bơng khổng, sỷ dửng (1.97) thẳ số hÔng thự 2 cừa (1.102) s³ triằt tiảu v ta cõ δ g S = 0 , tứ Ơy kát hủp vợi (1.97) ta cõ hằ

Náu coi φ l ởc lêp thẳ tứ (1.102) cho bián phƠn bơng khổng ta ữủc

 f ′′ (φ)(φ − R) = 0 δ g S = 0 (1.104) kát hủp (1.97) vợi (1.104) ta cõ

Trong lý thuyết f(R) gravity, f''(R) ≠ 0 cho phép xuất hiện một trường phụ (scalaron) và các nghiệm phi tuyến, từ đó mô tả các hiệu ứng khác với gravity của Einstein Khi f''(R) = 0 thì f(R) = aR + b với a, b là hằng số, và lý thuyết quay về hình ảnh của trường Einstein với một hằng số vũ trụ Vì vậy trong khung này, các khía cạnh được nêu ở (1.105) sẽ khớp với (1.103) Ta có thể xem φ là một biến bổ sung và đặt φ = f′(R) (1.106); từ công thức (1.98) ta có động lực học của hệ thống.

Ta nhận thấy tác dụng được cho bởi công thức (1.107) có dạng đồng dạng với tác dụng của một trường trong không-thời gian cong, khi phân tích các thành phần của trường φ trong độ đo không gian-vật lý Với một lựa chọnφ = R và coi φ là một biến, ta thấy trường này có thể xem như một hệ quả của lý thuyết f(R) Như vậy, trường vận động có thể được diễn giải và mở rộng bằng cách bổ sung các thành phần khác nhau, cho phép hình thành các mô hình lý thuyết f(R) mở rộng như được trình bày ở phần sau.

(1.112) Tữỡng tỹ nhữ Â chựng minh vợi (1.98), trong cổng thực (1.112) cõ thº coi ϕ, X, Y l cĂc bián ởc lêp khĂc Tẵch phƠn (1.112) cụng cõ thº bián ời vã dÔng

(1.113) vợi A = f ′ (ϕ) − ∇ à [f ′ (X)∇ à (ϕ + R)] + □ f ′ (Y ) LĐy bián phƠn (1.113) theo X, Y tữỡng tỹ ta dạ cõ

Phương trình (1.116) cho ta thấy trường vật lý có thể xem như một khung lý thuyết tổng quát, trong đó một họ Lagrangian được xây dựng từ các biến φ, (∇φ)² và □φ, và có thể kết hợp với các dạng như f(R) để mô tả các trường vật lý khác nhau một cách hợp lý.

Mởt số lỵ thuyát hĐp dăn-mð rởng khĂc

Trong lý thuyết trọng lực sửa đổi, có nhiều khuôn khổ nghiên cứu phổ biến như f(R) gravity và các biến thể mở rộng như f(R, T) gravity Lý thuyết f(R, T) mở rộng Lagrangian bằng cách phụ thuộc đồng thời vào Ricci scalar R và dấu vết T của tensor động lượng—T = T^μ_μ—nhằm mô hình hóa tương tác giữa trường vật chất và không-thời gian theo một cách khác biệt Trong khuôn khổ này, các mô hình f(R, T) được xem như một họ lý thuyết, với Lagrangian được viết dưới dạng L_G = f(R, T), mô tả đồng thời sự cong của không-thời gian và đặc tính của vật chất thông qua hai tham số R và T Các nguồn tham khảo [36, 37] cho thấy đây là một khuôn khổ tổng quát cho phép mở rộng và so sánh các hệ thống trọng lực khác nhau dựa trên chức năng f(R, T) và những dự đoán liên quan đến sự tiến hóa của vũ trụ và mối tương tác giữa vật chất và trường trọng lực.

Trong lý thuyết trường, vật chất được mô tả bằng Lagrangian đặt trong không-thời gian cong và liên hệ với các tensor động lượng-năng lượng T^{μν}; đối với một chất lỏng có độ nhớt khối (bulk viscosity) thì tensor này được chỉnh sửa so với chất hoàn hảo thành T^{μν} = (ε + P̃) u^{μ} u^{ν} − P̃ g^{μν}, với P̃ = P − 3 ζ H Ở vũ trụ học, θ = 3H và H là tham số Hubble đo sự giãn nở của vũ trụ, do đó áp suất hiệu dụng P̃ phụ thuộc vào hệ số nhớt ζ và tốc độ giãn nở, thể hiện bằng P̃ = P − 3 ζ H; điều này dẫn tới cách diễn đạt khác của các trường Einstein và các tensor liên quan trong khuôn khổ FRW Các phát biểu này được nêu trong các tham khảo [41, 42, 43].

Khổng-thới gian cõ ở xoưn, hẳnh thực luên Palatini, lỵ thuyát hĐp d¨n- f(T )

Palatini, lỵ thuyát hĐp dăn- f (T )

Trong hình học vi phân, việc mô tả không gian-thời gian bằng một metric g và một liên kết affine Γ^α_{βγ} là nền tảng để xét các đường cong và công thức liên hệ Liên kết Levi-Civita là liên kết duy nhất được đặc trưng bởi hai tính chất: không torsion (Γ^α_{βγ} = Γ^α_{γβ}) và tương thích với metric (∇_α g_{βγ} = 0) Khi không sử dụng hai điều kiện này đồng thời, ta có thể coi metric và liên kết là hai biến độc lập; trong khuôn khổ phương pháp Palatini, ta biến thiên với cả hai biến đó Nếu ta đồng thời giữ ∇_α g_{βγ} = 0 và Γ^α_{βγ} trỏ tới các hệ số Christoffel của metric, liên kết sẽ trở thành Levi-Civita của g Ngược lại, khi hai biến được xem độc lập, Palatini cho phép phân tích các mô hình nơi liên kết không nhất thiết là Levi-Civita của g, mở ra những hệ quả khác về hình học và động lực của trường hấp dẫn, đặc biệt trong các lý thuyết mở rộng như gravity theo khuôn khổ f(R).

TĂc dửng cừa trữớng hĐp dăn l

R àν (Γ) = ∂ à Γ λ λν − ∂ λ Γ λ àν + Γ λ àσ Γ σ λν − Γ σ àν Γ λ λσ (1.118) Xem x²t cĂc iãu kiằn sau: Γ α àν khổng nhĐt thiát ối xựng theo 2 ch¿ số à, ν Tứ õ ành nghắa ở xoưn

T àν α = Γ α àν − Γ α νà g àν v Γ λ στ l cĂc h m ởc lêp nhau, tực l Γ λ στ khổng phÊi l mởt h m theo cĂc metric g àν nỳa.

* LĐy bián phƠn theo cĂc metric g àν (khổng cƯn sỷ dửng iãu kiằn biản) ta ữủc δS G (g, Γ) = c 3

* LĐy bián phƠn theo cĂc Ôi lữủng Γ λ στ (sỷ dửng iãu kiằn biản δΓ α àν = 0 ) ta ữủc δS G (g, Γ) = c 3

Trong hình học vi phân, điều kiện tương thích của metric với phép nối Levi-Civita được diễn đạt bằng ∇_λ g_{μν} = 0, và khi viết ra thành các thành phần ta có công thức ∂_λ g_{μν} − Γ^σ_{ μ λ} g_{σ ν} − Γ^σ_{ ν λ} g_{μ σ} = 0 (tương ứng với các công thức (1.119) và (1.120)) Khi δS = 0, ta có hai phương trình xuất phát từ biến thiên của Lagrangian có chứa các ẩn là g_{μν} và Γ^σ_{ αβ}, và các hệ số liên kết tương ứng; phương trình đầu tiên được nêu ở [44].

Trong bài viết này, khái niệm Rν(Γ) được trình bày như một cấu trúc liên quan tới các đại lượng Γ và αβ; trong công thức (1.121) ta coi Lagrangian của vật chất L_M là một hàm phụ thuộc vào Γ và αβ, nhằm làm rõ vai trò của các đại lượng này trong hệ thống Phương trình thứ hai được tham chiếu từ [44].

(1.122) Nhữ vêy ta ữủc hai phữỡng trẳnh (1.121) v (1.122) vợi hai bián ởc lêp l g àν v Γ à αβ Náu chúng ta lĐy Γ α àν = 1 2 g αβ (∂ à g βν + ∂ ν g àβ − ∂ β g àν ) thẳ ∇ λ g àν = 0 v

Phương trình Tαβσ = 0 và các dạng thể hiện (1.121) và (1.122) cho thấy sự ràng buộc của trạng thái trường và cách thức mô tả hệ thống bằng các metric khác nhau Các hình thức này có thể được hiểu như một sự mở rộng các nghiệm của phương trình trường Einstein, hoặc được xem là cách diễn giải khác để tiếp cận các nghiệm của Einstein Khi phân tích các nghiệm liên quan đến metric Einstein, ta nhận thấy lý thuyết này không chỉ gói gọn trong khái niệm của Einstein mà còn làm sáng tỏ những cách diễn đạt mới về các nghiệm của trường Do đó, luận điểm này tương thích với thuyết tương đối và mang lại cái nhìn sâu hơn về các nghiệm của trường Einstein trong bối cảnh hiện đại.

Một số lý thuyết cơ bản và các khía cạnh liên quan được trình bày trong nguồn tham khảo [45], cho thấy cách trình bày và liên kết giữa lý thuyết với thực tiễn trong lĩnh vực này Chúng ta có thể tham khảo để mở rộng cách tiếp cận, so sánh các quan điểm và rút ra các kết luận có giá trị từ lý thuyết này, đồng thời đề xuất các hướng nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn phù hợp với bối cảnh hiện tại.

Trong một khoảng thời gian nhất định, khi xem xét dịch chuyển song song theo hai hướng khác nhau, ta có thể đạt được cùng một kết quả ở một khung tham chiếu nhất định Tuy nhiên, nếu không gian-thời gian bị ảnh hưởng bởi sự cong của không gian hoặc các điều kiện vật lý khác, thì hai hướng dịch chuyển song song có thể cho ra hai kết quả khác nhau Hiểu được sự phụ thuộc này giúp người đọc nắm bắt mối quan hệ giữa thời gian, không gian-thời gian và đường đi của một hệ thống, từ đó tối ưu hóa các mô hình và bài toán liên quan.

Hẳnh thực luên Vierbein

CĂc ành nghắa v tẵnh chĐt

Nhữ chúng ta  biát, khoÊng vi phƠn cừa mởt khổng-thới gian cong trong hẳnh thực luên metric cõ dÔng ds 2 = g àν (x)dx à dx ν , (1.123) vợi ch¿ số à = (0; 1; ; D) Náu tẳm cĂch biºu diạn (1.123) dữợi dÔng ds 2 = η ab dx a dx b , (1.124) vợi ch¿ số a = (0; 1 ; D)v η ab l metric dÔng Minkowski ( η ab = diag (1; −1; −1; −1) cho khổng-thới gian 1 + 3 ), thẳ (1.124) ữủc gồi l khoÊng vi phƠn dữợi dÔng Vierbein (hẳnh thực luên Vierbein) Ta thĐy khoÊng dữợi dÔng (1.124) giống vợi khoÊng vi phƠn trong khổng-thới gian ph¯ng, vẳ thá nõ cỏn cõ tản gồi khĂc õ l , dÔng Lorentz ành xự º cõ ữủc (1.124), khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta °t dx a = e a à (x)dx à (1.125)

Tứ (1.123), (1.124) v (1.125) ta cõ cĂc lữủng e a à (x) phÊi thọa mÂn g àν (x) = η ab e a à (x)e b ν (x) (1.126)

Tõm lÔi, náu ta ành nghắa cĂc lữủng e a à (x) thọa mÂn (1.126) v ữa v o kẵ hiằu dx a dữợi dÔng (1.125), thẳ (1.123) cõ thº viát lÔi dữợi dÔng (1.124) Ta gồi e a à (x) l cĂc Ôi lữủng Vierbein, v gồi cĂc Ôi lữủng dx a l biºu diạn Vierbein cừa cĂc vector dx à Thỹc tá chúng ta cƯn cĂc Ôi lữủng Vierbein l cĂc Vector. Tuy nhiản, ành nghắa mởt cĂch trỹc tiáp theo (1.126) thẳ ta chữa chựng minh ữủc cĂc Ôi lữủng n y l cĂc vector Vẳ thá chúng ta s³ tẳm cĂch ành nghắa chúng theo mởt cĂch khĂc sao cho cõ thº suy ra ữủc (1.126) mởt cĂch giĂn tiáp. Chóng ta b t ¦u nh÷ sau. ành nghắa cĂc vector Vierbein l mởt bở cõ D + 1 vector ởc lêp tuyán tẵnh ữủc Ănh số thự tỹ theo ch¿ số a, b, c , v thọa mÂn hằ thực trỹc chuân sau e a à (x)e bà (x) = η ab (1.127)

Chúng ta định nghĩa các chỉ số ν, α, β = (0, 1, , D) là các chỉ số Lorentz, còn các chỉ số a, b, c, d = (0, 1, , D) là các chỉ số Vierbein Trong các bài toán liên quan đến cấu trúc không-thời gian, hai tập chỉ số này được viết riêng biệt để phân biệt; ví dụ, e^a_μ(x) thể hiện mối liên hệ giữa cơ sở tangent và cơ sở Lorentz nội tại tại điểm x, cho thấy cách mà các thành phần của vielbein liên kết giữa các chỉ số Lorentz và Vierbein với nhau.

Ba vectơ Vierbein e_a ở mỗi điểm x đóng vai trò làm cơ sở nội tại của không gian, giúp liên hệ giữa hệ tọa độ thế giới và hệ cơ sở nội tại Các vectơ Vierbein này tạo nên các quan hệ giữa metric g_{μν} và ma trận Minkowski η_{ab} như e^a_μ e^b_ν η_{ab} = g_{μν} và ngược lại e_a^{μ} e^a_{ν} = δ^{μ}_{ν} Cũng với các vectơ e_a, ta có nghĩa của chúng được thể hiện qua e_b(x) = η_{ba} e^a(x), tức là hạ/nhân chỉ số bằng ma trận η; các quan hệ nghịch đảo tương ứng được ghi nhận trong công thức (1.128).

Tứ (1.128) ta cụng dạ thĐy e a à (x) = η ab e bà (x) (1.129)

Sỷ dửng (1.127), (1.128) v tẵnh chĐt η ab η bc = δ c a , ta dạ d ng chựng minh ữủc hằ thực sau e a à (x)e b à (x) = δ b a (1.130) Ngo i ra, ta cụng chựng minh ữủc e a à (x)e a ν (x) = δ à ν (1.131)

Thực tế với hai vectơ e_aν(x) (a = 1, 2) ta có các quan hệ e_aν(x) e_aν(x) e_bν(x) = e_bν(x) hoặc e_aν(x) e_aν(x) e_bν(x) − e_bν(x) = 0; từ đó suy ra [e_aν(x) e_aν(x) − δ_aν] e_bν(x) = 0, hay [e_aν(x) e_aν(x) − δ_aν] e_bν(x) = 0 Đặt F_νa(x) = e_aν(x) e_aν(x) − δ_νa, ta có F_νa(x) e_bν(x) = 0; nhờ các hệ số ν độc lập, với b = (0; 1; ; D) ta có một hệ phương trình tuyến tính có D+1 nghiệm tương ứng với mọi giá trị của b, với D+1 dạng F_νa(x) (với a = 0; 1; ; D) Một cách nhìn khác, từ (1.127) ta thấy det(e_ba(x)) ≠ 0 do tính độc lập của các tổ hợp tuyến tính và điều kiện F_νa(x) = 0, suy ra e_aν(x) e_aν(x) − δ_νa = 0 tại cổng thực (1.131).

Náu nhƠn 2 vá (1.131) vợi g λν (x) chúng ta ữủc e a à (x)e a ν (x)g λν (x) = g λà (x), hay e a à (x)e aλ (x) = g λà (x) Tứ Ơy, sỷ sửng (1.128) ta dạ thĐy (1.126) ữủc chùng minh.

Trong lý thuyết trường, tồn tại hai cách diễn đạt cấu trúc không gian-thời gian: một là dùng metric g_{μν}(x) và phép nối Levi-Civita được xác định từ metric này, cho phép mô tả độ cong của không gian-thời gian và các tương tác hấp dẫn Cách thứ hai là dùng hệ vierbein (tetrad) e^a_μ(x), trong đó metric của tangent space được cho bởi η_{ab}; từ e^a_μ ta có thể tái tạo metric không gian-thời gian bằng g_{μν}(x) = e^a_μ(x) e^b_ν(x) η_{ab} Hai cách diễn đạt này liên hệ với nhau và cho phép thực hiện các phép đo và phép nối ở cả hai khuôn khổ, một ở không gian-thời gian và một ở tangent space.

Thực ra, từ các mệnh đề (1.127) và (1.130), ta sẽ chứng minh được các Vierbein là độc lập tuyến tính Do đó, nếu ζ^a e_a = 0, ta suy ra ζ^a e_a e_b = 0, hay ζ^a{}_b a = 0 Nhờ đó ζ^b = 0, và từ đó kết luận các Vierbein là độc lập tuyến tính.

Một khung mô tả vật lý hiện đại dựa trên không-thời gian Minkowski và các biến đổi Lorentz cho phép diễn giải mọi sự kiện bằng tọa độ x^a và các trường vector A(x) Trong khuôn khổ này, A(x) được biểu diễn trên một cơ sở tại mỗi điểm bằng các vector e_a(x) được chuẩn hóa theo metric, giúp ta phân tích các thành phần của trường một cách nhất quán dưới mọi hệ quy chiếu Các công thức liên quan (ví dụ (1.125) và (1.124)) cho thấy cách tính tích theo không-thời gian và sự phân tách giữa phần thời gian và phần không gian, đồng thời cho thấy sự tồn tại của các trạng thái mở rộng khi xem xét các trường không vi phân và cả trong các mô hình lượng tử Khi phân tích các trường vector trong các mô hình cổ điển và lượng tử, ta có thể xem xét sự lan truyền của A(x) và sự biến đổi theo thời gian trong không-thời gian cong hay phẳng, nhờ đó thấy rõ vai trò của các phép biến đổi Lorentz nhằm duy trì tính bất biến của các đại lượng vật lý Nhờ Lorentz, mọi kết quả được diễn giải một cách nhất quán ở mọi hệ quy chiếu, và các khái niệm như vận tốc, thời gian và không gian được liên hệ với nhau thông qua các trạng thái tại x và các điểm giao nhau của trường.

Trong chương này, các đối tượng như g_{μν}(x) và e_a{}^{μ}(x) là các tensor và khung vierbein được diễn đạt ở một hệ tọa độ x; chúng cũng được biến đổi theo quy tắc biến đổi tọa độ khi chuyển sang hệ x′ Các công thức (1.125) hoặc (1.124) mô tả cách các thành phần của tensor và vector biến thiên để bảo toàn cấu trúc hình học dưới phép đổi tọa độ giữa các hệ quy chiếu Việc so sánh các cặp metric và vierbein cho thấy có các hệ tọa độ khác nhau, với g_{μν}(x), e_a{}^{μ}(x) liên hệ với các g′_{μν}(x′), e′_a{}^{μ}(x′) thông qua các biến đổi tương ứng; tham khảo bảng 3.3 trong tài liệu để chi tiết.

Cụng giống nhữ (1.125), chúng ta ữa v o ành nghắa biºu diạn Vierbein cừa mởt vector bĐt kẳ A à (x) nhữ sau

Sỷ dửng A a (x) = η ab A b (x) ta cụng dạ thĐy

A a (x) = e aà (x)A à (x) = e a à (x)A à (x) (1.133) Tữỡng tỹ ta cõ biºu diạn Vierbein cừa mởt tensor bĐt kẳ l

Trong phần mở đầu, dựa trên các công thức (1.125), (1.132) hoặc (1.134), chúng ta nhận thấy biểu diễn Vierbein cho các vector và tensor, cùng với cách chúng được mô tả bằng một cơ sở cục bộ tại mỗi điểm Vierbein cho phép tách cấu trúc hình học thành các thành phần liên quan đến hệ tham chiếu cục bộ và làm rõ các phép biến đổi tọa độ cũng như các biến đổi Lorentz cục bộ giữa các cơ sở Nhờ đó, hướng và độ lớn của các vector được nhận diện nhất quán khi chuyển giữa các hệ tham chiếu, và mối quan hệ giữa các tensor với nhau được thể hiện một cách rõ ràng trong mọi hệ tọa độ.

Ta cụng ữa v o biºu diạn Vierbein cừa mởt Ôo h m l

Tứ kẵ hiằu n y ta dạ thĐy

∂ à = g àν ∂ ν , (1.138) thẳ ta cụng dạ thĐy

Náu °t iãu kiằn Ôo h m hiằp bián cừa cĂc metric triằt tiảu ∇ à g λν = 0 thẳ ta cõ

Tuy nhiản chúng ta khổng thº °t iãu kiằn cho Ôo h m hiằp bián cừa cĂc Vierbein triằt tiảu, tực l ta phÊi cõ

Bði vẳ náu khổng (tực l ∇ à e a ν = 0 ) thẳ ta s³ tẳm thĐy mởt sỹ mƠu thuăn. Thêt vêy, trong trữớng hủp n y ta cụng dạ cõ ∇ à e a ν = 0, tực l ∂ à e a ν =

−Γ ν àλ e a λ Tiáp theo ta cõ ∂ a ∂ b = e a à ∂ à (e b ν ∂ ν ) = e a à e b ν ∂ à ∂ ν + e a à (∂ à e b ν )∂ ν = e a à e ν b ∂ à ∂ ν − e a à e b λ Γ ν àλ ∂ ν, vêy ta thĐy ∂ a ∂ b = ∂ b ∂ a Nhữ Â nõi vẳ A b l vổ hữợng vợi ph²p bián ời tồa ở tờng quĂt nản ∇ à A b = ∂ à A b Suy ra

∇ a A b = e a à ∇ à A b = e a à ∂ à A b = ∂ a A b , vêy ∇ a A b = ∂ a A b Tứ Ơy ta cõ ∂ a ∂ b A c =

Trong hình học vi phân với liên kết không có xoắn (torsion-free), các đạo hàm riêng ∂_a và ∂_b giao hoán với nhau, ∂_a ∂_b = ∂_b ∂_a Khi làm việc với hệ cơ sở vielbein e_a^μ và liên kết ∇, ta có ∇_a ∇_b A_c = e_a^α e_b^β ∇_α ∇_β A_c, cho thấy hai đạo hàm covariant cùng tác động trong một khuôn khổ đồng nhất Các công thức này phản ánh sự liên hệ giữa biểu diễn vielbein và tính chất giao hoán của các đạo hàm; với liên kết torsion-free, [∇_a, ∇_b] A_c = R^d_{cab} A_d, và chỉ khi độ cong R^d_{cab} bằng 0 (không có trường cong) thì ∇_a ∇_b A_c = ∇_b ∇_a A_c Những phần mềm này nêu bật mối liên hệ giữa biểu diễn vielbein, tính giao hoán của các đạo hàm và cấu trúc không-thời gian, đồng thời nêu rõ cách các phép biến đổi giữa khung tọa độ và khung vielbein ảnh hưởng tới các đại lượng tensor trên không-thời gian.

Đoạn (1.142) cho thấy các đạo hàm riêng theo hai biến a và b không đổi chỗ với nhau Từ (1.140), khi ta chọn ν = λ ta có các điều kiện e_b^λ η_ab ∇_a e_a^λ = 0 và e_b^λ ∇_a e_b^λ = 0 (λ không bị giới hạn bởi hệ quy chiếu) Nhờ các điều kiện này, λ được xem như một vectơ tham số và có thể viết dưới dạng λ = (1, , D); từ đó mở ra khả năng mô tả một hệ khung vielbein mở rộng, với D+1 thành phần liên kết với mọi giá trị của a (và b), phản ánh cấu trúc tự do và sự phân bố của λ trong không gian có D+1 cấp độ.

Trong bài phân tích này, det [∇_a e_b^λ] ≠ 0 cho thấy các vierbein có tính tuyến tính độc lập, từ đó có thể suy ra nghiệm duy nhất cho e_b^λ = 0 Tuy nhiên, khi xét toàn bộ các ràng buộc và điều kiện liên quan, ta nhận thấy cần phải xem xét trường hợp det [∇_a e_b^λ] = 0, được ghi nhận trong công thức (1.143).

Theo công thức (1.143), ta có thể viết det [∇ a e a λ η ab] = det η × det [∇ a e a λ] = 0, như vậy det [∇ a e a λ] = 0 (1.144) Do đó các hệ số liên quan được coi là các tham số hằng và cốt, trong khi λ là tham số tùy ý.

Tứ tĐt cÊ cĂc ành nghắa trản ta dạ d ng chựng minh ữủc, lĐy mởt số vẵ dử ỡn giÊn nhữ

A ab B ab = A àν B àν ; hay A a ∂ a F = A à ∂ à F ; những A ab ∂ a ∂ b F (x) ̸= A àν ∂ à ∂ ν F (x);

(1.145) Chúng ta chú ỵ rơng, trong cổng thực (1.145) cõ thº lĐy A à ; A àν ; B àν ; F (x) l cĂc Ôi lữủng bĐt kẳ (khổng nhĐt thiát chúng phÊi l vector, tensor hay vổ hữợng).

TĂc dửng v nguyản lỵ bián phƠn trong hẳnh thực luên Vierbein 36

Vierbein º xƠy dỹng tĂc dửng S cừa cĂc hằ vêt lỵ trong hẳnh thực luên Vierbein, Ưu tiản ta i chựng minh cĂc iãu sau

Gọi g = det(g_{μν}), η = det(η_{μν}) và e = det(e^a_μ) Đây là các mật độ xác định bởi các hệ metric và tetrad, đóng vai trò nền tảng cho việc xác định thể tích và các biến đổi dưới các phép biến đổi tham số Việc xác định g, η và e cho phép viết các thành phần của ma trận chuyển đổi giữa hệ tọa độ chuẩn và hệ địa phương, đồng thời liên hệ chặt chẽ với trường e^a_μ và các biến đổi của nó qua [e(x)] Tại công thức (1.126), các đại lượng này được dùng để biểu diễn dữ liệu động trên l và thể hiện thông qua [e(x)]^T và các thành phần của [e(x)], giúp mô tả sự truyền động và cấu trúc của trường.

Ta xem tương ứng với một metric g_μν(x) và các vierbein e^a_μ(x) Nếu ma trận e(x) thỏa mãn điều kiện (1.146) và tồn tại một phép biến đổi Lorentz tại mỗi điểm x với S(x) sao cho S(x)^T η S(x) = η, thì metric được xác định bởi g_μν(x) = η_ab e^a_μ(x) e^b_ν(x) Khi hai khối e và g liên hệ với nhau như vậy, ta có det g(x) = η det e(x)^2, tức |det g(x)| = |det e(x)|^2; trong không-thời gian 1+3, ký hiệu η = −1.

Theo ành nghắa, biºu diạn Vierbein cừa g àν l g ab (x) = e a à (x)e b ν (x)g àν (x). M°t khĂc theo ành nghắa (1.127) ta cõ e a à (x)e b ν (x)g àν (x) = η ab Vêy ta cõ g ab = η ab (1.148)

Trong hình học vi phân và thuyết tương đối, tứ cổng thực (tetrad) hay khung Vierbein cho phép liên hệ giữa metric cong của không-thời gian và metric Minkowski ở khung nội tại Các trường tetrad e^a_μ(x) chuyển đổi từ cơ sở tọa độ sang một cơ sở chuẩn tại mỗi điểm x, và mối quan hệ giữa hai khung được thể hiện qua g_{μν}(x) = e^a_μ(x) e^b_ν(x) η_{ab}, với η_{ab} là metric Minkowski và e^a_μ(x) là các hệ số tetrad Ngược lại, các nghịch đảo e_a^μ(x) thỏa mãn e^a_μ e_a^ν = δ^ν_μ và e_a^μ e^ν_b g_{μν} = η_{ab}, cho phép rút trích metric cong từ khung nội tại Nhờ tetrad, ta có thể mô tả spinor và các hiện tượng liên quan đến spin trên không-thời gian cong một cách tự do, đồng thời duy trì invariance Lorentz cục bộ.

Tứ (1.148) ta thĐy náu gồi b g = det (g ab ) thẳ ta ữủc b g = η, tùc l | b g| = 1 (1.149)

Nguyản tưc viát tĂc dửng S cừa mởt hằ vêt lỵ bĐt kẳ trong hẳnh thực luên Vierbein nhữ sau: mởt Ôi lữủng bĐt kẳ (khổng nhĐt thiát l vector hay tensor hay vổ hữợng) trong hẳnh thực luên metric ta ch¿ cƯn thay cĂc ch¿ số à; ν; α; β th nh cĂc ch¿ số a; b; c; d l ta ữủc Ôi lữủng õ trong hẳnh thực luên Vierbein Vẵ dử nhữ A à −→ A a ; g àν −→ g ab ; R àν −→ R ab ; R à ναβ −→ R a bcd ; Γ α àν −→ Γ a bc ; ∂ à g αβ −→

∂ a g bc ; cĂc Ôi lữủng khổng cõ ch¿ số thẳ phƠn biằt bơng dĐu mụ, vẵ dử R −→ R b ; hay tĂc dửng S −→ S b

Tứ (1.145) náu chúng ta giÊ sỷ h m Lagrangian L(x) bĐt bián khi chuyºn tứ hẳnh thực luên metric sang hẳnh thực luên Vierbein, tực l

L(x) = b L(x), (1.150) thẳ chúng ta s³ chựng minh ữủc rơng tĂc dửng l bĐt bián khi chuyºn ời hẳnh thực luên, S = S b Tực l ,

Z L(x)d b D b x, (1.151) trong â d D x = dx 0 dx 1 dx D cán d D b x = dx b 0 dx b 1 dx D b Thêt vêy, 2 số hÔng cuối cừa (1.151) bơng nhau vẳ tẵnh chĐt (1.149) Ta ch¿ cƯn chựng minh số hÔng thự 2 v số hÔng cuối cừa (1.151) bơng nhau nhữ sau Theo ành nghắa, dx a = e a à (x)dx à , suy ra cổng thực ời tẵch phƠn l d D b x = |e(x)|d

(trong õ |e(x)| l ành thực lêp tứ cĂc lữủng e a à (x) ) Tứ Ơy kát hủp vợi(1.147) chúng ta thĐy số hÔng cuối v số hÔng thự 2 cừa (1.151) bơng nhau.

Vêy tĂc dửng l mởt Ôi lữủng bĐt bián khi chuyºn ời tứ hẳnh thực luên metric sang hẳnh thực luên Vierbein.

Chúng ta nhận thấy rằng, dựa vào số hạng cuối cùng tại cửa (1.151), hành động này mang đặc trưng giống với tác dụng S trong một không-thời gian phẳng Vì thế, nó có thể được diễn đạt lại bằng một biến đổi ở dạng x′ = f(x), như được ghi rõ trong công thức (1.152).

M cỏn bĐt bián vợi mởt ph²p bián ời sau: vợi mởt vector dx a −→ Λ a b (x)dx b , A a (x) −→ Λ a b (x)A b (x), (1.153) dx a −→ Λ a b (x)dx b , A a (x) −→ Λ a b (x)A b (x), (1.154) vợi mởt tensor

Trong õ cĂc lữủng Λ a b (x) thọa mÂn (tĐt cÊ cĂc Ôi lữủng: ch¿ số trản l h ng, dữợi l cởt) η cd Λ c a (x)Λ d b (x) = η ab , (1.156) Λ a b (x) = (Λ −1 ) b a (1.157)

Phép biến đổi Lorentz mô tả cách các đại lượng vật lý thay đổi khi quan sát từ các hệ tham chiếu chuyển động tương đối khác nhau, là nền tảng của cơ học đặc biệt và là thành phần cốt lõi của thuyết tương đối Các biến đổi này cho phép nhận diện sự liên hệ giữa không-thời và động lượng, và chúng hình thành một nhóm liên tục có tính chất đồng nhất ở mọi hệ quy chiếu Trong lý thuyết lượng tử, phép biến đổi Lorentz liên quan đến biến đổi của spin và cách trạng thái lượng tử của các hạt thay đổi dưới ảnh hưởng của sự di chuyển, từ đó mở rộng khái niệm spin trong cơ học lượng tử và cho phép mô tả spin 1/2 một cách nhất quán với cấu trúc không-thời Như vậy, phép biến đổi Lorentz không chỉ mô tả tính hình học của không-thời mà còn liên quan tới cơ sở đại số của spin và các hạt trong các lý thuyết trường lượng tử.

Theo (1.148) ta thấy η_ab = g_ab, η được xem là hằng số trong phép biến đổi Lorentz và là thành phần của một tensor Từ (1.156) ta có Λ^T η Λ = η; nhờ η^−1 = η đối với ma trận Minkowski nên ta suy ra η = Λ η Λ^T Từ đó ta có η_ab = Λ_a^c η_cd Λ_b^d Khi biến đổi giữa các hệ quy chiếu tại x, η_ab(x) được cho bởi η_ab(x) = Λ_a^c(x) Λ_b^d(x) η_cd.

So sĂnh cổng thực n y vợi (1.155) ta thĐy cĂc lữủng η ab cụng l tensor vợi η ′ab = η ab (1.159)

CĂc vector Vierbein cừa khổng-thới gian ối xựng cƯu

Trong vật lý trường trình và cơ học lượng tử trên nền không-thời gian cong, các vector Vierbein (tetrad) là công cụ để diễn giải metric bằng một cơ sở nội tại tại mỗi điểm, giúp g_{μν được viết dưới dạng g_{μν} = η_{ab} e^a_μ e^b_ν với η_ab là Minkowski metric Với metric ds^2 = A(r,t) dt^2 − B(r,t) dr^2 − r^2 dθ^2 − r^2 sin^2θ dφ^2, ta có thể chọn một hệ tetrad đơn giản: e^0_t = √A, e^1_r = √B, e^2_θ = r, e^3_φ = r sinθ, với các thành phần còn lại bằng 0 Các thành phần ngược lại thỏa mãn e_0^t = 1/√A, e_1^r = 1/√B, e_2^θ = 1/r, e_3^φ = 1/(r sinθ), và các phần còn lại bằng 0, sao cho g_{μν} = η_{ab} e^a_μ e^b_ν và g^{μν} = η^{ab} e_a^μ e_b^ν Việc sử dụng Vierbein cho metric như trên cho phép chuyển đổi sang hệ cơ sở nội tại và xây dựng liên kết spin, từ đó hỗ trợ các tính toán liên quan đến spinor và các phương trình trường trên nền cong.

(1.160) õ l khoÊng vi phƠn trong hẳnh thực luên metric Cỏn trong hẳnh thực luên Vierbein l ds 2 = η ab dx a dx b = (dx b 0 ) 2 − (dx b 1 ) 2 − (dx b 2 ) 2 − (dx b 3 ) 2 (1.161)

Vierbein, hay tetrad, là một tập hợp các vectơ cơ sở tại mỗi điểm của không-thời gian, cho phép liên hệ giữa toạ độ của không-thời gian cong và khung Lorentz cục bộ Các vectơ e^a_mu cho phép viết metric bằng g_mu_nu = η_ab e^a_mu e^b_nu, giúp mô tả cấu trúc hình học và các tương tác trong các lý thuyết trường trên nền cong Việc dùng Vierbein giúp xác định spin và động lượng ở khung tham chiếu cục bộ và là công cụ thiết yếu trong lượng tử hóa trường trên không-thời gian cong Các tham số của hệ Vierbein có thể được lựa chọn để tối giản các biểu thức và cải thiện tính toán cũng như tối ưu hoá SEO cho bài viết về vật lý trường và hình học lượng tử.

B (x, t)dr; dx b 2 = rdθ; dx b 3 = r sin θdφ (1.162)

Vẳ dx b a = e b a à (x)dx à (ð Ơy ta thảm kẵ hiằu mụ v o ch¿ số Vierbein nhơm liằt kả) nản ta cõ e b a à (x) =

Theo (1.130) ta thĐy ma trên e b a à (x) v ma trên e b a à (x) l nghàch Êo cừa nhau. Vêy e à b a (x) =

Trong bài viết này, các Vierbein (tetrad) được dùng để liên hệ giữa hệ tọa độ và metric g_{μν} trên không gian-thời gian Các công thức (1.163) và (1.164) cho thấy các Vierbein được bố trí tại các điểm tọa độ khác nhau sao cho phù hợp với metric g_{μν} ở cùng điểm, và chúng ta có thể xác định các Vierbein từ metric hoặc ngược lại để liên hệ với hệ quy chiếu Nhờ đó, việc chuyển đổi giữa các hệ tọa độ và phân tích các trường vật lý trong không gian-thời gian trở nên nhất quán.

CĂc (ựng vợi cĂc g àν (x) cừa tồa ở ã-CĂc) theo hẳnh thực nhữ sau.

+ Tồa ở ban Ưu (tồa ở cƯu) ds 2 = g àν (x)dx à dx ν = η ab b dx b a dx b b , (1.165) vợi dx b a = e b a à (x)dx à , (1.166) v g àν (x) = η ab b e b a à (x)e b b ν (x) (1.167) + Tồa ở mợi (tồa ở ã-CĂc) ds 2 = g àν ′ (x ′ )dx ′à dx ′ν = η ab b dx ′ b a dx ′b , (1.168) vợi dx ′ b a = e ′ b a à (x ′ )dx ′à , (1.169) v g àν ′ (x ′ ) = η ab b e ′ b a à (x ′ )e ′ b b ν (x ′ ) (1.170)

( e b a à (x) l cĂc vector nản dx b a l cĂc vổ hữợng, tực l dx b a = dx ′ b a ) Vẳ g àν ′ (x ′ ) =

∂x ν e ν b a (x) (1.171) iãu n y l hiºn nhiản vẳ e b a à (x) l cĂc vector Tứ (1.171) kát hủp vợi (1.164) ỗng thới chú ỵ x ′0 = x 0 ; x ′1 = r sin θ cos φ; x ′2 = r sin θ sin φ; x ′3 = r cos θ (1.172) l ta cõ thº thu ữủc cĂc Vierbein e ′ à b a

Ôo h m hiằp bián mð rởng

Vẳ Lagrangian khổng nhỳng bĐt bián vợi ph²p bián ời (1.152) m cỏn bĐt bián vợi ph²p bián ời dÔng (1.153) nản chúng ta cõ thº mð rởng ành nghắa Ôo h m hiằp bián ữủc ành nghắa nhữ sau [50]: Ôo h m hiằp bián mð rởng

D à bơng Ôo h m hiằp bián ∇ à cởng thảm vợi cĂc lữủng mð rởng liản quan án ch¿ số Vierbein bơng cĂc Ôi lữủng liản kát ω à b a (x) V tứ õ ta thĐy Ôo h m hiằp bián mð rởng D à s³ bơng Ôo h m thữớng ∂ à cởng thảm vợi cĂc lữủng liản quan án ch¿ số Lorentz à bơng liản kát Γ λ àν (x) v cĂc lữủng liản quan án ch¿ số Vierbein a bơng liản kát ω à b a (x) (ngữới ta gồi liản kát n y vợi tản l liản kát spin) Mởt số vẵ dử nhữ sau [50]:

Tực l A a l vổ hữợng vợi ∇ à , những lÔi l vector vợi D à Tứ (1.173) v (1.174) ta cõ tẵnh chĐt ω àab = −ω àba , (1.175) trong õ ω àab = η ac ω à b c

D à φ = ∇ à φ = ∂ à φ (1.176) Tực l φ l vổ hữợng vợi cÊ ∇ à lăn D à

D à A aν = ∇ à A aν − ω à a b A bν = ∂ à A aν − Γ λ àν A aν − ω à a b A bν (1.179) Vẵ dử 4, vẳ khổng cõ ch¿ số Vierbein nản

Vẵ dử 6, nhữ Â nõi ð (1.158) v (1.159), Ôi lữủng η ab cụng õng vai trỏ nhữ l mởt tensor nản

D à η ab = ∂ à η ab + ω à c a η cb + ω à c b η ac = ω à c a η cb + ω à c b η ac = 0 (1.183)

Cụng nhữ Ôo h m hiằp bián, ta ạ d ng chựng minh ữủc Ôo h m hiằp bián mð rởng cụng tuƠn theo tẵch Liebniz (dĐu l hộn hủp bĐt kẳ ch¿ số

Trong hình học vi phân với hệ tetrad, tính tương thích của phép nối với metric được thể hiện qua điều kiện ∇_λ g_{μν} = 0 Với g_{μν} = η_{ab} e^a_μ e^b_ν, ta có D_λ g_{μν} = D_λ (η_{ab} e^a_μ e^b_ν) = η_{ab} (∇_λ e^a_μ) e^b_ν + η_{ab} e^a_μ (∇_λ e^b_ν) = ∇_λ (η_{ab} e^a_μ e^b_ν) = ∇_λ g_{μν} Do η_{ab} là hằng số và các e^a_μ biến đổi theo phép nối với ω như trong các công thức (1.152) và (1.153), ta có ∇_λ g_{μν} = 0, tức là metric được bảo toàn dưới kết nối Tóm lại, các điều kiện về vector hoặc tensor trong hệ tetrad và các biến đổi Lorentz được biểu diễn đúng đắn bởi các công thức (1.152) và (1.153) theo quy tắc [50].

Tứ (1.173) v (1.186) ta dạ d ng chựng minh ữủc liản kát ω à b a bián ời theo ành luêt [50] ω à ′ a b (x ′ ) = ∂x ν

Thêt vêy, bián ời cÊ hai vá (1.186) ta ữủc

Trong phân tích biến đổi Lorentz, các trường gauge và kết nối Lorentz biến đổi theo một ma trận Lorentz Λ(x) Cụ thể, trường A'_a(x) được liên hệ với A_b(x) qua A'_a(x) = Λ_a^b(x) A_b(x), cho thấy cách trường vector biến đổi dưới Lorentz Trong phép biến đổi Lorentz, ω'_ab(x) nhận thêm các thành phần từ δε_ca và δε_cb và đạo hàm, được biểu diễn bằng ω'_ab(x) = ω_ab(x) + ω_cb(x)δε_ca − ω_ca(x)δε_cb − ∂_εab, làm rõ cách các trường và liên kết biến đổi đồng thời dưới Lorentz để bảo toàn tính covariance của lý thuyết.

BƠy giớ ta i tẳm biºu thực cừa cĂc liản kát ω à b a (x) bơng iãu kiằn l , Ôo h m hiằp bián mð rởng cừa cĂc Vierbein phÊi triằt tiảu Tực l °t iãu kiằn [50]

Ta dạ thĐy tẵnh chĐt (1.175) ữủc thọa mÂn.

Vẳ Ôo h m hiằp bián mð rởng cụng l mởt vector nản biºu diạn Vierbein cừa nõ văn nhữ mồi vector khĂc, õ l

Phữỡng trẳnh tờng quĂt cừa lỵ thuyát trữớng trong khổng-thới

1.6.5.1 A Phữỡng trẳnh tờng quĂt cừa lỵ thuyát trữớng trong khổng-thới gian cong trong hẳnh thực luên metric

X²t Lagrangian cừa cÊ hằ trữớng hĐp dăn v trữớng vêt chĐt l L =

Trong bài viết này, tổng Lagrangian được trình bày dưới dạng L = L_G + L_M (được đánh số là (1.196)), trong đó L_G mô tả các trường gauge và L_M là các trường vật chất Các hàm trạng thái ψ_n(x) đại diện cho các trạng thái riêng của hệ hạt và cho biết cách các thành phần của vật chất xuất hiện và tương tác Theo các giả thiết cơ bản được đề xuất, các trường gauge Γ_α có thể tương tác với các trường vật chất thông qua các thành phần xuất hiện trong (1.196), cho thấy sự liên hệ giữa động lực học của các hạt và cấu trúc của trường nền, và minh hoạ cách các nghiệm của hệ thống phản ánh sự liên thông giữa các trường.

Để phân tích biến thiên theo các metric của không-thời gian, bài viết xem xét sự biến thiên của hành động và mở rộng trường theo các mode bằng các hàm sóng ψ_n(x) Dựa theo tiểu luận 1 của Nghiên cứu Sinh, biến phân theo các metric g cho phép ta xác định δS và sự đóng góp của các hàm ψ_n(x) vào biến thiên Việc lấy biến phân (1.197) theo các hàm ψ_n(x) cho thấy mối liên hệ giữa cấu trúc không-thời gian cong và động học của trường lượng tử, đồng thời là cơ sở cho các phân tích hành động trong hệ thống có không-thời gian cong.

Sau khi sử dụng định lý Stokes để liên hệ tích trên một bề mặt với đường viền, ta nhận thấy điều kiện biên δψ_n = 0 làm cho phần đóng góp ở biên bị triệt tiêu Vì vậy, δS được xác định bằng 1 Ví dụ này cho thấy cách áp dụng định lý Stokes để rút gọn các tích phân liên quan đến biến ψ và nhấn mạnh ảnh hưởng của điều kiện biên lên giá trị của δS.

#) δψ n d D x (1.199) p dửng nguyản lỵ tĂc dửng tối thiºu δS = 0 , suy ra

Cõ thº bián ời phữỡng trẳnh (1.200) tiáp nhữ sau : Vẳ g khổng phử thuởc tữớng minh v o ψ n do â p |g| ∂L

M°t khĂc (xem tiºu luên 1 cừa Nghiản Cựu Sinh)

∂ ∂ψ ∂x α n g λσ ∂ α g λσ = 0 (1.203) Náu biºu diạn Γ σ σα theo cĂc metric thẳ Γ σ σα = 1

∂ ∂ψ ∂x α n Γ β βα = 0 (1.205)Phữỡng trẳnh (1.205) (hay (1.203), (1.201) v (1.200)) l phữỡng trẳnh tờng quĂt cừa mởt trữớng vêt lỵ bĐt kẳ trong khổng-thới gian cong, nõ khĂc vợi phữỡng trẳnh trong khổng-thới gian ph¯ng ð số hÔng cuối Tứ phữỡng trẳnh n y ta cõ thº tẳm ữủc tĐt cÊ cĂc phữỡng trẳnh cừa cĂc trữớng vêt lỵ õ chẵnh l phữỡng trẳnh tờng quĂt cừa lỵ thuyát trữớng trong khổng-thới gian cong.

Chúng ta chú ỵ rơng cĂc phữỡng trẳnh (1.200), (1.201) hay (1.203) úng cho mởt lỵ thuyát hĐp dăn-mð rởng bĐt kẳ, bao gỗm cÊ lỵ thuyát vợi ở xoưn. Cỏn phữỡng trẳnh (1.205) ch¿ ữủc dũng cho nhỳng lỵ thuyát hĐp dăn-mð rởng khổng cõ xoưn, iãu n y l do ta  sỷ dửng (1.204), mởt cổng thực ch¿ úng khi lỵ thuyát khổng cõ ở xoưn.

1.6.5.2 B Phữỡng trẳnh tờng quĂt cừa lỵ thuyát trữớng trong khổng-thới gian cong trong hẳnh thực luên Vierbein ối vợi Ôo h m hiằp bián mð rởng D à , tĂc dửng S chữa chưc  bĐt bián giỳa hẳnh thực luên vierbein vợi hẳnh thực luên metric Vẳ vêy, º ữủc tờng quĂt, trong (1.151) ta văn phƠn biằt tĂc dửng bði dĐu mụ, tực trong hẳnh thực luên vierbein tĂc dửng cõ dÔng

Trong bài viết này, ta xem xét tác động của trường điện từ và cách nó biến đổi khi chuyển giữa các hệ tham chiếu khác nhau nhờ biến đổi Lorentz Ta bắt đầu từ hành động S của trường điện từ (ví dụ S = -1/4 ∫ d^4x FμνF^{μν}) và phân tích cách các đại lượng E, B và ma trận trường Fμν biến đổi dưới các phép biến đổi Lorentz Chúng ta chỉ ra rằng hành động và các phương trình chuyển động vẫn giữ nguyên tính khách quan khi xem từ các hệ tham chiếu khác, nhờ tính tương thích của mô hình với thuyết tương đối đặc biệt Từ đó rút ra các công thức biến đổi cho trường điện từ và thiết lập mối liên hệ giữa hệ tham chiếu ban đầu và hệ tham chiếu mới, đồng thời nhấn mạnh sự nhất quán Lorentz trong việc mô tả sự lan truyền của sóng và tương tác điện từ Kết luận là hành động S và các phương trình tương ứng vẫn bảo toàn dưới biến đổi Lorentz, tạo nền tảng cho phân tích mô hình trường điện từ ở nhiều hệ quan sát khác nhau.

Trong hẳnh thực luên vierbein số hÔng tẵch phƠn m°t ð giỳa khổng triằt tiảu nản ta bián ời nhữ sau (ð Ơy ta  sỷ dửng d D x b = |e(x)|d

D x nhữ Â nõi bản dữợi cổng thực (1.150), v chú ỵ ∂ b = e b à (x)∂ à cỏn e = det(e a à ) ) δ S b =

Số hÔng cuối sau khi ữa vã tẵch phƠn m°t s³ triằt tiảu Vêy phữỡng trẳnh cừa lỵ thuyát trữớng trong hẳnh thực luên vierbein cõ dÔng

Cụng nhữ metric g àν , ta cụng chựng minh ữủc cho vierbein cổng thực (xem tiºu luên 1 cừa Nghiản Cựu Sinh)

2 g λν ∂ à g λν (x), (1.214) v tõm lÔi tĐt cÊ cĂc phữỡng trẳnh trản cõ thº viát dữợi dÔng

2 e b à (x)g λν ∂ à g λν (1.219) Náu sỷ dửng (1.204) ta cỏn cõ

Trong bài viết này, các phương trình (1.216), (1.217), (1.218) và (1.219) được trình bày để làm rõ các khái niệm cốt lõi của lý thuyết liên quan và chỉ ra cách chúng liên kết với các mô hình thực nghiệm Phương trình (1.220) cho thấy điều kiện cần thiết khi lý thuyết không có ở dạng chuẩn và gợi ý các giới hạn của hệ thống Nhờ các công thức này, ta có thể phân tích cấu trúc của hệ, xác định các quan hệ giữa các biến và nhấn mạnh vai trò của điều kiện ∇αβ = 0 trong việc đảm bảo đồng nhất và nhất quán của mô hình.

Trữớng Spinor trong khổng-thới gian cong

º thĐy ữủc sỹ hỳu ẵch cừa hẳnh thực luên Vierbein, mửc n y giợi thiằu vã trữớng Spinor trong khổng-thới gian cong nhữ mởt vẵ dử.

Trong không-thời gian phẳng, các ma trận gamma γ_a thỏa mãn anti-commutation {γ_a, γ_b} = 2 η_ab, eta_ab là ma trận metric Minkowski, và các bình phương lần lượt là γ_0^2 = 1, γ_i^2 = −1 Các tính chất Hermiticity được ghi nhận bằng H† = H, γ_0† = γ_0, γ_i† = −γ_i và γ_b† = γ_0 γ_b γ_0 Chúng ta cũng có γ^b = η^{bc} γ_c Khi làm việc trong không-thời gian cong, ta thay γ^a bằng γ^a(x) và γ_ν bằng γ_ν(x), sao cho γ^a(x) γ_ν(x) + γ_ν(x) γ^a(x) = 2 g^{a}{}_ν(x); tương ứng với công thức chuẩn { γ^μ(x), γ^ν(x) } = 2 g^{μν}(x) nếu γ^μ(x) được định bởi γ^μ(x) = e^\mu_a(x) γ^a.

Tực l cĂc phƯn tỷ cừa cĂc ma trên Dirac núc n y khổng cỏn l cĂc hơng số nỳa Chúng ta dạ d ng thỷ lÔi º thĐy rơng (t i liằu [50] trang 145) γ à (x) = e b à (x)γ b (1.224) thọa mÂn (1.223) Náu coi e b à (x) l thỹc thẳ tứ (1.224) ta dạ d ng văn cõ tẵnh ch§t γ à† (x) = γ 0 γ à (x)γ 0 , (1.225) ð Ơy l γ 0 chự khổng phÊi γ 0 (x) Trong khổng thới-gian cong ta phÊi dũng γ à (x) = g àν (x)γ ν (x) (1.226)

Lagrangian cừa trữớng Spinor trong khổng-thới gian cong cõ ữủc tứ khổng- thới gian ph¯ng bơng cĂch thay γ à bði γ à (x) v thay Ôo h m thữớng ∂ à bơng Ôo h m hiằp bián ∇ à Nhữ chúng ta biát Lagrangian cừa trữớng Spinor trong khổng-thới gian ph¯ng cõ 2 dÔng tữỡng ữỡng nhau, viát chúng trong khổng-thới gian cong lƯn lữủt l

Trong bai toan Dirac, ta xet Lagrangian co phan dong luc voi cac ma tran gamma va dao ham, voi adjoint spinor duoc dinh nghia la psi-bar = psi† epsilon Voi epsilon la ma tran Hermitian nen psi† epsilon psi la mot ham Hermitian, nen Lagrangian duoc dam bao la thuc va Hermitian, tinh chat nay duoc noi thanh (psi† epsilon psi)† = psi† epsilon psi Tu do ta nhan rang epsilon co lien he voi gamma0, nghia la psi-bar = psi† gamma0 Vi vay gamma0 dong vai tro chu yeu trong viec xay dung adjoint va dam bao tinh thuc cua Lagrangian cung nhu cac dai luong lien quan Xem tai lieu [50] trang

Chúng ta  biát Ôo h m hiằp bián cừa mởt vổ hữợng, vector, tensor BƠy giớ chúng ta s³ i tẳm Ôo h m hiằp bián cừa mởt Spinor, °t (t i liằu [50] trang 144)

∇ à ψ = ∂ à ψ − Γ à (x)ψ, (1.230) ð Ơy Γ à (x) l mởt ma trên chúng ta cƯn tẳm Tiáp theo chúng ta °t ∇ à ψ =

∂ à ψ − ψC à (x), m°t khĂc ψψ l mởt vổ hữợng nản phÊi cõ ∇ à (ψψ) = ∂ à (ψψ) =

∇ à ψψ + ψ∇ à ψ Tứ Ơy ta cõ C à (x) = −Γ à (x) , vêy

∇ à ψ = ∂ à ψ + ψΓ à (x) (1.231) Lagrangian tữỡng tĂc cừa trữớng Spinor v trữớng iằn tứ l

L int = q e ψγ à (x)ψA à , (1.232) º Ôi lữủng n y l mởt vổ hữợng thẳ ψγ à (x)ψ phÊi l mởt vector Tực l

Tứ Ơy suy ra ψ Γ ν (x)γ à (x) − γ à (x)Γ ν (x) ψ = 0, (1.234) ta câ thº l§y Γ ν (x)γ à (x) − γ à (x)Γ ν (x) = 0 (1.235)

Sỷ dửng (1.224) ta cõ e a à (x)[Γ ν (x)γ a − γ a Γ ν (x)] = 0, (1.236) nhƠn 2 vá vợi e b à (x) , suy ra Γ ν (x)γ b − γ b Γ ν (x) = 0 (1.237)

Phữỡng trẳnh (1.205) cho trữớng Spinor l

Náu sỷ dửng Lagrangian (1.227) thẳ (1.238) v (1.239) lƯn lữủt l i∂ à [ψγ à (x)] + iψγ à (x)Γ à (x) + mψ + iψγ à (x)Γ ν νà = 0, (1.240) v iγ à (x)∂ à ψ − iγ à (x)Γ à (x)ψ − mψ = 0 (1.241) Phữỡng trẳnh (1.241) cõ thº viát lÔi dữợi dÔng iγ à (x)∇ à ψ − mψ = 0 (1.242)

So sĂnh (1.240) vợi (1.241) (chú ỵ án (1.225)) ta cõ

Náu sỷ dửng Lagrangian (1.228) thẳ (1.238) v (1.239) lƯn lữủt l i∂ à ψγ à (x) + mψ + i

So sĂnh (1.245) vợi (1.246) (chú ỵ án (1.225)) ta cõ γ à (x)Γ à (x) + Γ à (x)γ à (x) = −γ à (x)γ 0 Γ † à (x)γ 0 − γ 0 Γ † à (x)γ 0 γ à (x) (1.247) Náu °t iãu kiằn (1.246) phÊi cõ dÔng iγ à (x)∇ à ψ − mψ = 0 thẳ ta cõ Γ à (x)γ à (x) − γ à (x)Γ à (x) = ∂ à γ à (x) + Γ ν νà γ à (x) = ∇ à γ à (x), (1.248) kát hủp vợi (1.235) ta cõ

∇ à γ à (x) = 0, (1.249) kát hủp vợi (1.224) suy ra γ b ∇ à e b à (x) = 0 (1.250)

Náu kát hủp (1.249) v (1.244) thẳ ta cõ γ à (x)Γ à (x) = −γ 0 Γ † à (x)γ 0 γ à (x) (1.251)

Với sự dụng (1.247), ta có Γ^a(x) γ_a(x) = − γ^a(x) γ^0 Γ†(x) γ^0 Từ (1.235) ta thấy γ^0 Γ†(x) γ^0 γ^a(x) = γ^a(x) γ^0 Γ†(x) γ^0 Những quan hệ này làm nền tảng cho phép viết và biến đổi spinor, liên hệ giữa spinor và các ma trận gamma thông qua adjoint spinor khi làm việc trong khung Vierbein Để mô tả spinor một cách nhất quán trong trường hợp không-thời gian cong, cách trình bày chuẩn là diễn tả spinor và các đại lượng liên quan trong hệ Vierbein.

1.6.6.2 B Hẳnh thực luên Vierbein cừa trữớng Spinor trong khổng-thới gian cong

Trong hẳnh thực luên n y cĂc Lagrangian (1.227) v (1.228) lƯn lữủt l

Trong mô hình trường Dirac trên không-thời gian cong, ta sử dụng hệ Vierbein để liên kết giữa khung Minkowski và thực tại không-thời gian tại mỗi điểm Vierbein e^a_μ cho phép γ^μ(x) = e^μ_a(x) γ^a, do đó các ma trận gamma ở không-thời gian cong được xác định từ γ^a và khung địa phương Spinor trong khung Vierbein được ký hiệu Ψ, và γ^b biểu diễn các ma trận gamma trong khung Lorentz tại điểm x; chúng biến đổi theo hằng thực của khung (1.221) Lagrangian Dirac trong hình Vierbein có thể viết dưới dạng 2 [ Ψ̄ γ^b D_b Ψ − D_b Ψ̄ γ^b Ψ ] − m Ψ̄ Ψ, với D_b là đạo hàm kết nối spinor bao gồm ω_b^{cd}, cho phép xác định động lực của trường spinor trong không-thời gian cong.

D à l cĂc Ôo h m hiằp bián mð rởng, cỏn D b = e b à D à l biºu diạn Vierbein cừa nâ L m t÷ìng tü nh÷ (1.229) ta công câ Ψ = Ψ † γ 0 (1.256) °t (t i liằu tham khÊo [50] trang 225)

Định nghĩa covariant derivative cho spinor Ψ là D_a Ψ = ∂_a Ψ + B_a(x) Ψ (1.257) Điều này cho thấy D_a Ψ bao gồm hai thành phần: phần đạo hàm riêng ∂_a Ψ và phần tương tác với trường kết nối B_a(x) thông qua Ψ, phản ánh ảnh hưởng của nền hình học hoặc gauge lên spinor Do đó, ta phải phân biệt giữa D_a và ∇_a; D_a Ψ không thể được xem như bằng ∂_a(ΨΨ), vì hai đại lượng này thực hiện các phép biến đổi khác nhau trên spinor Các phương trình liên quan đến spinor trong hình thức Vierbein được diễn đạt bằng cách dùng kết nối spinor và hệ khung tetrad, như trình bày trong (1.215) và các công thức liên quan như (1.231), từ đó xây dựng dạng biểu diễn của spinor trong không gian cong.

Thay (1.254) v o (1.259) ta cõ phữỡng trẳnh cừa trữớng Spinor trong khổng-thới gian cong trong hẳnh thực luên Vierbein l (t i liằu tham khÊo [50] trang 227)

[iγ b D b − m]Ψ = 0 (1.260) Cụng dạ thĐy nõ cõ thº viát dữợi cĂc dÔng

[iγ^a(x) D_a − m]Ψ = 0 Tiếp theo từ phương trình Dirac này, ta thực hiện biến đổi spinor theo phép biến đổi Lorentz cục bộ; Ψ′(x) = S(Λ(x)) Ψ(x), trong đó S(Λ(x)) là biểu diễn của các phép biến đổi Lorentz đối với spinor, được xác định bởi các công thức (1.153)–(1.157) và tham khảo từ tài liệu [50], trang 224.

Với phép biến đổi Lorentz được viết dưới dạng Λ_ab(x) = δ_ab + δε_ab(x), δε_ab là sai số nhỏ và thỏa δε_ab = −δε_ba nên δε_ab là một tensor antisymmetric; δε_ab = η_ac δε_cb cho thấy cách hạ chỉ số bằng metric Nhờ các tính chất này, δε_ab có 6 thành phần độc lập, do đó Λ(x) có 6 tham số để mô tả các biến đổi Lorentz cỡ nhỏ Các tham số này đại diện cho 3 tham số cho các phép tăng tốc (boost) và 3 tham số cho các phép quay (xoay) trong nhóm Lorentz, phản ánh cấu trúc của không-thời gian dưới biến đổi Lorentz.

S(Λ(x)) = 1 + iδϵ ab Σ ab (1.268) é Ơy Σ ab l cĂc ma trên khổng phử thuởc v o x Vợi tẵnh phÊn ối xựng Σ ab = −Σ ba (1.269)

2 (η ac Σ bd − η ad Σ bc − η bc Σ ad + η bd Σ ac ) (1.270)

BƠy giớ °t iãu kiằn l , trong ph²p bián ời Lorentz ành xự, Ôi lữủng D à Ψ cụng tuƠn theo quy luêt (1.263), tực l

B à ′ (x) = S(Λ(x))B à (x)S −1 (Λ(x)) − ∂ à S(Λ(x))S −1 (Λ(x)) (1.273) Vợi ph²p bián ời cỹc vi (1.268) ta cõ

B à ′ (x) = B à (x) + iδϵ ab [Σ ab , B à (x)] − i∂ à δϵ ab Σ ab (1.274) BƠy giớ giÊ sỷ ta cõ thº °t B à (x) dữợi dÔng (t i liằu tham khÊo [50] trang 225)

B à (x) = B à ab (x)Σ ab , (1.275) ð Ơy B à ab (x) phÊn ối xựng theo a, b Thay (1.275) v o (1.274) ỗng thới chú ỵ (1.270) ta câ

B à ′ ab (x) = B à ab (x) + B à c b (x)δϵ ca − B à c a (x)δϵ cb − i∂ à δϵ ab , (1.276) trong õ cĂc ph²p nƠng hÔ ch¿ số a, b, c, d ữủc thỹc hiằn bði cĂc η ab So sĂnh (1.276) vợi (1.192) ta cõ thº lĐy

B à ab (x) = iω à ab (x) (1.277) Trong ph²p bián ời Lorentz ành xự e

Chú ỵ D a ′ = e a ′ àD à , tứ Ơy kát hủp (1.278) vợi (1.271) ta cõ trong ph²p bián êi Lorentz ành xù

Đẳng thức (1.279) cho thấy biến đổi của trường Dirac và đạo hàm dưới phép biến đổi Lorentz: D_a′ Ψ′(x) = S(Λ(x)) Λ_a^b(x) D_b Ψ(x) Khi so sánh với biểu thức biến đổi của ψ′(x′) = S(Λ) ψ(x) và ∂_a′ ψ′(x′) = S(Λ) Λ_a^b ∂_b ψ(x) trong không-thời gian phẳng, ta thấy sự nhất quán của các thành phần biến đổi: S(Λ) và Λ_a^b điều chỉnh đúng cách để giữ nguyên hình thức của phương trình Dirac dưới Lorentz Do đó, mối liên hệ giữa các đại lượng biến đổi Lorentz và cấu trúc của hệ phương trình đảm bảo invariance của phương trình Dirac với mọi hệ tọa độ, phản ánh tính liên kết giữa spinor và đối xứng Lorentz trong không-thời gian phẳng.

Tứ Ơy kát hủp (1.279) ta thĐy º Lagrangian (1.254) bĐt bián vợi ph²p bián ời Lorentz ành xự thẳ ta phÊi cõ hai iãu kiằn sau Ψ ′ (x) = Ψ(x)S −1 (Λ(x)), (1.280) v

Trong hệ quy chiếu tứ động và biến đổi Lorentz, ta xem xét cách các đại lượng biến đổi được ràng buộc bởi các công thức (1.266) và (1.268) Theo (1.281), ta có sự liên hệ δε^{ab} γ_b + i δε^{cd} [Σ_cd, γ_a] = 0; để thỏa mãn điều kiện này, ta có thể chọn Σ_cd = −i như một giải pháp, được ghi nhận trong (1.282).

Tứ Ơy ta cụng dạ thĐy Σ cd† = γ 0 Σ cd γ 0 v do õ tẵnh chĐt (1.280) ữủc thọa mÂn.

V cuối cũng tứ (1.257), (1.275), (1.277) v (1.283) ta cõ (t i liằu tham kh£o [50] trang 228)

8 ω à ab [γ a , γ b ]Ψ (1.284) Nhữ vêy cĂch ỡn giÊn nhĐt º miảu tÊ cĂc trữớng vêt lỵ trong khổng-thới gian cong l viát chúng trong hẳnh thực luên Vierbein Sỹ ỡn giÊn cừa hẳnh thực n y cỏn thĐy ró hỡn khi miảu tÊ tữỡng tĂc giỳa cĂc trữớng vợi nhau.

Khổng-thới gian a chiãu: Lỵ thuyát Kaluza-Klein, mởt sỹ thống nhĐt cừa trữớng hĐp dăn v trữớng iằn tứ

Klein, mởt sỹ thống nhĐt cừa trữớng hĐp dăn v trữớng iằn tứ

Trong lịch sử lý thuyết về sự thống nhất các lực tự nhiên, ý tưởng về một không-thời gian năm chiều đã mở ra cách nhìn mới về trọng lực và điện từ Theodor Kaluza (1921) đề xuất một mô hình năm chiều, trong đó các thành phần của metric năm chiều đồng thời mô tả trọng lực và trường điện từ, cho thấy điện từ có thể xem như một phần của hình học không-thời gian Đến năm 1926, Oskar Klein bổ sung bằng cách cho rằng chiều thứ năm bị cuộn lại thành một vòng nhỏ và giải thích tại sao chúng ta không quan sát được chiều này và vì sao điện tích lại được định lượng Lý thuyết Kaluza–Klein sau đó trở thành khuôn khổ cơ sở để mở rộng sang các mô hình nhiều chiều hơn và ảnh hưởng tới các hướng nghiên cứu về vật lý hạt và thuyết dây trong các thập kỷ sau Bước tiến này cho thấy tiềm năng liên kết các trường bằng hình học của không-thời gian và đặt nền móng cho khái niệm về các chiều bổ sung trong các lý thuyết hiện đại.

CĂc Ôi lữủng trong khổng-thới gian 5 chiãu chúng ta thảm dĐu gÔch trản ¦u C¡c tensor metric l g AB =

, (1.285) vợi cĂc ch¿ số A, B = 0, 1, 2, 3, 4 cỏn à, ν = 0, 1, 2, 3 v cĐp cừa cĂc hởp ma trên l g àν = (4 ì 4) g à4 = (4 ì 1) g 4ν = (1 × 4) g 44 = (1 × 1)

Trong bài viết, tensor metric g_AB được coi là đối xứng và có 15 thành phần độc lập khi làm việc với không gian năm chiều Người ta trình bày cách diễn giải lại 15 thành phần này thành khung gồm các thành phần g_{μν} (4D), các thành phần g_{4μ} và g_{μ4} ở chiều thứ năm, và thành phần g_{44} ở chiều thứ năm Các quan hệ giữa các thành phần được cho bởi các công thức (1.286)–(1.289), cho thấy mọi phần tử của g_AB có thể được xác định từ trường φ và vector φ_A thông qua hệ số k, cụ thể g_{μν} = g_{νμ} + k^2 φ_A φ^A_ν, g_{4μ} = k φ_A{}_μ, g_{μ4} = k φ_A{}_μ, và g_{44} = φ Như vậy, toàn bộ g_AB được biểu diễn từ các trường động lực φ và φ_A.

Trong bài toán này, ta dùng phương pháp ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính, với k là một tham số và AB là tích của hai ma trận liên quan Ta xây dựng hệ phương trình thành một ma trận đại diện và tiến hành biến đổi bằng các phép biến đổi hàng và cột, đưa về dạng bậc thang hoặc dạng chuẩn để tìm nghiệm một cách hệ thống Qua phân tích cấu trúc ma trận, chúng ta xác định điều kiện tồn tại nghiệm và tính đồng nhất của nghiệm khi các tham số thay đổi Các bước chính gồm biểu diễn hệ bằng ma trận, chuẩn hóa, rút gọn và áp dụng các định lý về hạng ma trận, trị riêng vàvector riêng Bài viết cho thấy rõ mối liên hệ giữa các biến, sự phụ thuộc của nghiệm vào tham số k và cách giải quyết nhanh chóng bằng các phương pháp ma trận; đây là một tham khảo hữu ích cho người làm quen và áp dụng trong các giáo trình và bài tập thực tiễn.

Chúng ta kẵ hiằu cĂc Ôi lữủng Γ C AB = 1

R AB = ∂ B Γ C AC − ∂ C Γ C AB + Γ C DB Γ D AC − Γ C DC Γ D AB , (1.295) cỏn cĂc Ôi lữủng Γ α àν = 1

□ = ∇ α ∇ α , (1.302) trong õ ∇ α l Ôo h m hiằp bián trong khổng-thới gian thổng thữớng Tứ Ơy ta tẵnh ữủc cĂc Ôi lữủng nhữ sau: Γ α àν = 1

R AB =∂ B Γ C AC − ∂ C Γ C AB + Γ C DB Γ D AC − Γ C DC Γ D AB (1.309)

− Γ σ ρσ Γ ρ AB − Γ 4 ρ4 Γ ρ AB − Γ σ 4σ Γ 4 AB − Γ 4 44 Γ 4 AB , (1.310) náu bọ qua cĂc Ôo h m theo x 4 ta tẵnh ữủc cĂc tensor cong hÔng 2 nhữ sau [55],

Tứ Ơy ta tẵnh ữủc tensor Einstein trong khổng-thới gian 5 chiãu [55],

Tứ nguyản lỵ tĂc dửng tối thiºu ta cụng dạ tẵnh ữủc

Do õ ta cõ cĂc phữỡng trẳnh sau ϕR + 3

4ϕ 2 (∇ à ϕ∇ ν ϕ − g àν ∇ α ϕ∇ α ϕ) = 0 (1.322) Náu lĐy vát cừa phữỡng trẳnh cuối ta s³ ữủc

Hiºn nhiản ta cụng tẳm lÔi ữủc cĂc phữỡng trẳnh trản bơng phữỡng phĂp La- grangian nhữ sau Tứ (1.290) ta tẵnh ữủc g = ϕg (1.325)

Trong õ g v g l cĂc ành thực cừa cĂc ma trên lêp tứ cĂc Ôi lữủng  ch¿ ra.

Nhữ vêy tĂc dửng s³ l (chú ỵ án (1.314))

(1.328) Trong õ ∆y = R dx 4 (vợi tồa ở 5 chiãu x = (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ) Dạ thĐy

Trong bài viết này, chúng ta phân tích cách xử lý biến phần và tác động của chúng lên các hệ thống toán học và mô hình hóa số học Khi xét các phần thừa của hai số cuối trong một chuỗi, ta nhận thấy khả năng xuất hiện sai số nếu phần này bị tách ra mà không được quản lý đúng và điều kiện biên không được xác định kỹ lưỡng Vì vậy, việc kiểm soát các phần dư đồng thời áp dụng điều kiện biên một cách phù hợp sẽ giúp tăng độ chính xác và ổn định của kết quả Bài viết trình bày các phương pháp tối ưu hóa việc phân tách phần, ghép nối các thành phần liên quan và giảm thiểu ảnh hưởng của nhiễu trong quá trình tính toán.

|g|d 4 x (1.332) º tẳm cĂc phữỡng trẳnh chuyºn ởng cho tĂc dửng n y chúng ta °t f (R) = ϕ 1/2 R, (1.333)

Chúng ta phân tích một biểu thức có dạng 4φ^{3/2} ∇αφ ∇νφ và thực hiện biến thiên trong khung không-thời gian cong bằng cách dùng tensor metric g_{μν} để nâng và hạ các chỉ số Khi biến phần tác dụng (1.332) theo hàm φ (hoặc theo các dạng được ghi ở (1.205)) ta thu được biến thiên tương ứng của trường φ và liên hệ với biểu thức (1.320) Ngược lại, nếu biến phần tác dụng (1.332) theo các hàm A thì ta nhận diện các chú ý và kết quả liên quan theo các tham số được nêu ở (1.205).

∇ à F àν = ∂ à F àν + Γ à àα F αν + Γ ν àα F àα = ∂ à F àν + Γ à àα F αν , (1.340) chúng ta s³ thu ữủc phữỡng trẳnh trũng vợi (1.321).

Trong không-thời gian năm chiều, metric năm chiều chứa các thành phần phản ánh cả cấu trúc của không gian-thời gian 4D lẫn các hệ số ở chiều thứ năm Các phần này có thể được hiểu như sự hiện diện của trường hấp dẫn 4D (g_{μν}), trường điện từ (A_μ) và một trường scalar φ xuất hiện từ chiều bổ sung Khi thực hiện giảm xuống 4D bằng cách giảm kích thước của chiều thứ năm (compactification) hoặc projection lên 4D, ta thu được các trường vật lý quen thuộc: phương trình Einstein ở 4D cùng với các phương trình Maxwell mô tả trường điện từ và một trường scalar từ metric 5D Đây là ý tưởng cốt lõi của thuyết Kaluza-Klein về sự thống nhất giữa lực hấp dẫn và điện từ từ một không-thời gian năm chiều.

Nghiằm nhiạu loÔn cừa lỵ thuyát h§p d¨n- f (R) trong tr÷íng èi xùng cƯu v mởt số ựng dửng

Nghiằm chẵnh xĂc cừa lỵ thuyát hĐp dăn- f (R) trong trữớng ối xựng cƯu tắnh  ữủc rĐt nhiãu b i bĂo nghiản cựu khĂ Ưy ừ, những º tẳm nghiằm trong trữớng ối xựng cƯu khổng nhĐt thiát tắnh l rĐt khõ, trong hƯu hát cĂc trữớng hủp l khổng thº Trong chữỡng n y chúng tổi tẳm nghiằm cừa lỵ thuyát hĐp dăn- f (R) tờng quĂt trong trữớng ối xựng cƯu tờng quĂt (khổng nhĐt thiát tắnh, cho cÊ trong chƠn khổng v trong vêt chĐt) Sau õ s³ Ăp dửng cĂc kát quÊ cho mởt số trữớng hủp °c biằt Tiáp theo l Ăp dửng cĂc kát quÊ Ôt ữủc v o cĂc b i toĂn chuyºn ởng cừa cĂc h nh tinh v cừa tia sĂng trong mởt trữớng hĐp dăn trung tƠm Kát quÊ l thu ữủc mởt số hiằu ựng mợi so vợi lỵ thuyát cừa Einstein nh hữðng cừa lỵ thuyát hĐp dăn- f (R) cụng ữủc nghiản cựu cho hằ thống SgrA*S2, trữớng hĐp dăn trong hằ thống n y l mÔnh hỡn rĐt nhiãu so vợi trong hằ thống M°t trới-Sao thừy, do õ cĂc hiằu ựng s³ thº hiằn mÔnh hỡn v cõ khÊ nông o ữủc dạ d ng hỡn trong cĂc thẵ nghiằm tữỡng lai.

Lý thuyết tương đối tổng quát (GR) do Einstein công bố năm 1915 GR mô tả lực hấp dẫn như sự cong của không-thời gian do khối lượng và năng lượng gây ra, thay vì coi nó như một lực thuần túy Đến nay, GR được xác nhận rộng rãi nhờ nhiều bằng chứng từ thí nghiệm và quan sát, từ sự lệch quỹ đạo và đồng hồ chạy chậm trong trường trọng lực cho tới sự phát hiện và đo đạc sóng hấp dẫn từ các sự kiện thiên văn xa xôi.

2 Rg àν = − 8πG c 4 T àν , Ôt ữủc tứ Lagrangian L G = R Phữỡng trẳnh n y cõ thº miảu tÊ rĐt tốt cĂc hiằn tữủng xÊy ra ối vợi vêt thº thổng thữớng ð quy mổ nhọ nhữ trong hằ m°t trới Những nõ tọ ra khổng hiằu quÊ khi miảu tÊ mởt số hiằn tữủng khĂc, °c biằt l trong vụ trử nhữ l , sỹ giÊn nð tông tốc cừa vụ trử (ữủc cho l liản quan án nông lữủng tối), cĂc vĐn ã vã vêt chĐt tối, lÔm phĂt vụ trử, hĐp dăn lữủng tỷ, v.v Mởt trong nhỳng lỵ thuyát ữủc ã xuĐt ỡn giÊn nhĐt º giÊi quyát vĐn ã nông lữủng tối l thảm hơng số vụ trử Λ v o Lagrangian L G = R − 2Λ , khi õ phữỡng trẳnh chuyºn ởng l [56, 59]

Phữỡng trẳnh n y cho thĐy vụ trử ang giÂn nð tông tốc, tuy nhiản cụng cỏn nhiãu nhữủc iºm trong lỵ thuyát n y [60, 15, 19].

Mởt lỵ thuyát tờng quĂt hỡn 1 cõ thº giÊi quyát cĂc vĐn ã Â nảu ra vợi Lagrangian L G = f (R) , ð õ f(R) l mởt h m cừa tensor cong vổ hữợng R Phữỡng trẳnh chuyºn ởng cho trữớng hủp n y l [15, 19, 20] f ′ (R)R àν − g àν □ f ′ (R) + ∇ à ∇ ν f ′ (R) − 1

2 f (R)g àν = −kT àν , ð Ơy k = 8πG c 4 , □ = ∇ à ∇ à v ∇ à l Ôo h m hiằp bián Lỵ thuyát n y ữủc gồi l lỵ thuyát hĐp dăn- f(R) Ng y hổm nay, lỵ thuyát n y ang trð th nh vĐn ã thới sỹ hĐp dăn, thu hút nhiãu nh khoa hồc tham gia nghiản cựu v phĂt triºn

[15, 19, 20, 61, 62, 63, 64, 65, 66] Â cõ rĐt nhiãu mổ hẳnh ữủc ữa ra nhữ l f(R) = R + λR 2 hay f (R) = R − R λ n , v.v., mội mổ hẳnh cõ thº giÊi quyát ữủc mởt số vĐn ã n o õ, những chữa mổ hẳnh n o l ho n hÊo.

Nghiằm chẵnh xĂc cừa lỵ thuyát hĐp dăn- f (R) trong trữớng ối xựng cƯu tắnh  ữủc nghiản cựu [67, 68, 69, 70, 71, 72] ối vợi trữớng ối xựng cƯu khổng tắnh, nõ l rĐt khõ khôn º giÊi chẵnh xĂc nghiằm vẳ thá  cõ mởt số phữỡng phĂp gƯn úng [73, 74, 75] Trong chữỡng n y chúng tổi tẳm nghiằm cừa lỵ thuyát hĐp dăn- f (R) tờng quĂt, trong trữớng ối xựng cƯu tờng quĂt (khổng nhĐt thiát tắnh, cho cÊ chƠn khổng v trong vêt chĐt) bơng phữỡng phĂp nhiạu loÔn quanh giĂ trà cừa lỵ thuyát hĐp dăn Einstein Sau õ Ăp dửng cho mởt số mổ hẳnh f (R) cử thº Tiáp theo l Ăp dửng nhỳng nghiằm  Ôt ữủc v o mởt số b i toĂn cử thº nhữ l chuyºn ởng cừa cĂc h nh tinh, tia sĂng, hằ thống SgrA*S2 ð tƠm Thiản h cừa chúng ta (DÊi NgƠn H ) Kát quÊ cho thĐy cõ mởt số hiằu ựng mợi so vợi lỵ thyát hĐp dăn Einstein, nhỳng kát quÊ n y cƯn ữủc cĂc thẵ nghiằm kiºm tra trong tữỡng lai º Ănh giĂ tẵnh úng ưn cừa lỵ thuyát hĐp dăn- f (R)

1 Cụng cõ nhiãu mổ hẳnh mð rởng khĂc cõ thº xem trong [15, 19].

Nghiằm nhiạu loÔn cừa lỵ thuyát hĐp dăn- f (R) trong trữớng ối xùng c¦u

Nghiằm trong chƠn khổng

BƠy giớ chúng ta xem x²t trữớng hĐp dăn ữủc gƠy ra bði mởt nguỗn hĐp dăn cõ bĂn kẵnh R 0 , bĂn kẵnh n y cõ thº phử thuởc v o thới gian, R 0 = R 0 (t)

Do x²t cĂc nghiằm trong chƠn khổng nản chúng ta cõ thº bọ qua số hÔng Ăp suĐt Tực l cõ thº lĐy T ≈ T 0 0, khi õ phữỡng trẳnh (2.18) trð th nh v(r, t) = −ln 1 − 1 r Z r

, (2.23) vợi ∇ i ∇ E i h ′ (kT 0 0 )ữủc tẵnh bði (2.22) Tẵch phƠn Ưu tiản cừa (2.23) cõ thº tẵnh nh÷ sau Ta câ

R 0 (t) kT 0 0 (r ′ , t) r ′2 dr ′ , m°t khĂc T 0 0 = 0 trong chƠn khổng (tực l T 0 0 (r ′ , t) = 0 khi R 0 (t) < r ′ < r ), nản

4π , (2.24) vợi M l khối lữủng cừa nguỗn hĐp dăn Náu giÊ sỷ nguỗn hĐp dăn l ỗng nhĐt thẳ

3 π[R 0 (t)] 3 × ρ, (2.25) ð Ơy, ρ l mêt ở khối lữủng (do tẵnh ỗng nhĐt nản nõ ch¿ phử thuởc v o thới gian m khổng phử thuởc v o cĂc tồa ở khổng gian), v trong trữớng hủp n y

3 π[R 0 (t)] 3 (2.26) °t (2.24) v o trong (2.23) chúng ta thu ữủc v (r, t) = −ln 1 − kc 4πr 2 M + λ r Z r

Tiáp theo chúng ta tẳm u(r, t) cừa g 00 (r, t ) X²t phữỡng trẳnh (2.9) trong chƠn khổng, tứ phữỡng trẳnh (2.10) ta thĐy

2 R, (2.28) sỷ dửng metric (2.11), chúng ta cõ [4]

− 1 r 2 , (2.30) nhữ vêy u(r, t) = −v(r, t) Bði thá trong chƠn khổng, u(r, t) cõ dÔng u(r, t) =ln 1 − kc 4πr 2 M + λ r Z r

Tõm lÔi l , bưt Ưu tứ biºu diạn L G = f(R) = R + λh(R) v metric Schwarzschild, tứ (2.11), (2.27) v (2.31), chúng ta thĐy nghiằm nhiạu loÔn trong chƠn khổng l g 00 (r, t) =1 − kc 2 M

, (2.33) g 22 = −r 2 , (2.34) g 33 = −r 2 sin 2 θ, (2.35) vợi k = 8πG c 4 , T 0 0 = T 0 0 (r ′ , t), h ′ (kT 0 0 ) = ∂h(kT ∂(kT 0 0 0 )

0 ) v ∇ i ∇ E i h ′ (kT 0 0 ) ữủc tẵnh theo (2.22) Náu x²t ð khoÊng cĂch xa so vợi nguỗn hĐp dăn thẳ T 0 0 cõ thº coi nhữ ch¿ phử thuởc v o thới gian t (ð khoÊng cĂch xa, mêt ở khối lữủng cừa nguỗn hĐp dăn cõ thº xem nhữ ỗng nhĐt, tực l hai số hÔng cuối cừa (2.22) triằt tiảu (xem chi tiát hỡn ð phƯn phử lửc),

Thay thá (2.37) v o trong (2.32) (2.35) chúng ta thu ữủc nghiằm ð khoÊng cĂch xa so vợi nguỗn hĐp dăn l : g 00 (r, t) =1 − kc 2 M

, (2.41) g 22 = −r 2 , (2.42) g 33 = −r 2 sin 2 θ, (2.43) trong õ (2.26) ữủc sỷ dửng cho cÊ cĂc Ôi lữủng viát bản trong lăn bản ngo i tẵch phƠn, v h ′′ (kT 0 0 ) = ∂

Bài viết phân tích trường hấp dẫn f(R) với f(R) = R − 2λ và sự phụ thuộc của các thành phần h(kT00) và h′(kT00) lên cấu trúc nền cũng như phân rã nguồn theo thời gian; khi điều kiện h(kT00) + kT00 h′(kT00) = 0 thỏa mãn, các thành phần tham gia được tách riêng và cho các giải đặc trưng của hệ, còn khi h(kT00) + kT00 h′(kT00) khác 0 thì các thành phần này khác biệt và ảnh hưởng đến phân bố nguồn Trong ví dụ cụ thể với f(R) = R − 2λ, h(R) = −2 và h′(kT00) = 0 làm đơn giản hóa các công thức và cho phép xác định nghiệm trường g00(r, t); ở trường hợp tĩnh, nghiệm này có dạng 1 − kc^2 M / r, cho thấy sự nhất quán giữa nền hình học và nguồn vật chất trong khung f(R) gravity Các kết quả được minh chứng qua các công thức liên quan (ví dụ (2.40) và (2.43)) và có thể mở rộng cho các mô hình vật chất-hạ tầng cho vũ trụ học và vật lý lỗ đen.

Chúng ta nhận thấy có nhiều vấn đề liên quan đến mô hình f(R) trong khuôn khổ này và có thể xem xét các tham số Λ Với mô hình f(R) = R + λR^b, b > 0 (mô hình II), ý nghĩa của mô hình có thể tham khảo trong [15]; khi b = 2, nó tương ứng với mô hình Starobinsky [8] Trong khuôn khổ này ta có h(R) = R^b, h'(R) = bR^{b−1}, h''(R) = b(b−1)R^{b−2}; các công thức thực (2.40) (2.43) cho thấy g_{00} = 1 − k c^2 M.

Náu Ăp dửng (2.26) chúng ta cõ g 00 (r, t) = 1 − kc 2 [M − λM 1 (t) − λM 2 (t)]

M [R o (t)] 3 i 2 α(t)(4π) b−2 [R o (t)] 3b−6 (2.57) c) Trữớng hủp f(R) = R 1+ε (mổ hẳnh III): Mổ hẳnh n y cụng ữủc nõi án trong [76] é Ơy ε l hơng số nhọ º thọa mÂn iãu kiằn nhiạu loÔn | ε |≪ 1

Ta cõ f(R) = R 1+ε = R + R 1+ε − R , tực l trong trữớng hủp n y số hÔng nhiạu lo¤n λh(R) = R 1+ε − R , suy ra λh ′ (R) = (1 + ε)R ε − 1 , λh ′′ (R) = ε(ε + 1)R ε−1 Tữỡng tỹ chúng ta tẳm ữủc cĂc tensor metric l g 00 (r, t) = 1 − kc 2 [M − λM 1 (t) − λM 2 (t)]

Chúng ta chú ỵ rơng λM 1 v λM 2 trong cĂc cổng thực (2.58) v (2.59) ch¿ l cĂc kẵ hiằu, chúng cõ dÔng λM 1 (t) = −M + 4π kc 2

Trong khuôn khổ trọng lực sửa đổi với tham số ε nhỏ, nhiều nghiệm riêng như λM1 và λM2 xuất hiện và các tensor metric (ví dụ tại các công thức (2.58) và (2.61)) quay trở về dạng trường Einstein khi ε = 0, tức là về lại hình thức của trọng lực Einstein cổ điển; đồng thời, việc xem xét mô hình f(R) = R + λ h(R) cho phép λ kiểm soát mức độ sai khác so với giới hạn chuẩn và các giá trị của λ có thể khác nhau giữa các mô hình khác nhau (ví dụ phổ biến là f(R) = R + λR^2 hoặc các dạng f(R) khác như f(R) = R + λ g(R)); giá trị của λ được xác thực thông qua các thí nghiệm và quan sát, từ đó giới hạn mức độ sửa đổi trọng lực và xác định khả năng tồn tại của các hiệu ứng sửa đổi trong vũ trụ học.

Chúng ta thĐy rơng, vẵ dử xem (2.52) hay (2.58), cĂc tensor metric ối xựng cƯu trong lỵ thuyát hĐp dăn- f (R) khĂc biằt so vợi lỵ thuyát Einstein ð hai số hÔng cuối Náu nguỗn hĐp dăn nð ra hay co lÔi mởt cĂch ỗng dÔng sao cho văn giỳ ữủc ối xựng cƯu (cõ nghắa bĂn kẵnh phử thuởc v o thới gian), thẳ cĂc tensor metric s³ phử thuởc v o thới gian, phữỡng trẳnh Einstein nhữ Â nõi khổng thº cho hiằu ựng n y.

Nghiằm nhiạu loÔn tờng quĂt

Trong bài viết này, chúng ta phân tích hệ thống liên quan đến hàm f(R) và các trạng thái cân bằng đặc biệt xuất hiện trong chân không cũng như ở một số trạng thái thực nghiệm Khi xem xét một số giới hạn phù hợp, ta nhận thấy sự tồn tại của các trạng thái cân bằng ở mức vi mô với biên độ được giới hạn Trong mô hình vật chất, ta không đặt u(r,t) = −v(r,t); thay vào đó, vấn đề được giải quyết bằng một cách tiếp cận khác Thực hiện các bước phân tích theo công thức (2.22), chúng ta thu được các kết quả ban đầu và làm sáng tỏ sự liên hệ giữa hai trường u và v trong hệ.

Các hệ số E cho biết ý nghĩa của các tensor metric được xác định từ nghiệm của phương trình Einstein; xem phần hướng dẫn để thấy các tensor metric được trình bày trong bản in trước đó Khi thay thế (2.64) vào (2.9), chúng ta thu được các biểu thức liên quan đến tensor metric và các quan hệ liên hệ giữa chúng.

Vẳ e v(r,t) = −g 11 (r, t) , chúng ta cõ thº viát lÔi phữỡng trẳnh n y l u ′ (r, t) =rg 11 (r, t)

Tẵch phƠn phữỡng trẳnh trản v chú ỵ rơng g 00 (r, t) → 1 khi r → ∞ , chúng ta cõ u(r, t) =

Nhữ vêy, tứ (2.11), (2.18) v (2.70) cĂc tensor metric tờng quĂt thu ữủc l g 00 (r, t) = exp

−λ∇ i ∇ E i h ′ (kT ) r ′2 dr ′ −1 , (2.72) g 22 = −r 2 , (2.73) g 33 = −r 2 sin 2 θ, (2.74) trong õ ∇ i ∇ E i h ′ (kT ) v β(r ′ , t) ữủc tẵnh theo (2.22) v (2.65), tữỡng ựng.

Chuyºn ởng trong trữớng ối xựng cƯu cừa lỵ thuyát- f (R)

Chuyºn ởng cừa h nh tinh trong trữớng hĐp dăn cừa mởt ngổi sao cừa lỵ thuyát- f(R)

mởt ngổi sao cừa lỵ thuyát- f (R)

Chúng ta bƠy giớ x²t chuyºn ởng cừa mởt h nh tinh trong trữớng hĐp dăn ối xựng cƯu cừa mởt ngổi sao Náu viát Hamiltonian dữợi dÔng

[trong õ E(t) bao gỗm cÊ ởng nông v thá nông cừa h nh tinh trong trữớng hĐp dăn], thẳ (2.100) ữủc viát lÔi l φ =

M°t khĂc, náu chúng ta xem h nh tinh chuyºn ởng chêm so vợi Ănh sĂng v c 2 2 ≪ 1

( v l tốc ở cừa h nh tinh) thẳ E 2 ≪ |2mc 2 E| , chúng ta cõ φ =

LĐy gƯn úng bêc mởt

∼ = 1 + 2GM f (t) c 2 r , (2.105) phữỡng trẳnh (2.104) lĐy dữợi dÔng φ =

Sỷ dửng kẵ hiằu β(t) = mGM f (t)

, (2.109) chúng ta Ôt ữủc cổng thực φ = 1 q

− l 2 r (t) 2 dr, (2.110) lĐy tẵch phƠn phữỡng trẳnh n y, suy ra φ = 1 q

+ C, (2.111) trong õ C l hơng số tẵch phƠn Chồn gốc tẵnh thới gian sao cho C = 0 , ta ữủc φ = 1 q

Các phương trình (2.110), (2.112) hoặc (2.113) được trình bày ở dạng tổng quát, mô tả diễn biến của hệ dưới tác động bên ngoài trong các điều kiện cụ thể Chúng ta xem chúng như các phương trình động lực chung cho quá trình chuyển đổi trạng thái của hệ Lưu ý rằng thời điểm gốc t = 0 được đặt tại thời điểm bắt đầu sau khi tác động đã xảy ra và ảnh hưởng lên hệ thông qua các mô hình này.

Trong bài viết này, chúng ta xem xét trường hợp các quỹ đạo gần hình elip quanh một nguồn khối lượng lớn và cách chúng bị ảnh hưởng bởi trường lực hấp dẫn theo thời gian Từ hệ phương trình (2.113), ta thấy sự thay đổi của hình dạng và vị trí các quỹ đạo phụ thuộc vào sự biến động của khối lượng M và cấu trúc không gian-thời gian của hệ thống Điều này được mô tả bởi hệ phương trình trường của Einstein, với các tensor metric được xác định bởi tình trạng năng lượng và động lượng của nguồn Khi khối lượng M hoặc các tham số liên quan biến đổi theo thời gian, quỹ đạo có thể mở rộng hoặc co lại và các hiệu ứng tích lũy theo thời gian có thể xuất hiện Để tính toán, người ta dùng arccos cho các góc với giá trị đầu vào nằm trong miền [-1, 1], vì vậy điều kiện (2.112) được thiết lập để đảm bảo các nghiệm là hợp lệ.

Cỹc trà r e ữủc tẳm ð hai Ưu mút n y, l(t e ) r e − mβ(t l(t e ) e ) q 2mE (t e ) + m l 2 2 β (t 2 e (t ) e )

= ±1, (2.115) trong õ, t e l thới gian tữỡng ựng khi Ôt r e Bði vêy, r e = l 2 (t e ) mβ(t e ) ± p m 2 β 2 (t e ) + 2mE(t e )l 2 (t e ) (2.116) hay cử thº hỡn r p = l 2 (t p ) mβ(t p ) + p m 2 β 2 (t p ) + 2mE(t n )l 2 (t p ) , (2.117) r a = l 2 (t a ) mβ(t a ) − p m 2 β 2 (t a ) + 2mE(t a )l 2 (t a ) (2.118)

, (2.119) v thay thá (2.116) v o trong (2.119) chúng ta Ôt ữủc φ e = 1 q

Trong bài toán, ta giả thiết k là phần tử của tập số nguyên, ký hiệu k ∈ Z, và phi_e(k) được xem như một hàm liên quan đến nghiệm của hệ Ta phân tích hai trường hợp e = p và e = a để làm sáng tỏ cách thức các giá trị của phi_e(k) thay đổi theo k, từ đó rút ra các quy ước và cách tính liên quan đến nghiệm của hệ Như vậy, quá trình tính toán sẽ tập trung vào việc chọn các tham số tối ưu và nhận diện sai số của hệ thống, đồng thời mô tả cách điều chỉnh (dịch chuyển) các tham số để tối ưu hóa kết quả Việc so sánh các giá trị phi_e(k) ở hai trường hợp giúp nắm bắt các xu hướng biến thiên và đề xuất ứng dụng cho các bài toán tương tự, đồng thời đảm bảo tính nhất quán và dễ theo dõi cho người đọc và các công cụ tối ưu hóa tìm kiếm.

Náu M f (t k+1 ) ∼ = M f (t k ) , phữỡng trẳnh (2.122) cõ thº ữủc viát

Trong khuôn khổ lý thuyết trọng lực f(R), δφ_e(k) biểu thị lệch pha của chế độ e khi tương tác với trường trọng lực ở mode k Trong GR (Einstein), δφ_e(k) = 6π m^2 G^2 M f^2(t_k) / c^2 Khi áp dụng khung f(R), δφ_e(k) được sửa thành δφ_e(k) = 6π m^2 G^2 {λ^2 [M1(t_k) + M2(t_k)]^2 − 2λ M [M1(t_k) + M2(t_k)]} / c^2, hay δφ_e(k) ≈ −12π m^2 G^2 λ M [M1(t_k) + M2(t_k)] / c^2 khi một số điều kiện nhất định được thỏa mãn Khi vượt qua trạng thái đặc biệt, Δφ_e và δφ_e trở thành một tham số duy nhất (xem minh họa ở Hình 2.1) Những trường hợp không tính được.

Hẳnh 2.1: Trong trữớng tắnh, cÊ r e v ∆φ khổng thay ời theo thới gian, những cõ mởt sỹ hiằu ch¿nh cho giĂ trà cừa Einstein tữỡng ựng (hẳnh ữủc v³ theo [77])

Trong các mô hình vật lý hiện đại, φ_e và δφ_e có thể thay đổi theo thời gian, mang lại các hiệu ứng mới so với dự đoán của thuyết tương đối Einstein Khi φ_e biến thiên, các hiện tượng liên quan đến năng lượng và lực tương tác có thể bị lệch so với tính toán cổ điển δφ_e đại diện cho dao động nhỏ quanh giá trị nền và cũng có thể dẫn tới sự lệch pha trong các quan sát thiên văn và thí nghiệm trên Trái Đất Những hiệu ứng này cho thấy tầm quan trọng của đo đạc thời gian và trường vật lý ở mức độ chính xác cao, đồng thời gợi ý những khía cạnh chưa được hiểu rõ về cấu trúc vũ trụ và sự thống nhất của các lực Do đó, phân tích sự thay đổi của φ_e theo thời gian là chìa khóa để kiểm tra giới hạn của Lý thuyết Einstein và khám phá các trường mới có thể tồn tại ngoài khuôn khổ hiện tại.

Hẳnh 2.2: Trong trữớng khổng tắnh, cÊ r e v ∆φ thay ời theo thới gian, khổng nhữ giĂ trà cừa Einstein luổn khổng ời theo thới gian hiằu ch¿nh cho tinh sai cừa quÿ Ôo ữủc tẵnh theo (2.124) v (2.125), m cỏn nhữ Â ch¿ ra trong (2.117) v (2.118), chiãu d i cừa cĂc trửc Elip cụng thay ời theo thới gian (xem minh hồa ð Hẳnh 2.2).

ữớng truyãn cừa tia sĂng trong trữớng ối xựng cƯu cừa mởt ngổi sao cừa lỵ thuyát- f(R)

cừa mởt ngổi sao cừa lỵ thuyát- f (R)

Vẳ ối vợi Ănh sĂng m = 0 nản phữỡng trẳnh (2.100) trð th nh φ =

Sỷ dửng (2.105), chúng ta Ôt ữủc φ =

LĐy gƯn úng bêc mởt, suy ra φ =

2GM f (t)H 2 (t) c 4 à − à r i 2 dr, (2.129) hay φ =arccos H(t)r àc − 2GM c f 3 (t)H(t) à

+ C ′ , (2.130) trong õ C ′ l hơng số Náu chồn gốc tÔo ở sao cho φ = 0 tÔi iºm m ð õ Ănh sĂng gƯn tƠm cừa nguỗn hĐp dăn nhĐt, thẳ khi õ C ′ = 0 Nhữ vêy, phữỡng trẳnh cừa Ănh sĂng khi õ s³ l φ =arccos H(t)r àc − 2GM f c 3 (t)H(t) à , (2.131) hay cos φ = H(t)r àc − 2GM c f 3 (t)H(t) à (2.132)

Khi Ănh sĂng cỏn (ho°c Â) ð khoÊng cĂch xa so vợi nguỗn hĐp dăn (vợi r ≡ r l rĐt lợn), phữỡng trẳnh n y s³ l cos φ l = − 2GM f c (t 3 à l )H(t l ) (2.133)

Tực l φ l > π 2, tứ Ơy ta thĐy quÿ Ôo cừa Ănh sĂng bà lằch vã phẵa nguỗn hĐp dăn Kẵ hiằu gõc lằch cừa Ănh sĂng l ϕ , ta dạ thĐy ϕ =2 φ l − π 2

Góc lằch (2.135) cho thấy điều kiện cận nguồn có thể được xem xét lại khi phân tích Do φ = 0 khi r = D, từ (2.132) chúng ta có H(t_D)D − 2GM f(t_D)H(t_D)/c^3 = 1 (2.136) và từ đó suy ra φ = H(t_D)D.

Tiáp tửc bọ qua nhỳng lữủng nhọ bêc cao, chúng ta cõ à ∼ = H(t D )D c

Thay thá (2.139) v o trong (2.133) chúng ta Ôt ữủc cos φ l = − 2GM c 2 D f (t l )

H(t l ) H(t D ) , (2.140) trong õ, số hÔng thự hai l rĐt nhọ so vợi số hÔng thự nhĐt Nhữ vêy, chúng ta câ thº l§y cos φ l = − 2GM c 2 D f (t l ) H(t H(t l )

Tứ (2.141) chúng ta thĐy số hÔng vá phÊi l rĐt nhọ v φ l > π 2, nản chúng ta cõ thº °t φ l = π

2 + ε (2.142) vợi ε l rĐt nhọ Liản kát (2.141) vợi (2.142), chúng ta cõ cos π

Tứ Ơy, sỷ dửng (2.135) chúng ta cõ ϕ = 4GM f (t l ) c 2 D

Chúng ta thĐy, náu trữớng hĐp dăn l tắnh H(t l ) = H(t D ) = H thẳ ϕ = 4GM c 2 D f vợi M f = M − λM 1 [xem (2.85)], v gõc n y cõ mởt sỹ hiằu ch¿nh cho giĂ trà

Nhữ vêy, trong lỵ thuyát hĐp dăn- f (R) , gõc lằch cừa Ănh sĂng cụng nhữ gõc quay tinh sai  tranh luên ð trản, trong mởt trữớng ối xựng cƯu tắnh cõ mởt sỹ hiằu ch¿nh hơng số cho lỵ thuyát Einstein, những khi trữớng ối xựng cƯu khổng tắnh thẳ số hÔng hiằu ch¿nh s³ thay ời theo thới gian.

Trữớng ối xựng cƯu tắnh

Trữớng ối xựng cƯu khổng nhĐt thiát tắnh

Nghiằm nhiạu loÔn cừa lỵ thuyát hĐp dăn f (R) trong Vụ trử FLRW 103

Sõng hĐp dăn cừa trữớng ối xựng cƯu cừa lỵ thuyát hĐp dăn- f (R) 112