(SKKN HAY NHẤT) tiếp cận phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn thông qua mối liên hệ với hàm số bậc nhất, bậc hai một ẩn

Phương pháp giải bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình có chứa tham số có thể quy về bậc nhất một ẩn.. Do đó, khi gặp các câu hỏi liên quan đến phương trình, bất phương t

MỤC LỤC

I ĐẶT VẤN ĐỀ 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Giới hạn phạm vi nghiên cứu 3

II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3

1 Cơ sở lí luận của vấn đề 3

1.1 Hàm số bậc nhất 3

1.2 Hàm số bậc hai 4

2 Thực trạng của vấn đề 4

3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 5

3.1 Tiếp cận phương pháp giải và biện luận phương trình có dạng ax b 0 5 3.2 Tiếp cận phương pháp giải và biện luận phương trình có dạng 2 0 ax bx c 6

3.3 Tiếp cận phương pháp giải và biện luận bất phương trình có dạng 0 ax b  7

3.4 Tiếp cận phương pháp giải và biện luận bất phương trình có dạng 2 0 ax bx c 7

3.5 Phương pháp giải bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình có chứa tham số có thể quy về bậc nhất một ẩn 8

3.6 Thiết kế giáo án dạy học phương trình, bất phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn thông qua mối liên hệ với hàm số bậc nhất và bậc hai một ẩn 28

4 Kết quả đạt được 39

III KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

I ĐẶT VẤN ĐỀ.

1 Lí do chọn đề tài.

Phương trình, bất phương trình là một trong những chủ đề quan trọng và lâu đời nhất trong lịch sử toán học Do đó, giảng dạy phương trình, bất phương trình luôn có tầm quan trọng dạy học toán ở bất kỳ nền giáo dục nào Khái niệm phương trình, bất phương trình đã được đưa vào chương trình toán từ cấp tiểu học dưới hình thức ngầm ẩn như điền vào ô trống để được đẳng thức đúng, tìm x (trong tập số N),

Đến cấp trung học cơ sở, trong chương trình lớp 7 có khái niệm về phương trình

axb trong tập số hữu tỉ Khái niệm phương trình, bất phương trình được giới thiệu tường minh ở lớp 8 và được chính xác hóa trong chương trình toán lớp 10 thông qua mệnh đề chứa biến hoặc biến của hàm số ban đầu

Theo cách định nghĩa phương trình dựa vào biến của hàm số ban đầu, trong chương trình sách giáo khoa môn toán THPT của cả ba khối lớp; bài học phương trình, bất phương trình luôn được sắp xếp sau bài học về hàm số tương ứng với loại phương trình đó Chẳng hạn, lớp 10 có hàm số bậc nhất, bậc hai và phương trình, bất phương trình quy về bậc nhất, bậc hai một ẩn; lớp 11 có hàm số lượng giác và phương trình lượng giác; lớp 12 có hàm số mũ, logarit và phương trình, bất phương trình mũ và logarit Tuy nhiên, tôi nhận thấy việc dạy và học phương trình, bất phương trình hiện nay hầu như chỉ tập trung vào các phép biến đổi đại số, các công thức nghiệm mà chưa tận dụng được hết những tính chất của các loại hàm số đó để đưa vào bài học phương trình, bất phương trình Học sinh đã quen thuộc và có xu hướng chấp nhận các phép biến đổi đó như một lẽ dĩ nhiên mà không hề có tư duy tìm ra mối liên hệ với kiến thức hàm số vừa học và không hiểu được ý nghĩa của hàm số đối với phương trình, bất phương trình Do đó, khi gặp các câu hỏi liên quan đến phương trình, bất phương trình chứa tham số mà học sinh phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải quyết thì học sinh thường lúng túng và gặp nhiều khó khăn và luôn đặt ra câu hỏi: “Tại sao nghĩ và làm được như vậy?”

Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy, việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm

số và thông qua hàm số để tiếp cận phương trình, bất phương trình tương ứng là một điều rất cần thiết Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên, vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách lôgic bản chất của toán học Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học môn Toán, để toán học trở nên gần gũi và là sự yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê đối với các em học sinh THPT

Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy khi học về phương trình, bất phương trình tôi tập trung khai thác cách tiếp cận bài học về phương trình, bất phương trình thông qua mối liên hệ với hàm số Trước tiên, tôi chỉ khai thác đề tài này trong khuôn khổ chương trình lớp 10, sau đó sẽ phát triển tiếp đề tài này cho khối 11,12 Với việc sử dụng phương pháp tiếp cận này, những bài toán về phương

trình, bất phương trình sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, thuần túy, ngắn gọn

và đơn giản Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “Tiếp cận phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn thông qua mối liên hệ với hàm số bậc nhất, bậc hai một ẩn”

2 Mục đích nghiên cứu

Với tên đề tài “Tiếp cận phương trình, bất phương trình thông qua mối liên

hệ với hàm số” thì mục tiêu của đề tài được xác định như sau:

Một là, giúp học sinh tiếp cận bài học phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn thông qua mối liên hệ với hàm số tương ứng, từ đó giúp các em khắc sâu kiến thức đã học về hàm số đồng thời hiểu bản chất các kết quả đại số được trình bày trong sách giáo khoa

Hai là, giúp học sinh biết kết hợp các phép biến đổi đại số với các ứng dụng của hàm số trong các bài toán về phương trình, bất phương trình có chứa tham số có thể quy về dạng bậc nhất, bậc hai một ẩn một cách linh hoạt, hiệu quả

Ba là, giúp học sinh tránh phải sai lầm thường gặp khi giải các bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình cần đặt ẩn phụ mà không nghĩ đến tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điều kiện, hoặc đã tìm chính xác điều kiện của ẩn phụ nhưng khi lập luận trên phương trình, bất phương trình theo ẩn phụ thì lại không xét trên điều kiện ràng buộc của nó nên dẫn đến kết luận không chính xác Giúp học sinh hiểu việc tìm điều kiện của ẩn phụ thực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho bằng hàm số Sau khi tìm được điều kiện của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên điều kiện của nó Đó là điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng trên tập giá trị của ẩn phụ

3 Đối tượng nghiên cứu

Trong đề tài này chủ yếu sử dụng các tính chất của hàm số, bảng biến thiên và

đồ thị hàm số để giải toán phương trình, bất phương trình có thể quy về bậc nhất, bậc hai một ẩn, hệ phương trình, hệ bất phương trình, đặc biệt là các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình có tham số

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu bằng lí luận dạy và học, nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo

- Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, ôn thi THPT Quốc gia

- Nghiên cứu qua kết quả học tập của học sinh về toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình

- Điều tra thống kê, rút kinh nghiệm theo từng đợt khảo sát

5 Giới hạn phạm vi nghiên cứu.

Đề tài này đã được nghiên cứu đối với việc giải toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số bằng cách sử dụng hàm

số đối với học sinh lớp 10

II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

1 Cơ sở lí luận của vấn đề 1.1 Hàm số bậc nhất

a Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng yaxb (a0)

b Sự biến thiên

 TXĐ : D = R

 Chiều biến thiên

 Với a > 0 hàm số đồng biến trên R

 Với a < 0 hàm số nghịch biến trên R

a > 0

x

- 2

b a

 +

a < 0

x

- 2

b a

 +

y 4a





- +

c Đồ thị : Đồ thị hàm số là một đường Parabol có đỉnh là điểm ;

b I

2

b x

a

  Parabol này quay bề

lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0

2 Thực trạng của vấn đề

Qua thực tiễn giảng dạy, tội nhận thấy các tính chất của hàm số và đồ thị hàm

số chưa được nhấn mạnh trong mối quan hệ với phương trình, bất phương trình kể

x y

a > 0

4a

b2a

y

a < 0

4a

2abO

cả trong cách dạy, cách học và nội dung sách giáo khoa Do đó, học sinh chưa hiểu bản chất mối quan hệ giữa hàm số và phương trình, bất phương trình, dẫn đến lúng túng, thiếu kỹ năng và sáng tạo trong việc vận dụng tính chất hàm số vào giải toán phương trình, bất phương trình, các em luôn đặt ra câu hỏi: “Tại sao nghĩ và làm được như vậy?’’ và tìm cách né tránh hoặc có sử dụng nhưng còn máy móc, thiếu chính xác

Hơn nữa, việc giải phương trình, bất phương trình ở lớp 10 chủ yếu chú trọng phép biến đổi tương đương thông thường, đến lớp lớp 12 mới được học cách giải bằng ứng dụng tính đơn điệu và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số nên khi làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với nhau thì học sinh lại lúng túng trong lời giải, dẫn đến sai kết quả

Để khắc phục phần nào những hạn chế trên, đòi hỏi người giáo viên có những phương pháp dạy học đổi mới giúp học sinh giải toán tốt hơn

3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

Thông qua phương pháp đặt câu hỏi, tôi giúp học sinh hiểu các kết quả về giải

và biện luận phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn được trình bày trong sách giáo khoa, giúp học sinh hiểu bản chất vấn đề và không bị máy móc với các công thức và phép biến đổi đại số Đồng thời, đưa ra những ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc

sử dụng phương pháp hàm số đồng thời có những lời nhận xét trước và sau các bài giải giúp học sinh trả lời thỏa đáng câu hỏi: “Tại sao nghĩ và làm được như vậy?”

3.1 Tiếp cận phương pháp giải và biện luận phương trình có dạng ax b 0

Dựa vào đồ thị của hàm số f x

 

* Nếu a0 thì hàm số f(x) trở thành hàm hằng Đồ thị của hàm số yb là đường thẳng cùng phương với trục hoành

+ Trường hợp 1: b0

Đường thẳng y b chính là trục hoành nên phương trình ax b 0 có tập

nghiệm là + Trường hợp 2: b0

Đường thẳng y b và trục hoành không có điểm chung nào nên phương trình 0

3.2 Tiếp cận phương pháp giải và biện luận phương trình có dạng

d để parabol (P) cắt hoặc tiếp xúc với đường thẳng y d, nghĩa là luôn tồn tại

d sao cho phương trình ax2 bx c d có nghiệm x x Khi đó theo định lý 1, 2Viet, ta có x1 x2 b,

3.3 Tiếp cận phương pháp giải và biện luận bất phương trình có dạng

0

ax b 

* Nếu a0, ta xét hai trường hợp + Trường hợp 1: b0 Đường thẳng y b nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

+ Trường hợp 2: b0. Đường thẳng yb nằm hoàn toàn phía dưới hoặc trùng với trục hoành nên bất phương trình vô nghiệm

* Nếu a0. Phần đường thẳng yaxb nằm phía trên trục hoành tương ứng

3.4 Tiếp cận phương pháp giải và biện luận bất phương trình có dạng

0

ax bx c vô nghiệm

+ Trường hợp 2: a0 và tung độ đỉnh của parabol (P) là y I 0 hoặc y I 0thì toàn bộ parabol (P) nằm phía trên trục hoành hoặc chỉ tiếp xúc với trục hoành tại đỉnh I và phần còn lại của (P) đều nằm phía trên trục hoành Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

+ Trường hợp 3: a0 và parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1x2 thì phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành tương ứng với

x  x x Do đó tập nghiệm của phương trình là





+ Trường hợp 4: a0 và parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1x2 thì phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành tương ứng với

ẩn phụ để biến đổi về các dạng hàm số quen thuộc đã biết cách vẽ đồ thị và tìm điều kiện đúng của ẩn phụ hoặc liên hệ với các kiến thức hình học giải tích để giải quyết các bài toán khó về bài toán tìm tham số liên quan đến phương trình, bất phương trình

3.5 Phương pháp giải bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình

có chứa tham số có thể quy về bậc nhất một ẩn.

Nhận xét: Nghiệm của phương trình f x

 

 

đồ thị hàm số y  f x

 

 

 

 

 

 

+ Số nghiệm phương trình f x

 

 

 

y g m và đồ thị hàm số y  f x

 

Lưu ý: Hàm số f x

 

m m

Bất phương trình tương đương với





+ Với m1 thì bất phương trình vô nghiệm do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán

+ Với m1 bất phương trình tương đương với 1

m x m





Nhận xét: Nếu sử dụng phương pháp đại số thông thường để giải 3 ví dụ trên thì

học sinh dễ bị thiếu điều kiện, sai sót và bài toán trở nên cồng kềnh với nhiều điều kiện cần giải, nhưng giải bằng phương pháp đồ thị thì bài giải rất ngắn gọn và tự nhiên

Bài tập tham khảo:

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình mx 4 0 nghiệm đúng với mọi x  8

Bài 2: Tìm m để bất phương trình 2

m xm x  x  nghiệm đúng với mọix 





m m

m

m m

Vậy m   ( ; 3] [7;) là giá trị cần tìm

f x  x  m xm  m Đồ thị của hàm số này

là 1 parabol có bề lõm hướng lên trên

Do đó mọi x 





 

 

2 2

+ TH1: m1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán;

+ TH2: m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán;

Suy ra, 3   m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nếu 1  m 1 thì tập nghiệm của bất phương trình là 3 3;

Với m 1, đồ thị của hàm số

  



f x  m  x  mx m có đỉnh là

4

;

m I

Do đó:

Mọi x





2

2 2

2

2

1 0

0 0

1

I I

I I

m

x

m







     Kết hợp các trường hợp ta có m  





Sau đây ta xét tới một số ví dụ mà cần sử dụng bảng biến thiên của hàm số, bài toán mới được giải quyết hiệu quả

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình    x2 x 6 4xm có bốn nghiệm phân biệt

Lời giải:

Ta có    x2 x 6 4x     m x2 x 6 4xm

Xét hàm số

 

f x     x x x

2 2

3;2

5 6

; 3 2;

3 6

khi x

x x

f x

khi x

x x

 

 Bảng biến thiên

x

 3 5

2  3

2 2 

 

49

4

12 8

Từ bảng biến thiên ta có Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số ( )f x cắt đường thẳng y m tại bốn điểm phân biệt 12 49

4

m

  

Vậy 12 49

4

m

  là giá trị cần tìm

Nhận xét: Khi gặp bài toán liên quan đến phương trình mà ta có thể cô lập được

thì ta sử dụng đồ thị (hoặc bảng biến thiên) để giải

y

12

1 40

m  |  0 + | + 2

x x

2

m m

m m

Ta có (3) là phương trình đường tròn tâm I

 





Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường tròn có điểm chung với d

22

1 2 1 0

m x  x  m nghiệm đúng với mọi 0

x  Bài 3: Tìm m để bất phương trình 2

 

3 2 3 0

x  m x m  nghiệm đúng với mọi 4

x  Bài 4: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:

Tìm điều kiện “chặt” của ẩn phụ thỏa mãn các điều kiện ràng buộc của bài toán

và điều kiện của ẩn ban đầu (có thể dựa vào bảng biến thiên của hàm số để xác định miền giá trị của hàm số theo ẩn mới, đó cũng chính là điều kiện của ẩn phụ)

Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số f t m

 