Bài giảng sức bền vật liệu CHƯƠNG 2 lý THUYẾT nội lực

PHÁP KHẢO SÁT- ỨNG SUẤT 1- Khái niệm về nội lực: Xét một vật thể chịu tác dụng của ngoại lực và ở trạng thái cân bằng H.2.1.Trong vật thể giữa các phân tử luôn có các lực tương tác

Chương2

LÝ THUYẾT NỘI LỰC

I KHÁI NIỆM VỀ NỘI LỰC - P PHÁP KHẢO SÁT- ỨNG SUẤT

1- Khái niệm về nội lực:

Xét một vật thể chịu tác dụng của ngoại lực và ở trạng thái cân bằng

(H.2.1).Trong vật thể giữa các phân tử luôn có các lực tương tác giữ cho vật thể có

hình dáng nhất định Khi có ngoại lực tác dụng, các phân tử của vật thể có thể dịch lại

gần nhau hoặc tách xa nhau Lúc đó, lực tương tác giữa các phân tử của vật thể phải

thay đổi để chống lại các dịch chuyển này Sự thay đổi của lực tương tác giữa các

phân tử trong vật thể được gọi là nội lực

Một vật thể không chịu tác động nào từ bên ngoài thì được gọi là vật thể ở trạng

thái tự nhiên và nội lực của nó được coi là bằng không

2- Khảo sát nội lực bằng phương pháp mặt cắt

Xét vật thể chịu lực cân bằng,để tìm nội lực tại 1 điểm C trong vật thể (H.2.1),Tưởng

tượng một mặt phẳng  cắt qua C và chia vật thể thành hai phần A và B; hai phần này

sẽ tác động lẫn nhau bằng hệ lực phân bố trên toàn diện tích mặt tiếp xúc theo định luật

lực và phản lực.Nếu tách riêng phần A thì hệ lực tác động từ phần B vào nó phải cân

bằng với ngoại lực ban đầu (H.2.2).Hệ lực phân bố nầy chính là nội lực trên mặt cắt

đang xét

3.Ứng suất:

Xét một phân tố diện tích A bao quanh điểm khảo sát C trên mặt cắt  có phương

pháp tuyến v Gọi p là vector nội lực tác dụng trên A

Ta định nghĩa ứng suất toàn phần tại điểm khảo sát là :

dA

p d A

p p

Ứng suất toàn phần p có thể phân ra hai thành phần:

+ Thành phần ứng suất pháp v có phương pháp tuyến của mặt phẳng 

+ Thành phần ứng suất tiếp v nằm trong mặt phẳng  (H.2.3)

Các đại lượng này liên hệ với nhau theo biểu thức:

p v2  v2 v2 (2.1)

Ứng suất là một đại lượng cơ học đặc trưng cho mức độ chịu đựng của vật liệu tại

một điểm; ứng suất vượt quá một giới hạn nào đó thì vật liệu bị phá hoại Do đó,

B A

việc xác định ứng suất là cơ sở để đánh giá độ bền của vật liệu, và chính là một nội dung quan trọng của môn SBVL

Thừa nhận (Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh)

- Ứng suất pháp v chỉ gây ra biến dạng dài (Thay đổi chiều dài)

- Ứng suất tiếp v chỉ gây ra biến góc (Thay đổi góc vuông)

II CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA THANH & CÁCH XÁC ĐỊNH

Gọi hợp lực của các nội lực

phân bố trên mặt cắt ngang của

thanh là R,với R có điểm đặt và

phương chiều chưa biết

Đặt một hệ trục tọa độ

Descartes vuông góc ngay tại

trọng tâm mặt cắt ngang, Oxyz,

với trục z trùng pháp tuyến mặt cắt (qui ước theo phương trục thanh,) còn hai trục x, y

nằm trong mặt cắt ngang của thanh (sau nầy sẽ được xác định rõ hơn)

Dời R về trọng tâm 0 của mặt cắt ngang 







M Momen

R Luc

có phương bất kỳ

Khi đó, có thể phân tích R ra ba thành phần theo ba trục:

+ N z theo phương trục z ( mặt cắt ngang) gọi là lực dọc (làm thanh dãn ra, co lại)

+ Q x, và Q y theo phương trục x, hay y (nằm trong mặt cắt ngang) gọi là lực cắt (vì cắt

ngang thanh)

Mômen M cũng được phân ra ba thành phần xoay quanh 3 trục :

+ Mômen M x quay quanh trục x gọi là mômen uốn.(Lực tác độngmp(yoz)) làm cho thanh bị cong trong mp(yoz))

+ Mômen M y quay quanh trục y gọi là mômen uốn (Lực tác động mp (xoz) làm cho thanh bị cong trong mp (xoz)

+ Mômen M z quay quanh trục z gọi là mômen xoắn (Lực tác động  mp (xoy) làm

cho thanh vặn quanh trục z

Sáu thành phần này được gọi là các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang

2- Cách xác định: Sáu thành phần nội lực trên một mặt cắt ngang được xác định từ

sáu phương trình cân bằng độc lập của phần vật thể được tách ra, trên đó có tác dụng của ngoại lực ban đầu Pi và các nội lực

Phương trình cân bằng hình chiếu các lực trên các trục tọa độ: trong đó:

P ix , P iy , P iz - là hình chiếu của lực P i xuống các trục x, y, z

Các phương trình cân bằng mômen đối với các trục tọa độ ta có: với:

m x (P i ), m y (P i ),m z (P i ) các mômen của các lực P i đối với các trục x,y, z

x n

i ix x

y n

i iy y

z n

i iz z

Q P

Q

X

Q P

Q

Y

N P

0 0

0 0

1 1

1

z n

i

i z z

y n

i

i y y

x n

i

i x x

M P

m M

Oz M

M P

m M

Oy M

M P

m M

Ox M

0 ) ( /

0 ) ( /

1 1 1

3 Liên hệ giữa nội lực và ứng suất:

Các thành phần nội lực liên hệ với các thành phần ứng suất như sau:

- Lực dọc là tổng các ứng suất pháp

- Lực cắt là tổng các ứng suất tiếp cùng phương với nó

- Mômen uốn là tổng các mômen gây ra bởi các ứng suất đối với trục x hoặc y

- Mômen xoắn là tổng các mômen của các ứng suất tiếp đối với trục z

III BÀI TOÁN PHẲNG (thường gặp)

Trường hợp bài toán phẳng (ngoại lực nằm trong một mặt phẳng (thí dụ mặt phẳng

y0z)), chỉ còn ba thành phần nội lực nằm trong mặt phẳng y0z là : N z , Q y ,và M x

 Qui ước dấu các thành phần nội lực (H.2.5)

- Lực dọc N z 0 khi gây kéo đoạn thanh đang xét (có chiều hướng ra ngoài mặt cắt) -Lực cắt Q y  0 khi làm quay đoạn thanh đang xét theo chiều kim đồng hồ

- Mômen uốn M x  0 khi thớ bên dưới thanh bị dãn ra (phía dương của trục y) hay thớ dưới bị kéo, Và nếu ngược lại là âm (xét thanh có trục nằm ngang)

P i

Thí dụ 1 Xác định các thành phần nội lực (hay là nội lực) tại K của thanh thẳng AC

chịu tải trọng phân bố đều q trên đoạn AD và lực tập trung P hợp với phương đứng góc

600 (vị trí của điểm K cho trên hình vẽ) Cho : q = 4kN/m, a = 1m; Mo = 2qa 2

Giải (Tính toán tất cả bằng chữ trước, cuối cùng mới áp dụng số)

a) Tính các phản lực tại gối tựa:

Giải phóng các liên kết và thay vào đó bằng các phản lực liên kết VA , H A , V C (giả

2 2qa

a q a 2

3 60 cos 2

2 2qa

a Pcos60

Thực hiện mặt cắt 1-1 qua K chia thanh AC làm hai phần Xét cân bằng của phần

bên trái mặt cắt Giả sử đặt nội lực theo chiều dương qui ước như hình (H.2.6b) :

kNm qa

M

a qa a qa a V

M O

M

kN qa Q

P a qa V Y

N qa

H N Z

x B

x

y B

z B

z

5 , 7 8

15 0

2

5 , 1 0

1 4

1 Q 0 60

cos

0

0 0

30 cos 2 0

2 1

y 0

M qa

a V

M O

M

kN qa Q

x

y C z

5 , 7 8

15 0

2 5 , 0 0

1 4

1 Q 0 0

0 0

2 2

1

1 k

A

q

1,5a

1

1 k

0,5a

Cho thanh gãy khúc phẳng ABCDKE chịu tải trọng phân bố đều q trên đoạn ABC và

CDK, lực tập trung P = qa tác dụng tại B và D và momen tập trung M=qa2 đặt tại nút C

2

5 0

2 2

2qa a -

A

2

1 0

2 2qa





b) Thực hiện mặt cắt 1-1

Xét đoạn ABC (bên trái) H1a

Chọn chiều các nội lực như hình vẽ Tìm các nội lực bằng các pt cân bằng

qa N

3 2



2 2

2

3 0

2 2a

3qa 0

(Mx cùng chiều đã chọn , do đó thanh chịu kéo phía bên phải thanh ABC

Xét đoạn CDKE (bên phải) H1b

qa qa qa N ung

2

1 0

2

5 2



hướng vào mặt cắt , lực dọc chịu nén

2 2

2 2

3 0

2 2a

qa 2

5 0

B

A

K B

A

E K B

A

1 B

A

1 B

A

Nhân xét:

Từ hai thí dụ trên ta thấy:Tại một mặt cắt giá trị nội lực trong thanh là như nhau Do

đó khi tìm nội lực tại một điểm ta xét cân bằng bên nào của mặt cắt cũng được Thường chọn bên nào các số hạng trong phương trình cân bằng ít hơn

IV BIỂU ĐỒ NỘI LỰC (BÀI TOÁN PHẲNG)

Thường các nội lực trên các mặt cắt ngang của một thanh không giống nhau Ở đây ta muốn biết trong suốt chiều dài thanh nội lực tại mặt cắt nào có giá trị lớn nhất và qui luật của nội lực đó phân bố thế nào

1.Định nghĩa:

Biểu đồ nội lực (BĐNL) là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của các nội lực theo vị

trí của các mặt cắt ngang Hay gọi là măt cắt biến thiên

Nhìn vào BĐNL có thể xác định vị trí mặt cắt nào có giá trị nội lực lớn nhất và trị số nội lực tại mặt cắt ấy, củng như qui luật phân bố của nội lực

2 Cách vẽ BĐNL- Phương pháp giải tích:

Để vẽ biểu đồ nội lực (theo p.p.giải tích) ta tính nội lực trên từng mặt cắt ngang ở

một vị trí bất kỳ cho từng đoạn có hoành độ z của từng đoạn đó so với một gốc hoành

độ nào đó mà ta chọn trước ứng với từng đọan (mỗi đoạn phải ngang qua một lực:(q,P, M).Mặt cắt ngang chia thanh ra thành 2 phần Xét sự cân bằng của một phần (trái, hay

phải), viết biểu thức giải tích của nội lực theo z của đoạn xét

Vẽ đường biểu diễn trên hệ trục toạ độ có trục hoành song song với trục z của

thanh (còn gọi là đường chuẩn), tung độ của biểu đồ nội lực sẽ được diễn tả bởi các

đoạn thẳng vuông góc các đường chuẩn

Tóm tắt các bước như sau:

qa

3

0 B

A

q

qa

D B

A

K B

A

qa

2 5

H1.b

qa2

 Chọn hệ trục và vẽ (nhớ qui ước chiều Qy và Mx trên trục tung)

Biểu thức giải tích của lực cắt và mômen uốn tại mặt

cắt 1-1 được xác định từ việc xét cân bằng phần phải của

thanh:

(vì xét bên trái ta chưa biết các phản lực tại ngàm A)

) ( 0

) ( 0

0 0

0 0

1

z l P M

z l P M O

M

P Q P

Q Y

N Z

x x

y y

- Biểu đồ lực cắt Q y tung độ dương vẽ phía trên trục hoành

- Biểu đồ mômen uốn M x tung độ dương vẽ phía dưới trục hoành

Nhận xét: Tại đầu tự do(B) Mx bằng không (nếu không có momen tập trung M0)

Thí dụ 4 Vẽ BĐNL của thanh đơn giản chịu tải phân bố đều q như (H.2.8a)

V C  B  (hợp lực ql hướng xuống)

Xác định Nội lực: thực hiện mặt cắt ngang 1-1 qua K có hoành độ là z: 0  z  l )

Mặt cắt 1-1 chia thanh làm hai phần

Xét cân bằng của phần bên trái CK (H.2.8b)

Từ các phương trình cân bằng ta suy ra

/

) 2

( 2

0

0 0

2

1 M ql z qz qz l z O

M

z

l q qz

ql Q Y

N Z

x y

Chú ý:

+ Khi z = 0(tại gối tựa C)  Qy = ql/2 , M x = 0

+ Khi z = l (tại gối tựa B) Qy = - ql/2 , Mx = 0

2

ql M

l z qz

ql

maxõ x,

Từ các BĐNL, của thí dụ nầy ta nhận thấy:

 Lực cắt Qy có giá trị lớn nhất ở mặt cắt sát gối tựa,

 Mômen uốn Mx có giá trị cực đại ở giữa dầm, và phía dưới bị kéo, và Mx= 0 tại hai gối tựa biên

Thí dụ 4

Vẽ BĐNL của thanh đơn giản chịu lực tập trung P như (H.2.9a)

Giải Phản lực: Tìm các thành phần phản lực tại các gối từ các phương trình cân bằng tỉnh

Phân đoạn: Vì tính liên tục của các hàm số giải tích biểu diển các nội lực nên phải

tính nội lực trong từng đoạn của thanh; trong mỗi đoạn phải không có sự thay đổi đột ngột của ngoại lực (trong bài nầy xét hai đoạn AC và CB)

Đoạn AC: Xét mặt cắt 1-1 qua điểm K1 trong đoạn AC và cách gốc A(chọn) một

1

) (

) (

z l

a l P z l

Pb z V M

l

a l P l

Pb V

Q

A x

A y

(a)

 Đoạn CB: Xét mặt cắt 2-2 qua điểm K2

.Trong đoạn CB cách gốc A một đoạn z2

l

Pa z

l V M

l

Pa V

Q

B x

B y

Trường hợp đặc biệt :

Nếu a=b = L/ 2, (lực đặt giữa thanh) khi đó mômen cực đại tại giữa thanh và có giá

trị là : Mmax = PL/4

Chú ý cần nhớ (từ các bài thí dụ trên ta thấy)

 Mômen luôn vẽ về phía thớ chịu kéo của

đoạn z1 ; (0  z1  a ).Xét cân bằng của đoạn AK1

bên trái mặt cắt K1 các nội lực như sau

1

1

z l

M z

V M

l

M V

Q

o A

x

o A

y

(c)

Đoạn CB: Dùng mặt cắt 2-2 trong đoạn CB cách gốc A một đoạn z 2 với (a  z 2 l )

Xét cân bằng phần bên phải của mặt cắt K2  các biểu thức nội lực trên mặt cắt 2-2

2

2

z l l

M z

l V M

l

M V

Q

o B

x

o B

Nhận xét qua 3 thí dụ cơ bản trên:

a) Tại mặt cắt có lực tập trung, trên biểu đồ lực cắt nơi đó có bước nhảy.Tung độ

của bước nhảy bằng trị số lực tập trung Chiều bước nhảy theo chiều lực tập trung nếu ta vẽ từ trái sang phải

b) Tại mặt cắt có mômen tập trung, biểu đồ mômen uốn nơi đó có bước nhảy.Trị

số của bước nhảy bằng trị số mômen tập trung Chiều bước nhảy theo chiều mômen tập trung nếu ta vẽ từ trái sang phải

c) Tại các gối tựa biên và đầu tự do Momen bằng không

d) Đường cong Momen luôn hứng tải trọng

a R a qa a qa A

2

5 0

2 2

a R a qa a qa B

2

1 0

2 2





Đoạn AB: Dùng mặt cắt 1-1(K1) cách gốc A một đoạn z1 ;(0  z1  2a )

Xét cân bằng của phần bên trái AK1 các nội lực như sau

R

M

qz R

Xét cân bằng của đoạn CK2 bên phải mặt cắt K2 

các nội lực như sau

1

1

z a qa

Dựa vào các biểu thức giải tích ta vẽ

được biểu đồ như trên

Nhận xét:Bài thí dụ nầy giống hai bài

+

-

+ qa qa

2 3

K có tác dụng lực tập trung P0,mômen tập trung M0 (H.2.12b)

Viết các phương trình cân bằng 

Biểu thức (b) đã kiểm chứng nhận xét về bước nhảy của biểu đồ mômen

V LIÊN HỆ VI PHÂN GIỮA NỘI LỰC (M x , Q y ) VÀ TẢI TRỌNG PHÂN BỐ q

TRONG THANH THẲNG

Xét một thanh chịu tải trọng bất kỳ Tải trọng tác dụng trên thanh này là lực phân

bố theo chiều dài có cường độ q(z) có chiều dương hướng lên

Khảo sát đoạn thanh vi phân dz, giới hạn bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 Nội lực trên mặt cắt 1-1 là Qy và Mx Nội lực trên mặt cắt 2-2 so với 1-1 đã thay đổi một lượng vi phân

và trở thành Qy + dQy; Mx + dMx.Vì dz là rất

bé nên có thể xem tải trọng là phân bố đều

trên đoạn dz Viết các phương trình cân bằng:

1)Tổng hình chiếu các lực theo phương

Đạo hàm của lực cắt bằng cường độ của

lực phân bố vuông góc với trục thanh

2) Tổng mômen của các lực đối với trọng

tâm mặt cắt 2-2 ta được:

0 ) (

2 )

0L q

VA=

6

0L q

V A=

6

0L q

dz

Đạo hàm bậc hai của mômen uốn tại một điểm chính là bằng cường độ của tải trọng

phân bố tại điểm đó

Có thể viết từ (2.4)và (2.5) như sau :

QPh  QTr  dientichq ( z )TraiPhai MPh  MTr  dientichQy TraiPhai

Qua liên hệ vi phân ta biết được qui luật phân bố các biểu đồ trong từng đoạn

Thí dụ8:

Vẽ BĐNL cho thanh đơn giản AB chịu tác dụng của tải phân bố bậc nhất như hình bên

Phản lực: Giải phóng liên kết, đặt các phản lực tương ứng ở các gối tựa, xét cân bằng

của toàn thanh,

X = 0  HA = 0,

l q V Y

l q V

l l q l

V B

M

o B

o A o

A

3

1 0

6

1 3

2

1 0

Từ (e) và (g) ta vẽ được biểu đồ lực cắt và

mômen cho dầm đã cho Các biểu đồ này có tính

chất như sau

Biểu đồ lực cắt Q y có dạng bậc 2

Tại vị trí z = 0, q(z) = 0 nên ở đây biểu đồ Q y đạt

cực trị: (Qy)z = 0 = Qmax = q o l 6

Biểu đồ mômen uốn M x có dạng bậc 3

Tại vị trí zl 3 ; Qy = 0 Vậy tại đây Mx đạt

cực trị:

3 9 )

3

l q M

l z



Nhận xét:

Tại A: q=0 hàm Qy đạt cực trị, có tiếp tuyến

nằm ngang (dùng vẽ dạng lồi lõm đường cong)

2

qL

2

qL

Thí dụ 9:

Vẽ BĐNL cho thanh có hai đoạn chịu lực như hình vẽ

Phản lực: Giải phóng liên kết, xét cân bằng toàn thanh, suy ra phản lực liên kết tại A

và C là:

H C = 0 , V A qL V B

2

(Hai phản lực ngược chiều)

Nội lực: (thanh có 2đoạn)

Đoạn AB: Mặt cắt 1-1, gốc tại A

qL Q

23

2 2 2

2 2

z L q qL

M

qL z

L q Q

2

z-3L

Chú ý các bước nhảy của biểu đồ lực cắt và biểu đồ momen

Thí du 11:

Vẽ biểu đồ nội lực của khung phẳng

chịu tải trọng như trên H.2.16

Giải: Tính phản lực liên kết

Xét cân bằng của toàn khung dưới tác

dụng của tải trọng ngoài và các phản

lực liên kết giả sử có chiều như hình

L qL

L qL

L q

L qL L V D

8

7 0

4

1 2

3 2 2

2 0

M C V A L qL L q L qL L qL L V A qL

8

13 0

2

3 2

3 2 2

2

3 0

3 8

Thực hiện 3 mặt cắt cho 3 đoạn DB, AB, và BC

Đoạn DB: dùng mặt cắt 1-1 gốc tại D và xét cân bằng đoạn DK1 ta được:

2 1 1 1

1 1

1

qz qLz M

qz qL Q

qL N

2 2

2

qz qLz M

qz qL Q

3

3 3

3

2 2 3 2

3 8

7

8

7 2

3

0

z L z

L qL

M

qL z

L q

M

X

Mx 2

Kiểm tra cân bằng nút(rất cần thiết để kiểm tra lại các biểu đồ vẽ có đúng không)

 Đối với khung, có thể kiểm tra kết quả bằng việc xét cân bằng các nút Nếu tách nút ra khỏi hệ thì phải đặt vào nút các ngoại lực tập trung (nếu có) và các nội lực tại các mặt cắt, giá trị và chiều được lấy từ biểu đồ nội lực vừa vẽ

Sau khi đặt các lực trên, nếu tính đúng các nội lực ở các nút thì nút sẽ cân bằng, nghĩa là các phương trình cân bằng được thỏa mãn Ngược lại, nếu các phương trình không thỏa mãn thì các nội lực tính sai

Ta dễ dàng thấy các phương trình cân bằng thỏa mãn:

1 Phương pháp vẽ từng điểm (dựa vào các nhận xét và liên hệ vi phân)

Dựa trên các liên hệ vi phân, ta định dạng các BĐNL tùy theo dạng tải trọng đã cho

và từ đó ta xác định số điểm cần thiết để vẽ biểu đồ

Trên 1 đoạn thanh

 Nếu biểu đồ có dạng bậc hai trở lên thì cần

ba giá trị tại điểm đầu, điểm cuối và tại nơi

có cực trị, nếu không có cực trị thì cần biết

chiều lồi lõm của biểu đồ theo dấu của đạo

hàm bậc hai.Đoạn thanh có lực phân bố q

hướng xuống sẽ âm, nên bề lõm của biểu

đồ mômen hướng lên.Ngược lại, nếu q

hướng lên sẽ dương nên bề lõm của biểu đồ

mômen hướng xuống

Như vậy ta có thể vẽ biểu đồ nội lực bằng:

a)-phương pháp giải tích (căn bản)

b)-phương pháp vẽ điểm dựa vào liên hệ

vi phân và các bước nhảy

qL

8 9

qL

8 15

76 , 1 128

225

qL

qL 