Tính thể tích khốilăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện theo.. Thể tích của khối nón được giớihạn bởi hình nón đã cho bằng: Câu 44: Cho hình trụ có chiều cao bằng .Khi
Trang 1CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi : Hội đồng sáng kiến: Sở GDĐT Ninh Bình.
Kính gửi : Hội đồng sáng kiến: Sở GDĐT Ninh Bình
Họ và tên: Ngô Thị Yến
Chức vụ: Giáo viên
Trình độ chuyên môn: Đại học
Đơn vị công tác: Trường THPT Kim Sơn B – Ninh Bình
Hộp thư điện tử: ngoyenksb@gmail.com ĐT: 0965791238
Phần trăm đóng góp : 100%
I Tên sáng kiến:
“ Nâng cao, phát triển một số dạng toán mức độ vận dụng, vận dụng cao chương 2: mặt nón – mặt trụ - mặt cầu hình học 12.”
Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học môn Toán
II Nội dung sáng kiến:
1 Giải pháp cũ thường làm:
Hiện nay với hình thức thi trắc nghiệm, nội dung thi Chương 2: Mặt nón – mặt trụ - mặt cầu đã thay đổi rất nhiều so với trước đây nên cách dạy và học chương này theo kiểu cũ đã không còn phù hợp Trong đề thi trước đây các câu của “ Chương 2: Mặt nón – mặt trụ - mặt cầu ” không có trong đề, hoặc nếu có thì chỉ dừng ở mức độ dễ, nội dung mang tính hàn lâm, do
đó khi ôn thi cho học sinh chỉ cần tập trung một số dạng toán cụ thể là được
Trong đề thi đại học cũ (từ năm 2002 đến 2016) có duy nhất một câu liên quan tới nội dung Chương 2: Mặt nón – mặt trụ - mặt cầu
Câu IV (B-2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều có , góc giữa hai mặtphẳng và bằng Gọi là trọng tâm tam giác Tính thể tích khốilăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện theo
Tuy nhiên hiện nay trong đề thi trắc nghiệm mới nội dung chương này đã xuất hiện nhiều hơn,
có nhiều nội dung lạ, đa dạng, nhiều câu hỏi mang tính thực tế, đặc biệt là những câu vận dụng,vận dụng cao nhằm phân loại học sinh khá giỏi
Trang 2Dưới đây tôi xin minh họa những câu thuộc chủ đề MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU trong đề thi mới.
Đề thi THPT QG năm 2016 – 2017
Mã 104 Câu 18 Cho hình nón có bán kính đáy và độ dài đường sinh Tính diện tích xungquanh của hình nón đã cho
Câu 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với và SA vuông góc với đáy Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
toàn phần của hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật
Đề minh họa năm 2017 – 2018 Câu 14 Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng và bán kính đáy bằng Độ dàiđường sinh của hình nón đã cho bằng:
Câu 27 Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy và chiều caobằng Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì Phần lõi códạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn bán kính Giá định
gỗ có giá (triệu đồng), than chì có giá (triệu đồng) Khi đógiá nguyên liệu làmmột chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?
Trang 3Câu 32 Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ , xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán
kính đáy và chiều cao tương ứng là , , , thỏa mãn , (thamkhảo hình vẽ) Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng , thể tích khốitrụ bằng
Đề thi THPT QG năm 2018 – 2019 104
Câu 4 Thể tích khối lăng trụ diện tích đáy và chiều cao là:
Câu 13 Thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
Câu 22 Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần
lượt bằng và Chủ cơ sỏ dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và
có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể trên Bán kính đáy của bể nước dư định làm gần nhất vớikết quả nào dưới đây?
Câu 39 Cho hình trụ có chiều cao bằng Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song vớitrục và cách trục một khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng Diện tích xungquanh của hình trụ đẫ cho bằng:
Trang 4Đề minh họa lần 1 năm 2019 – 2020 Câu 3: Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh và bán kính đáy bằng
Câu 22 Cho hình trụ có bán kính đáy bằng Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng
qua trục, thiết diện thu được là một hình vuông Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:
Câu 40 Cho hình nón có chiều cao bằng Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hìnhnón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng Thể tích của khối nón được giớihạn bởi hình nón đã cho bằng:
Câu 44: Cho hình trụ có chiều cao bằng Khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song
song với trục và cách trục một khoảng bằng ,thiết diện thu được là hình vuông.Tínhthể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ đã cho
Như vậy nếu dạy và học theo nội dung cũ sẽ không giải quyết được hết các vấn đề của chủ đề
Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu, đặc biệt là một số câu ở mức độ vận dụng, vận dụng cao chưa từng
xuất hiện trong các đề thi trước đây như các bài toán thực tế, min max về mặt nón, mặt trụ và mối quan hệ giữa mặt nón, mặt trụ và mặt cầu.
2 Giải pháp cải tiến:
Trước thực tế đó tôi đã đầu tư nghiên cứu đưa ra các sáng kiến để có thể giải quyết trọn
vẹn các vấn đề nâng cao của chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Đặc biệt tập trung vào các dạng
toán vận dụng, vận dụng cao dễ xuất hiện trong đề thi mới
Trang 5Sáng kiến đã được trình bày một cách khoa học, có hệ thống, đầy đủ các dạng toán, đầy
đủ hướng dẫn giải Học sinh có thể tự học, phù hợp với phương pháp dạy học tích cực mới lấyhọc sinh làm trung tâm Chắc chắn sáng kiến sẽ giúp ích rất nhiều cho các thầy cô và các em họcsinh mong muốn đạt điểm cao trong kì thi trung học phổ thông quốc gia sắp tới
2.1 Cơ sở lý luận:
Toàn bộ các kiến thức cơ bản tôi đã tóm tắt chi tiết theo từng chương nhằm giúp người đọc dễ theo dõi và ghi nhớ, đi kèm với đó là các ví dụ minh họa có định hướng cách giải và lời giải cụ thể và các bài tập áp dụng tương ứng theo từng đơn vị kiến thức có đầy đủ cách định hướng giải( xem phần phụ lục của sáng kiến)
Dưới đây là các nội dung chính của sáng kiến
CHƯƠNG 1 Mặt nón, khối nón.
CHƯƠNG 2 Mặt trụ, khối trụ.
CHƯƠNG 3 Mặt cầu, khối cầu.
CHƯƠNG 4 Quan hệ mặt nón, mặt trụ.
CHƯƠNG 5 Quan hệ mặt nón, mặt cầu.
CHƯƠNG 6 Quan hệ mặt trụ, mặt cầu.
CHƯƠNG 7 Quan hệ mặt nón, mặt trụ, mặt cầu.
2.2 Giải pháp mới
Do nội dung kiến thức khá nhiều, tổng chủ đề chúng tối viết khoảng 154 trang đi kèm với nó là nhiều dạng toán mới, nhiều giải pháp để giải quyết các dạng toán mới nên không thể giới thiệu đầy đủ các giải pháp mới trong sáng kiến này, tôi xin phép chuyển toàn bộ nội dung sang phần phụ lục Dưới đây tôi chỉ xin giới thiệu qua một số nội dung tiêu biểu đảm biểu tiêu chí mới lạ kèm cách giải quyết sáng tạo
Trang 6- B 2 : Viết công thức tính thể tích khối nón theo
- B 3 : Dùng bất đẳng thức Côsi hoặc phương pháp hàm số để tìm GTLN.
- B 4 : Kết luận.
Lời giải Chọn A
Trang 7B BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Câu 1. Cho đều cạnh và nội tiếp trongđường tròn tâm , là đường kính của đường tròntâm Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi chophần tô đậm quay quanh đường thẳng bằng:
- B 1 : Gọi thể tích của khối tròn xoay sinh ra do phần tô đậm quay quanh đường thẳng
; hình tam giác quay quanh đường thẳng ; do hình tròn đường kính
quay quanh đường thẳng
lần lượt là , ,
- B 2 : Tính
- B 3 : Kết luận.
Đáp án Chọn C
C VÍ DỤ MINH HỌA.
Câu 1. Tại trung tâm một thành phố người ta tạo ra điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón
có kích thước như sau: chiều dài đường sinh , bán kính đáy Biết rằng tam giác là thiết diện qua trục của hình nón và là trung điểm Trang trí một
hệ thống đèn điện tử chạy từ đến trên mặt nón Xác định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử
Nhận xét:
Trang 8Cắt hình nón theo đường sinh và trải phẳng ra ta được hình quạt có bán kính
Cắt hình nón theo đường sinh và trải phẳng ra ta được hình quạt có bán kính
cm, miệng xô là đường tròn có bán kính cm,chiều cao xô là cm Mỗi tháng sinh viên đódùng hết 10 xô nước đầy Hỏi sinh viên đó phải trảbao nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá nước dochủ nhà trọ quy định là đồng/m3 (số tiềnđược làm tròn đến đơn vị đồng)?
Trang 9Thể tích một xô nước đó là :
Lượng nước sinh viên đó sử dụng hàng tháng là:
Số tiền sinh viên đó phải trả hàng tháng là: đồng
D BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Câu 1. Alexander Đại đế khi chinh phục Ba Tư đã xuất khẩu thành thơ:
“Ta đem quân đến đâyMười vạn binh sĩ khỏeMỗi người một nắm đấtNém lại thành núi cao
Ta đứng trên đỉnh núiNhìn ra biển mênh mông”
Biết mỗi nắm đất có thể tích trung bình , “núi cao” có dạng hình nón, đường sinh tạo với đáy góc Chiều cao của “núi” gần nhất với số nào sau đây?
Thể tích của núi:
Trang 10
CHƯƠNG 2 MẶT TRỤ – KHỐI TRỤ PHẦN II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO.
DẠNG 1 HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ.
Dạng 2 VÍ DỤ MINH HỌA.
là hình vuông và thể tích không đổi bằng Khối hộp chữ nhật nội tiếp trong mộthình trụ Diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất bằng:
.Bán kính của mặt đáy của hình trụ: Diện tích toàn phần của hình trụ:
Câu 5. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm và , bán kính đáy bằng chiều cao
và bằng Trên đường tròn đáy có tâm lấy điểm , trên đường tròn tâm lấy điểm Đặt là góc giữa và đáy Biết rằng thể tích khối tứ diện đạt giá trị lớn nhất Khẳng định nào sau đây đúng?
Định hướng giải
- B 1 : Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm Điểm là hình chiếu của lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm
Trang 11+ Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm
+ Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm + Gọi là bán kính của đường tròn tâm , suy ra:
+ Ta có:
;
Bảng biến thiên:
Trang 12Dựa vào bảng biến thiên, ta có: khi hay Dạng 3 BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Câu 1. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn và , chiều cao và bán kínhđáy Một mặt phẳng đi qua trung điểm của và tạo với một góc Hỏi cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?
Định hướng giải
- B 1 : Gọi là trung điểm của Gọi , là giao điểm của mặt phẳng và đườngtròn và là hình chiếu của trên Trong
Câu 9. Cho hình trụ có chiều cao , các đường tròn đáy lần lượt là
và với Biết là đường kính cố định củađường tròn và là một đường kính thay đổi trên đườngtròn sao cho và không đồng phẳng Tính giátrị lớn nhất của thể tích khối tứ diện
Trang 13Áp dụng vào khối tứ diện ta có:
DẠNG 2 BÀI TOÁN THỰC TẾ HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ.
A VÍ DỤ MINH HỌA.
Câu 1. Khi thiết kế vỏ lon sữa hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí làm vỏ lon là nhỏ nhất Muốn thể tích khối trụ bằng mà diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính của đường tròn đáy khối trụ bằng giá trị nào sau đây ?
Trang 14Lời giải Chọn D
Vậy diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất khi
Câu 3. Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích Đáy bể làm bằng bê tông giá
Phần thân làm bằng tôn giá nắp bằng nhôm giá Hỏi khi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp nhất thì tỷ số giữa chiều cao
và bán kính của đáy là bao nhiêu ?
Định hướng giải
- B 1 : Gọi lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của bể hình trụ Biểu diễn theo Chi phí sản suất là: Chi phí làm đáy Chi phí làm thân Chi phí làm nắp, biểu diễn chi phí này theo
Trang 15- B 2 : Dùng bất đẳng thức Cô si hoặc phươn pháp hàm số để tìm GTNN.
- B 3 : Kết luận.
Đáp án Chọn A
Gọi lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của bể hình trụ
Gọi là chi phí để xây bể, ta có : Chi phí làm đáy Chi phí làm thân Chi phí làm nắp
Trang 16
Hai hình tròn làm hai đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh của thùng đựng dầu(vừa đủ) Biết thùng đựng dầu có thể tích bằng lít (các mối ghép nối khi gò hànchiếm diện tích không đáng kể, lấy ) Tính diện tích của tấm thép hình chữ nhậtban đầu?
CHƯƠNG 3: MẶT CẦU – KHỐI CẦU
C VÍ DỤ MINH HỌA.
Câu 1 Cho mặt cầu tâm và bán kính Ba điểm , , di động và nằm trên mặt
cầu Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức là bao nhiêu?
Định hướng giải
- B 1 : Gọi , lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm
là bán kính đường tròn ngoại tiếp
Trang 17- B 3 : Chứng minh
Kết luận
Lời giải Chọn A
Gọi , lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm
là bán kính đường tròn ngoại tiếp
(3)
Trang 18
Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi hay đều và chứa tâm củamặt cầu.
D BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Câu 1. Trong không gian, cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là (đơn vị độdài) đôi một tiếp xúc với nhau Mặt cầu nhỏ tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên cóbán kính bằng
Trang 19DẠNG 2 MẶT CẦU – TỨ DIỆN THƯỜNG
E VÍ DỤ MINH HỌA.
Dạng 4 Cho hình chóp có , tam giác cân tại ,
, Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Định hướng giải
- B 1 : Gọi là trung điểm của tính
- B 2 : Gọi là trung điểm , trong mp
vẽ đường trung trực cắt tại
- B 3 : Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp
Lời giải Chọn A
Gọi là trung điểm của
Gọi là trung điểm , trong mp
vẽ đường trung trực cắt tại là tâm đường tròn ngoại tiếp
Trong vuông tại
Gọi là trung điểm Trong mp vẽ trung trực cắt đường thẳng qua
và vuông góc mp tại là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
Trang 20A BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Câu 1. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a diện tích xung
quanh S của mặt cầu ngoại tiếp khối hình chóp xq S ABC
A VÍ DỤ MINH HỌA.
Dạng 5.Cho hình chóp , đáy là hình vuông, cạnh , tâm , mặt bên
là tam giác đều và Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoạitiếp hình chóp đó
Trang 21Chứng minh với Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều , kẻ tại làtrục của đường tròn ngoại tiếp tam giác
là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Lời giải Chọn A
Qua , kẻ thì là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông
Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều và kẻ tại E thì
là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại : tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tứ giác có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật
Trang 22A BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Dạng 6 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , mặt bên làtam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có góc Tínhdiện tích của mặt cầu ngoài tiếp hình chóp
A VÍ DỤ MINH HỌA.
Câu 1. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng Giả sử
Khi R ngắn nhất thì tam giác là:
Trang 23Định hướng giải
- B 1 : Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và
là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy Trong mặt phẳng , đường trung trực cạnh cắt tại là trung điểm và cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp
I O1
Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và Khi đó,
là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy Trong mặt phẳng , đường trung trực cạnh cắt tại I Ta chứng minh được I là trung điểm và cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Do đó:
Trang 24lớn nhất.
Hay tam giác ABC vuông tại A.
B BÀI TẬP ÁP DỤNG.
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bằng:
CHƯƠNG 4 QUAN HỆ MẶT NÓN – MẶT TRỤ
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO.
C VÍ DỤ MINH HỌA.
Câu 1. Cho hình trụ có trục , bán kính đáy và chiều cao Hai điểm
di động trên đường tròn đáy sao cho là tam giác đều Gọi là hình chiếu
Trang 25vuông góc của lên mặt phẳng Khi di động trên đường tròn thì đoạn thẳng tạo thành mặt xung quanh của một hình nón, tính diện tích của mặt này.
- B 1 : Dựng hình, xác định độ dài đường sinh và bán kính đáy.
- B 2 : Tính sử dụng tam giác vuông tại và là đường cao
- B 3 : Tính diện tích (diện tích xung quanh).
Lời giải Chọn A
Gọi là trung điểm hình nón tạo thành có đường sinh
và bán kính đáy là