ĐỊNH lý GIỚI hạn TRUNG tâm các xấp xỉ xác SUẤT và bài tập

Phân phối đều:  Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn [a,b] nếu có hàm mật độ là:  Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất của b

KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN

PHẦN I: LÝ THUYẾT

Bài 3: Định lý giới hạn trung tâm – các xấp xỉ xác suất 3.1 Phân phối liên tục: Phân phối đều và phân phối chuẩn

3.1.1 Phân phối đều:

 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn [a,b] nếu có hàm mật độ là:

 Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối đều là:

 Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối

đều trên [a,b] là:

Hình 1: Đồ thị hàm mật độ Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất

của phân phối đều của phân phối đều

 Các đặc trưng số của phân phối đều:

2

b a

( ) 12

b a

3.1.2 Phân phối chuẩn:

 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với hai tham số µ và σ2 nếu có hàm mật độ là:

f(x)=

2 2

( ) 2

1 2

( ) 2

1 2

t x

 Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối

chuẩn như sau:

Hình 3: Đồ thị hàm mật độ của Hình 4: Đồ thị hàm phân phối xác

phân phối chuẩn suất của phân phối chuẩn

 Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn có dạng hình chuông nên phân phối chuẩn còn có tên gọi là phân phối hình chuông

 Các đặc trưng số của phân phối chuẩn:

Kỳ vọng: E(X) =

2 2

( ) 2

1 2

Với: E(X2) =

2 2

( )

2

 Tính xác suất: Giả sử X ~ N(;σ2)

P[a≤ X ≤b] =

2 2

( ) 2

1 2

x b

σ2 thì gần như chắc chắn rằng X sẽ nhận giá trị trong khoảng [- 3σ ,+ 3σ]

 Bổ sung về kiến thức phân phối chuẩn tắc: Nếu biến ngẫu nhiên X có phân

phối với kì vọng µ = 0 và phương sai σ2 = 1 thì X được gọi là biến ngẫu nhiên

có phân phối chuẩn tắc hoặc phân phối Gauss Hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc được kí hiệu là ( )x còn gọi là hàm Gauss, hàm phân phối được kí hiệu là ( )x còn gọi là hàm Laplace

- Hàm ( )x là hàm chẵn, (x)( )x , trong khoảng (0, +∞) thì hàm ( )x đơn điệu giảm (0)0,3989, (1)0, 2420, (2)0, 0540, (3)0, 0044,

Hình 5 : Đồ thị hàm ( )x Hình 6 : Đồ thị hàm ( )x

3.2 Định lý giới hạn trung tâm (Lyapounov)

Cho họ các biến ngẫu nhiên {X1, X2, X3, Xn) độc lập từng đôi một

Đặt Y =

1

n i i

EX

n

i i n

3.3 Xấp xỉ xác suất giữa: Siêu bội và nhị thức, Poisson và Nhị thức

3.3.1 Xấp xỉ xác suất giữa siêu bội và nhị thức:

 Khi N khá lớn, n khá nhỏ so với N lúc đó quy luật phân phối siêu bội xấp xỉ với quy luật phân phối nhị thức





 Ví dụ : Một lô hàng có 1000 sản phẩm trong đó có: 600 sản phẩm tốt và 400 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm Tìm xác suất để trong

10 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt ? Giải:

Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra được trong 10 sản phẩm lấy ra

 X={0,1,2, ,9,10}

Ta có: X ~ H(1000, 600, 10)  B(10; 0,6) Suy ra: P[X=K] =





Gọi A là biến cố lấy được 3 sản phẩm tốt trong 10 sản phẩm lấy ra

Suy ra: P(A) = P[X=3]=

 Khi n khá lớn (n≥100) và p khá nhỏ (p≤0,05) thì quy luật phân phối nhị thức xấp xỉ quy luật phân phối poisson

 Ví dụ: Tại một trận địa phòng không, người ta bố trí 1000 khẩu súng trường

Xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu súng là 0,001 Nếu máy bay bị bắn trúng 1 phát thì xác suất rơi là 0,8 Nếu máy bay bị bắn trúng ít nhất 2 phát thì chắc chắn bị rơi Tính xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng bắn, mỗi lần bắn một viên

Giải:

Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu

 X={0,1,2, ,1000}

Ta có: X ~ B(1000; 0,001)  P() Với: = np = 1000 x 0,001 = 1 Suy ra: X ~ B(1000; 0,001)  P(1) Gọi B là biến cố máy bay bị rơi

Gọi A0 là biến cố không có viên đạn nào trúng máy bay

A1 là biến cố có 1 viên đạn bắn trúng máy bay

A2 là biến cố có 2 viên đạn bắn trúng máy bay

Ta có A0 , A1 , A2 lập thành một hệ đầy đủ xung khắc từng đôi

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(B) = P(A0).P(B/ A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) Với P(A0) = P(X=0) =

1 0

1000

.1 1 (0, 001) (0, 999)

1 1

1000

.1 1 (0, 001) (0, 999)

e

P(B/A2) = 1 Suy ra: P(B) = P(A0).P(B/ A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) = 1

e.0 + 1

e.0,8 + (1 - 2

e).1 = 0,5585 Vậy xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng bắn, mỗi khẩu bắn một viên là 0,5585

3.4 Xấp xỉ xác suất giữa: Chuẩn và nhị thức

 Khi n khá lớn (n≥30) và P không quá gần 0, cũng không quá gần 1 (0<P<1) thì quy luật phân phối nhị thức xấp xỉ quy luật phân phối chuẩn và ta có:

 = npq = 100.0,8.0,2 = 16 Suy ra: X ~ B(100; 0,8)  N(80;16)

Gọi A là biến cố có 70 viên đạn trúng mục tiêu Suy ra: P(A) = P(X=70) = 70 70 30

100

1 70 80 1 (0, 8) (0, 2) ( ) ( 2, 5)

Vậy xác suất để có 70 viên trúng mục tiêu là 0,004375

PHẦN II: BÀI TẬP XÁC SUẤT

II.1 CÔNG THỨC XÁC SUẤT TỔNG – TÍCH

Câu 3: Trong một hộp có 8 bi trắng và 6 bi đen Lấy lần lượt từ hộp ra 2 bi (không hoàn lại) Tính xác suất cả 2 đều là bi trắng; một bi trắng và một bi đen?

Giải:

Xác suất cả hai đều là bi trắng:

Gọi A là biến cố lần 1 lấy được bi trắng

B là biến cố lần 2 lấy được bi trắng

C là biến cố cả hai lần lấy đươc bi trắng

Gọi A là biến cố lấy được lần 1 là bi trắng

B là biến cố lấy được lần 2 là bi đen

C là biến cố lấy được một bi trắng và một bi đen

II.2 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ - BAYES

Câu 15: Bao lúa thứ nhất nặng 20kg có tỉ lệ hạt lép là 1%; bao lúa thứ hai 30kg

và 2% hạt lép; bao thứ ba 50kg và 3% hạt lép Trộn cả ba bao lúa vào bao thứ tư

rồi bốc ra 1 hạt Tính xác suất hạt bốc ra là hạt lép; giả sử hạt bốc ra không lép, tính xác suất hạt này là của bao thứ 2

Giải:

Xác suất hạt bốc ra là hạt lép Gọi A1: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ nhất”

A2: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ hai”

A3: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ ba”

B: “Biến cố hạt bốc ra là hạt lép”

Ta có P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + P(A3).P(B/A3) Với P(A1) = 20 0, 2

20 30 50    P(A2) = 30 0, 3

20 30 50   P(A3) = 50 0, 5

20 30 50   P(B/A1) = 0,01 P(B/A2) = 0,02 P(B/A3) = 0,03

P(B) = 0,2.0,01+0,3.0,02+0,5.0,03 = 0,023 = 2,3%

Vậy xác suất bốc ra hạt lép là 2,3%

Xác suất hạt bốc ra là hạt không lép ở bao thứ hai:

Gọi B: “Biến cố hạt lấy ra không lép”

Vậy xác suất bốc ra hạt không lép ở bao thứ hai là 30,09%

Câu 27: Hộp thứ nhất có 3 bi xanh và 4 bi đỏ, hộp thứ hai có 6 bi xanh và 2 bi đỏ;

hộp thứ ba có 4 bi xanh và 7 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, tiếp tục lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba Sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ ba ra 1 bi, tính xác suất bi này là màu xanh

Giải:

Gọi A là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 1 thì A là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 1 Gọi B là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 2 thì B là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 2 Gọi C là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 3

P(A) =

7

3

1 7

3 1 ) (   

3

9

1 6 1

9

1 7

C

C C

7 5

27

51)(1)

2 12

4 7

5 12

5 7

2 7

5

12

1 4 1

C

Vậy xác suất bốc được bi xanh ở hộp 3 là:

28 11

II.3 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ LIÊN TỤC

Câu 28: Một kiện hàng có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng đó ra 2 sản phẩm (chọn một lần)

a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được

b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được

c) Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu

28 28 10

1028Khi x 0 F X( )P X( x)P( ) 0

0 nếu x 0

( )

28 nếu 0<x1 18

28 nếu 1<x2

1 nếu x>2

b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được

Gọi X là số sản phẩm xấu được chọn: X 0,1, 2

Ta tính xác suất tương đương của X

15 28

3 28

0 nếu x 0 10

28 nếu 0 x 1 F(X) = 25

28 nếu 1 x 2

1 nếu x>2 c) Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu

 2 2 2 2 2

Khi 0<x 3

27 9

0 ) ( ) ( ) ( ) (

3

0 2

0

0

x dt

t dt

t f t f x X P x F

x x

x

Vậy hàm phân phối xác suất của x là:

nếu x  0nếu 0<x 3nếu x>3

0

) (

3

x x F

, 0

2

3 2

* EX:

E(x)=

4

3 9 )

( )

( )

( )

( )

(

3

0

3 3

0 3

* VarX:

D(x)=

80

387 4

3 9

0 )

( )

(

2 3

0

4 2

x xf dx x f x

b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;4) Xác xuất để x nhận giá trị trong khoảng (1,4) là :

P(1<x<4)=

27

26 0 9 )

( )

( )

(

3

1

2 4

3 3

1 4

( A P

2

2 23

Giải:

Gọi X là số cuộc điện thoại gọi đến trong một phút

 là số cuộc điện thoại trung bình gọi đến trong một phút: 300 5

Gọi X là số lỗi in sai trong một trang sách

 là số lỗi in sai trung bình trong một trang sách: = 100 0,1

1000Suy ra: X~P( )

Ta có: ( ) 0,1.0,1 ,  0,

!

K e

Câu 56: Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 0,3% Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm của lô hàng này Tính số sản phẩm tối thiểu cần kiểm tra để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không bé hơn 91%

Giải:

Gọi A là biến cố chọn dược ít nhất một phế phẩm trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để xác suất chọn được ít nhất một phế phẩm không nhỏ hơn 91% thì A là biến cố không nhận được phế phẩm nào trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để xác xuất nhận được ít nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn 91%

Hai biến cố A và A là hai biến cố đối lập nhau nên giả sử P(A) là xác suất của biến cố

A thì xác suất của biến cố A là P(A) = 1- P(A)

Vì tỉ lệ phế phẩm = 0,003 là không thay đổi và khi thực hiện chọn ra sản phẩm chỉ xảy

ra 2 khả năng hoặc nhận được chính phẩm hoặc nhận được phế phẩm nên bài toán tuân theo lược đồ bernoulli

Gọi X là số phế phẩm lấy được thì X tuân theo lược đồ Bernoulli Với p =0,003 và q = 0,997

Câu 57: Một trường tiểu học có tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9% Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt từng học sinh của trường này Tính số học sinh tối thiểu cần kiểm tra để xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không bé hơn 95%

Vì tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9% là không thay đổi và khi thực hiện chọn ra chỉ xảy

ra 2 khả năng hoặc chọn được học sinh bị cận thị hoặc chọn được học sinh không bị cận thị nên bài toán tuân theo lược đồ Bernoulli

Gọi X là số học sinh bị cận thị chọn được thì X tuân theo lược đồ Bernoulli Với p= 0,009 và q = 0,991

P(A) = P(X=0)= Cn

0

.(0,009)0.(0,991)n = (0,991)n

P(A) = 1 - (0,991)nTheo đề P(A)  0,95 1 - (0,991)n  0,95 n.ln(0,991)ln(0,05)

Câu 68: Một người có 3 chỗ yêu thích như nhau để câu cá Xác suất câu được cá

ở 3 chỗ 1, 2, 3 tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8 Người đó chọn ngẫu nhiên 1 chỗ thả câu

3 lần và chỉ câu được 1 con cá Tính xác suất để con cá câu được ở chỗ thứ 3

Giải:

Gọi A là biến cố 3 lần thả câu chỉ được một con cá Gọi Ai (i=1,2,3) là biến cố câu được cá ở cỗ thứ i Gọi Bi là biến cố chỉ câu được một con cá ở chỗ thứ i thì P(Bi) = P(A/Ai)

A1, A2, A3 là các biến cố đồng khả năng và chúng lập thành hệ đầy đủ các biến cố xung khắc từng đôi

Vì khả năng câu được cá ở 3 chỗ là như nhau nên : P(A1) = P(A2) = P(A3)=

31

Gọi x là số cá câu được sau 3 lần thả câu (x = 0,1,2,3) xác suất câu được x con cá ở mỗi chỗ là phân phối nhị thức với n=3 và P1= 0.6, P2=0.7,P3= 0.8

P(A)= P(A1) P(A/A1)+P(A2) P(A/A2)+P(A3) P(A/A3)

= P(A1) P(B1) +P(A2) P(B2) +P(A3) P(B3) = 0.191

P(A3/A)=

P(A)

P(A/A3)P(A3)

=

191

32 191 0

096 0 3

1



Vậy xác suất để con cá câu được ở chỗ thứ ba là

191 32

II.4.3 Phân phối chuẩn

Câu 73: Cho XN(3; 4) Tính P(X<2), P(X 2 ≤4), P( X 3  4), P( X 2  1)

Giải:

Đại lượng ngẫu nhiên X tuân theo qui luật phân phối chuẩn với  3,2 4Giả sử ta cần tính P(X1 X X2)

Ta có P(X1 X X2)= f x dx dx

x x

x x

1

2 ) (

2

1 )

1

2

0 0

1

2 1

x

x x

x

u

du u f du u f du

0 0

1 2

)()

f

x x

322

32)22

()4

3 3 1 ) 3 1

( 1 ) 3 1

( ) 1 2

Câu 83: Một doanh nghiệp cần mua 1 loại trục máy có đường kính từ 1,18cm đến 1,22cm Có hai nhà máy bán loại trục máy này và đường kính các loại trục máy được sản xuất ra là biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối chuẩn với các đặc trưng:

Đặc điểm Nhà máy

Đường kính trung bình

Độ lệch tiêu chuẩn

Giá bán

X(Nhà máy I) 1,2cm 0,01 3 triệu/hộp/100 cái Y(Nhà máy II) 1,2cm 0,015 2,7 triệu/hộp/100 cái Vậy doanh nghiệp nên mua trục của nhà máy nào?

2 , 1 18 , 1 01

, 0

2 , 1 22 , 1

Vậy giả sử mua 100 cái trục của nhà máy 1 thì số trục đạt yêu cầu là 95,45 trong khi

đó số tiền phải bỏ ra là 3tr đồng suy ra giá trị sử dụng trung bình của một trục là

tr

031143 ,

0 45 , 95 3



Gọi Y là số trục đạt tiêu chuẩn của nhà máy 2 thì Y tuân theo qui luật phân phối chuẩn với  0,12 và  0,015 suy ra:

81648 , 0 015 , 0

2 , 1 8 , 1 015

, 0

2 , 1 22 , 1 )

Suy ra trong 100 sản phẩm có 81,684 sản phẩm đạt yêu cầu

Suy ra giá trị sử dụng của một trục của nhà máy 2 là 0,03307

648,81

7,2

Vậy giá trị sử dụng một trục sản phẩm của nhà máy X nhỏ hơn giá trị sử dụng một trục của nhà máy Y suy ra công ty nên mua trục của nhà máy X

II.4.4 Các loại xấp xỉ xác suất thông dụng (Siêu bội ~ Nhị thức ~ Poisson, Chuẩn)

Câu 84: Một bao thóc có tỷ lệ hạt lép là 0,01% Chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt Tính xác suất để:

0,5

.0,5

!

K e

Vì tỷ lệ số đĩa nhạc bị hỏng = 0,001 là không đổi nên bài toán tuân theo công thức bernoulli với n=9000 và p=0,001

Mặt khác p quá nhỏ (p<0,05) và n quá lớn nên công thức bernoulli xấp xỉ công thức poisson với =np=0,001.9000 = 9

! 9000

9000

! 8999

8999

! 8998

8998

! 8997 9

! 8996

9

! 8995

9

! 8994

9

! 8993

9

! 8992

9

! 8991

9

! 8990

9 ) 8990 P(X

= ) A P(

9 9

9 8997 9

8996 9 8995 9 8994 9 8993 9 8992 9 8991 9 8990 9

e e

e e

e e

e e

e

( ) 1 ( ) 1 0 1

Vậy xác xuất để hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc có nhiều hơn 10 đĩa không hỏng là 1

Câu 93: Một trường cấp 3 có 900 học sinh Giả sử trong 1 năm trung bình mỗi học sinh phải nằm ở trạm y tế của trường 1 ngày và khả năng bị bệnh của học sinh phân phối đều các ngày trong năm Số giường của trạm y tế tối thiểu là bao nhiêu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01

K

e K

K

e K

PHẦN III: BÀI TẬP THỐNG KÊ

III.1 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

Câu 1: Người ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm của một nhà máy thì thấy có

20 phế phẩm Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của nhà máy này

Giải:

Gọi p là tỉ lệ số chính phẩm trong 400 sản phẩm kiểm tra:

p = 380

400= 0,95 Tính với độ tin cậy 95%, ta ước lượng tỉ lệ p đám đông

(1 ) 380

Vậy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của nhà máy này là (0,9256 ; 0,9714)

Câu 4: Trong kho có 1000 sản phẩm của nhà máy A sản xuất bỏ lẫn với nhiều sản phẩm do nhà máy B sản xuất Lấy ngẫu nhiên từ kho ra 100 sản phẩm thấy có 9 sản phẩm do nhà máy A sản xuất Với độ tin cậy 92%, hãy ước lượng trong kho này có khoảng bao nhiêu sản phẩm do nhà máy B sản xuất?

Câu 30: Một nông dân gieo thử nghiệm 1000 hạt của một giống lúa mới thì có 640 hạt nảy mầm

a) Với độ tin cậy là 95%, hãy ước lượng tỉ lệ nảy mầm của giống lúa này

b) Muốn có độ tin cậy 97% và sai số ước lượng tỉ lệ hạt nảy mầm là 2% thì người nông dân cần gieo tối thiểu bao nhiêu hạt?

Chú thích:  x gọi là phần nguyên của x, là số nguyên lớn nhất không vượt quá x

Câu 40: Độ dày của một bản kim loại (đơn vị: mm) là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Đo ngẫu nhiên 10 bản loại này thu được kết quả như sau:

4,1 3,9 4,7 4,4 4,0 3,8 4,4 4,2 4,4 5,0 a) Ước lượng độ dày trung bình của bản kim loại này với độ tin cậy 90%

b) Ước lượng độ phân tán của độ dày bản kim loại với độ tin cậy 95%

Giải:

a) Tính ước lượng độ dày trung bình của bản kim loại với độ tin cậy 90%

Độ dày trung bình của bản kim loại là:

1 4,1 3, 9 4, 7 3.4, 4 4, 0 3, 8 4, 2 5, 0

4, 29 10

(x ;x )

   = (4,29-0,214; 4,29+0,214) = (4,076; 4,504)

b) Độ tin cậy: 1 - = 0,95 

0, 025 2

1 0, 975 2