Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của tiểu luận này là: "Rèn luyện năng lực giải toán tiếp tuyến với đồ thị C y = fx cho học sinh THPT theo định hướng TDST".. Giả thuyết khoa học Nếu
Mục đích nghiên cứu
Mục đích của bài viết là phát triển kỹ năng giải toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) cho học sinh trung học phổ thông Nội dung tập trung vào việc hướng dẫn học sinh nắm vững các phương pháp giải các bài toán liên quan đến tiếp tuyến, qua đó nâng cao năng lực phân tích và vận dụng kiến thức toán học Bài viết cung cấp các ví dụ cụ thể giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách xác định phương trình tiếp tuyến và vận dụng trong các bài tập thực tế Các bài tập này nhằm mục tiêu giúp học sinh củng cố kiến thức, phát triển tư duy logic và hình thành kỹ năng giải quyết các bài toán phần tiếp tuyến theo định hướng thực tiễn.
Giả thuyết khoa học
Việc quan tâm đúng mức và tổ chức hợp lý việc khái thác các dạng toán liên quan đến phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) cho học sinh THPT sẽ giúp phát triển kỹ năng tư duy sáng tạo và tư duy trừu tượng Điều này góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường THPT, giúp học sinh nâng cao năng lực giải quyết các vấn đề phức tạp Tập luyện đều đặn các dạng toán liên quan đến phương trình tiếp tuyến là yếu tố quyết định để phát triển năng lực tư duy sáng tạo của học sinh, từ đó thúc đẩy hiệu quả của quá trình giảng dạy và học tập.
Nhiệm vụ nghiên cứu
4.2 Xác định các vấn đề đã đề xuất nhằm rèn luyện TDST cho học sinh
4.3 Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập phương trình tiếp tuyến với đồ thị phù hợp với sự phát triển TDST cho học sinh
Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, lý luận dạy học môn toán
- Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài
- Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài
Cấu trúc tiểu luận
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Phụ Lục chuyên đề, Tiểu luận có hai chương:
Chương 1 tập trung vào việc phân tích các vấn đề lý luận và thực tiễn liên quan đến phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = f(x) \), giúp xây dựng nền tảng kiến thức vững chắc Trong chương 2, hệ thống hóa và luyện tập giải toán phương trình tiếp tuyến nhằm nâng cao kỹ năng dạy và học, phát triển khả năng tư duy sáng tạo và ứng dụng kiến thức toán học vào thực tế Việc nắm vững các phương pháp giải phương trình tiếp tuyến không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về đặc điểm của đồ thị hàm số mà còn góp phần nâng cao năng lực giải quyết các bài toán phức tạp, từ đó thúc đẩy hiệu quả học tập và phát triển tư duy logic.
Tƣ duy sáng tạo
Theo nhà tâm lý học người Đức Mehlhorn, TDST là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân và đóng vai trò là mục tiêu cơ bản của giáo dục J Danton cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của TDST trong quá trình phát triển cá nhân và hình thành tư duy độc lập Chính việc phát triển TDST giúp mỗi người nâng cao khả năng sáng tạo, tự lập và thành công trong học tập cũng như trong cuộc sống Do đó, giáo dục nên tập trung vào việc nuôi dưỡng và phát triển TDST để tạo ra những cá nhân ích lợi cho xã hội.
Theo nghiên cứu của (1995), TDST được định nghĩa là khả năng tìm kiếm ý tưởng mới và thiết lập các mối liên hệ mới, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và giá trị, đồng thời là một quá trình liên tục Ông cho rằng, phương pháp dạy và học nhằm phát triển TDST cho học sinh bao gồm các hoạt động như khám phá, phát minh, đổi mới, trí tưởng tượng, thí nghiệm và thám hiểm, giúp thúc đẩy khả năng sáng tạo và tư duy linh hoạt của học sinh.
Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, giúp tạo ra những ý tưởng mới và độc đáo, từ đó nâng cao hiệu quả trong quá trình ra quyết định vấn đề Theo Tôn Thân, tư duy này thúc đẩy khả năng đổi mới và sáng tạo, góp phần quan trọng vào thành công cá nhân và doanh nghiệp Việc phát triển tư duy sáng tạo không chỉ giúp giải quyết các thử thách một cách hiệu quả mà còn mở ra nhiều cơ hội mới trong công việc và cuộc sống.
Một số đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo
Theo các nhà nghiên cứu, TDST bao gồm năm thành phần sau đây:
- Tính mềm dẻo là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác
- Tính nhuần nhuyễn là khả năng tìm đƣợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau
- Tính độc đáo là khả năng tìm kiếm và quyết định phương thức giải quyết lạ hoặc duy nhất
- Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng
Tính nhạy cảm vấn đề là khả năng nhanh chóng nhận diện ra các vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm hoặc thiếu logic trong tình huống Điều này giúp người có phẩm chất này dễ dàng phát hiện điểm bất hợp lý và nảy sinh ý tưởng để cấu trúc lại vấn đề một cách hợp lý, hài hòa Nhờ đó, họ có thể tạo ra những giải pháp mới sáng tạo và phù hợp với hoàn cảnh Tính nhạy cảm này là yếu tố quan trọng để nâng cao khả năng tư duy phản biện và đổi mới trong quá trình giải quyết vấn đề.
Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo thể hiện rõ ở học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi trong hoạt động giải toán Học sinh đã biết linh hoạt di chuyển, thay đổi hoạt động trí tuệ, sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp để tìm tòi, giải quyết vấn đề, đồng thời trình bày lời giải một cách logic và sáng tạo Điều quan trọng là giáo viên cần áp dụng phương pháp dạy học phù hợp nhằm bồi dưỡng và phát triển năng lực sáng tạo của các em.
Vận dụng tƣ duy biện chứng để phát triển tƣ duy sáng tạo
Triết học duy biện chứng phản ánh chính xác thế giới xung quanh, giúp người thầy giáo rèn luyện cho học sinh năng lực phân tích các đối tượng và hiện tượng trong quá trình vận động, các mối liên hệ, mâu thuẫn và sự phát triển của chúng.
Triết lý biện chứng đóng vai trò quan trọng trong việc giúp chúng ta nhận diện vấn đề và xác định hướng giải quyết một cách hiệu quả Nó còn giúp củng cố niềm tin khi đối mặt với thất bại tạm thời trong quá trình tìm tòi, với niềm tin rằng thành công sẽ đến vào một ngày không xa Hướng tiếp cận này khuyến khích chúng ta xem xét các khái niệm toán học từ nhiều góc độ khác nhau để mở rộng hiểu biết và thúc đẩy sự sáng tạo trong học tập và nghiên cứu.
Tư duy sáng tạo là hoạt động nhận thức mang tính đột phá, giúp giải quyết vấn đề theo cách mới mẻ và hiệu quả, vận dụng trong các hoàn cảnh hoàn toàn mới Để phát huy tư duy sáng tạo, cần xem xét vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau, đặt nó trong các tình huống đa dạng để tìm ra các giải pháp sáng tạo phù hợp Tư duy biện chứng nhấn mạnh việc phân tích sự vật một cách đầy đủ, toàn diện, xem xét các mối quan hệ phức tạp của sự vật trong tổng thể các mối liên hệ đa dạng giúp thúc đẩy khả năng sáng tạo của học sinh Điều này đặc biệt quan trọng trong học tập toán học, giúp học sinh không chỉ giải các bài toán theo cách truyền thống mà còn phát triển nhiều phương pháp khác nhau, góp phần hình thành tư duy sáng tạo và tư duy phản biện vững vàng.
Một số biện pháp nhằm phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh
1.4.1 Nhóm biện pháp 1: Tạo cho học sinh thói quen mò mẫm, dự đoán rồi phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự
1.4.2 Nhóm biện pháp 2: Tập cho học sinh biết phân tích tình huống đặt ra dưới nhiều góc độ khác nhau, biết giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau và lựa chọn các giải quyết tối ƣu
1.4.3 Nhóm biện pháp 3: Tập cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức và hệ thống hóa phương pháp.
Một số cách thức khai thác bài toán trong SGK theo định hướng phát triển năng lực tƣ duy sáng tạo
1.5.1 Lập bài toán tương tự với bài toán ban đầu
1.5.2 Lập bài toán đảo của bài toán ban đầu
1.5.3 Thêm vào bài toán ban đầu một số yếu tố đặc biệt hóa bài toán ban đầu
1.5.4 Bớt đi một số yếu tố của bài toán ban đầu, khái quát hóa bài toán ban đầu
1.5.5 Thay đổi một số yếu tố của bài toán ban đầu
Tiềm năng của chủ đề tiếp tuyến với đồ thị hàm số trong việc bồi dƣỡng tƣ
Trong quá trình học Toán, kỹ năng vận dụng Toán học đóng vai trò vô cùng quan trọng, giúp học sinh không chỉ nắm vững kiến thức mà còn phát triển sự độc lập, sáng tạo và khả năng tư duy logic Nhà trường phổ thông không chỉ cung cấp kiến thức Toán học mà còn tập trung rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt những kiến thức đó vào thực tế, qua đó phát huy tính độc đáo trong cách giải quyết vấn đề của từng học sinh Việc rèn luyện kỹ năng vận dụng Toán học sẽ trang bị cho học sinh khả năng sáng tạo và tư duy phản biện, góp phần nâng cao thành tích học tập và tạo nền tảng vững chắc cho những bước tiến tiếp theo.
Các nhà tâm lý học xác định rằng sáng tạo bắt đầu khi các phương pháp logic không còn đủ để giải quyết nhiệm vụ, gặp trở ngại hoặc không đáp ứng được các yêu cầu ban đầu Đây chính là thời điểm xuất hiện các giải pháp mới, sáng tạo, mang lại hiệu quả tốt hơn so với các phương án cũ.
Hệ thống bài tập đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy sáng tạo của học sinh, đặc biệt là khả năng tìm hướng đi mới và các lời giải khác nhau cho cùng một bài toán Việc khai thác và sử dụng hợp lý các bài tập giúp rèn luyện kỹ năng tìm ra kết quả mới bằng cách khám phá các kết quả đã có và xem xét các khía cạnh đa dạng của vấn đề Điều này thúc đẩy tư duy phản biện và khả năng tư duy linh hoạt của học sinh trong quá trình học tập và giải quyết vấn đề.
Chủ đề bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=f(x) đóng vai trò quan trọng trong việc phát huy năng lực sáng tạo của học sinh Việc không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn mở ra cơ hội khai thác các tiềm năng sáng tạo thông qua xây dựng hệ thống bài tập mới dựa trên các dạng bài tập cơ bản Điều này tạo điều kiện để học sinh phát triển tư duy sáng tạo và khả năng tư duy logic trong môn Toán Các giáo viên có thể sử dụng chủ đề này như là một công cụ để nâng cao hiệu quả giảng dạy và thúc đẩy tư duy phản biện của học sinh.
Trong quá trình dạy học, giáo viên cần hướng dẫn học sinh giải quyết hệ thống bài tập mới, giúp học sinh phát hiện ra vấn đề mới một cách tự nhiên Việc này không chỉ thúc đẩy khả năng tư duy độc lập của học sinh mà còn là yếu tố quan trọng trong quá trình hình thành kỹ năng giải quyết vấn đề Bồi dưỡng khả năng phát hiện vấn đề mới cho học sinh giúp nâng cao hiệu quả học tập và phát triển tư duy sáng tạo Chính vì vậy, giáo viên cần chú trọng xây dựng các hoạt động giúp học sinh nhận biết và phân tích vấn đề mới trong quá trình học tập.
Trong giáo dục toán học, việc áp dụng nhiều phương pháp khai thác khác nhau ngoài các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa giúp rèn luyện tư duy linh hoạt và sáng tạo của học sinh Các bài toán phát triển từ các phương pháp này không chỉ nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề mà còn thúc đẩy tính nhuần nhuyễn và độc đáo trong tư duy toán học Áp dụng đa dạng các phương pháp dạy học giúp học sinh phát triển tư duy logic và sáng tạo, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toán học.
Phân tích khái niệm Tư Duy Sáng Tạo (TDST) và các yếu tố đặc trưng của nó cho thấy việc bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST cho học sinh là một trong những biện pháp quan trọng để phát triển năng lực tư duy sáng tạo Các bài tập nhằm mục tiêu nâng cao tính mềm dẻo của TDST, giúp học sinh dễ dàng chuyển đổi giữa các hoạt động trí tuệ, suy nghĩ linh hoạt và không rập khuôn; nhận biết vấn đề mới trong tình huống quen thuộc; và khám phá các chức năng mới của các đối tượng quen thuộc Đồng thời, các bài tập còn tập trung vào việc bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn của TDST, khuyến khích học sinh tìm ra nhiều giải pháp đa dạng từ các góc độ và hoàn cảnh khác nhau, cũng như xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau Ngoài ra, việc phát triển tính nhạy cảm vấn đề giúp học sinh nhanh chóng phát hiện các vấn đề, tạo ra các bài toán mới, và nhận diện sớm các mâu thuẫn, thiếu logic để nâng cao khả năng sáng tạo và tư duy phản biện.
Kết luận chương 1
Chương này đã làm rõ các khái niệm về tư duy để giải bài tập, nêu bật các yếu tố đặc trưng của phương pháp này Ngoài ra, bài viết trình bày các cách khai thác các bài toán trong sách giáo khoa theo hướng phát triển tư duy sáng tạo và tư duy biện chứng, góp phần nâng cao khả năng tư duy của học sinh Đồng thời, nội dung cũng nhấn mạnh tiềm năng của chủ đề tiếp tuyến với đồ thị hàm số trong việc bồi dưỡng kỹ năng tư duy logic cho học sinh, giúp phát triển toàn diện năng lực học tập.
Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình giải bài tập toán đóng vai trò rất quan trọng trong việc khơi dậy niềm đam mê học tập và phát huy khả năng sáng tạo của học sinh Thông qua hoạt động này, học sinh không những học tập tích cực hơn mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy logic, phản biện và giải quyết vấn đề hiệu quả Chính vì vậy, việc tích hợp các phương pháp dạy học giải bài tập toán để phát triển tư duy sáng tạo là rất cần thiết, giúp học sinh vận dụng kiến thức vào thực tiễn cuộc sống một cách linh hoạt và sáng tạo hơn.
Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm ra đƣợc các phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện TDST cho học sinh.
Tiếp tuyến của đường cong phẳng
Trong đồ thị (C), M₀ và M là hai điểm khác nhau thuộc đồ thị Khi cố định điểm M₀ và di chuyển điểm M trên (C) gần M₀, giới hạn của cát tuyến (M M₀) chính là tiếp tuyến tại điểm M₀ Điều này thể hiện rằng, khi M tiến gần M₀, cát tuyến hội tụ đến tiếp tuyến M T₀ tại điểm M₀, phản ánh tính chất của giới hạn trong hình học.
Phân loại các bài toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x ( )
2.2.1 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm M x y o ( ; o o ) thuộc đồ thị hàm số ( ) :C y f x( )
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M x y o ( ; o o )( ) :C y f x( ) có hệ số góc là k f x'( ) o Phương trình tiếp tuyến tại M x y o ( ; o o ) của (C) là: ( ) :d y f x'( )( o xx o )y o
1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 6
4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm cho (C) với trục hoành
5) Dự đoán và chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất Phát biểu tổng quát cho hàm số yax 3 bx 2 cxd (a0)
Do đó tọa độ điểm uốn là U(1;0) Phương trình tiếp tuyến tại U là ( ) :d y y'(1)(x 1) 0 x 1
2) Ta có: x o 1 y o 6 và Ta có: y x'( ) o y'( 1) 11 Suy ra Phương trình tiếp tuyến là:( ) :d y y'( 1)( x 1) 6 11x5
3) Gọi M x y o ( ; o o ) là tiếp điểm, ta có:
3 2 6 ( 3)( 2) 0 3 o o o o o o x x x x x x Vậy phương trình tiếp tuyến là: ( );d y y'(3)(x 3) 6 11x27
4) Phương trình giao điểm của (C) với Ox: x 3 3x 2 2x 0 x 0;x1;x2
5) Vì hệ số góc của mọi tiếp tuyến đều có dạng f x'( ) và hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn bằng -1 Do đó, để chứng minh bài toán, ta chỉ cần chứng minh: f x'( ) 1 Điều này luôn đúng vì: f x'( ) 1 0, x R (đpcm)
Chứng minh tương tự cho hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) (với \( a \neq 0 \)) cho thấy rằng nếu \( a > 0 \), thì tiếp tuyến tại điểm uốn của hàm số có hệ số góc nhỏ nhất Kết quả này là một mở rộng tổng quát của câu 5, nhấn mạnh mối liên hệ giữa hệ số \(\,a\) và đặc tính của tiếp tuyến ở điểm uốn trong phân tích đạo hàm và cực trị của hàm số bậc ba.
Nếu a0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất “
Bài 2 Cho hàm số y f x( )x 3 1 m x( 1)(C m ) Viết phương trình tiếp tuyến của (C m )tại giao điểm của (C m ) với trục Oy Tìm m để tiếp tuyến đó tạo với Ox; Oy một tam giác có diện tích bằng 8
Gọi ACmOy A(0;1m) Suy ra tiếp tuyến tại (0;1A m): (dm) :y f '(0)x (1 m) Với f x'( )3x 2 m suy ra f '(0) m
Vậy tiếp tuyến: (dm) :y mx 1 m
Dự đoán rằng không có điểm nào trên (C) để tiếp tuyến tại M tạo với Ox góc 45 o Chứng minh điều dự đoán đó là đúng
Giả sử M x y( ; o o ) thuộc (C) Suy ra tiếp tuyến tại M có hệ số góc:
Do tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 o suy ra hệ số góc tan 45 o 1 k
Kết luận: Không có điểm M( )C để tiếp tuyến tại đó tạo với Ox góc 45 o
Dự đoán tồn tại điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến tại M tạo đường thẳng y 2 góc 45 o Chứng minh điều dự đoán đó là đúng
Giả sử M x y( ; o o ) thuộc (C) Suy ra tiếp tuyến tại M có hệ số góc:
Do đường thẳng y 2 //Ox nên tiếp tuyến tạo với 2 y góc 45 o tạo với Ox góc 45 o
Do đó hệ số góc k 1 Nếu
Trên (C) mà tiếp tuyến tại đó tạo với đường thẳng y = -2 góc 45 o
Tìm điểm M thuộc (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại M tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất
tiệm cận đứng x1; tiệm cận xiên y x 1
giao điểm hai tiệm cận là điểm I(1;2)
AB AI BI AI BI
Và chu vi C AIBIAB
Chu vi bé nhất Cmin4 2 4 2 328 đạt đƣợc khi
Trong bài viết này, chúng ta phân tích đặc điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm M, nơi đó tiếp tuyến cắt hai tiệm cận của đồ thị tại các điểm A và B, tạo thành một tam giác IAB Chúng ta dự đoán diện tích của tam giác IAB là không đổi và sẽ chứng minh tính đúng đắn của dự đoán này Bên cạnh đó, bài viết cũng mở rộng khái quát áp dụng cho các hàm số một biến và hàm hữu tỉ, cho biết mọi tiếp tuyến của đồ thị đều tạo thành một tam giác có diện tích không đổi với hai đường tiệm cận Cuối cùng, chúng ta tìm tất cả các điểm trên đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập thành tam giác có chu vi nhỏ nhất với hai đường tiệm cận, giúp hiểu rõ hơn về tính chất tối ưu của các tiếp tuyến trong đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 0 có dạng:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C) là: x = 1
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) là: y =1
Toạ độ giao điểm của hai đường tiệm cận là A(1; 1)
Toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là nghiệm của hệ:
Tương tự, toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: )
Do tam giác ABC vuông tại A nên diện tích của tam giác ABC là:
S ( Không đổi) (Điều phải chứng minh)
Diện tích của tam giác tạo thành bởi tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số hữu tỉ nhất biến với hai tiệm cận của đồ thị là một số không đổi Điều này cho thấy rằng regardless of the position of the point, diện tích tam giác này không thay đổi, phản ánh tính chất đặc biệt của đồ thị hàm số Bên cạnh đó, chu vi của tam giác ABC có thể được tính dựa trên các yếu tố liên quan đến các hệ số và các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị, giúp hiểu rõ hơn về tính chất hình học của hàm số này Các kiến thức này rất hữu ích trong việc phân tích các đặc tính hình học của các hàm số hữu tỉ, đồng thời hỗ trợ trong việc tối ưu hóa và định lượng các tam giác liên quan trên đồ thị.
Dấu “ =” khi và chỉ khi AB = AC 2 1
Vậy, những điểm thuộc (C) có hoành độ thoả mãn x1 2 thì tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất
2.2.2 Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm A x( A ;y A ) cho trước đến đồ thị hàm số ( ) :C y f x( )
* Phương pháp tìm tiếp điểm
Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua ( A ; A )
A x y tiếp xúc ( ) :C y f x( ) tại tiếp điểm có hoành độ x o suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) :d y f x'( )( o xx o ) f x( ) o
- Điểm A x( A ;y A )( )d y A f x'( )( o x A x o ) f x( ) o Giải phương trình này có nghiệm x o , từ đó có phương trình tiếp tuyến
Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc
- Phương trình đường thẳng qua điểm M x y o ( ; o o ) với hệ số góc k có phương trình:
( )d yk x( x A )y A tiếp xúc với đồ thị ( ) :C y f x( )
Giả hệ phương trình (*) nghiệm x o y o f x( ) o ; k f x'( ) o
- Phương trình tiếp tuyến tại x x o là: ( ) :d y f x'( )( o xx o ) y o
Bài 1 Cho yx 3 3x1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm
- Gọi M x y o ( ; o o ) là tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến là:
Phương trình đường thẳng đi qua 2
(d) là tiếp tuyến: hệ điều kiện tiếp xúc
Thế pt(2) và pt(1) đƣợc: 3 2 2
Trong bài toán này, học sinh thường nhầm lẫn giữa hai khái niệm: tiếp tuyến đi qua một điểm ngoài đồ thị và tiếp tuyến tại điểm của đồ thị Điều này dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C) Vì vậy, qua bài tập này, quan trọng là giúp học sinh nhận thức rõ sự khác biệt rõ rệt giữa hai loại tiếp tuyến để tránh nhầm lẫn và hiểu đúng bản chất của từng khái niệm.
Bài 2 Cho y x 3 3x 2 2 (C) Dùng hình tượng dự đoán trên đường thẳng 2 y có vô số điểm M mà từ đó kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số
CMR điều dự đoán đó là đúng
- Gọi M x y o ( ; o o ) là tiếp điểm phương trình tiếp tuyến là:
Để từ M a( ;2) kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến phân biệt thị hệ điều kiện có 3 nghiệm phân biệt
phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2
Kết luận: M a( ;2) y 2 với ( ; 1) 5 ; \ 2 a 3 thì từ M a( ;2) y 2 kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến phân biệt tới (C)
Gọi M a( ;2) y 2 Phương trình đường thẳng qua M a( ;2): ( ) :d yk x a( ) 2 (d) là tiếp tuyến
Để từ M a( ;2) kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến phân biệt thị hệ điều kiện có 3 nghiệm phân biệt
phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2
thì từ M a( ;2) y 2 kẻ đƣợc 3 tiếp tuyến phân biệt tới (C)
Qua hai bài toán đã trình bày, ta nhận thấy bản chất của cả hai phương pháp đều là tìm tọa độ tiếp điểm Do đó, lựa chọn phương pháp 2 sẽ giúp quá trình giải toán trở nên dễ dàng, tiết kiệm thời gian hơn trong việc xác định chính xác vị trí tiếp điểm.
Bài 3 Tìm m để từ A(0;1) kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến phân biệt tới (Cm):
Phương trình đường thẳng từ A(0;1): ( ) :d ykx1
mx 2 2(m1)x m 1 0 (3) Để từ A(0;1) kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến thì hệ tiếp xúc có 2 nghiệm
Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
Dùng hình tƣợng dự đoán trên Oy tồn tại các điểm mà từ đó kẻ đƣợc đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị CMR: điều dự đoán đó là đúng
Gọi A(0; )a Oy đường thẳng qua A(0; )a Oy: ( ) :d ykxa
Để từ A(0; )a Oy kẻ được đúng 1 tiếp tuyến thì phương trình (3) có đứng 1 nghiệm 1 x
A 2 Oy từ đó kẻ đƣợc đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
CMR: Có hai tiếp tuyến của (C) đi qua
A và vuông góc với nhau
Phương trình đường thẳng qua A(1; 0) với hệ số góc k có dạng: ( ) :d yk x( 1)
(C) Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
( Hệ này có nghiệm khi và chỉ khi
Vì k 1 k 2 = -1 nên hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) vuông góc với nhau
x y x (C) và điểm A(0; a) Xác định a để từ A kẻ đƣợc hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía so với trục Ox
Phương trình đường thẳng qua A(0; a) có dạng: y = kx + a (d) Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:
Qua A kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
Gọi x 1 ; x 2 là các tiếp điểm Do hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành nên y(x 1 ).y(x 2 ) < 0 (x 1 ; x 2 là các nghiệm của phương trình (*))
Theo định lí viet ta có:
1 a a thì yêu cầu bài toán đƣợc thoả mãn
Bài 7 Cho hàm số y x 3 6x 2 9x1(C) Dự đoán từ một điểm bất kì trên đường thẳng x2 chỉ có thể kẻ đƣợc duy nhât 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C) và chứng minh rằng điều dự đoán đó là đúng
Điểm B(2, b) nằm trên đường thẳng x = 2, và phương trình đường thẳng qua B có dạng y = k(x - 2) + b Đường thẳng (d) trở thành tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ phương trình liên quan có nghiệm duy nhất Điều này đảm bảo tính rõ ràng và đầy đủ trong việc xác định mối quan hệ giữa đường thẳng (d) và đồ thị (C), phù hợp với các quy tắc về hình học và giải tích.
Số tiếp tuyến cần tìm bằng số nghiệm của phương trình (*)
Xét hàm số y 2x 3 12x 2 24x17 Tập xác định: D = R
R x x x x y'6 2 24 246( 2) 2 0 Do đó hàm số đồng biến
Vì hàm số đã cho luôn đồng biến nên đường thẳng y = - b cắt đồ thị hàm số :
x x x y tại duy nhất một điểm hay phương trình (*) có duy nhất một nghiệm
Vậy, từ một điểm nằm trên đường thẳng x = 2 kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến đến đồ thị (C)
x y x (C) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số Dự đoán và chứng minh rằng: không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua I
Ta có tiệm cận đứng x = -1
Tiệm cận ngang y = 1 Do đó toạ độ giao điểm của hai đường tiệm cận là: I(-1; 1)
Phương trình đường thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + 1 (d) Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
(vô nghiệm) (điều phải chứng minh)
x x y x (C) Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ đƣợc
2 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Gọi B(0;b)Oy, Phương trình đường thẳng qua B có dạng: y = kx + b (d) Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn (2)
Yêu cầu bài toán thoả mãn khi phương trình (*) có hai nghiệm khác b + 3
Vậy, Các điểm trên trục tung có tung độ bé hơn -1 và khác -2 thì từ đó kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài 10 Cho ( ) :C y f x( )ax 3 bx 2 cxd( a0) Dự đoán và chứng minh rằng tại điểm uốn của (C) ta chỉ kẻ đƣợc đúng một tiếp tuyến đến (C)
Bài giải Lấy bất kì M m f m( , ( ))( ) :C y f x( ) Đường thẳng đi qua M m f m( , ( )) với hệ số góc k có phương trình: yk x( m) f m( ) tiếp xúc ( ) :C y f x( )
(3 2 )( ) ax bx cx d x bx c x m am bm cm d
Từ điểm M m f m( , ( )) kẻ đƣợc đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
là điểm kẻ đƣợc đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
2.2.3 Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x( ) khi biết trước hệ số góc
* Phương pháp tìm tiếp điểm
Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc ( ) :C y f x( ) tại tiếp điểm có hoành độ x o suy ra f x'( ) o k
- Giải phương trình '( ) o f x k suy ra các nghiệm x o
Phương trình tiếp tuyến tại xx o là: ( ) :d yk x( x o )y o
* Các dạng biểu diễn của hệ số góc
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng yax b k f x'( ) o a
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1
- Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc α k tan với
- Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b một góc Khi đó: tan
Bài 1 Cho hàm số yx 3 3x 2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = -3
Do hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 3x 2 6x3x 2 2x10x1 Với x1y2 Pttt cần tìm là: y 3(x1)2 y3x1
Bài 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx 3 3x 2 1(C) Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 2009
Ta có y'3x 2 6x, do tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 2009 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 3x 2 6x9
+) Với x1y3.Pttt của (C) tại x = - 1 là: y 9(x1)3y 9x6 +) Với x3 y1 Pttt của (C) tại x = 3 là: y9(x3)1 y9x26 Vậy, có 2 tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 9x + 2009 là: y = 9x + 6 và y = 9x - 26
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với d x: 4y 1 0
Gọi x o là hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến tại x o có hệ số góc
Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) hệ số góc của tiếp tuyến k k t d 1 k t 4 (2)
Kết luận: Có 2 tiếp tuyến vuông góc với (d) là:
Bài 4 Chứng minh rằng trên đường thẳng y7 có 4 điểm mà tại mỗi điểm đó kẻ đƣợc 2 tiếp tiếp tuyến tạo với nhau góc 45 o tới đồ thị hàm số
Nhận xét y7 là 1 tiếp tuyến của hàm số Gọi x o là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M a( ;7) thuộc y7 và tạo với y7 góc 45 o
Đường thẳng y = 7 song song với trục Ox và tạo thành góc ±45° với đường thẳng y = 7, nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = ±1 Đồng thời, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x₀ có thể xác định dựa trên mối liên hệ này, giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa đường thẳng và đồ thị của hàm số.
Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k1 thì :
Phương trình (1) có 2 nghiệm tức là có 2 điểm trên đường thẳng y7 mà tại mỗi điểm kẻ đƣợc 1 tiếp tuyến tạo với y7 góc 45 o
Nếu tiếp tuyến có hệ số góc k 1 thì :
Phương trình (2) có 2 nghiệm tức là có 2 điểm trên đường thẳng y7 mà tại mỗi điểm kẻ đƣợc thêm 1 tiếp tuyến tạo với y7 góc 45 o
Kết luận: Trên y7 có 4 điểm mà tại mỗi điểm kẻ đƣợc 2 tiếp tuyến với nhau góc
45 o (Trong đó có 1 tiếp tuyến chính là y7)
Bài 5 Cho hàm số yx 3 3x 2 9x3 (C) Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị (C) là: k = y'3x 2 6x9
6 6 ' ' x y y''06x60x1 Xét dấu y” tìm đƣợc điểm uốn U(-1; 14)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là: k 1 = -12
Bảng biến thiên của hàm số y'3x 2 6x9 x -1 y’’ - 0 + y’
Từ bảng biến thiên suy ra k 12 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = -1 (hoành độ điểm uốn) (Điều phải chứng minh)
Bài 6 Cho hàm số: 2 ( 1) 2 ( ) m C x m m x m y mx
Tìm điểm x 0 để với mọi m0, tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm x 0 song song với một đường thẳng cố định
Tìm hệ số góc của đường thẳng đó
Yêu cầu bài toán là tìm x 0 để y’(x 0 ) = k ( hằng số) m0
2 2 0 kx x kx k x m kx m x kx m k x m m k x m x m mx
+) Với x 0 = 0 suy ra k = -2 (thoả mãn)
Vậy, x 0 = 0 và k = -2 thì thì tiếp tuyến của (C) tại x 0 song song với một đường thẳng cố định
Khi giải bài toán tiếp tuyến, chúng ta xác định hệ số góc của tiếp tuyến là k t dựa trên yêu cầu đề bài Để tìm hoành độ tiếp điểm, ta giả sử x o là hoành độ của tiếp điểm và giải phương trình f'(x o) = k t Từ đó, ta suy ra phương trình của tiếp tuyến, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với yêu cầu đề bài.
Kết luận chương 2
Trong bài viết này, chúng ta đã xác định rõ phương pháp giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Tuy nhiên, để thành công, học sinh cần phân tích đặc điểm của tiếp tuyến cần tìm và xác định các điều kiện phù hợp Đồng thời, việc củng cố kiến thức đại số và giải tích như giải hệ phương trình, đạo hàm là yếu tố quan trọng để vận dụng linh hoạt và sáng tạo các bài toán, tránh lối mòn máy móc và đạt hiệu quả cao.
Các kết quả thu đƣợc của bài tiểu luận là:
1 Góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm TDST và vai trò, vị trí của việc phát triển TDST trong dạy học toán
2 Giúp gáo viên có dễ dàng hơn trong việc hướng dẫn học sinh tiếp cận các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số, làm rõ đƣợc cách giải toán, tránh nhầm lẫn giữa các khái niệm
3 Xét ở một góc độ nào đó, đây là tài liệu tham khảo có hệ thống cho giáo viên giảng dạy bộ môn Toán
Dù đã cố gắng hết sức, nhưng do hạn chế về thời gian và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế, đề tài vẫn còn nhiều thiếu sót và mang tính chủ quan Tác giả mong nhận được ý kiến đóng góp từ thầy để hoàn thiện bài viết hơn.