Mục lục Chương 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 1 1 Khái niệm ma trận Phép toán hàng và dạng bậc thang của ma trận 1 1 2 Giải hệ tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss 2 Chương 2 MA TRẬN 7 2 1 Các phép tính.
Trang 1Mục lục
1.1 Khái niệm ma trận Phép toán hàng và dạng bậc thang của ma trận 1
1.2 Giải hệ tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss 2
Chương 2 MA TRẬN 7 2.1 Các phép toán trên ma trận 7
2.2 Ma trận khả nghịch 10
Chương 3 ĐỊNH THỨC 13 3.1 Khái niệm định thức 13
3.2 Các phép toán sơ cấp trên hàng và định thức 14
3.3 Ứng dụng của định thức 16
Chương 4 KHÔNG GIAN VECTƠ 21 4.1 Không gian vectơ và không gian con 21
4.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Cơ sở của không gian vectơ 28 4.3 Tọa độ đối với cơ sở 33
4.4 Số chiều của không gian vectơ 35
4.5 Không gian hàng và hạng của ma trận 37
4.6 Chuyển cơ sở 38
Chương 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 39 5.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính, nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 39
5.2 Sự đẳng cấu của các không gian véctơ và hạng của ánh xạ tuyến tính 43
5.3 Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính 45
Chương 6 VECTER RIÊNG, CHÉO HÓA VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG 49 6.1 Giá trị riêng và vectơ riêng 49
6.2 Chéo hóa ma trận 52
Trang 3Bài tập 1.1 Đưa các ma trận sau về dang bậc thang:
Trang 4Tóm tắt lí thuyết:
Để tìm hạng của ma trận A khác không, ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa A vềdạng bậc thang Lúc đó hạng của ma trận A bằng số hàng khác không của ma trậnbậc thang
Bài tập 1.3 Xác định hạng của ma trận sau:
1.2 Giải hệ tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss
Tóm tắt lí thuyết : Để giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b bằng phương pháp Gauss tathực hiện các bước sau:
- Bước 1: Lập ma trận đầy đủ A∗ của hệ: A∗ = [A|b]
-Bước 2: Đưa A∗ về dạng bậc thang Giả sử A∗ ∼ B
-Bước 3: Kết luận
+ Nếu r(A∗) > r(A), tức là ma trận B có một hàng có dạng (0 0 0 α), α 6= 0 thì
hệ vô nghiệm
+ Nếu r(A∗) = r(A) = n (số ẩn) thì hệ có nghiệm duy nhất
+ Nếu r(A∗) = r(A) = r < n thì hệ vô số nghiệm phụ thuộc vào n − r tham số
Trang 51.2 Giải hệ tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss 3
Vậy nghiệm của hệ là: (5, 11, −8)
Bài tập 1.5 Mỗi ma trận cho sau đây là ma trận đầy đủ của hệ phương trình tuyến tính,hãy xác định hệ có nghiệm không, nếu có thì viết ra các nghiệm ấy
Trang 71.2 Giải hệ tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss 5
Tóm tắt lí thuyết : Để giải hệ thuần nhất Ax = 0 bằng phương pháp Gauss ta giải như sau:-Bước 1: Lập ma trận hệ số A
-Bước 2: Đưa ma trận A về dạng bậc thang
-Bước 3: Kết luận
+ Nếu r(A) = n (số ẩn) thì hệ có nghiệm tầm thường duy nhất (0, 0, , 0)
+ Nếu r(A) < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n − r(A) tham số
Chú ý : Hệ thuần nhất không bao giờ vô nghiệm vì nó luôn có nghiệm (0, 0, , 0)
Ví dụ: Giải hệ phương trình thuần nhất sau
x1 + 5x2 − 3x3 = 03x1 + 5x2 − 9x3 = 0
Vậy nghiệm của hệ là: (3t, 0, t) với t ∈ R
Bài tập 1.11 Giải các hệ thuần nhất sau:
Trang 8a Giải hệ phương trình trên khi λ = 1.
Trang 9Chương 2
MA TRẬN
2.1 Các phép toán trên ma trận
Tóm tắt lí thuyết : Giả sử A = [aij], B = [bij] Khi đó,
+ Ma trận A cộng được cho B khi A, B có cùng cấp và A + B = C = [cij] với cij = aij+ bij,tức là ta cộng tương ứng các phần tử của ma trận A với B
+ Một số k nhân với ma trận A thì ta nhân k với từng phần tử của A, tức là kA = [kaij]+ Ma trân A nhân đuợc với ma trận B nếu số cột của A bằng số dòng của B, tức là
A ∈ Mn×m(R), B ∈ Mm×p(R) thì tồn tại C = [cij]n×p = AB, với cij = hiA.bj =
m
P
k=1
aikbkj.+ Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu AT là ma trận thu được bằng cách đổi dòng của
Trang 10Bài tập 2.3 Cho A = 1 2
3 6
tìm ma trận B ∈ M2×3 sao cho AB = 0
a Hãy tính các tích sau đây hoặc giải thích tại sao chúng không tồn tại:
AB; BA; AC; DC; CD; CTD
b Kiểm tra rằng A(BC) = (AB)C và (AB)T = BTAT
c Không thực hiện phép tính, hãy tìm DTC
Trang 112.1 Các phép toán trên ma trận 9
Bài tập 2.8 Cho A = 2 2
3 −1
Tìm g(A) với g(x) = x2− x − 8
Bài tập 2.9 Cho A = 5 2
0 k
Tìm tất cả các số k để cho A là nghiệm của đa thức:
Bài tập 2.14 Ma trận B gọi là giao hoán được với ma trận A nếu AB = BA Tìm tất
cả các ma trận giao hoán được với ma trận sau:
Bài tập 2.16 Tổng các phần tử trên đường chéo của một ma trận vuông A = [aij] cấp
n được gọi là vết của ma trận vuông đó,
Kí hiệu là
tr(A) = a11+ a22+ + annChứng minh rằng nếu A, B là các ma trận vuông cấp n thì:
a tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
b tr(αA) = αtr(A)
c tr(AB) = tr(BA)
Trang 121
3 −59
9
1
3 −29
−19
1
3 −59
−49
1
3 −29
Trang 13Bài tập 2.19 Tìm ma trận A sao cho A2 = B với:
Trang 14Bài tập 2.22 Không giải hệ phương trình, tìm x2 của các hệ phương trình sau
Trang 15- Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo.
- C = Cof (A) = [Cij] được gọi là ma trận phụ hợp của A
Khi đó ta có thể tính định thức của A theo công thức sau: det A = (hiA).(hiC) = ai.Ci
4 3 0
6 5 2
9 7 3
13
Trang 16A =
; D4 =
Bài tập 3.3 Viết ra ma trận phụ hợp C = Cof (A) của mỗi ma trận A sau đây rồi kiểm
tra lại công thức: ACT = (detA)I
=