SKKN Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất...

SKKN Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT quốc gia tại trường THPT Như Thanh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG TH[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠO HÀM, GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA TẠI TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

Giáo viên: Nguyễn Khắc Sâm Tổ: Toán - Tin

Trường: THPT Như Thanh SKKN thuộc môn Toán.

THANH HÓA, NĂM 2019

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng 2

2.3 Giải quyết vấn đề 3

2.3.1 Cơ sở lý thuyết 5

2.3.2 Một số dạng bài toán về hàm số f x f u x( ), éêë( ) ùúû khi biết đồ thị của hàm số f x'( ) 7

2.4 Một số bài tập trắc nghiệm vận dụng 23

2.5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 25

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 26

3.1 Kết luận 26

3.2 Kiến nghị 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài.

Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sáng tạo của người học Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán Giữa hàm số f x( )và đạo hàm của

nó f x'( )có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Đạo hàm của hàm số ngoài việc biểu diễn dưới dạng công thức nó còn được thể hiện qua đồ thị, việc dựa vào đồ thị của hàm số f x'( )để tìm ra được các tính chất của hàm số f x( )giúp ta giải quyết được rất nhiều bài toán khó

Từ năm học 2016-2017, Bộ GD&ĐT đã thay đổi từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm đối với môn Toán, thì xuất hiện trong đề thi rất nhiều bài toán

có giả thiết là cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số f x'( ) và yêu cầu chỉ

ra các tính chất của hàm số f x( ) Đây là một yêu cầu khá mới mẻ đối với học sinh, để giải quyết được các dạng bài toán này thì học sinh cần phải nắm vững kiến thức về hàm số, đạo hàm và các ứng dụng của nó Xuất phát từ những lý do

trên, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đồ thị

của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT Quốc Gia tại trường THPT Như Thanh” để nghiên cứu.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán vận dụng, vận dụng cao về hàm số f x f u x( ),  ( )  khi biết đồ thị hàm số f x'( )

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là vận dụng một số lý thuyết trong chương trình SGK lớp 12 để giải quyết các bài toán đơn điệu, cực trị, GTLN-GTNN của hàm f u( )x  khi biết đồ thị của hàm số f x'( )

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp như:

-Nghiên cứu tài liệu, quan sát, điều tra cơ bản, thực nghiệm so sánh, phân tích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với môn học thuộc lĩnh vực Toán học

- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Nghị quyết Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) về

đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mới mạnh

mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực "

Mọi người đều cần phải học toán và dùng toán trong cuộc sống hàng ngày Vì thế mà Toán học có vị trí quan trọng đối với tất cả các lĩnh vực trong đời sống xã hội Hiểu biết về Toán học giúp cho người ta có thể tính toán, suy nghĩ, ước lượng, và nhất là có được cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ, suy luận lôgic, trong giải quyết các vấn đề nảy sinh, trong học tập cũng như trong cuộc sống hàng ngày

Ở trường phổ thông, học toán về cơ bản là hoạt động giải toán Giải toán liên quan đến việc lựa chọn và áp dụng chính xác các kiến thức, kỹ năng cơ bản, khám phá về các con số, xây dựng mô hình, giải thích số liệu, trao đổi các ý tưởng liên quan, Giải toán đòi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống Học toán và giải toán giúp học sinh tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp Kiến thức môn Toán còn được ứng dụng, phục vụ cho việc học các môn học khác như Vật lí, Hóa học, Sinh học,

Do đó, ở trường phổ thông nói chung, việc dạy học môn Toán để đáp ứng được yêu cầu đổi mới trong giai đoạn hiện nay phải tập trung vào việc hình thành và phát triển các năng lực chung cũng như các năng lực chuyên biệt của

môn Toán như: Năng lực tư duy (gồm: tư duy lôgic; tư duy phê phán; tư duy

sáng tạo; khả năng suy diễn, lập luận toán học), Năng lực tính toán (gồm: năng lực sử dụng các phép tính; năng lực sử dụng ngôn ngữ toán; năng lực mô hình hóa; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện hỗ trợ tính toán).

2.2 Thực trạng.

Trong quá trình dạy học ở trường THPT Như Thanh nhiều năm nay tôi nhận thấy việc học bộ môn toán của học sinh là rất khó khăn, đặc biệt là các bài toán về hàm số f x( ) khi biết đồ thị của hàm số f x'( ) Các em không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức liên quan nào… Chính những khó khăn đó đã ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập môn Toán, dẫn đến các em không

có hứng thú trong việc học môn Toán

Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tập

về hàm số f x( ) khi biết đồ thị của hàm số f x'( ), các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào các cách giải mà giáo viên cung cấp chứ chưa chủ động trong việc giải các bài toán dạng này Kết quả khảo sát ở một số lớp chọn khối A của trường chỉ có 10% học sinh hứng thú với các dạng bài toán này

2.3 Giải quyết vấn đề.

Năm học 2017-2018 là năm học thứ hai môn Toán được thi dưới hình thức trắc nghiệm, thì ở mã đề 101 có bài toán sau:

Cho hai hàm số y f x , yg x  Hai hàm số y f x  và y g x  

có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số

.

 

y g x 

O

x y

 

yg x

 

y f x

4 8 10

Hàm số    4 2 3 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

2

h x  f x g x 

A 5;31 B C D

5

9

; 3 4

31

; 5

  

25 6;

4

(Trích câu 50 đề chính thức thi THPT Quốc gia 2018).

Đây là bài toán tương đối khó với các em học sinh phổ thông, kể cả những học sinh có học lực giỏi Cái khó khăn của bái toán trên chính là việc tìm

ra mối liên hệ giữa hai điều kiện đồ thị hàm số f x g x'( ), '( ) và tính đơn điệu của hàm h x( ) Sau đây là một số cách giải bài toán này.

Cách 1: Đặt X  x 4, 2 3 Ta có

2

Y  x h x  f X  2g Y 

Để hàm số    4 2 3 đồng biến thì

2

h x f x g x h x  0

  2  

 f X  g Y X Y,  3;8

3

2

  





 



x x

2

  





   



x

x

  





   



x x

  x 9; 3 9 19;

Cách 2: Kẻ đường thẳng y  10 cắt đồ thị hàm số y f x  tại A a ;10,

Khi đó ta có:

8;10

a

 4 10, khi 3 4  4 10, khi 1 4

2

h x  f x   g x 

3

4

4  x

Cách 3: Ta có    4 2 2 3

2

h x  f x   g x 

4

x  

   254   x 4 7 f x  4 f  3  10

3 9

3 2

2 2

x

2

g x  f 

Suy ra    4 2 2 3 0, 9;3 Do đó hàm số đồng

h x  f x   g x   x  

biến trên 9;3 Vậy, chọn B

4

Rõ ràng bài toán trên có nhiều hướng để giải quyết, tuy nhiên nếu học sinh không có kỹ năng đọc đồ thị của hàm số đạo hàm thì sẽ rất khó khăn

Trong năm học 2016-2017 năm đầu tiên tổ chức thi dưới hình thức trắc nghiệm với môn Toán, trong đề thi chính thức mã đề 101 cũng có bài toán sau:

Cho hàm số y = f x( ) Đồ thị của hàm số y = f x¢ ( ) như hình bên Đặt

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

2

( ) 2 ( )

h x = f x - x

x

y

2

-4 2

2

-A h(4) = h( 2) - > h(2) B h(4) = h( 2) - < h(2)

C h(2) > h(4) > h( 2) - D h(2) > h( 2) - > h(4)

(Trích câu 49 đề chính thức thi THPT Quốc gia 2017).

Giải

+ Tính đạo hàm: h x( ) = 2 ( )f x - x2 Ta có: h x¢ ( )= 2 ( )f x¢ - 2x

h x¢ = Û f x¢ - x = Û f x¢ = x

+ Vẽ thêm đường thẳng y = x vào đồ thị như hình bên dưới

x

y

2

-4 2

2

-(tại các giao điểm của đường cong và đường thẳng trên hình)

2

4

x

x

é = -ê ê

¢ = Û ê =

ê = ê

( ) 0 2 ( ) 2 0

4

x

x

é- < <

ê

¢ > Û ¢ - > Û ê >ê

2 ( ) 0 2 ( ) 2 0

x

x

é < -ê

¢ < Û ¢ - < Û ê < <ê

+ Bảng biến thiên

+ Từ bảng biến thiên ta nhận thấy h( )2 lớn nhất trong 3 giá trị cực trị

+ Chỉ cần so sánh hai giá trị cực tiểu còn lại

- = ò = ò + ò > Û h(4) > h( 2)

-+ Vậy thứ tự đúng là: h(2) > h(4) > h( 2) - Vậy, chọn đáp án C

Như vây, các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số luôn xuất hiện nhiều trong

đề thi chính thức ở 2 năm học qua cũng như đề minh hoạ của Bộ GD& ĐT năm học 2018-2019 Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ tập trung vào giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số f x f u x( ), éêë( ) ùúû khi biết đồ thị của hàm số f x'( ).

2.3.1 Cơ sở lý thuyết.

Các kiến thức cơ bản:

Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học

2.3.1.1 Các định nghĩa.

Định nghĩa 1: Cho hàm số f xác định trên K.

Hàm số y f x được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu x x1, 2K x, 1 x2

 1  2

f x f x

Hàm số y f x được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu x x1, 2K x, 1x2

 1  2

f x f x

Định nghĩa 2: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên khoảng  a b; (có

thể a là ; b là ) và điểm x0  a b;

a Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x  f x 0 với mọi xx0 h x; 0 h và x x 0 thì

ta nói hàm số f x  đạt cực đại tại x0

b Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x  f x 0 với mọi xx0 h x; 0 h và x x 0 thì

ta nói hàm số f x  đạt cực tiểu tại x

Định nghĩa 3: Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D.

a Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x  trên tập D nếu f x M với mọi x thuộc D và tồn tại x0D sao cho f x 0 M Kí hiệu max  

D

M  f x

b Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x  trên tập D nếu f x m với mọi x thuộc D và tồn tại x0D sao cho f x 0 m Kí hiệu min  

D

m f x

2.3.1.2 Các tính chất.

Định lý 1: Cho hàm số y = f x( ) có đạo hàm trên K

+ Nếu f x¢( )> 0," Îx K thì hàm số y = f x( ) đồng biến trên K

+ Nếu f x¢( )< 0, " Îx K thì hàm số y = f x( ) nghịch biến trên K

Định lý mở rộng: Cho hàm số y = f x( ) có đạo hàm trên Nếu K

( ) 0,

f x¢ ³ " Îx K f x¢( )£ 0, " Îx K f x  0

điểm thì hàm số y = f x( ) đồng biến (nghịch biến) trên K

Định lý 2:: Giả sử hàm số có cực trị tại điểm Khi đó, nếu có đạo hàm f x0 f

tại thì x0 f x 0  0.

Định lý 3: Giả sử hàm số y f x  liên tục trên khoảng K x0 h x; 0 h và có

đạo hàm trên K hoặc trên K\ x0 , với h 0

a Nếu f x'  0 trên khoảng x0 h x; 0 và f x'  0 trên khoảng x x0 ; 0 h thì x0

là một điểm cực đại của hàm số f x 

b Nếu f x'  0 trên khoảng x0 h x; 0 và f x'  0 trên khoảng x x0 ; 0 h thì x0

là một điểm cực tiểu của hàm số f x 

2.3.1.3 Một số phép biến đổi đồ thị hàm số.

- Cho hàm số y  f x  có đồ thị  C Đồ thị hàm số  C1 :y  f x a   được suy

ra từ đồ thị  C bằng cách tịnh tiến đồ thị  C theo phương trục hoành một đoạn bằng Nếu a a  0 tịnh tiến đồ thị  C qua phải đơn vị và nếu a a  0 tịnh tiến

đồ thị  C qua trái đơn vị.a

- Cho hàm số y  f x  có đồ thị  C Đồ thị hàm số  C2 :y  f x b được suy

ra từ đồ thị  C bằng cách tịnh tiến đồ thị  C theo phương của trục tung một đoạn bằng Nếu b b 0 tịnh tiến đồ thị  C xuống dưới đơn vị và nếu b b 0

tịnh tiến đồ thị  C lên trên đơn vị.b

- Cho hàm số y  f x  có đồ thị  C Đồ thị hàm số

được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách:

( )

3

0 ( ) :

0

f x khi x

f x khi x

ïï

= = íï

+ Giữ nguyên phần đồ thị  C nằm bên phải trục Oy và bỏ phần  C nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị  C nằm bên phải trục Oy qua Oy

- Cho hàm số y  f x  có đồ thị  C Đồ thị hàm số

được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách:

( ) ( )

3

0 ( ) :

0

f x khi f x

f x khi f x

ïï

+ Giữ nguyên phần đồ thị  C nằm trên Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị  C nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị  C

nằm dưới trục Ox

2.3.1.4 Một số ứng dụng của tích phân.

a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x  liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x a x b ;  được tính theo công thức: b  

a

S  f x dx

b Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.

Cho hai hàm số y f x  và y g x   liên tục trên đoạn  a b; Khi đó diện tích S

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , y g x   và hai đường thẳng

,

x a x b  b    

a

S f x g x dx

2.3.2 Một số dạng bài toán về hàm số f x f u x( ), éêë( ) ùúû khi biết đồ thị của hàm

số f x'( ).

Dạng 1: Xét tính đơn điệu, cực trị của hàm số f x f u x( ), éêë( ) ùúû khi biết đồ thị của hàm số f x'( ).

Với dạng này thì ta thường gặp dạng bài toán cơ bản sau đây:

Bài toán: Cho hàm số y  f x  xác định, liên tục trên và có đồ thị của đạo ¡

hàm y  f x  như hình vẽ cho trước Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến,

cực trị của hàm số y = f u xéê( )ùú

Để giải bài toán trên ta thường thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Từ đồ thị hàm số y  f x  tìm nghiệm của phương trình f x¢( )= 0

(hoành độ giao điểm của đồ thị hàm f x  với trục Ox) Giả sử có các nghiệm là: x x x1, x2,

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số y = f u xéêë( )ùúû và giải phương trình

u x f u x   

nghiệm

u x f u x   

 

 

 

  











1 2 0

u x

u x x

u x x  x i.(i 1, )  n

Bước 3: Tìm các khoảng f x  0,f x  0 Giả sử f x    0, x  a b; khi đó

f u x   u x  a b

Bước 4: Lập bảng biến thiên và kết luận.

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1: Cho hàm số y  f x  Hàm số y  f x  có đồ thị như hình vẽ sau

Tìm khoảng đồng biến của hàm số y  f  2 x

(Trích đề minh hoạ năm 2018 – BGD&ĐT)

Giải

+) Dựa vào đồ thị hàm f x  ta có:

;

f x    x   f x  0,     x  ; 1  1; 4

4

x

x

  



    

 



+) Đặt g x    f 2 x Ta có: g x      2 x f  2 x  f 2 x

+) Để hàm g x    f 2 x đồng biến thì: g x    0 f 2 x   0 f 2 x  0

Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng  2;1 và 3; 

Qua ví dụ 1, học sinh hình thành tư duy tương tự cho bài toán cơ bản về việc xét tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên , hàm số ¡ y  f x  có

đồ thị như hình vẽ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm

số g x  f  x x2trên ¡