Hướng dẫn giúp học sinh lớp 7 phát triển, nâng cao và vận dụng các bài tập về toán tỉ lệ thức và tín...

Hướng dẫn giúp học sinh lớp 7 phát triển, nâng cao và vận dụng các bài tập về toán tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN S[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN GIÚP HỌC SINH LỚP 7 PHÁT TRIỂN, NÂNG CAO VÀ VẬN DỤNG CÁC BÀI TẬP VỀ TOÁN TỈ LỆ THỨC

VÀ TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Người thực hiện: Đỗ Thị Dung Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường TH và THCS Xuân Thành SKKN thuộc môn: Toán

Mục lục

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3.3.1 Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ

thức cho trước

5-6

2.3.3.2 Dạng 2 Tính giá trị của biểu thức

2.3.3.3 Dạng 3 :Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số. 6-11

2.3.3.4 Dạng 4: Vận dụng trong giải toán thực tế. 11-13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

giáo dục, bản thân đồng nghiệp và nhà trường.

13-14

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng 4.0 Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường phổ thông và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi

Luật Giáo dục 2005 (điều 5) quy định: “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý

chí vươn lên” [1]

Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “ giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động , tham gia xây dựng và bảo vệ

Tổ quốc” Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh; điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm,

đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh” [2]

Muốn cho học sinh nhất là học sinh Trung học cơ sở có những tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo có năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên thì đòi hỏi người giáo viên phải có một phương pháp dạy học đạt hiệu quả cao đối với từng bài dạy

Tôi là một giáo viên dạy môn Toán khi được phân công giảng dạy môn toán 7 và dạy đến phần giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì phần bài tập trong sách giáo khoa phần lớn chỉ tập trung vào một số bài tập cơ bản vì vậy khi mở rộng nâng cao các dạng bài tập học sinh ban đầu thường lúng túng khi tìm phương pháp giải và khi thay đổi điều kiện bài toán ban đầu cũng khó khăn khi tìm cách giải quyết vấn đề từ đó nếu không tháo gỡ được sẽ tạo ra tâm lí ngại và “sợ” loại toán này Chính vì vậy từ những kinh nghiệm mà bản thân đã đúc kết được và giúp học trò tự tin và hứng thú học dạng

toán này nên tôi đã nghiên cứu và viết sáng kiến với đề tài: “Hướng dẫn học

sinh lớp 7 mở rộng, phát triển và vận dụng các bài tập về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trong quá trình dạy khi học sinh tiếp cận đến phần giải toán về tỷ lệ thức

và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau học trò vẫn còn sai lầm trong lời giải, khi gặp các dạng toán hơi phức tạp một chút là các em lại sợ làm không được, có em lại thụ động trong việc giải Toán chỉ cần thay đổi một chút đề bài là khó tìm hướng giải quyết Để các em dễ tiếp cận các dạng toán như chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho trước, chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước và tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng từ đó có hứng thú, chủ động tìm tòi và sáng tạo với đơn vị kiến thức này và môn Toán học nói chung, tôi đã

nghiên cứu SKKN: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 mở rộng, phát triển và vận

dụng các bài tập về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”

Giúp học sinh nắm chắc các kiến thức giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, áp dụng làm tốt các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp Bên cạnh đó, học sinh có thể vận dụng kiến thức giải toán về tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để vận dụng giải các dạng toán khác như (thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên, tìm số hạng chưa biết của một

tỷ lệ thức , tìm các số hạng chưa biết khi cho một dãy tỉ số bằng nhau và tổng hoặc hiệu của các số hạng đó, chứng minh đẳng thức,…) Thông qua việc giải bài tập tập sẽ hình thành cho học sinh kĩ năng phân tích, kĩ năng quan sát, phán đoán, rèn tính cẩn thận, linh hoạt

Khảo sát, kiểm tra lại chất lượng môn Toán lớp mình dạy trong năm học trước, theo dõi kết quả học tập của các em ở đầu năm học mới, giữa học kì I, kết quả học kì I

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Kiến thức cơ bản của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

- Các dạng toán nâng cao và vận dụng tính chất của tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết

- Phương pháp điều tra, khảo sát, thu thập thông tin

- Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp chuyên gia

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1.Cơ sở lý luận.

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong nghị quyết Trung ương 4 khoá VII (01-1993), Nghị quyết trung ương 2 khoá VIII (12-1996), được thể chế hoá trong Luật Giáo dục (2005), được cụ thể hoá trong

các chỉ thị của Bộ giáo dục và đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14(4-1999) Luật giáo dục, điều 28.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhó, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem

lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” [3] Vì vậy, ngoài việc nắm vững lý thuyết trên lớp học sinh còn phải vận dụng lý thuyết đó một cách hợp lý, khoa học để giải bài tập Bài tập Toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, có niềm tin, phẩm chất đạo đức của người lao động Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt là rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất tư duy sáng tạo Bài tập Toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập và trình độ phát triển của học sinh

Dạy Toán, học Toán là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiên cứu tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm của người dạy Toán và học Toán là không thể thiếu được Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của nhiều giáo viên Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu giáo viên hiểu ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức một cách

hệ thống, dẫn dắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết

Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê học Toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình

Trên bục giảng, ở mỗi tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo viên phải luôn tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc Từ đó rút ra những kiến thức cần nhớ

Cơ sở kiến thức:

a Định nghĩa tỷ lệ thức: “ Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số a c

b d

Ta còn viết:

a : b = c : d

trong đó a và d là các ngoại tỉ(số hạng ngoài); b và c là các trung tỉ (số hạng trong) [2]

b Tính chất của tỷ lệ thức : a c

b d

Tính chất 1: Nếu a c thì a.d = b.c

b d

Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỷ lệ thức :

a c ; ; ;

b  d a b

c d d c

b  a d b

c a

Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức a  c suy ra các tỷ lệ thức :

, ,

[4]

c  d d c

c  a

c Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a c suy ra , (b ≠ ± d)

Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau a c i ta suy ra:

b  d j

, (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

a c i a c i a c i

b d j b d j b d j

   

   

Tính chất 3: nếu có n tỉ số bằng nhau(n 2): 1 2 3 thì

1 2 3

n n

a a

b b  b   b

1 2

a a a a a a a a a a

a a

b b b b b b b b b b b b

       

        (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Lưu ý:

Nếu đặt dấu “ - ” trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “- ”

trước số hạng dưới của tỉ số đó Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho ta một

khả năng rộng rãi để từ một số tỉ số bằng nhau cho trước, ta lập được những tỉ

số mới bằng các tỉ số đã cho, trong đó số hạng trên hoặc số hạng dưới của nó có

dạng thuận lợi nhằm sử dụng các dữ kiện của bài toán

Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với a, b,c tức là ta có: x y z Ta cũng viết:

a  b c

x : y : z = a : b : c [5]

Một số kiến thức cần chú ý:

+)  (n 0 )

nb

na

b

a

n n

d

c b

a d

c

b

a































2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của

học sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn Đứng trước một bài toán, học sinh

phải có trong mình một vốn kiến thức cơ bản, vững chắc về mặt lý thuyết Có

được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng toán đó, từ đó mới tìm cho mình con

đường giải bài toán nhanh nhất Để học sinh có được điều trên thì trước hết phải

xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề

của dạng toán một cách cơ bản, sâu rộng, giúp học sinh nhìn nhận từ một bài

toán cụ thể thấy được bài toán khái quát Từ phương pháp giải khái quát thấy

được cách giải một bài toán cụ thể Nhìn thấy được sự liên quan giữa các bài toán với nhau Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết cơ bản vào giải toán

Qua quá trình giảng dạy nhận thấy học sinh ban đầu gặp khó khăn khi giải dạng toán này tôi đã làm một số khảo sát và có kết quả như sau:

TSHS

Đầu

16,6

% 15 41,6% 5 9% 13, 4 11,1 %

Với một sự lao động nghiêm túc tôi xin trình bày một phần nhỏ kinh nghiệm soạn bài của mình nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải dạng toán vận dụng tính chất của tỷ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong đại số 7

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy khá nhiều em còn lúng túng khi tìm

ra phương pháp giải các bài tập vận dụng vì vậy nhằm giúp các em nâng cao tư duy và khả năng vận dụng tôi đưa ra một số cách phát triển bài toán vận dụng sau:

1 Chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức cho trước

2 Tính giá trị của biểu thức

3 Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số.

4 Vận dụng trong giải toán thực tế.

2.3.1 Dạng 1: Loại toán chứng minh đẳng thức từ một tỷ lệ thức, đẳng thức

cho trước.

Phương pháp: Từ tỉ lệ thức a c có thể đặt tỉ số cho trước bằng một hằng

b d

số k nào đó.

Hoặc để chứng tỏ ta có thể chứng tỏ rằng A D = B.C hoặc chứng tỏ

D

C

B A  rằng hai tỉ số và có cùng giá trị hay sử dụng tính chất của tỉ lệ thức

B

A D C

Bài 1.1 [7]: Cho a c chứng minh rằng

a b c d

Giải:

Phân tích tìm tòi lời giải: Đối với bài toán này ta có thể đặt a c k

b  d

hoặc biến đổi tỷ lệ thức cho trước để chúng trở thành đẳng thức cần chứng minh.

a b c d

Cách 2: a c a b a b a c (đpcm)



Cách 3: ( cách này áp dụng được vào nhiều bài toán dạng này)

đặt a c k suy ra

b  d a bk c dk ; 

Ta có:

(1) ( 1) 1

a bbk b b k  k

(2) ( 1) 1

c d dk d  d k k

Từ (1) và (2) suy ra a c

a bc d

Bài 1.2 [8] Chứng minh rằng : Nếu a c 1 thì

b  d

a) a b c d với a, b, c, d ≠ 0

b) 5 3 5 3



Giải:

Hướng dẫn: bài này chứng minh tương tự theo bài 1

Cách 1 :

a) Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: a c a 1 c 1 a b c d

(1)





(2)



Từ (1) và (2) => a b a b a b c d (đpcm)

Cách 2: Đặt a c k suy ra

b  d a bk c dk ; 

Ta có .( 1) 1 (1)

.( 1) 1

a b bk b b k k

a b bk b b k k

      

Và .( 1) 1 (2)

.( 1) 1

c d dk d d k k

c d dk d d k k

Từ (1) và (2) suy ra a b c d

b) GV: Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?

(áp dụng kết quả của bài 2 )

 Bài toán trên có thể khái quát như sau:

Bài 1.3 : Cho Các số x, y, z, t thỏa mãn: và

d

c b

a  xa  yb  0 zc  td  0

Chứng minh rằng:

td zc

yd xc tb za

yb xa











(Cách 2 của bài 1 gợi ý gì cho giải bài 3? Sử dụng cách 2 của bài 1 có làm được không?)

 Ta có thể mở rộng bài toán theo hướng khác như

Bài 1.4: Nếu thì:

b d a22 b22 ab

c d cd





2 2

d c

b a cd

ab





 Giải:

Từ a c a b a22 b22 a22 b22 (1)

b d c d c d c d



     



và từ a c a b a a. b a. a22 ab(2)

b    d c d c c  d c  c cd

từ (1) và (2) suy ra a22 b22 ab (đpcm)

c d cd

 



Bài tập cùng dạng: Cho tỉ lệ thức: Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau:

d

c b

a 

(với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

1) 22 22 2)

2

d c

b a d

c

b

a





















 2

2

d c

b a cd

ab







3) 4)

d c

d c b

a

b

a

4 3

5 2 4

3

5

2











b a

d c

d c

b a

2007 2006

2006 2005

2007 2006

2006 2005











5) 6)

d c

c

b

a

a





bd b

ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2

2 2

2











7)2008 2009 2008 2009 8)

2009 2010 2009 2010



bd b

ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2

2 2

2











9)

 Nếu giả thiết mở rộng ra từ tỉ lệ thức thành dãy tỉ số bằng nhau lại

vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải:

Bài 1.5: Cho Chứng minh rằng:

d

c c

b b

a  

d

a d c b

c b

















Giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có a b c a b c

b c d b c d

 

  

 

Từ đó suy ra

3

.

 

 Có thể khái quát cho dãy n các tỉ số bằng nhau với phương pháp

tương tự

Bài 1.6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 1 2 3 2008

a a

a  a  a   a CMR: Ta có đẳng thức: 1 1 2 3 2008 2008

2009 2 3 4 2009

a a a a a

a a a a a

      

 Giả thiết có thể thay tỉ lệ thức bằng một đẳng thức

Với dạng này tùy vào đẳng thức đã cho ta có cách biến đổi khác nhau

Bài 1.7: Chứng minh rằng: Nếu a2 bc thì a b c ađiều đảo lại có đúng hay

không?

Giải:

+ Ta có: 2 a b a b a b a b a b c a

+ Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:

Ta có:

     

2 hay



a2 bc

Bài 1.8: Chứng minh rằng: Nếu a c  2 (1)b và 2bd c b d (  ) (2)

điều kiện: b ≠ 0 và d ≠ 0 thì a c

b  d

Giải:

Ta có: a c  2ba c d   2bd 3

Từ (3) và (2)

c b d  a c d

cb cd ad cd

cb ad

(đpcm)

 

Bài 1.9: Cho tỉ lệ thức : Chứng minh rằng:



a c

b  d Giải

cd

ab d

c

b





2 2

2

     c d

b a d c d c

b a b a cd

ab d

c

b a d cd c

b ab a

cd

ab

.

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2































c b

a ad cb ad ac cb ca bd

ca

bd ca db da

bd bc ad ac

cb ca b a d

d c b

d

c

a

b

a





























Bài 1.10: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2 ac c; 2 bd

và b3 c3 d3  0Chứng minh rằng:

d

a d c b

c b









3 3 3

3 3 3

(Hướng dẫn: Từ giả thiết b2 ac c; 2 bd biến đổi thành dãy tỉ số bằng nhau từ đó biến đổi đến đẳng thức cần chứng minh)

d

c c

b

b

a





Bài 1.11: Cho

2005 2004

2003

c b

a  

Chứng minh rằng: 4 (ab)(bc)  (ca) 2

Giải: Từ suy ra

2005 2004

2003

c b

a





b a c a c b

Do đó ( ) 2 ( )( ) Hay

2

c a

b a c b

) ( ) )(

(

4 ab bc  ca

Bài 1.12: CMR nếu a(yz) b(zx) c(x y) (1)

trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : yz  zx  x y