SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 11 và học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp thpt quốc gia sử dụng một số phương pháp để giải quyết bài toán khoảng cách trong hình học không gian 0 3 MỤC LỤC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO[.]
Trang 13
MỤC LỤC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 VÀ HỌC SINH LỚP 12
ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA SỬ DỤNG MỘT
SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN
KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
SangKienKinhNghiem.net
Trang 2MỤC LỤC Nội dung Trang
1 MỞ ĐẦU …… 2
1.1 Lý do chọn đề tài ……… 2
1.2 Mục đích nghiên cứu ……… 3
1.3 Đối tượng nghiên cứu ……… 3
1.4 Phương pháp nghiên cứu ……… 3
1.5 Những điểm mới của SKKN ……… 3
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 4
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4
2.3.1 Đặt vấn đề …… 4
2.3.2 Cơ sở lý thuyết ……… 5
2.3.3 Một số phương pháp xác định khoảng cách trong hình học không gian … 6
Phương pháp 1: Xác định trực tiếp ……… 6
Phương pháp 2: Sử dụng phép trượt đỉnh ……… 8
Phương pháp 3: Sử dụng công thức tính thể tích ……… 10
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông … …….… 11
Phương pháp 5: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa……… ……… 13
Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp vectơ ……….… …….… 15
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giái dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 17
3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 18
- Tài liệu tham khảo 20
- Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên ……… 21
SangKienKinhNghiem.net
Trang 31 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài :
Những năm gần đây, đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia cũng như đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thường có câu tính khoảng cách trong hình học không gian Không những thế đề thi được ra theo hướng phát huy tính sáng tạo của học sinh, vì thế nó đã có phần gây khó khăn cho học sinh trong việc giải câu này Đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó
và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên Trong thực tế thì các bài toán về khoảng cách được áp dụng nhiều trong các ngành kỹ thuật như kiến trúc, xây dựng,
đo đạc, …vv Đối với học sinh khá, giỏi, các em có thể làm tốt phần này, tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian
Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các phương pháp tính khoảng cách trong không gian
Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn
Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên:
“ Hướng dẫn học sinh lớp 11 và học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia sử dụng một số phương pháp để giải quyết bài toán khoảng cách trong hình học không gian ” nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quát và có hệ
thống về bài toán tính khoảng cách trong không gian đã được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, định hướng được trước khi làm bài để có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán
1.2 Mục đích nghiên cứu :
- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và mảng hình học không gian nói riêng theo phương hướng phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp
SangKienKinhNghiem.net
Trang 4học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay
- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học được coi là khô khan, hóc búa, không những chỉ giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu các tri thức
- Chuyên đề nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng tiếp cận vấn đề từ nhiều góc
độ khác nhau, từ đó chọn một phương pháp phù hợp để xác định khoảng cách trong hình học không gian Qua đó có thể rút ngắn đáng kể thời gian để nhanh chóng đi đến kết quả
1.3 Đối tượng nghiên cứu :
Đối tượng nghiên cứu là một số phương pháp tìm khoảng cách trong hình học
không gian
Phạm vi : Giới hạn trong chương trình hình học không gian lớp 11 và lớp 12
1.4 Phương pháp nghiên cứu :
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
1.4.1 Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục,… có liên quan đến nội dung đề tài
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo
2 Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung về một số phương pháp xác định khoảng cách trong hình học không gian
- Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học
- Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của hoc sinh trong quá trình giải quyết bài toán tìm khoảng cách trong hình học không gian Từ đó đề xuất phương án giải quyết, tổng kết thành bài học kinh nghiệm
1.5 Những điểm mới của SKKN :
Đề tài tập trung hướng dẫn học sinh biết cách sử dụng một số phương pháp tìm khoảng cách trong hình học không gian Đặc biệt cố gắng giúp học sinh nhận định được nên áp dụng phương pháp nào cho mỗi bài toán cụ thể Đề tài cũng chú
ý rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình, quan sát phán đoán hướng làm và tư duy sáng tạo để giải quyết bài toán
SangKienKinhNghiem.net
Trang 52 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm :
Phương pháp giáo dục hiện đại là phải làm sao phát huy được tính tích cực, chủ động của học sinh và bồi dưỡng cho học sinh có năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề Nhằm phục vụ cho lý luận này tôi dựa theo lý luận rằng : bồi dưỡng cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất của vấn đề rồi sau đó mới tạo cho học sinh khả năng tự học và độc lập trong suy nghĩ, từ đó học sinh có thể
tự mình phân loại các dạng bài tập theo chuyên đề Có như thế thì học sinh mới dễ dàng làm tốt bài thi trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :
Trong quá trình giảng dạy phần hình học không gian lớp 11 và lớp 12 cùng với khi ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia, tôi nhận thấy rằng nếu giáo viên chỉ dừng lại ở mức độ nêu định nghĩa và cách xác định khoảng cách như sách giáo khoa Hình học 11 và 12 thì học sinh đơn thuần chỉ nắm được khái niệm mà chưa
có kỹ năng trong việc xác định, cũng như các bước để giải quyết vấn đề Điều đó được thể hiện khá rõ khi các em giải quyết các bài toán khoảng cách trong sách giáo khoa, trong bài kiểm tra định kỳ môn Hình học hay trong đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia Nguyên nhân của việc ngại va chạm với dạng toán này, một mặt
do các em không nắm chắc khái niệm khoảng cách và các tính chất liên quan Mặt khác, do các em thiếu kỹ năng giải toán, kỹ năng nhận dạng và các bước tiến hành
để giải quyết bài toán
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề :
2.3.1 Đặt vấn đề :
Dạng toán xác định khoảng cách trong hình học không gian là một dạng toán
cơ bản hay và khá phức tạp ` Đối với giáo viên, việc dạy cho học sinh hiểu và có
kỹ năng xác định khoảng cách không hề dễ dàng Điều khó khăn cơ bản là học sinh còn lúng túng không biết sử dụng phương pháp nào phù hợp để tìm khoảng cách Hơn nữa, khi học sinh dùng phương pháp xác định khoảng cách không hợp lý sẽ làm cho bài toán phức tạp hơn
Qua quá trình giảng dạy và thực nghiệm sư phạm, để giải quyết phần nào những khó khăn, lúng túng của học sinh khi xác định khoảng cách, tôi đưa ra một
SangKienKinhNghiem.net
Trang 6số phương pháp xác định khoảng cách trong hình học không gian thông qua một số
ví dụ cụ thể
2.3.2 Cơ sở lý thuyết :
1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Cho điểm O và đường thẳng Gọi H là hình chiếu
của O trên Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H
được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng
Kí hiệu: ( , )d O
Nhận xét: M ,OM d O( , )
Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ta có thể
+ Xác định hình chiếu H của O trên và tính OH
+ Áp dụng công thức
2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Cho điểm O và mặt phẳng () Gọi H là hình chiếu
của O trên () Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H
được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ()
Kí hiệu: ( ,( ))d O
* Nhận xét: M ( ), OM d O( ,( ))
3 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song :
Cho điểm đường thẳng song song với mặt
phẳng (P) Khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm bất kì
thuộc đến mặt phẳng (P) Kí hiệu : ( ,( ))d P
Nhận xét: M ,N( ),P MN d ( ,( ))P
Việc tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song được
quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song :
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
(P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Kí hiệu (( );( ))d P Q
Nhận xét: M ( ),Q N( ),P MN d P Q (( );( ))
Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc
tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2
Đường thẳng cắt cả ∆1 và ∆2 đồng thời vuông
góc với cả ∆1 và ∆2 được gọi là đường vuông góc
chung của ∆1 và ∆2 Đường vuông góc chung cắt
∆1 tại I và cắt ∆2 tại J thì độ dài đoạn thẳng IJ gọi là
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2 Kí hiệu: d( , 1 2)
O H
O H
M
H
P
M
H
P
Q
I
J
2
1
SangKienKinhNghiem.net
Trang 7Nhận xét : M 1,N2,MN d ( ,1 2)
Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2 ta làm như sau:
Cách 1: Tìm đoạn vuông góc chung IJ từ đó suy ra d( , 1 2) IJ
Cách 2: Tìm một mặt phẳng (P) chứa ∆1 và song song với ∆2 Khi đó
Cách 3: Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa ∆1 và ∆2 Khi
đó d( , 1 2) d P ; Q
Cách 4: Sử dụng phương pháp tọa độ
Đặc biệt :
- Nếu a b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa ∆1 và vuông góc với ∆2, tiếp theo ta
tìm giao điểm I của (P) với ∆2 Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi đó
1 2
( , ) IH
- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
2.3.3 Một số phương pháp xác định khoảng cách trong hình học không gian:
Như ta đã biết, các bài toán xác định khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đều có thể quy về bài toán xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Vì vậy, bài toán xác định khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng được coi là bài toán cơ bản và ta có thể sử dụng một trong các
phương pháp sau:
Phương pháp 1: Xác định trực tiếp
Phương pháp chung : Để xác định khoảng cách từ O đến mặt phẳng (), ta xác
định trực tiếp hình chiếu H của O trên () và tính OH theo một trong 2 hướng sau :
* Hướng 1: ( Có sẵn đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng () )
- Kẻ đường thẳng đi qua O và song song với d d d
- Gọi H Id Khi đó d O( ,( )) OH
* Hướng 2: - Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ()
- Tìm giao tuyến của (P) và ()
- Kẻ OH ( H) Khi đó d O( ,( )) OH
Đặc biệt:
+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc
hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy
+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
SangKienKinhNghiem.net
Trang 8+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
, có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a
BAD
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)
Hướng dẫn:
Hạ OK BCBCSOK
Trong (SOK) kẻ OH SK OH SBC
2
a
Trong tam giác vuông OBC có:
a OK
Trong tam giác vuông SOK có:
Vậy
a OH
4
a
Ta có AD/ /BC AD/ /SBC d AD SBC , d E SBC ,
Kẻ EF / /OH F SK DoOH SBCEF SBC
2
a
Ví dụ 2 : ( Đề thi thử THPT Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp năm 2014)
Cho hình lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh , cạnh a
bên AA a, hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng A ABCD trùng với trung điểm của I AB Gọi là trung điểm của K BC Tính theo a khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng A KD
Chú ý:
Trong bài này, giáo viên hướng dẫn học sinh dựng khoảng cách dựa vào tính chất: nếu ; ;MH ;M thì MH
Tính chất này rất quan trọng trong việc dựng khoảng cách từ một
;
d M MH
điểm đến một mặt phẳng và được sử dụng khá nhiều trong các đề thi
Hướng dẫn:
• Gọi H DKIC, do ABCD là hình vuông cạnh nên ta suy ra đượca
DK
K F
E
D
C B
A
S
H
O D
B
SangKienKinhNghiem.net
Trang 9Xét tam giác A AI ta được 3
2
a
A I
• Do DK IH DK A IH
DK A I
Trong
A DK A IH
mặt phẳng A IH , kẻ IE A H
IE A KD d I A KD IE
Xét tam giác A IH :
IE A I IH
a IE
Vậy 3 2
;
8
a
d I A KD
Bài tập đề nghị :
Bài 1 [1] : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có tất cả các cạnh đều bằng
a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A′BC) bằng :
A 3 B C D
4
7
2
4
a
Bài 2 [2] : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy và góc SBD = 600 Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và SO bằng :
A 5 B C D
2
2
5
5
a
Phương pháp 2 : Sử dụng phép trượt đỉnh
Ý tưởng của phương pháp này là : bằng cách trượt đỉnh O trên một đường
thẳng đến một vị trí thuận lợi O', ta quy việc tính d O( ,( )) về việc tính
Ta thường sử dụng những kết quả sau :
( ',( ))
Kết quả 1 Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng () và M, N thì
( ;( )) ( ;( ))
Kết quả 2 Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N (M, N
không trùng với I ) thì ( ;( ))
( ;( ))
Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì : ( ;( )) 1 ( ;( ))
2
nếu I là trung điểm của MN thì : ( ;( )) d M d N( ;( ))
VÍ DỤ MINH HỌA
A
B
C
B
D
E
K H
C
A B
S
M
K
D
K H
C
A B
S
SangKienKinhNghiem.net
Trang 10Ví dụ 1 : (Khối D năm 2013) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi
cạnh , cạnh bên a SA vuông góc với đáy, BAD 120 0, M là trung điểm của cạnh
và Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Phân tích Do AD // (SBC) nên ta trượt đỉnh D về vị trí thuận lợi A và quy việc
tính d D SBC ; thành tính d A SBC ;
Hướng dẫn :
• Do BAD 120 0 và ABCD là hình thoi cạnh nên tam giác a
đều và tam giác vuông cân tại (do )
• Theo chứng minh trên BC AM
Dựng AK SM K SM
2
Vì AD BC/ / nên d D SBC ; d A SBC ;
2
Ví dụ 2: Cho hình chópS ABC. có đáyABClà tam giác vuông tại , B
; mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Biết
và Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo
2 3
Phân tích: Do BH SACC, nên thay vì việc tính d B SAC , ta đi tìm mối
liên hệ giữa BC và HC rồi chuyển về tính d H SAC ,
Hướng dẫn:
• HạSH BC H BC ; SBC ABCSH ABC; SH SB.sinSBC a 3
• Hạ HD AC D AC AC SHD
;
SAC SHD
Suy ra HK SAC HK d H SAC ;
BH SB SBC aBC HC
; 4. ;
d B SAC d H SAC
Ta có AC BA2 BC2 5a;
HC BC BH a
3
5
HD BA
AC
Vậy
14
HK
7
a
d B SAC HK
C
A B
S
M
K
D
K H
C
A B
S
D
K H
C
A B
S
SangKienKinhNghiem.net