SKKN Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán xác suất từ đó vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản và quy tắc tính xác suất để tìm xác suất SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH BÀI TOÁN XÁC SUẤT
TỪ ĐÓ VẬN DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN VÀ QUY
TẮC TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ TÌM XÁC SUẤT
Người thực hiện: Lê Văn Thượng
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT hiệu Hóa
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán
THANH HÓA NĂM 2019
Trang 2Mục lục
Phần I Mở đầu trang 3
Lí do chọn đề tài trang 3 Mục đích nghiên cứu trang 3 Đối tượng nghiên cứu trang 4 Phương pháp nghiên cứu trang 4 Phần II Nội dung trang 5
Cơ sở lí luận trang 5 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến trang 6 Giải pháp thực hiện: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán xác suất từ đó vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản và quy tắc tính xác suât để tìm xác suất trang 7 Tính xác suất bằng định nghĩa trang 7
Áp dụng quy tắc tính xác suất để tính xác suất trang 9 Bài tập tổng hợp trang 13 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường trang 22 Phần III Kết luận và kiến nghị trang 24 Bài tập kiến nghị trang 26 Tài liệu tham khảo trang 29
Trang 3Phần I : MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích 11 ở chương II đề cập đến chủ đề: Tổ hợp - xác suất Để có thể giải quyết được các bài toán Tổ hợp - xác suất học sinh phải nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản, các quy tắc tính xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vào những tình huống cụ thể
Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 và ôn tập cho hoc sinh thi THPT quốc gia tôi nhận thấy nhiều em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản của xác suất như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,…Đặc biệt trong bài toán tính xác suất theo định nghĩa các em chưa nắm rõ được biến cố và tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố, chưa biết cách phân chia tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố thành nhiều nhóm kết quả thuận lợi sao cho việc đếm các kết quả thuận lợi dễ dàng hơn, chưa biết cách phân tích một biến cố thành hợp các biến cố xung khắc hoặc giao các biến cố độc lập từ đó vận dụng linh hoạt các quy tắc để tính xác suất
Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên Do đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt
so với các bài toán đại số, giải tích, hình học Chính vì vậy, đứng trước một bài toán xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đã làm đúng hay chưa Để giúp học sinh nắm rõ bài toán xác suất tôi đã chọn đề tài:
Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán xác suất từ đó vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản và quy tắc tính xác suất để tìm xác suất
1.2 Mục đích
Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết bài toán xác suất trong nhiều tình huống khác nhau và giúp các em học sinh lơp 12 ôn tập tốt phần xác suất
Trang 41.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Khách thể: Học sinh khối 11 và học sinh ôn thi cuối khóa trường THPT Thiệu Hóa
- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất, các bài toán xác suất
- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương trình SGK cơ bản và nâng cao môn toán lớp 11
1.4 Phương pháp nghiên cứu
a) Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học
b) Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh
c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải
quyết các bài toán xác suất trước và sau khi được học phương pháp phân tích này
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Tập trung phân tích các bài tập tổng hợp nâng cao phổ biến trong các kì thi học sinh giỏi tỉnh, trong kì thi THPT quốc gia
Trang 5PHẦN II: NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
1) Hai quy tắc đếm cơ bản ( quy tắc cộng và quy tắc nhân)
2) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà:
- Không đoán trước được kết quả của nó
- Có thể xác định được tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó Không gian mẫu là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử Không gian mẫu của phép thử kí hiệu là
3) Biến cố
Biến cố là một sự kiện liên quan đến phép thử mà việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố phụ thuộc vào kết quả của phép thử
Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C,… và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con Tập A mô tả cho biến cố A là tập các kết quả thuận lợi cho biến cố A
Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:
- Tập được mô tả cho biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không)
- Tập được mô tả cho biến cố chắc chắn.
Phép toán trên biến cố
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử T
và các kết quả của phép thử là đồng khả năng
- Cho hai biến cố A và B Biến cố “ A hoặc B xảy ra” kí hiệu A B , được gọi là hợp của hai biến cố A và B và được mô tả bởi tập A B
- Cho hai biến cố A và B Biến cố “ A và B cùng xảy ra” kí hiệu AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B và được mô tả bởi tập A B
- Biến cố A không xảy ra gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là Và 𝐴 A xảy ra khi và chỉ khi không xảy ra
- Nếu A B thì ta nói và là xung khắc.𝐴 𝐵
- Hai biến cố và được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay 𝐴 𝐵
Trang 6không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến
cố kia
4) Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử T có một số hữu hạn kết quả và 𝐴 đồng khả năng, kí hiệu ( )là số phần tử của tập X Ta gọi tỉ số ( ) là xác
( )
n A
n
suất của biến cố , kí hiệu là P(A) Vậy 𝐴 ( ) ( )
( )
n A
P A
n
5) Tính chất của xác suất:
a) Tính chất cơ bản:
P( ) = 0
P( ) = 1
0 P (A) 1 với mọi biến cố A.
P ( ) = 1- P(A) A
b) Quy tắc cộng xác suất
Nếu A và B xung khắc thì: P A B( ) P A( ) P B( )
Với mọi biến cố và bất kì ta có:𝐴 𝐵
P A B( ) P A( ) P B( ) P AB( )
c) Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập khi đó ta có: P AB( ) P A P B( ) ( )
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 và ôn tập cho hoc sinh thi THPT quốc gia tôi nhận thấy nhiều em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản của xác suất như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,…Đặc biệt trong bài toán tính xác suất theo định nghĩa các em chưa nắm rõ được biến cố và tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố, chưa biết cách phân chia tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố thành nhiều nhóm kết quả thuận lợi sao cho việc đếm các kết quả thuận lợi dễ dàng hơn, chưa biết cách phân tích một biến cố thành hợp các biến cố xung khắc hoặc giao các biến cố độc lập từ đó vận dụng linh hoạt các quy tắc để tính xác suất
Trang 7Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên Do đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt
so với các bài toán đại số, giải tích, hình học Chính vì vậy, đứng trước một bài toán xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đã làm đúng hay chưa.
2.3 HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH BÀI TOÁN XÁC SUẤT TỪ
ĐÓ VẬN DỤNG HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN VÀ QUY TẮC TÍNH XÁC SUÁT ĐỂ TÌM XÁC SUẤT
1 Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển của xác suất
Xác suất của biến cố A là: ( ) ( )
( )
n A
P A
n
Như vậy bản chất của việc tính xác suất của biến cố A là việc đếm số phần tử của phép thử ngẫu nhiên và số kết quả thuận lợi cho biến cố A Chính vì vậy các em học sinh cần nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản và biết cách phân tích biến cố hay sự kiện hay công việc cần thực hiện thành các phương án, trong mỗi phương án lại được thực hiện theo các công đoạn từ đó tìm ra các bước giải bài toán.
Bài toán 1 Gieo ba đồng xu cân đối và đồng chất như nhau Tìm xác suất của
các biến cố sau:
a) Có đúng hai mặt sấp xuất hiện
b) Có ít nhất một mặt sấp xuất hiện
c) Có nhiều nhất một mặt sấp xuất hiện
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Thực chất của bài toán là đếm số kết quả có thể xảy ra của phép thử gieo
ba đồng xu cân đối đồng chất và đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố
Ta kí hiệu S là mặt sấp xảy ra , N là mặt ngữa xảy ra Các khả năng xảy ra là: 2 3 8 đó là các khả năng: NNN NNS NSN SNN NSS SNS SSN SSS; ; ; ; ; ; ;
a) Gọi A là biến cố có đúng hai mặt sấp xuất hiện Số kết quả thuận lợi cho A là 3 gồm NSS; SNS; SSN Vậy ( ) 3
8
P A b) Gọi B là biến cố có ít nhất một mặt sấp xuất hiện Số kết quả thuận lợi cho B là 3 3 1 gồm hai sấp NSS; SNS; SSN , một sấp SNN; NSN; NNS và ba sấp SSS Vậy ( ) 7
8
P B Nhậ xét: Ta có thể đếm phần bù là B NNN suy ra ( ) 1 ( ) 7
P B P B a) Gọi C là biến cố có nhiều nhất một mặt sấp xuất hiện Số kết quả thuận lợi cho C là 3 1 4 gồm SNN; NSN; NNS và NNN Vậy ( ) 4 1
8 2
P C
Bài toán 2 Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất như nhau Tìm xác suất
của các biến cố sau:
Trang 8a) Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là 8.
b) Số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là bằng nhau
c) Tích số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là số chẵn
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Thực chất của bài toán là đếm số kết quả có thể xảy ra của phép thử gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất và đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố
Các khả năng xảy ra là: 6.6 36 đó là các khả năng :
(1,1),(1, 2),(1,3), (1,6)
(2,1),(2, 2),(2,3), (2,6)
(6,1),(6, 2),(6,3), (6,6)
a) Xét biến cố A: tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8
Tập A các kết quả thuận lợi của A : A (2,6),(6, 2),(3,5),(5,3),(4, 4) suy
ra n( A) 5 Vậy ( ) 5
36
P A
b) Gọi B là biến cố số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là bằng nhau Ta có: A (1,1);(2, 2);(3,3);(4, 4);(5,5);(6,6) suy ra n( B) 6
Vậy ( ) 6 1
36 6
P B
c) Gọi C là biến cố tích số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là số chẵn
Trong trường hợp này ta có thể liệt kê được tất cả các kết quả thuận lợi của C là 27 kết quả Vậy ( ) 27 3
36 4
P C Nhận xét: Tuy nhiên nếu ta đếm tích số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc là số lẻ thì có 3.3 9 kết quả đó là:
(1,1);(1,3);(1,5);(3,1);(3,3);(3,5);(5,1);(5,3);(5,5)
C
Suy ra ( ) 9 ( ) 1 1 3 Cách đếm này thuận lợi hơn
P C P C
Bài toán 3 Một hộp đựng 9 thẻ có đánh số 1, 2, 3, , 9 trên đó.Bốc ngẫu nhiên
ba thẻ Tìm xác suất để ba thẻ thu được có:
a) Tổng số ghi trên ba thẻ là số chẵn
b) Tích số ghi trên ba thẻ là số chẵn
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Mỗi phần tử của không gian mẫu là một tập con ba phần tử của tập chín phần tử, nên số phần tử của không gian mẫu là 3
9
C
a) Gọi A là biến cố tổng số ghi trên ba thẻ là số chẵn Mỗi kết quả thuận lợi của A sẽ là hai thẻ lẻ và một thẻ chẵn hoặc ba thẻ chẵn nên số kết quả thuận lợi của A là 2 1 3
5 4 4
C C C
Vậy xác suất của biến cố A là 52 14 43
3 9
( )
21
C C C
P A
C
Trang 9b) Gọi B là biến cố tích số ghi trên ba thẻ là số chẵn Mỗi kết quả thuận lợi của B sẽ là một thẻ chẵn hai thẻ lẻ, hai thẻ chẵn một thẻ lẻ hoặc ba thẻ chẵn nên số kết quả thuận lợi của A là 1 2 2 1 3
4 5 4 5 4
C C C C C
Vậy xác suất của biến cố A là 14 52 42 51 43
3 9
( )
42
C C C C C
P B
C
Nhận xét: Tuy nhiên nếu ta đếm phần bù là tích số ghi trên ba thẻ là số lẻ thì có 3 kết quả
5
C
3 9
C
C
Bài toán 4: Một đội thanh niên tình nguyện gồm 8 người, trong đó có An và
Bình Người ta phân một cách ngẫu nhiên thành hai nhóm mỗi nhóm 4 người Tính xác suất để An và Bình thuộc cùng một nhóm
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Không gian mẫu là tập hợp tất cả các cách phân chia 8 người thành hai
nhóm, mỗi nhóm 4 người Mỗi cách phân nhóm lại cho ta hai nhóm Nên số cách phân nhóm là 4
8
1
2C Gọi A là biến cố " An và Bình thuộc cùng một nhóm" Số kết quả thuận lợi của A là số cách phân nhóm sao cho An và Bình thuộc cùng một nhóm Nên
số kết quả thuận lợi là 2
6 ( A)
n C
4 8
3 ( )
2
C
P A
C
2 Áp dụng các quy tắc để tính xác suất
Cần nhấn mạnh rằng:
Nếu A và B xung khắc thì: P A B( ) P A( ) P B( )
Nếu A và B độc lập khi đó ta có: P AB( )P A P B( ) ( )
Với mọi biến cố và bất kì ta có: 𝐴 𝐵 P A B( ) P A( ) P B( ) P AB( )
Bài toán 5: Một hộp đựng 18 viên bi cùng kích thước và chất liệu trong đó có 5
bi trắng, 6 bi xanh và 7 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi Tính xác suất để:
a) Bốn bi lấy ra cùng màu
b) Bốn bi lấy ra có đủ ba màu
Phân tích để giúp học sinh đưa ra nhận xét: Trong những bài toán mà các kết
quả thuận lợi của biến cố A chia thành nhiều nhóm kết quả ta có thể coi biến cố
dụng quy tắc cộng xác suất để tính xác suất của biến cố A.
Trong bài này không gian mẫu gồm C184 phần tử
Gọi A là biến cố lấy được 4 bi cùng màu
Gọi là biến cố 4 bi lấy ra cùng màu trắng, khi đó A1 n(A1)C54
Gọi là biến cố 4 bi lấy ra cùng màu xanh, khi đó A2 n(A2) C64
Trang 10Gọi là biến cố 4 bi lấy ra cùng màu đỏ, khi đó A3 n(A3) C74
Các biến cố , , là các biến cố xung khắc từng đôi một và A1 A2 A3 A A 1A2A3
Vậy xác suất để bốn bi lấy ra cùng màu là:
11
612
P A P A P A P A
b) Gọi B là biến cố lấy được 4 bi có đủ ba màu
Gọi là biến cố 4 bi lấy ra có hai bi màu trắng, một bi xanh, một bi đỏ Ta có B1
18
P B
C
Gọi B2 là biến cố 4 bi lấy ra có hai bi màu xanh, một bi trắng, một bi đỏ Ta có
18
P B
C
Gọi là biến cố 4 bi lấy ra có hai bi màu đỏ, một bi xanh, một bi trắng Ta có B3
18
P B
C
Các biến cố , , là các biến cố xung khắc từng đôi một và B1 B2 B3 B B 1B2B3
Vậy xác suất để bốn bi lấy ra có đủ ba màu là:
68
C C C C C C C C C
P B P B P B P B
Bài toán 6 Có hai hộp chứa các quả cầu cùng kích thước Hộp thứ nhất chứa 7
quả trắng và 2 quả đen Hộp thứ hai chứa 6 quả trắng và 3 quả đen Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả cầu Tính xác suất để lấy được:
a) Hai quả cầu trắng
b) Hai quả cùng màu
c) Hai quả cầu khác màu
Hướng dẫn học sinh phân tích:
Việc lấy mỗi bình một quả cầu là độc lập với nhau và để lấy được hai quả cầu có màu quy định thì ở mỗi bình phải lấy một quả có màu sao cho hai quả lấy ra phải được màu quy định đó Điều này khiến chúng ta phải vận dụng quy tắc nhân cho giao các biến cố độc lập và quy tắc cộng cho hợp các biến cố xung khắc
Cụ thể trong bài này ta tiến hành như sau:
Gọi A A1, 2 lần lượt là các biến cố lấy được cầu trắng từ hộp thứ nhất và hộp thứ hai Gọi B B1, 2 lần lượt là các biến cố lấy được cầu đen từ hộp thứ nhất và hộp thứ hai Các biến cố trên đều độc lập với nhau
Ta có: ( )1 7, ( )2 6, ( )1 2, ( )2 3
P A P A P B P B Gọi A, B, C lần lượt là biến cố lấy được hai quả màu trắng, hai quả cùng màu và hai quả khác màu Khi đó ta có: A A A B 1 2, A A1 2B B C1 2, A B1 2A B2 1