SKKN Sử dụng sơ đồ tư duy các bước để giải 10 bài toán cực trị điển hình của hình học tọa độ không g...

SKKN Sử dụng sơ đồ tư duy các bước để giải 10 bài toán cực trị điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12 Thpt; giúp học sinh giải nhanh và đạt điểm cao trong kì thi trung học phổ thông quốc gia[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG SƠ ĐỒ TƯ DUY CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI

10 BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐIỂN HÌNH CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN LỚP 12-THPT; GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH VÀ ĐẠT ĐIỂM CAO TRONG KÌ THI

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

Người thực hiện: Lưu Thị Huyên

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán học

THANH HÓA NĂM 2018

MỤC LỤC

Phần 1: MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài: 1

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi đề tài nghiên cứu .1

3.1 Đối tượng nghiên cứu: 1

3.2 Phạm vi nghiên cứu: 2

4 Thời gian nghiên cứu: .2

5 Phương pháp nghiên cứu: 2

6 Những nét đổi mới, sáng tạo và tạo ra giá trị mới nếu áp dụng sáng kiến: 2

Phần 2: NỘI DUNG 3

1 Cơ sở lí luận của đề tài : 3

1.1 Cơ sở khoa học của đề tài: 3

1.2 Cơ sở thực tiễn của đề tài: 3

2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: 3

3 Giải pháp và tổ chức thực hiện – Kiểm nghiệm : 3

3.1 Giới thiệu sơ lược nội dung chương 3-hình học tọa độ không gian lớp 12-THPT: 3

3.2 Hệ thống hóa các kiến thức có liên quan: 4

3.3 10 bài toán cực trị điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12-THPT: 6

Bài toán 1: Tìm M thuộc đường thẳng ( hoặc mặt phẳng   P ) sao cho nhỏ nhất hoặc lớn nhất ……… 6

2 2 2 1 1 2 2 n n P MA  MA   MA Bài toán 2: Tìm M thuộc đường thẳng  ( hoặc mặt phẳng  P ) sao cho 1 1 2 2 n n P  MAuuuur MAuuuur  MAuuuur nhỏ nhất , trong đó 1 0 n i i     8

Bài toán 3: Tìm M P sao choMA MB nhỏ nhất 9

Bài toán 4: Tìm M P sao cho MA MB lớn nhất , với d A P ,  dB, P  10

Bài toán 5: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A x 1 ; y ; z , B 1 1 x2 ; y ; z 2 2 và đường thẳng : x x0 y y0 z z0 a b c       Tìm M  sao cho MA MB nhỏ nhất 12

Bài toán 6: Viết phương trình mặt phẳng   chứa  và cách A một khoảng lớn nhất. 13

Bài toán 7: Viết phương trình mặt phẳng   chứa  và tạo với  P một góc nhỏ nhất. 14

Bài toán 8: Viết phương trình mặt phẳng   chứa A B, và tạo với  một góc lớn nhất. 15

Bài toán 9: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A x 1 ; y ; z 1 1 và cắt đường thẳng d' : x x0 y y0 z z0

  sao cho khoảng cách từ Bx2 ; y ; z 2 2 đến đường thẳng d là lớn nhất hoặc nhỏ nhất. 16 Bài toán 10: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A x 1 ; y ; z 1 1 và cắt đường thẳng d' : x x0 y y0 z z0

  sao cho khoảng cách giữa d và

:

x x y y z z

   là lớn nhất. 18 3.4 Hiệu quả của việc sử dụng sơ đồ tư duy trong khi giải bài toán hình học tọa độ không gian lớp 12- THPT, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường: 19 Phần 3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 20

Mục lục

Tài liệu tham khảo

Danh mục các sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp loại cấp

Sở GD&ĐT xếp loại C trở lên

Phụ lục

Phần 1: MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Thực hiện chủ trương đổi mới giáo dục nước ta về mục tiêu, nội dung chương trình và phương pháp giảng dạy, đặc biệt là đổi mới nội dung chương trình sách giáo khoa và cách thức thi, kiểm tra, đánh giá học sinh Trong kì thi THPT quốc gia, đề thi môn toán có 50 câu trắc nghiệm, học sinh hoàn thành bài với thời gian 90 phút Làm thế nào để trong khoảng thời gian ngắn như thế, mà được điểm cao thật không dễ! Rõ ràng, cách dạy trình bày lí luận không còn phù hợp, thay vào đó chúng ta phải dạy thế nào để học sinh ghi nhớ tốt nhiều công thức, nhiều phương pháp, phát huy tính sáng tạo chủ động của học sinh, thì mới trả lời đúng

được nhiều câu hỏi trong thời gian nhanh nhất Chính vì thế, tôi chọn đề tài: “Sử

dụng sơ đồ tư duy các bước để giải 10 bài toán cực trị điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12 –THPT; giúp học sinh giải nhanh và đạt điểm cao trong kì thi trung học phổ thông quốc gia”.

Thực tế giảng dạy cho thấy rằng: học sinh thích học đại số hơn học hình học

và sợ học môn hình học Lí do là sao vậy? Hầu hết trong số các lí do là người học thiếu phương pháp làm bài một cách khoa học và dễ nhớ, giống như một người cần một đèn pin soi đường trong đêm tối, một người học không có phương pháp,

thì không thể học tốt được Trong phạm vi của đề tài, tôi chỉ nghiên cứu về 10 bài

toán cực trị điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12- THPT Thiết nghĩ, nếu một bài toán hình học chỉ được trình bày đơn thuần từ đầu đến cuối, học sinh

sẽ dễ nhàm chán, không nắm được phương pháp; sử dụng sơ đồ tư duy, với ưu điểm: có màu sắc, hình vẽ minh họa, đảm bảo tính khoa học – logic, học sinh dễ học - dễ nhớ; sẽ soi đường, chỉ lối cho các em tìm ra phương pháp học đạt hiệu quả cao

Trong xu thế hội nhập vào nền cách mạng công nghiệp 4.0, học sinh của chúng ta phải đáp ứng được nhiều tiêu chí: thông minh, nhanh nhẹn, làm việc khoa học - sáng tạo Tôi hi vọng đề tài này giúp học sinh có được các tiêu chí trên, đặc biệt nhiệm vụ trước mắt là giải quyết những câu khó dành điểm 9,10 trong đề thi THPTQG, là tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp, của các em học sinh và mong nhận được sự chia sẻ, góp ý, để đề tài được ứng dụng rộng rãi hơn

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài.

Qua nghiên cứu đề tài, giáo viên phải nắm được phương pháp giải 10 bài toán điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12-THPT, qua đó giúp học sinh áp dụng giải các bài tập tương tự theo sơ đồ đã cho Từ đó khơi nguồn và tạo cảm hứng trong việc dạy - học tập và sự tìm tòi của những ai yêu thích môn toán học này

3 Đối tượng và phạm vi đề tài nghiên cứu.

3.1 Đối tượng nghiên cứu:

Các bài tập cực trị hình học tọa độ không gian lớp 12- THPT; áp dụng dạy cho học sinh các khối, lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy từ năm 2016 đến nay Cụ thể như sau: - Lớp 12A2, 12A4 năm học 2016– 2017 trường THPT Đông Sơn 1

3.2 Phạm vi nghiên cứu:

- Chương trình SGK Hình học lớp 12 chưa cải cách (NXB GD năm 2000)

- Chương trình SGK Hình học , lớp 12 cải cách (NXB GD năm 2006)

4 Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 9 năm 2016 đến tháng 3 năm 2018.

5 Phương pháp nghiên cứu:

Xuất phát từ đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu để đạt được mục đích đã đề

ra trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:

+ Nghiên cứu tài liệu

+ Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giảng dạy

+ Thực nghiệm sư phạm

+ Phân tích và tổng hợp lý thuyết

+ Phân loại và hệ thống lý thuyết

+ Phương pháp thực nghiệm (thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài tập, củng cố bài học, hướng dẫn HS chuẩn bị bài, kết hợp với kiểm tra, đánh giá)

6 Những nét đổi mới, sáng tạo và tạo ra giá trị mới nếu áp dụng sáng kiến:

- Sáng tạo hơn: học sinh có hướng tư duy mới khi giải bài toán hình học cùng dạng và những dạng khác có liên quan;giúp học sinh học tập chủ động tích cực, phát huy khả năng tự học ở nhà

- Tiết kiệm thời gian: đây là sổ tay ghi nhớ, là cẩm nang để bàn giúp học sinh chỉ cần nhìn vào sơ đồ là biết cách làm bài; giúp học sinh làm đúng và nhanh nhiều bài tập tắc nghiệm trong thời gian ngắn, đạt điểm cao 9 - 10 trong các kì thi

- Ghi nhớ tốt hơn: sơ đồ tư duy với hình vẽ bắt mắt, chữ viết màu sắc, giúp học sinh dễ học dễ nhớ

- Nhìn thấy bức tranh tổng thể: học sinh nắm được các bước rõ ràng đảm bảo tính logic, hệ thống, tổng quát các bài tập từ đầu đến cuối

- Phát triển nhận thức tư duy: học sinh có thể áp dụng cách học này cho nhiều bài tập khác, môn học khác ; đồng thời thay đổi cách suy nghĩ cũ:“ thấy hình học là khó”, mà yêu thích học môn toán, đặc biệt là môn hình học không gian

- Đây là tài liệu bổ ích giúp giáo viên giảng dạy và ôn tập hiệu quả cao

Phần 2: NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận của đề tài:

1.1 Cơ sở khoa học của đề tài:

- Sơ đồ tư duy các bước giải là hình thức ghi chép nhằm tìm tòi, đào sâu,

mở rộng ý tưởng, hệ thống hóa một chủ đề hay một mạch kiến thức bằng cách kết hợp việc sử dụng màu sắc, chữ viết, hình vẽ minh họa với sự tư duy tích cực

- Sơ đồ tư duy chú trọng đến màu sắc, các nhánh, các bước liên đới với nhau Có thể sử dụng sơ đồ vào dạy học các bài mới, ôn tập chương – kì

- Sơ đồ tư duy giúp người học phát huy tối đa tính chủ động, tích cực,tính sáng tạo của các em

- Sơ đồ tư duy là cách ghi chép hiệu quả, sắp xếp bố cục thông tin cần thiết nhất và logic

1.2 Cơ sở thực tiễn của đề tài:

- Học sinh chưa có phương pháp học hiệu quả

- Thời gian học tập ở nhà còn ít

- Kĩ năng giải toán và trình bày bài giải còn hạn chế

2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

- Phần lớn học sinh không nhớ các kiến thức hình học lớp 10,11; các kiến thức lớp 12 nhớ không chắc chắn, lúc nhớ lúc quên

- Kĩ năng tự học, học và làm bài về nhà của học sinh còn hạn chế; các em còn bị phân tán nhiều bởi các trò chơi và mạng xã hội

- Kĩ năng phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong hình học tọa độ còn nhiều lúng túng

- Giáo viên bộ môn chưa chú trọng nhiều đến việc hướng dẫn học sinh kĩ năng tự học, kĩ năng tìm cách giải bài toán bằng sơ đồ tư duy, đây là kĩ năng được đánh giá là giúp học sinh giải những câu có nội dung kiến thức vận dụng cao

(chống máy tính CASIO)

Chính vì thế, việc sử dụng sơ đồ tư duy vào giải các bài toán hình học tọa

độ không gian giúp học sinh ghi nhớ rất tốt, chỉ nhìn vào sơ đồ biết ngay cách làm, các thao tác lặp lại nhiều lần sẽ hình thành kĩ năng học tập và giải toán tốt hơn; đồng thời học sinh nhìn được bức tranh tổng thể, có thể tự phân tích các mối quan

hệ giữa các đối tượng, từ đó khả năng tự học được phát huy Qua đó, việc truyền thụ kiến thức đến học sinh của các thầy cô nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn; các em thích học hình học và đam mê học toán hơn

3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN - KIỂM NGHIỆM :

3.1 Giới thiệu sơ lược nội dung chương 3-hình học tọa độ không gian lớp 12-THPT:

Trong không gian Oxyz cho: A x ; y ;z ,B x ; y ;z A A A  B B B và

Khi đó:

ar  a ;a ;a ,br  b ;b ;b

+) ABuuur x B  x ; y A B  y ;z A B  z A

AB  x  x  y  y  z  z

+) a br r a1 b ;a1 2 b ;a2 3 b3

+) k.ar ka ;ka ;ka1 2 3

1 2 3

a a a

  

r

a

+) ar   br a1  b ;a1 2  b ;a2 3  b3

+) ar r.b a b  1 1 a b2 2 a b3 3

a

a a / /b a k.b a,b 0

b b b

 

        

r r r r r r r

a

+) ar   br a.b 0r r   a b1 1 a b2 2 a b3 3  0

a a a a a a

b b b b b b

 

r r

a

+) a,b,cr r r đồng phẳng   m,n  ¡ : a mb ncr  r  r hay a,b c 0r r r 

+) a,b,cr r r không đồng phẳng   m,n  ¡ : a mb ncr  r  r hay a,b c 0r r r 

+) M chia đoạn AB theo tỉ số

x kx y ky z kz

k 1 MA kMB M ; ;

1 k 1 k 1 k

uuuur uuur

Đặc biệt: M là trung điểm AB: x A x B y A y B z A z B

+) G là trọng tâm tam giác ABC: x A x B x C y A y B y C z A z B z C

+) G là trọng tâm tứ diện ABCD:

x x x x y y y y z z z z

        

+) Véctơ đơn vị: ri (1;0;0); j (0;1;0);k (0;0;1)  r  r 

+) Điểm trên các trục tọa độ: M(x;0;0) Ox; N(0; y;0) Oy;K(0;0;z) Oz   

+) Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ:

M(x; y;0)  Oxy ; N(0; y;z)  Oyz ;K(x;0;z)  Oxz

+) Diện tích tam giác ABC: S ABC 1 AB,AC

2

     

uuur uuur

+) Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD    AB,AC  

uuur uuur

+) Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD 1 AB,AC AD

6  

   uuur uuur uuur

+) Thể tích khối hộp ABCD.A 'B'C'D': VABCD.A ' B'C ' D '    AB,AD AA '  

uuur uuur uuuur

3.2 Hệ thống hóa các kiến thức có liên quan:

+) Góc của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng   : Ax By Cz D 0     và   ' : A 'x B' y C'z D' 0    

Gọi là góc của hai mặt phẳng, ta có: 

AA ' BB' CC' cos

A B C A ' B' C'

 

 

+) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho mp   : Ax By Cz D 0     và điểm M x ; y ;z 0 0 0 0 Khi đó:

 

Ax By Cz D

d M ;

A B C

  

 

 

+) Góc giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương ua;b;c và đường thẳng có vectơ d '

chỉ phương u ' a ';b';c' Gọi là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:

0

u u ' a.a ' bb' cc'

a b c a ' b' c'

u u '

 

 

 

   

+) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương ua;b;c và mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến nr A;B;C Gọi là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng    ta có:

u n

Aa Bb Cc sin

A B C a b c

u n





 

 

  

   

+) Khoảng cách từ điểm M x ; y ;z 1 1 1 1 đến đường thẳng có vectơ chỉ phương  u

:

Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng   qua M1 và vuông góc với 

- Tìm tọa độ giao điểm H của và mặt phẳng   

- d M ; 1   M H 1

Cách 2: Sử dụng công thức:   1 0

1

M M ,u

d M ;

u

 

uuuuuur r r

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau đi qua  M x ; y ; z 0 0 0 0 và có vectơ chỉ phương u

và đường thẳng đi qua  ' M ' x ' ; y' ; z '0 0 0 0 và có vectơ chỉ phương u '

Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng   chứa và song song với   '

- Tính khoảng cách từ M '0 mặt phẳng  

- d( , ') d(M ' ,( ))    0 

'

0 0

u,u ' M M d( , ')

u,u '

 

 

  

 

 

uuuuuur

r ur

r ur

+) Áp dụng bất đẳng thức: 2 2 2 2   2 2

a b  c d  a c  b d

đẳng thức xảy ra khi a c

b  d

3.3 10 bài toán cực trị điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12-THPT:

Để tìm cực trị trong không gian chúng ta thường sử dụng hai cách:

Cách 1:Sử dụng phương pháp hình học

Cách 2:Sử dụng phương pháp đại số

Bài toán 1: Trong không gian Oxyz, cho n điểm A A1, 2, ,A n Tìm M thuộc đường thẳng ( hoặc mặt phẳng   P ) sao cho 2 2 2

P MA  MA   MA

a) Nhỏ nhất khi  1 2   n  0

b) Lớn nhất khi  1 2   n  0

Phân tích sơ đồ: Trong sơ đồ các bước giải bài toán 1a, gồm các bước sau:

Bước 1: Tìm điểm I thỏa mãn: 1IAuur12IAuuur2   n IAuuur rn  0

P     MI  IA  IA   IA

Bước 3: Nếu  1 2   n  0 thì P lớn nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng hoặc lên mặt phẳng   P

Sai lầm học sinh có thể mắc phải:

- Học sinh nắm được dữ kiện của bài toán song biểu thị biểu thức véc tơ còn lúng túng

- Học sinh sai lầm trong cách tính véc tơ

- Học sinh chưa biết điều kiện để MI lớn nhất hay nhỏ nhất

Cách khắc phục: Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh biểu thị véc tơ:

- Tính các véc tơ uur uuurIA IA1, 2, ,IAuuurn

- Thực hiện phép toán cộng, trừ, nhân véc tơ sao cho 1IAuur12IAuuur2   n IAuuur rn  0

- Tìm ra điểm I

P MA  MA   MA

- Biện luận theo  1 2   n.Tìm ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P

Lưu ý:Các sơ đồ tiếp theo được hiểu thứ tự các bước giải như sơ đồ các bước giải bài toán 1a Ngoài ra, có thể tìm thêm cách khác để giải bài toán này

Từ đó, ta lập một sơ đồ các bước giải tương ứng.

Bài tập áp dụng bài toán 1: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm

2; 2;3 , B 1;0; 3 ,C 2; 3; 1    

cho S  2MA2  3MB2  4MC2 nhỏ nhất

Bài giải:

Gọi Ix; y;z là điểm thỏa mãn điều kiện 2uurIA 3IBuur 4ICuur  0r

Mà

2 ; 2 ;3 ;

1 ; ; 3 ;

2 ; 3 ; 1

    

      





     



uur

uur

uur

Do đó I 7;16;1

Khi đó :

2 3 4

S MA MB MC MI IA MI IB MI IC

IM IA IB IC

   

uuur uur uuur uur uuur uur

Do 2IA2  3IB2  4IC2 không đổi nên S nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng  

Ta có: IM    Phương trình đường thẳng

7 2 : 16

1 2

  



  



  

 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

7 2

5 16

17

1 2

1

x

y

z

  



 



  

    

 Vậy M 5;17; 1   là điểm cần tìm

Bài tập tương tự bài toán 1: