Đề KT ĐẠO ĐỨC -HKI- LỚP 3

SKKN Phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua giải một số bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức bằng phương pháp hình học (Giải tích 12) 1 1 MỞ ĐẦ[.]

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Mục tiêu căn bản cho người học là làm chủ được kiến thức mà mình tiếp thu Khi chưa làm chủ được kiến thức thì người ta buộc phải hi vọng vào vận may để vận dụng thành công trong giải quyết các vấn đề

Vậy nên, nhiệm vụ của một người thầy giỏi là giúp học sinh tự mình khám phá để

đi từ một tầng kiến thức thấp tới một tầng kiến thức cao hơn Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động Muốn vậy giáo viên cần chỉ cho học sinh cách học, biết cách suy luận để tìm lời giải, biết tìm tòi và phát hiện kiến thức mới Học sinh cần được phát triển các thao tác tư duy như tư duy phân tích, tư duy sáng tạo,…và phát huy tính tích cực của học sinh

Người học giỏi phải là người làm chủ được tri thức, biết định dạng, phân loại, để

từ đó sáng tạo và nhận thức ra tri thức mới hữu ích cho mình Việc giải bài tập chỉ mới là bước căn bản để học sinh hiểu bài chứ chưa hẳn đã tạo ra thử thách khả năng sáng tạo Còn khi người học biết kết nối thông tin để hình thành nhận thức mới mẻ cho bản thân mình, thì đó chính là sự sáng tạo Cũng chỉ thông qua đó thông tin mới thực sự sống động và thôi thúc lòng ham hiểu biết

Giải tích lớp 12 chương IV – Số phức, đây là một nội dung hay và có nhiều ứng dụng Đặc biệt là bài toán cực trị của môđun số phức, một vấn đề tương đối khó

và thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia.Với trình độ lý luận ngày càng cao và sự thay đổi về hình thức thi từ “Tự luận” sang “ Trắc nghiệm” yêu cầu người học phải tư duy nhiều hơn, tìm tòi nhiều hơn để giải quyết được một cách nhanh gọn Khi giải các bài toán này thường có các phương pháp phổ biến sau đây: Phương pháp đại số, phương pháp giải tích, phương pháp hình học Đối với phương pháp hình học sẽ giúp học sinh phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo một cách tốt nhất

Từ những lí do trên tôi chọn đề tài “Phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua giải một số bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức bằng phương pháp hình học (Giải tích 12).”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Xây dựng, sắp xếp các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

môđun số phức có tính hệ thống, thông qua đó để phát huy tính tích cực và tư duy sáng tạo cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

+ Tìm hiểu khái niệm, cấu trúc của tư duy tích cực, tư duy sáng tạo

+ Tìm hiểu khái niệm, kiến thức có liên quan đến số phức

+ Xây dựng và định hướng khai thác hệ thống bài tập

+ Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài, tôi chọn 2 lớp theo Trường THPT Lê Lợi năm học 2018-2019, cụ thể: lớp đối chứng: 12A2, lớp thực nghiệm:12A11

1.4 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận;

+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, điều tra khảo sát thực tế,

thu thập thông tin;

+ PP thống kê, xử lý số liệu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1.1 Tư duy tích cực là gì?

Là loại tư duy dựa vào tính tích cực nhận thức của học sinh trong quá trình học tập Tính tích cực là trạng thái hoạt động của học sinh đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức(theo Kharlanop)

Theo Shukina GL tính tích cực có thể phân thành 3 loại: Tính tích cực tái hiện bắt chước, tính tích cực tìm tòi và tính tích cực sáng tạo

2.1.2 Tư duy sáng tạo là gì?

Sáng tạo được hiểu theo từ điển Việt Nam là làm ra cái mới chưa ai làm hoặc

là tìm tòi làm tốt hơn một việc gì đó mà không bị gò bó

Tư duy sáng tạo là quá trình tìm cách nhận thức, phát hiện ra quy luật của sự vật, có ý thức luôn tìm ra cái mới để hiểu hơn bản chất của sự vật hiện tượng cũng như tìm ra nguyên nhân, ngăn chặn, loại bỏ những cái xấu và phát triển cái tốt Như vậy tư duy sáng tạo là thuộc tính bản chất của con người để tồn tại và phát triển những điều tốt đẹp, trong các loại hình tư duy nhằm phản ánh hiện thực thì tư duy sáng tạo là loại hình tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới độc đáo và hiệu quả, phát hiện ra nội dung mới, tìm ra hướng đi mới đồng thời tạo ra kết quả mới Việc giải bài tập chỉ mới là bước căn bản để học sinh hiểu bài chứ chưa hẳn đã tạo

ra thử thách khả năng sáng tạo Còn khi người học biết kết nối thông tin để hình thành nhận thức mới mẻ cho bản thân mình, thì đó chính là sự sáng tạo Cũng chỉ thông qua đó thông tin mới thực sự sống động và thôi thúc lòng ham hiểu biết

2.1.3 Mối quan hệ giữa tư duy tích cực và tư duy sáng tạo.

Bàn về mối quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duy sáng tạo thì V.A.Krutexki cho rằng có thể biểu diễn dưới dạng những đường tròn đồng tâm

Đó là các mức độ tư duy khác nhau mà tư duy tích cực có vai trò là tiền đề Quá trình từ tư duy tích cực đến tư duy sáng tạo thông qua tư duy độc lập Như vậy trong tư duy sáng tạo luôn có tư duy tích cực và tư duy độc lập

Khi tự mình tích cực và sáng tạo thì người học làm chủ được môi trường của mình Việc phân tích và sáng tạo thành công tạo ra ấn tượng khám phá mới mẻ, đồng thời cho người học cảm giác được lao động, vượt qua chướng ngại để đem

về thành quả sáng tạo

Ví dụ như khi một học sinh chăm chú theo dõi việc giải bài tập và cố gắng hiểu được các bước giải thì ta nói đây là tư duy tích cực, tư duy độc lập thể hiện ở việc học sinh tự mình phát hiện ra vấn đề tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được Từ các kết quả đó học sinh tự khám phá tìm ra cách chứng minh, lời giải mà nó chưa biết thì đây là tư duy sáng tạo

2.2 THỰC TRẠNG

Qua khảo sát chất lượng đầu năm, đối với lớp 12A2, 12A11, hai lớp ngang nhau (60% từ khá trở lên), chất lượng bộ môn đạt 50% từ trung bình trở lên trong đó có 15% học sinh có điểm giải tích giỏi

Thực tế khi đứng trước một bài toán cực trị của môđun số phức học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu ?” Một

số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi

sự thử nghiệm đó sẽ dẫn tới kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán như thế là không cao Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán tìm cực trị của môđun số phức, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen đọc

kĩ đề bài, xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác giả thiết của bài toán để tìm lời giải Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các

phương pháp giải là một điều cần thiết Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán Cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm được một lời giải cho bài toán cực trị môđun của số phức thường không suy nghĩ, đào sâu thêm Học sinh không chú ý đến bản chất của bài toán nên mặc dù làm rất nhiều bài toán nhưng vẫn không phân loại được dạng toán cơ bản cũng như bản chất của bài toán

Với thực trạng đã chỉ ra, thông thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán có cấu trúc đơn giản Còn khi đưa ra bài toán phức tạp hơn thì học sinh thường tỏ ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài toán Từ

đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều Trước thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen phân tích đề bài

để tìm điểm mấu chốt cho bài toán, thông qua đó phát huy tính tích cực và tư duy sáng tạo cho học sinh

2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Nội dung này được triển khai thông qua 3 buổi học (mỗi buổi học 3 tiết):

- Buổi học thứ nhất: Tổ chức thực hiện ôn tập kiến thức cơ bản và hình thành kỹ năng giải toán thông qua một số ví dụ có sự hướng dẫn của giáo viên

- Buổi học thứ hai: Tổ chức cho học sinh thực hành giải các bài toán

tương tự thông qua đó phát triển tư duy tích cực và tư duy sáng tạo cho học sinh

- Buổi học thứ ba: Tổ chức kiểm tra để lấy kết quả nội dung triển khai và

kỹ năng mà học sinh đạt được

2.3.1 Kiến thức cơ bản

Tổ chức cho học sinh ôn tập củng cố lại một số kiến thức cơ bản.

* Các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa: Khái niệm số phức, hai số phức bằng nhau, biểu diễn hình học của số phức, phép cộng và phép trừ số phức, phép nhân, số phức liên hợp, mô đun của số phức, phép chia số phức,

1 Định nghĩa + Một số phức là một biểu thức dạng z a bi  với a b, ¡ và

, được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo

 

của số phức z a bi 

+ Tập hợp các số phức được kí hiệu là £

£ a bi a b / , ¡ ;i2  1

+ Chú ý: - Khi phần ảo b = 0 thì z là số thực

- Khi phần thực a  0 z bizlà số thuần ảo

- Số 0 0 0i  vừa là số thực, vừa là số ảo

+ Hai số phức bằng nhau:

 



a c với , , , ¡

b d

+ Hai số phức z1  a bi z; 2   a bi được gọi là hai số phức đối nhau

2 Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của z a bi  với a b, ¡ là a bi và được kí hiệu bởi Rõ z

ràng z z

3 Biểu diễn hình học số phức

Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z a bi  với a b¡, được biểu diễn bằng điểm M a b ;

4 Mơ đun của số phức

+ Mơđun của số phức z a bi a b  , ¡  là z  a2 b2

+ Như vậy, mơđun của số phức là chính là khoảng cách z

từ điểm M biểu diễn số phức z a bi a b  , ¡ đến gốc tọa

độ O của mặt phẳng phức là:

uuuur

2 2

5 Các phép tốn về số phức

Cho hai số phức z a bi  ; z a b i' ' ' với a,b,a',b'¡ và số k¡

+ Tổng hai số phức: z z a a   ' ' (b b i ')

+ Hiệu hai số phức: z z a a   ' ' (b b i ')

+ Số đối của số phức z a bi  là    z a bi.

+ Nếu u ur ur, ' theo thứ tự biểu diễn các số phức z z, ' thì u ur ur ' biểu diễn số phức z z '

biểu diễn số phức



r ur

'

+ Nhân hai số phức:

z z a bi a b i a a b b a b a b i

+ Chia số phức z0:

- Số phức nghịch đảo: 1

2

1

z

- Nếu z0thì z'  z z'.2 , nghĩa là nếu muốn chia số phức cho số phức thì ta

nhân cả tử và mẫu của thương cho z'

+ Chú ý:

i4k 1; i4 1k i i; 4 2k  1; i4 3k  i (k¢)

* Ngoài ra học sinh cần nắm vững các kiến thức có liên quan:

1 Bất đẳng thức tam giác:

• z z z z ,1  2  1  2 dấu "=" khiz kz1  2với k ≥ 0

• z - z z + z ,1 2  1 2 dấu "=" khiz kz1  2với k ≤ 0

• z z z - z ,1  2  1 2 dấu "=" khi z kz1  2với k ≤ 0

• z - z z - z ,1 2  1 2 dấu "=" khiz kz1  2với k ≥ 0

2 Công thức trung tuyến: 2 2  2 2

z z  z z  z  z

3 Tập hợp điểm:

• |z − (a + bi)| = R: Đường tròn tâm I(a; b) bán kính R

• z  (a b i1 1 )  z (a2b i2 ) :Đường trung trực của AB với A a b( ; ),( ; ).1 1 a b2 2

• z  (a b i1 1 )  a2b i2 )  2 :a

– Là đoạn thẳng AB với A a ; b , 1 1 B a ; b 2 2nếu 2a = AB

– Là Elip (E) nhận A, B làm hai tiêu điểm với độ dài trục lớn là 2a nếu 2a >AB

Đặc biệt |z + c| + |z − c| = 2a: Elip (E): x22  y22  1 với

b  a c

* Tổng quan lý luận về sử dụng phương pháp hình học trong hoạt động giải toán trắc nghiệm cực trị của môđun số phức: Dựa vào các bài toán cực trị trong hình học phẳng, kết hợp với hình học tọa độ 10 và kết hợp với việc biểu diễn hình học của số phức Từ đó thấy được mối liên hệ giữa hai loại toán này và tìm kỹ thuật chuyển bài toán cực trị của môđun số phức về bài toán cực trị trong hình học mà việc giải quyết nó đã trở nên quen thuộc như:

Bài toán 1 Cho đường thẳng và điểm O cố định Điểm M thay đổi trên đường  thẳng Tìm vị trí điểm M để OM đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài toán 2 Cho đường tròn (C) có tâm I và bán kính R và điểm O cố định Điểm

M thay đổi trên đường tròn (C) Tìm vị trí điểm M để OM đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài toán 3 Cho elip (E) có phương trình chính tắc x22 y22 1 và điểm O là tâm

a b 

đối xứng của (E) M thay đổi trên (E) Tìm vị trí điểm M để OM đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Bài toán 4 Cho đường tròn (C) và đường thẳng Điểm M thay đổi thuộc (C), N  thuộc Tìm vị trí điểm M và N sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài toán 5 Cho đường tròn (C1) và (C2) không cắt nhau, ở ngoài nhau Điểm M thay đổi thuộc (C1), N thuộc (C2) Tìm vị trí điểm M, N sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Bài toán 6 Cho đường tròn (C) có tâm I và bán kính R và hai điểm A, B bất kì

Điểm M thay đổi thuộc (C) Tìm vị trí điểm M để P = AM + BM đạt giá trị lớn nhất,

2.3.2 Xây dựng các ví dụ minh họa

Bài toán tổng quát: Trong các số phức thoả mãn điều kiện T Tìm số phức z để z

biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Khi giải các bài toán này thường có các phương pháp phổ biến sau đây: Phương pháp đại số, phương pháp giải tích, phương pháp hình học Đối với phương pháp đại số và giải tích thường có lập trình khuôn mẫu chung cho lời giải, dễ làm đối với các bài toán dễ, nhưng những bài toán khó thì hai cách này thường sẽ rất dài

và không phù hợp với thi trắc nghiệm Và phương pháp hình học đòi hỏi học sinh phải tích cực tư duy, có tính phát hiện, sáng tạo sẽ giúp học sinh giải quyết một cách nhanh gọn

Phương pháp chung:

+ Từ điều kiện T, biến đổi để tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức z

+ Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tùy theo yêu cầu bài toán của hàm số một biến vừa tìm được

VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Khi điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng.

Ví dụ 1:Trong các số phức z thỏa mãn |z − 2 − 4i| = |z − 2i| Tìm số phức z có mô

đun nhỏ nhất

A z = 2 − 2i B z = 1 + i C z = 2 + 2i D z = 1 − i

Lời giải:

Gọi A(2; 4), B(0; 2), tập hợp các điểm z thỏa mãn giả thiết đề bài

là đường trung trực d của AB có phương trình x + y − 4 = 0 Khi

đó |z| = OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên d là H(2; 2)

Đáp án là C

Nhận xét: Như vậy chúng ta chuyển bài toán cực trị của môđun

số phức về bài toán quen thuộc ( Bài toán 1)

Qua ví dụ này học sinh có thể tổng quát: Trong mặt phẳng tọa

độ Oxy, nếu điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng thì mô đun của z đạt 

giá trị nhỏ nhất bằng khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng , khi đó M 

là hình chiếu của O lên 

Dạng 2: Khi điểm biểu diễn số phức z là đường tròn.

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn |z −3−4i|= 1 Mô đun lớn nhất của số phức z là:

Lời giải:

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(3; 4) bán kính R = 3 Khi đó |z| = OM với O là gốc tọa độ

Do đó max |z| = OI + R = 5 + 1 = 6

Đáp án là B.

+ Lưu ý: min |z| = OI - R = 5 - 1 = 6

Nhận xét: Chúng ta chuyển bài toán cực trị của môđun số

phức về bài toán quen thuộc ( Bài toán 2)

Tổng quát: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu điểm M biểu

diễn số phức z là đường (C) có tâm I và bán kính R thì max

|z| = OI + R, min |z| = OI R ,khi đó M là giao điểm của đường thẳng OI với đường tròn ( C).

Ví dụ 3: Cho hai số phức , thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z w  1 và

2 1 1

i z i



 

 Giá trị lớn nhất của

A M  3 3 B M  3 C M  3 2 D M  2 3

Lời giải:

Giả sử z x iy  x y,  ¡  có điểm biểu diễn A x y ;

i



            

 Suy ra, có điểm biểu diễn nằm trên đường tròn có phương trình : z

 2 2

2 1

y x 

Ta có : M  z w-  z iz-  2. z

Do đó, maxM  3 2  A 0;3

Chọn C.

Chúng ta chuyển bài toán cực trị của môđun số phức về bài toán quen thuộc ( Bài

toán 2)

Ví dụ 4: Cho hai số phức , thỏa mãn z1 z2 z1   3i 5 2và iz2  1 2i 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  2iz1 3z2

A T  16 B T  313

C T  16  313 D T  313 16 

Lời giải: Đặt 1   , gọi

2

2

; ; ; 3

iz a bi

a b c d

c di z

 



  

 



¡ A a b B c d   ; , ;

2

a bi

i



                

nên A I có tâm I 6; 10 bán kính R  4

3

c di

                



nên B j có tâm J 6; 3, bán kính R  12

2 3

T  iz  z  a c b d   a c  b d  AB

DoA I B,  J IJ,  313  R R' 16 

nênAB Max   R R IJ'  16  313

Chú ý: Khi gặp biểu thức T = z1z2 , ta thường chuyển về hiệu của hai số phức

T = z1 ( z2)

Nhận xét:Chúng ta chuyển bài toán cực trị của mô đun số phức về bài toán quen

thuộc ( Bài toán 5)

Tổng quát: Nếu điểm M biểu diễn số phức z1 thuộc đường tròn (C1) có tâm , I1

bán kính R1 ; điểm N biểu diễn số phức z2 thuộc (C2) có tâm , bán kính RI2 2 và , (C2) không cắt nhau, ở ngoài nhau Khi đó ,

min z z I I R R

Ví dụ 5: Cho hai số phức z , z1 2 thỏa mãn z1  5 5, z2  1 3i  z2  3 6i Tìm giá trị nhỏ nhất của z1 z2

Giải: Giả sử M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z1  a bi, N(c;d) là điểm biểu diễn của số phức z2   c di

1

z     5 5 (a 5)  b  25

Vậy M thuộc đường tròn (C) :(x 5)  2  y 2  25

z2  1 3i  z2  3 6i  8c 6d 35  

Vậy N thuộc đường thẳng  : 8x 6y 35  

Dễ thấy đường thẳng không cắt  (C) và z1 z2  MN

Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) :(x 5)  2  y 2  25 và đường thẳng : 8x 6y 35  Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên (C),

N chạy trên đường thẳng 