SKKN Một số sai lầm thường gặp trong các bài toán về giới hạn, giúp học sinh đưa ra cách giải chính xác và hiệu quả hơn 1 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1 1 Lí do chọn đề tài Thực tế dạy học ở trường Trung học phổ thô[.]
Trang 11 PHẦN MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Thực tế dạy học ở trường Trung học phổ thông cho thấy, học sinh thường gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội khái niệm về giới hạn của dãy số, hàm số Nhiều học sinh có thể nhớ các định lý, hệ quả, học thuộc các định nghĩa nhưng không giải thích được đầy đủ ý nghĩa và bản chất của nó, từ đó dẫn đến việc vận dụng một cách máy móc hoặc không biết hướng vận dụng
Qua nhiều năm trực tiếp dạy trên các lớp khối 11 tôi nhận thấy học sinh khi
đi sâu vào làm các bài tập giới hạn, đặc biệt là loại bài tập trong các đề thi Đại học có liên quan đến các hàm số lượng giác, mũ, logarit thì đều cảm thấy lúng túng và không định hướng được phương pháp giải
Giới hạn về hàm số có thể nói là một vấn đề khó, học sinh thường cảm thấy trừu tượng, mơ hồ bởi phần lý thuyết quá dài và mang nhiều khái niệm, định nghĩa, định lý, hệ quả
Tôi nghĩ việc phân loại các dạng bài tập và hướng dẫn học sinh khối 11 vận dụng tốt các định lý, hệ quả, chỉ ra được các sai lầm mà học sinh mắc phải là việc làm cần thiết, nó sẽ giúp học sinh nắm vững phương pháp và không còn cảm thấy khó khăn khi khai thác một bài toán về giới hạn
Xuất phát từ thực trạng trên cùng với một số kinh nghiệm nhỏ sau nhiều
năm công tác, tôi mạnh dạn nêu ra sáng kiến về “Một số sai lầm thường gặp
trong các bài toán về giới hạn, giúp học sinh đưa ra cách giải chính xác và hiệu quả hơn” với mong muốn các em học sinh THPT có thêm tự tin khi giải
bài tập về giới hạn hàm số
1.2 Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh nắm vững lí thuyết và xây dựng các cách giải bài tập liên quan đến giới hạn hàm số
- Rèn luyện kĩ năng nhận dạng, phân tích, xử lý, trả lời các bài tập trắc nghiệm, tự luận phần giới hạn hàm số
- Giúp cho học sinh hiểu rõ, nắm vững và phân loại từng dạng bài tập, biết được một số sai lầm cần tránh, từ đó đảm bảo tốt kiến thức phần bài tập giới hạn trong các kỳ thi Đại học và cao đẳng
- Giúp đồng nghiệp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học THPT, đặc biệt phần tìm giới hạn
1.3 Đối tượng nghiên cứu
- Kiến thức:
+ Lý thuyết phần giới hạn
+ đặc biệt là kĩ năng vận dụng dạng giới hạn
- Học sinh: lớp 11A3, 11A5 của trường THPT Đông Sơn 2
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Trang 2- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu lí thuyết trong các sách tham khảo cũng như các tài liệu trên mạng từ đó phân tích và tổng hợp kiến thức rồi phân loại và hệ thống hoá kiến thức
- Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh lớp 11 để nắm được khả năng
tư duy và lĩnh hội kiến thức của học sinh cũng như kĩ năng giải bài tập có liên quan đến giới hạn hàm số
- Phương pháp thực nghiệm khoa học: Chủ động tác động lên học sinh để hướng sự phát triển theo mục tiêu dự kiến của mình
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu và xem xét lại những thành quả thực tiễn trong quá khứ để rút ra kết luận bổ ích cho thực tiễn
- Phương pháp thống kê và xử lí số liệu: Sử dụng xác suất thống kê để xử
lí số liệu thu thập được
2 NỘI DUNG
2.1 cơ sở lí luận
Chương trình toán học THPT đã cung cấp cho học sinh tương đối đầy đủ những kiến thức căn bản về giới hạn Tuy nhiên phần thời gian luyện tập giới hạn theo phân phối chương trình còn quá ít so với lượng kiến thức bài học, do
đó học sinh không có điều kiện luyện tập nhiều trong khi giới hạn lại là một kiến thức hoàn toàn mới và chứa đựng nhiều dạng bài tập Học sinh trung bình, yếu, kém thì hoang mang khi gặp các bài toán giới hạn dù là cơ bản, học sinh khá giỏi thì lo lắng khi gặp các bài nâng cao hay các bài chứa nhiều hàm số loga,
mũ, …, tâm lý đó dẫn tới các em bế tắc hoặc mắc sai lầm khi giải toán
Qua quá trình giảng dạy và tham khảo ý kiến đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm tôi nhận thấy học sinh lúng túng do chưa phân loại được các dạng bài
ẫn đến áp dụng sai phương pháp hoặc có những dạng không định hướng được phương pháp giải
Một khó khăn nữa mà tôi gặp phải trong quá trình dạy là việc phân hóa theo từng đối tượng học sinh Ở lớp tôi nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh khá giỏi có, học sinh trung bình, yếu có nên các giáo án, ví dụ, bài tập của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh Trước tiên là ưu tiên các em diện trung bình, yếu sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu Thêm nữa với vai trò là môn học nòng cốt, môn toán được trường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết tự chọn (ở một số tuần ) với nội dung tự chọn bám sát chương trình nên tôi có cơ hội thực hiện đề tài này
2.2 Thực trạng của vấn đề
Thực tiễn dạy học ở trường THPT cho thấy chất lượng dạy học phần giới hạn chưa cao, học sinh nắm kiến thức một cách hình thức, lẫn lộn giữa đẳng thức định nghĩa với định lý Bên cạnh những học sinh hiếu học, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, khám phá, sáng tạo thì còn có một bộ phận không nhỏ học sinh lại học yếu, lười suy nghĩ nên đòi hỏi người giáo viên phải có tâm
Trang 3huyết, có năng lực thực sự, đa dạng trong phương pháp, biết tổ chức, thiết kế và trân trọng qua từng tiết dạy
Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học, tức là vận dụng kiểu dạy học : “Lấy học sinh làm trung tâm”, hướng tập trung vào học sinh trên cơ sở hoạt động của các em
Giáo viên phải biết thiết kế bài giảng sao cho hợp lý, gọn nhẹ, sắp xếp lại
bố cục bài dạy, định hướng phương pháp, tăng cường các ví dụ và bài tập từ đơn giản đến nâng cao theo dạng chuyên đề phù hợp với từng đối tượng học sinh Việc phân loại các dạng bài tập cùng với phương pháp giải là vô cùng cần thiết,
nó sẽ giúp học sinh nắm vững phương pháp giải các bài tập cơ bản, trên cơ sở đó học sinh sẽ biết cách khai thác các bài tập ở mức độ cao hơn
2.3 Các giải pháp đã sử dụng đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi thực hiện một số giải pháp sau :
- Bổ sung, hệ thống những kiến thức mà học sinh thiếu hụt
+ Phân tích kỹ các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lý đó
+ Đưa ra các ví dụ và so sánh giữa các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng
+ Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải
- Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kỹ năng, phương pháp
- Đổi mới phương pháp dạy học
+ Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh
+ Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm cho bài giảng sinh
động hơn, bớt khô khan và học sinh không thấy nhàm chán (Ví dụ như sử dụng
bảng phụ, phiếu học tập, hoặc giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu …)
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải
Hệ thống lại kiến thức cơ bản, phân dạng bài tập và xây dựng phương pháp giải (có thể gợi ý để học sinh phát hiện được phương pháp giải ) Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm
Định nghĩa 1
+ Giả sử (a;b)là một khoảng chứa điểm và là một hàm số xác định x0 f
trên tập hợp (a;b) \ x0 Ta nói rằng hàm số có giới hạn là số thực L khi x f
dần tới (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số x0 x0 (x n) trong tập hợp (a;b) \ x0
(Tức là x n (a;b)và x n x0với mọi n ) mà limxn = , ta đều có limx0 f(x n) = L Khi đó ta viết : lim f(x) L hoặc f(x) L khi xx0
Trang 42 Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa 2
+ Giả sử hàm số xác định trên khoảng f (a; ) Ta nói rằng hàm số có f
giới hạn là số thực L khi x dần tới + nếu với mọi dãy số (x n)trong khoảng
(tức là với mọi n) mà ta đều có :
)
;
Khi đó ta viết f x L hoặc
( ) lim f(x) L khi x
( )
lim f x
( )
lim f x
( ) lim
và được định nghĩa tương tự
( )
lim f x
( )
lim f x
x
3 Một số định lý về giới hạn hàm số
a/ Định lý 1Giả sử f x L và Khi đó:
x
( )
lim
0
) ,
( ) ( lim
0
R M L M x g
x
x
( ) ( )
lim
0
f x g x L M
x
( ) ( )
lim
0
+ f x g x L M ; Nếu M 0 thì
x
xlim ( ) ( )
0
M
L x g
x f
x
( )
) ( lim
0
Đặc biệt nếu c là một hằng số thì c f x cL;
x
( )
lim
0
b/ Định lý 2
Giả sử f x L Khi đó:
x
( )
lim
0
+ f x L ;
x
( )
lim
0
; )
( lim3 3
0
L x f
x
+ Nếu f(x) 0 với mọi x J \ x0 ,trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0
, thì L 0 và f x L
x
lim
0
c/ Định lý kẹp về giới hạn của hàm số
Giả sử J là một khoảng nào đó chứa và x0 f , g,h là ba hàm số xác định trên tập hợpJ \ x 0 Nếu f(x) g(x) h(x) , xJ \ x0 và :
L x g thì
L x h x
f
x x x
x x
lim
0 0
0
Chú ý : Nếu hàm số có giới hạn L thì giới hạn đó là duy nhất
4 Giới hạn một bên
a/ Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 1
Giả sử hàm số xác định trên khoảng (f x ;0 b) (x0R) Ta nói rằng hàm số
có giới hạn bên phải là số thực L khi dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với
mọi dãy số ( ) trong khoảng (x n x ;0 b) mà limx n x0, ta đều có lim f(x) L Khi
đó ta viết : f x L hoặc khi
x
( )
lim
0
L x
f( ) xx0
Định nghĩa 2
Giả sử hàm số xác định trên khoảng (f a ; x0) (x0R) Ta nói rằng hàm số
có giới hạn bên trái là số thực L khi dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với
Trang 5mọi dãy số ( ) trong khoảng (x n a ; x0 ) mà limx n x0, ta đều có lim f(x) L Khi
đó ta viết : f x L hoặc khi
x
( )
lim
0
L x
f( ) xx0
Nhận xét :
+ Nếu f x L thì hàm số có giới hạn bên phải và giới hạn bên trái tại
x
( )
lim
0
điểm và x0 f x f x L
x x x
( ) lim ( )
lim
0 0
+ Ngược lại : Nếu f x f x L thì hàm số có giới hạn tại điểm
x x x
( ) lim ( )
lim
0 0
Và (Nhận xét này vẫn đúng đối với giới hạn vô cực )
0
x
( )
lim
0
b/ Giới hạn vô cực
( )
lim
0
x f
x
( )
lim
0
x f
x
( )
lim
0
x f
x x
được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2
lim
0
x
f
x
x
5/ Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
a/ Định lý 1: Nếu thì
( )
lim
0
x f
x
) (
1 lim
0
x f x
x
( )
lim
0
x f
x
0
g x L
x
0
x g x f
x
x )
( lim
0
x f
x
0
x g x f
x
x +
+
-
-
+ -+
-+
-
-
+
Quy tắc 2: Nếu lim ( ) 0, và hoặc với mọi
0
x
0
g x
x
x J \ x0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0thì được cho bởi
) (
) ( lim
0 g x
x f
x
x bảng sau :
Dấu của L Dấu của g (x)
) (
) ( lim
0 g x
x f
x
x +
+
-
-+ -+
-+
-
-
+
B PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số, ta không xét tính chất của hàm số mà nhận dạng các giới hạn dạng bằng cách lấy thế vào
) (
) ( lim
0 g x
x f
x
Nếu gặp các dạng (gọi là dạng vô định) thì ta cần
)
(
;
)
(x g x
; 0
;
; 0 0
Trang 6thực hiện một vài phép biến đổi để có thể sử dụng được các định lý và quy tắc
đã biết Làm như vậy gọi là khử dạng vô định
Ta thường gặp 3 trường hợp tìm giới hạn cơ bản sau :
Loại 1 : Giới hạn vô cực của hàm số
Loại 2 : Giới hạn của hàm số tại một điểm
Loại 3 : Giới hạn một bên của hàm số
Trong mỗi loại trên lại có các dạng khác nhau và được xét như sau :
I Giới hạn vô cực của hàm số
1 Dạng 1 : Dạng
Phương pháp giải
Cách 1 : Chia cả tử và mẫu cho xk với k là lũy thừa cao nhất của tử, mẫu số Cách 2 : Đặt x chứa lũy thừa cao nhất của tử , mẫu ra ngoài làm nhân tử
Ví dụ 1 : Tính các giới hạn sau :
a b c
2 3
5 lim 3
3
x
x x
xlim 1 2
2
1 5 2 lim 2
2 3
x x
x
Bài làm
a * Lời giải có sai lầm : =
2 3
5 lim 3
3
x
2 3 1
5 1 lim 2 3
5 lim
3 2
3
3 3 3 3
x x
x x
x x x x
x x
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm : Học sinh dùng ký hiệu x là sai, giáo viên khi dạy nên chú ý để hướng dẫn học sinh viết đúng ký hiệu
* Lời giải đúng : Cách 1 : =
2 3
5 lim 3
3
x
2 3 1
5 1 lim 2 3
5 lim
3 2
3
3 3 3 3
x x
x x
x x x x
x x
Cách 2: =
2 3
5 lim 3
3
x
) 2 3 1 (
)
5 1 ( lim
3 2 3
3 3
x x x
x x
x
b * Lời giải có sai lầm : =
x
x x
xlim 1 2
2
2 1 lim 2
2
x
x
x x
1 2
1 2 1
1 1
x
x
x
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm
Khi chia cả tử số và mẫu số cho x , học sinh không chú ý đến dấu của biểu thức chứa căn sau khi chia cho x<0 Vì vậy khi dạy, giáo viên phải lưu ý kỹ : 1/ Nếu x thì coi như > 0 và x x x2 ; x x ; x 3 x3
2/ Nếu x thì coi như < 0 và x x x2 ; x x ; x 3 x3
* Lời giải đúng :
Trang 7Cách 1 : =
x
x x
xlim 1 2
2
2 1
2
x
x
x x
1 2
1 2
1
1 1
x
x
x
x
x x
xlim 1 2
2
1 2
1 ) 2
1 (
1 1 lim ) 2
1 (
1 1 lim )
2
1 (
)
1 1 ( lim
2
x x
x x x
x x x x
x
x x
x x
x
1
1 5 2 lim 2
2 3
x x
x
3 2
3 1 1 1
1 5 2 lim
x x x
x x
x
Do lim ( 2 5 13) 2 0 ; và
x x x
Nên theo quy tắc 2 ta có : = -
1
1 5 2 lim 2
2 3
x x
Đây là cách giải trong sách giáo khoa nhưng nhiều học sinh cảm thấy rất khó
x x
dẫn cho học sinh ở các loại bài như thế này theo cách 2 thì dễ hiểu hơn :
1
1 5 2 lim 2
2 3
x x
x
) 1 1 1 (
) 1 5 2 ( lim
2 2
3 3
x x x
x x x
x
) 1 1 1 (
) 1 5 2 (
lim
2
3
x x
x x x
x
Do lim ( 2 5 13) 2 0 ; ;
x
xlim Nên theo quy tắc 1và 2 ta có : = -
1
1 5 2 lim 2
2 3
x x
2.Dạng 2 : Dạng 0.
Phương pháp giải : Chủ yếu là biến đổi về dạng :
( ) ( ) 0
lim f x g x
x
và sử dụng phương pháp dạng 1 để giải
( )
)
(
lim
x
h
x
f
x
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau :
4
5 4 ).
2
1
(
x x
1 2 ) 1 (
x x
x
Bài làm
a * Lời giải có sai lầm
= 4
5 4 ).
2
1
(
x x
)
4 1 (
)
5 4 (
) 2
1 ( lim 4
) 5 4 (
) 2 1 ( lim
3 3
2 2
3
2
x x
x
x x
x x
x x
x x
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm
Trang 8Học sinh sử dụng một cách máy móc là chỉ nhìn vào cận x và cho rằng (1-2x) = ( 1 2x) 2 dẫn đến lời giải sai Vì vậy ta nên lưu ý : x 1 2x 0 nên 1-2x = - ( 1 2x) 2 Từ đó giáo viên nên tổng quát :
Khi x hoặc x mà p (x) thì p(x) (p(x)) 2 ; p(x) p(x)
Khi x hoặc x mà p (x) thì p(x) (p(x)) 2 ; p(x) p(x)
* Lời giải đúng :
= 4
5 4 ).
2
1
(
x x
)
4 1 (
)
5 4 (
) 2
1 ( lim
4
) 5 4 (
) 2 1 ( lim
3 3
2 2
3
2
x x
x
x x
x x
x x
x x
1
1 2 )
1
(
x x
)
1 2 (
).
1 1 ( lim 1
) 1 2 ( ) 1 ( lim
3 2 3
2 3
2
x x x
x
x x x x
x
x x
x x
3.Dạng 3 : Dạng ( )
Phương pháp giải
Cách 1: Nhân và chia lượng liên hợp để đưa lim ( f(x) g(x ) về dạng
) ( )
(
) ( )
(
lim
x g x
f
x g x
f
) ( ) ( lim
x g x f
x g x f
Cách 2: Nếu hệ số của f(x và g(x) khác nhau thì có thể đặt x chứa mũ cao nhất của f(x) ; g(x) ra ngoài làm nhân tử
Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau :
a lim ( 2 1 1 ) b
Bài làm
a lim ( 2 1 1 )= =
) 1 ( 1 lim
2
2 2
x x
2 lim
2
x
x
= 1
2
2 1 1
1 1
2 lim
2
x x
x
x x
x
=
x x
x
x
xlim ( 1 2 32 2 ) lim
II Loại 2 : Giới hạn của hàm số tại một điểm
1 Dạng 1 : lim ( ) =
0
x f
x
x f(x0)
Phương pháp giải
Thay trực tiếp vào biểu thức x0 f (x) và kết luận: lim f(x) = f(x0)
Trang 9Ví dụ 4 : Tính các giới hạn sau :
a lim ( 2 5 1 ) b
1 5 4 lim 22
x x
x
Bài làm
* Lời giải có sai lầm :
a lim ( 2 5 1 )=
2 4 2
2 2
2
2 2 2
2
4 1 lim 1 5
4 lim
) 1 5
1 5 (
lim
x x x
x x
x x
x
x x
x
3 2
1 5 4
lim 2
2
x x
( 1 )( 3 )
) 1 )(
1 4 ( lim
x x
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Do không kiểm tra trước dạng giới hạn nên học sinh sử dụng nhầm phương pháp giải của dạng ( ) hoặc dẫn đến việc giải sai hoặc không giải được
0 0
Vì vậy giáo viên cần lưu ý học sinh khi giải một bài toán tính giới hạn thì bước đầu tiên là phải thay cận để phát hiện xem giới hạn đó thuộc dạng nào rồi mới
áp dụng phương pháp giải (Đặc biệt, chỉ có dạng thì mới có thể áp dụng
phương pháp chia cho x chứa số mũ cao nhất )
* Lời giải đúng : Đây không phải là một trong bốn dạng vô định nên chỉ cần
thế cận vào là có luôn đáp số
a lim ( 2 5 1 )=
3 2
1 5 4
lim 22
x x
3 2 1
1 5
Dạng 2 :
0
0 ) (
) ( lim
0
g x
x f
x x
Phương pháp giải
có dạng Khi đó ta xét các khả năng sau : )
(
) (
lim
0 g x
x
f
x
0
Khả năng 1:
Nếu f (x) và g (x)là các hàm đa thức thì tử số và mẫu số luôn có nghiệm nên ta đi phân tích để tử và mẫu số có thể rút gọn được
0
x
x
các lượng chung mục đích làm mất dạng
0 0
Chú ý: + Nếu f(x) = ax 2 + bx +c có 2 nghiệm x 1, x 2 thì được phân tích :
f(x )= ax 2 + bx +c = a(x-x 1 )(x-x 2 )
+ Nếu f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d có nghiệm x 0 thì thực hiện phép chia f(x) cho x–x 0 và đưa về dạng : f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d = (x- x 0 ) g(x)
+ Nhắc lại các hằng đẳng thức : A 2 - B 2 ; A 3 – B 3 ; A 3 + B 3
Ví dụ 5 : Tính các giới hạn sau :
Trang 10a b
4
8 lim 23
x
x
1 3 2 lim 3 2 2
x x
x
Bài làm
4
8 lim 2
3
x
x
4
12 2
4 2 lim )
2 )(
2 (
) 4 2 )(
2 ( lim
2 2
2
x x x
x
x x x
x x
3
1 3 2 lim 3 2 2
x x
1 3 2
1 2 lim ) 3 2 )(
1 (
) 1 2 )(
1 (
1 2
x x
x x
x x
x x
Khả năng 2
Nếu f (x) và g (x)là các biểu thức chứa căn thì ta nhân tử số và mẫu số cho các biểu thức liên hợp
Chú ý : Các biểu thức liên hợp thường gặp :
+ ;
1
1 1
a
a a
1
1 1
a
a a
+ ;
b a
b a b a
b a
b a b a
+ ;
1
1 1
3
3 2
3
a a
a a
1
1 1
3
3 2
3
a a
a a
3 2 3
3 2 3
3
b ab a
b a b
a
3 2 3
3 2 3
3
b ab a
b a b
a
Ví dụ 6: Tính các giới hạn sau :
a b c
3 1 4
2 lim
x x
1 1
x x
x
x
1 1 5 lim6 0
Bài làm
3 1 4
2 lim
x x
) 3 1 4 )(
2 (
lim
2
x x
x
) 3 1 4 )(
2 )(
1 ( lim
x x
x
x
=
8
9 16
18 )
2 (
4
) 3 1 4 )(
1 ( lim
x x
x
1 1
2
1 1
x x
) 1 1
2 )(
1 1 ( lim
3
x x
x x
x
=
) ) 1 ( ) 1 )(
1 ( ) 1 ( (
) 1 1
2 ( 2 lim
3
x x
x
x
=
3
4 ) 1 ( ) 1 )(
1 ( ) 1 (
) 1 1
2 ( 2 lim
3
x x
x
Đối với loại bài tập chứa căn bậc cao như ở ý c (hoặc có thể bậc cao hơn nữa), nếu nhân liên hợp thì sẽ rất phức tạp và học sinh sẽ khó tiếp thu nên tôi nghĩ nên hướng dẫn cho các em cách đặt ẩn phụ, khi đó thay bằng phải nhân liên hợp thì ta chỉ cần thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức (có thể
sử dụng sơ đồ hoocne)