SKKN Tìm hướng giải cho bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức 1 MỤC LỤC Nội dung Trang 1 Mở đầu 2 1 1 Lí do chọn đề tài 2 1 2 Mục đích nghiên cứu 3 1 3 Đối tượng nghiên cứu[.]
Trang 1MỤC LỤC
Trang 21 MỞ ĐẦU.
1.1 Lí do chọn đề tài.
Bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (GTLN và GTNN) là một loại bài toán khó Nó khó ở chỗ về lý thuyết rất ngắn, thế nhưng về các phương pháp dùng để giải quyết bài toán lại đa dạng và phong phú Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải quyết khác nhau Muốn giải quyết được nó yêu cầu học sinh phải
có kiến thức tổng hợp và phải có khả năng phán đoán để đưa ra lời giải thích hợp Đặc biệt là các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Hơn nữa, bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức thường xuất hiện trong các đề thi của các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia hàng năm
Là giáo viên dạy nhiều năm ở bộ môn toán THPT và trực tiếp giảng dạy lớp chọn, đội tuyển học sinh giỏi trong nhà trường tôi đã gặp không ít những trắc trở trong việc giảng dạy ở nhiều bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến Vì mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách giải thể hiện được kiến thức toán học được vận dụng trong đó Trong các cách giải khác nhau đó, có cách giải thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có cách giải thể hiện tính sáng tạo của toán học Trong đề tài này tôi muốn hướng dẫn học sinh cách tìm hướng khi giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến Từ đó để học sinh có nhiều định hướng trước khi tư duy để giải toán dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến
Thực tế, qua quá trình giảng dạy và tham khảo kết quả bài làm của học sinh qua các kỳ thi , tôi thấy học sinh (kể cả những học sinh khá, giỏi) thường bỏ qua hoặc không làm được khi gặp loại toán này Có 2 nguyên nhân chính dẫn đến tình trạng như trên đó là
Học sinh không định hướng được cách giải loại toán này, Đứng trước một đề bài các em không biết vận dụng phương pháp nào cho phù hợp Phương pháp học tập của học sinh quá thụ động, không sáng tạo, không linh hoạt khi vận dụng kiến thức vào bài tập
Các thầy cô chưa tập trung khai thác và hướng dẫn học sinh học một cách tích cực, và chưa đi sâu phân tích lời giải cho từng bài toán
Từ thực tế trên tôi quyết định chọn đề tài “Tìm hướng giải cho bài toán tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức” để giúp học sinh giải
quyết các yêu cầu sau:
Có cách nhìn tổng quát và hướng giải quyết bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Thông qua đề tài, các em tập đào sâu và đưa ra được nhiều cách giải khác nhau Từ đó các em có nhiều cách nhìn mới đối với dạng bài toán này
Giúp nâng cao năng lực tư duy, năng lực sáng tạo cho học sinh, giúp các em hứng thú và nâng cao hiệu quả học tập, thi cử khi gặp dạng toán này Thông qua
đó rèn luyện kĩ năng cho học sinh
Trang 31.2 Mục đích nghiên cứu.
Nhằm trang bị thêm cho học sinh một số công cụ hữu hiệu để giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến Việc đưa
ra nhiều cách giải cho một bài toán dạng này giúp cho học sinh có cái nhìn sâu hơn và nhanh chóng đưa ra được lời giải cho bài toán
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu, tổng kết về vấn đề giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Xây dựng cơ sở lí thuyết
Khảo sát, điều tra từ thực tế dạy học
Tổng hợp, so sánh, đúc rút kinh nghiệm
2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1 Cơ sở lí luận.
1/ Khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Cho biểu thức f( x ,y, )
a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
- Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì :
f(x,y ) M ( M hằng số) (1)
- Tồn tại xo,yo sao cho:
f( xo,yo ) = M (2) [1]
b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn :
- Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì :
f(x,y ) m ( m hằng số) (1’)
- Tồn tại xo,yo sao cho:
f( xo,yo ) = m (2’) [1]
Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2 Mặc dù ta có
A 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của
x để A = 0 ta phải giải như sau:
Trang 4A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2
A = 2 x -2 = 0 x = 2
Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2
2/ Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số:
- Tìm khoảng xác định K ( nếu đề bài chưa cho K)
- Tìm cực trị bằng cách lập bảng biến thiên
- Dưạ vào bảng biến thiên kết luận
Chú ý: Nếu K = a b; thì ta không cần lập bảng biến thiên, chỉ cần so sánh các giá trị hàm số tại các nghiệm của y’ = 0 với f(a), f(b) rồi kết luận
3/Một số bất đẳng thức
a/ Bất đẳng thức cô si :
+Với 2 số dương a b, ta có: ab ab Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
+Với 3 số dương a b c, , ta có: 3 Dấu bằng xảy ra khi
3
a b c
a b c
+Với số dương n a1;a2; ;a nta luôn có: n
n
n a a a n
a a
a
.
2 1 2
1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 a n [2]
b/ Bất đẳng thức Bunhiacốpxki
+Với bốn số thực a,b,c,d ta có: (abcd) 2 (a2 c2 )(b2 d2 )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad bc
+Cho hai bộ n số thực tuỳ ý: a1,a2, ,a n và b1,b2, ,b n Ta có:
)
)(
( )
2
2 1 2 2
2
2 1
2 2
2
1
1b a b a n b n a a a n b b b n
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [2]
n
n
b
a b
a b
a
2
2 1 1
c/ Bất đẳng thức vectơ: Với 3 vectơ u vr r uur, , w ta có ur vr wuur u vr r uurw
Dấu bằng xảy ra khi u vr r uur, , wcùng hướng [2]
d/Một số bất đẳng thức khác
+Với ba số a b c, , ta có: a2 b2 2 ,ab b2 c2 2 ,bc c2 a2 2ca
Suy ra 3a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
Từ đó ta có BĐT: 2 2 2 1 2
3
a b c a b c
Dấu bằng xảy ra khi a b c
+Với ba số dương a b c, , ta chứng minh được a b c 1 1 1 9
a b c
Trang 5Từ đó ta có BĐT: 1 1 1a b c a b c 9
Dấu bằng xảy ra khi a b c [2]
2.2 Thực trạng của vấn đề.
Các kiến thức về bất đẳng thức trong sách giáo khoa trình bầy rất đơn giản, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở sách giáo khoa lớp 12 chỉ viết riêng cho hàm số Trong khi đó các kỳ thi trong những năm gần đây gần như năm nào cũng có bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến Kỹ năng giải quyết dạng bài tập này của học sinh còn yếu Từ đó học sinh thường không làm được bài toán hoặc có tâm lí ngại tiếp xúc với dạng toán này, thậm chí có rất nhiều học sinh không đọc đến đề bài của bài toán này khi tham dự các kì thi
Vì thế thông qua học tập làm sao giúp các em rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, từ đó có kĩ năng giải quyết các vấn đề trong học tập, giúp học sinh có hứng thú học tập bộ môn Việc làm này tôi nghĩ cần thiết và phù hợp với yêu cầu của giáo dục trong giai đoạn mới
Từ thực trạng trên để công việc đạt hiệu quả hơn, trong chuyên đề này tôi muốn hướng dẫn học sinh cách định hướng phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến Trong chuyên đề mỗi bài tập sẽ trình bày nhiều cách giải khác nhau để từ đó các em đưa ra được kết luận cho mình, khi nào dùng phương pháp nào cho phù hợp
2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện.
Chuyên đề đã thực hiện trong năm học 2017-2018 tại lớp chọn 12A1 Sau khi thực hiện có kiểm tra, đối chứng, tôi thấy những học sinh khá, giỏi đã không
có cảm giác sợ hoặc không đọc đề bài dạng toán này như trước đây khi chưa được tiếp thu chuyên đề Và cũng qua đó học sinh tỏa ra hứng thú học tập đối với phần này
Trong mỗi bài toán hướng dẫn học sinh cách tìm tòi các lời giải khác nhau
Từ đó giúp các em có cách nhìn rộng, từ một bài toán cụ thể đến các vấn đề tổng quát hơn
Khi gặp bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến thông thường chúng ta nghĩ đến các hướng giải như sau:
-Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc.( cô si, Bunhiacốpxki,….)
-Sử dụng phương pháp hàm số.
-Sử dụng phương pháp vec tơ.
-Sử dụng miền giá trị của hàm số, của biểu thức
-Sử dụng phương pháp lượng giác hóa.
-Kết hợp nhiều phương pháp trên.
-Đổi biến sau đó sử dụng một hoặc kết hợp các phương pháp trên.
Trang 6Tuy nhiên vào một bài toán cụ thể việc mở ra hướng giải để đi đến lời giải là một vấn đề khó Nó đòi hỏi chúng ta phải có cái nhìn sâu về vấn đề, phải loại bỏ phương pháp nào và sử dụng phương pháp nào là hợp lí Sau đây là cách mà tôi định hướng cho học sinh thông qua một số bài tập khi giải loại toán này
BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1: Giả sử x,y 0 thoả mãn
4
5
y
x Tìm MinS biết
y x
S
4
1
4
Hướng thứ nhất: Ta thấy mối quan hệ giữa hai biến x, y là x y 5, đây là biểu
4
thức bậc nhất đối với cả x và y Do đó ta có thể nghĩ ngay đến hướng giải bài toán đó là sử dụng phép thế để đưa biểu S về dạng biểu thức một biến và sau đó
sẽ sử dụng phương pháp hàm số để giải bài toán này
4 5
1 4
x f x x
4
5
0 x
0 ) 4 5
(
4 4
x x
4
5 0
) 4 5
2
x x
x x
Lập bảng biến thiên ta được: MinS 5
4 1
1
y x
Hướng thứ hai: Bài toán tìm MinS nên có thể nghĩ đễn các bất đẳng thức có dạng (S ) và phải biến đổi đồng thời tách các biến sao cho áp dụng được giả thiết x y 5 Do đó ta có thể nghĩ đến BĐT Cô-Si, biểu thức S đang ở dạng
4
tổng và có các số hạng là và4 Vì ở vị trí của mẫu thức nên việc tách
x
1
và áp dụng BĐT Cô- Si sẽ xuất hiện dạng ( ) trong khi ta
đang cần dạng (S ) Vậy ta sẽ tách số hạng có chứa biến x, cụ thể như sau
5 4
5 4
1 1 1
1
1
y x x x x y x x
x
x
5
25 4
4
25 4
5
y x y x x x x S
Vậy MinS 5
4 5 4 4
1 1
y x
y x
y x
4 1
1
y x
Bài 2: Cho hai số thực thay đổi x ≠ 0; y ≠ 0 thoả mãn: xyxy x2 y2 xy
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 13 13
y
x [5]
Hướng thứ nhất: Nhìn thấy biểu thức A và hệ thức ràng buộc các biến có chứa
tổng x y và tích xy Do đó từ hệ thức ràng buộc ta có thể biểu thị được tổng
Trang 7theo tích (hoặc ngược lại ) Từ đó biểu thức A có thể biểu thị được theo một biến (tổng hoặc tích).Vì vậy chúng ta có thể hướng đến việc giải bài toán này bằng việc sử dụng phương pháp đạo hàm Từ đó ta có thể giải bài toán này như sau
Ta có: (x y)xy x2 y2 xy (xy) 2 3xy
3
3
1
1
y
x
A 33 33 ( )( 23 3 2 )
y x
xy y x y x y
x
y
3 3
2
) ( )
(
xy
y x y
x
xy y
(*)
Đặt x yt 0 ta có: txy t2 3xy xy(t 3 ) t2 với t 3
3 2 t t xy Thay vào theo Bunhiacốpxki ta có: t2 2 (x2 y2 ) 2 [(x y) 2 2xy] ] 3 2 1 [ 2 1 ] 3 2 [ 2 2 2 2 t t t t t 0 1 3 2 2 3 2 2 1 t t t t 1 3 0 3 1 t t t t (*)
2 2 2 2 4 2 6 9 1 9 6 ) 3 ( t t t t t t t t A ,t (*) ' 6 182 3 6 183 6 182 . t t A t t t t t Ta có bảng biến thiên: t -3 0 1
' A - -
A 1 0
16
1
Vậy MaxA = 16 khi 4 1 1 xy y x 2 1 y x Hướng thứ hai: Cũng từ biểu thức A và hệ thức ràng buộc các biến có chứa tổng và tích nên sẽ hướng đến việc đặt xy P y x S sau đó sử dụng x y xy phương pháp tìm miền giá trị của biểu thức (Điều kiện để hệ đối xứng có nghiệm) Cụ thể như sau Gọi T là tập giá trị của A Ta có m T Hệ sau có nghiệm x ≠ 0; y ≠ 0:
m y x xy y x xy y x 3 3 2 2 1 1
m xy xy y x y x xy y x xy y x 3 2 2 2 2
m xy xy y x xy y x xy y x 3 2 2 2
m xy y x xy y x xy y x 2 2 3 (1)
Trang 8Đặt
xy
P
y x
S
(S2 ≥ 4P), ta có hệ:
m P
S
P S SP
2
2 3
(2)
Hệ (1) có nghiệm x ≠ 0; y ≠ 0 Hệ (2) có nghiệm (S; P) thoả mãn S2 ≥ 4P
4
3 2
2
P
S với mọi
x ≠ 0; y ≠ 0
Từ đó:
Nếu m ≤ 0 thì hệ (1) vô nghiệm
Nếu m > 0 thì từ phương trình m
P
S
P
S S m P thay vào phương trình đầu của hệ (2) được: m P2 mP2 3P m mP 3 (vì SP > 0 nên P ≠ 0)
Để có P từ phương trình này thì m m 0 m 1 m 0 và ta được:
3
m
m
1
3
m
S Trường hợp này hệ (2) có nghiệm (S; P) thoả mãn S2 ≥ 4P khi và chỉ khi:
3 4 1 4
1
1 4
3 1
12 1
m m
m m
0 m 16 m 1
Tóm lại, các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm x ≠ 0; y ≠ 0 là: 0 m 16 m 1
Do đó: T = (0; 16] \ {1}
Vậy: max A = 16 (chú ý không tồn tại A min)
Hướng thứ ba: Ta thấy cả hệ thức ràng buộc và biểu thức cần tìm GTLN đều có
thể biến đổi để đưa về dạng các biểu thức có chứa biến và Do đó ta có thể 1
x
1 y
đổi biến số và sau đó sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc
Từ giã thiết ta có:1 1 12 12 1
x y x y xy
Đặt: 1 a;1 b
x y ta có a b a 2 b2 ab (1)
3 3 ( )( 2 2 ) ( ) 2
A a b a b a b ab a b
Từ (1) suy ra a b (a b ) 2 3ab
2
a b
ab
4
a b a b a b (a b ) 2 4(a b ) 0
2
0 a b 4 A (a b) 16
Trang 92
a b x y
Vậy giá trị lớn nhất của A là 16
Bài 3 Cho x,y,z 0 và x yz 1
Tìm MinA, biết A 2 12
x
y
z
z [3]
Hướng thứ nhất: Các biểu thức chứa các biến đều ở trong căn bậc hai và có
dạng tổng của các bình phương nên chúng ta liên tưởng đến công thức tính độ
dài của véc tơ Và do đó ta có thể định hướng sử dụng bất đẳng thức vectơ để
giải bài tập này
Để sử dụng được phương pháp này cần phải chọn tọa độ của các vec tơ một
cách hợp lí sao cho khi tính độ dài của các vec tơ ta thu được biểu thức có mặt
trong bài toán Từ đó chúng ta có một cách để giải bài toán này như sau
Đặt ( ,1)
x
x
a , ( ,1)
y y
b ,c (z, )1
z
r
Ta có: ar br cr a b cr r r
Vậy A 2 12
x
y
z
z y x z y
A ( ) 2 (1 1 1) 2
z y x z y
3 1 (3 xyz) (3 )
xyz
Lưu ý: Có thể chúng ta mắc sai lầm khi thấy nếu sử dung BĐT cauchy cho hai
số dương trong căn bậc hai thì sẽ có ngay đáp số của bài toán( vì nhìn thấy các
biến có thể triệt tiêu được) Tuy nhiên sẽ không tìm được giá trị của biến để dấu
bằng xảy ra (vì có điều kiện xyz 1) Do đó ta tìm điều kiện ràng buộc của
tích xyz để sử dụng phương pháp đạo hàm
A ( ) 2 (1 1 1) 2
z y x z y
(3 xyz) (3 ) 9t
x y z
t xyz t
Đặt Q( )t =
t
t 9
9 Với
9
1
; 0
t
Q’( t) = 9 92
t
Với
9
1
; 0
t Q’( t)< 0
Ta có bảng biến thiên:
t 0
9
1
)
(
' t
Q -
)
(t
Q
82
Trang 10Q(t) Q ) 82
9
1
( Vậy A 82 dấu bằng xảy ra
3
1
x y z
Hướng thứ hai: Khi biến đổi A về dạng.
A 2 12
x
y
z
z y x z y
Khi đó ngoài việc định hướng đến bất đẳng thức cô si cho 3 số dương x,y,z như trên, ta còn có thể định hướng áp dụng bất đẳng thức cho 2 số dương x y z và
1 1 1
x y z Sau đó áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương x,y,z và 1 1 1, ,
x y z
.Tuy nhiên sẽ không tìm các giá trị của x,y,z để x y z 1 1 1
và x y z
(Dấu bằng bất đẳng thức xảy ra).Muốn đạt được mục đích trên ta biến đổi như sau
81 ) 1 1 1 ( )
( 2 2
z y x z
y
z y x z y
Từ đó ta có thể giải bài toán như sau
Đặt ( ,1)
x
x
a , ( ,1)
y y
b ,c (z, )1
z
r
Ta có: ar br cr a b cr r r
Vậy A 2 12
x
y
z
z y x z y
Ta có : ( ) 2 (1 1 1) 2 81
z y x z y
z y x z y
3
18(x y z)( ) 80(x y z) 18.3 xyz.3 80.1 82
Vậy A 82 dấu bằng xảy ra
3
1
x y z
Bài 4: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn: xy yz zx xyz
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2x2 y2 2y2 z2 2z2 x2
Hướng thứ nhất: Tương tự như bài tập trên các biểu thức chứa các biến đều ở
trong căn bậc hai nên chúng ta liên tưởng đến công thức tính độ dài của véc tơ
Do đó cách giải đầu tiên có thể định hướng là sử dụng bất đẳng thức vectơ
Ta có: P 2x2 y2 2y2 z2 2z2 x2 22 12 22 12 22 12
Chọn ba vectơ : u 2 1; ,v 2 1; , w 2 1;
Suy ra u v u 2 2 2 1 1 1;
v v v