SKKN Khai thác một số kĩ năng giải hệ phương trình nhằm nâng cao hiệu quả giải hệ phương trình cho h...

SKKN Khai thác một số kĩ năng giải hệ phương trình nhằm nâng cao hiệu quả giải hệ phương trình cho học sinh lớp 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁ[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10

Người thực hiện: Nguyễn Văn Trình Chức vụ: Tổ phó chuyên môn

SKKN thuộc lĩnh vực (môn) : Toán

THANH HOÁ NĂM 2017

MỤC LỤC

Mục lục……… 1

1 Mở đầu……… 2

1.1.Lý do chọn đề tài……… 2

1.2.mục đích nghiên cứu……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu………

2 1.4 Phương pháp nghiên cứu……….

2 2.Nội dung sáng kiến ……… 2

2.1.Cơ sở lí luận……… 2

2.2 Thực trạng:……… 4

2.3 Khai thác một số kĩ năng giải hệ phương trình nhằm nâng cao hiệu quả giải hệ phương trình cho học sinh lớp 10 ………

4 2.3.1 Kĩ năng thế………

4 2.3.2.kĩ năng cộng, trừ đại số………

8 2.3.3 Kĩ năng đặt ẩn phụ………

9 2.3.4 Kĩ năng đưa một phương trình về tích……….

15 3.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………

17 4 Kết luận và kiến nghị……… 18

Tài liệu tham khảo……… 19

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức lớn và quan trọng trong chương trình toán học phổ thông,ta thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10; tuyển sinh đại học, cao đẳng; thi học sinh giỏi Mặc dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải.Trong quá trình giảng dạy tôi đã tìm ra một số nguyên nhân chính sau:

Thứ nhất, phải khẳng định rằng hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, nhanh nhạy trong việc nhìn nhận hướng đi, đồng thời phải có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có trong quỹ kiến thức nhiều phương pháp khác nhau

Thứ hai, sách giáo khoa, sách bài tập trình bày một số hệ phương trình khá đơn giản, các tài liệu tham khảo xuất bản ồ ạt, các tài liệu đều đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại, cũng như phân tích, định hình bài toán chưa rõ ràng , lời giải thì vắn tắt, dẫn đến sự bị động trong học sinh về hướng giải quyết.Chỉ số ít học sinh đọc và hiểu được vấn đề mà tài liệu tham khảo đề cập đến

Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc nên không nhớ được lâu, bị động trong tiếp thu kiến thức, chưa có ý thức cao trong việc tìm tòi,hình thành cách giải tổng quát, đúc rút kinh nghiệm chưa nhiều

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Với đề tài này tôi mong muốn:

- Nhằm giúp học sinh khai tác một số kĩ năng thông thường khi giải hệ phương trình, từ đó hình thành kĩ năng giải hệ phương trình, trên cơ sở đó có được nền tảng kiến thức để giải được những hệ phương trình không mẫu mực và khó hơn

- Rèn luyện tư duy toán học, tư duy logic

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Với đề tài này, tôi đề cập đến các lớp bản

thân đã trực tiếp giảng dạy các lớp 10A3 năm học: 2014 -2015; 10A4 năm học 2015-2016

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Trong quá trình nghiên cứu và viết đề tài này, tôi sử dụng một số phương pháp như: so sánh, phân tích, thống kê, thu thập thông tin, xử lí số liệu, nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN:

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN :

Để nghiên cứu , học tập sâu phần hệ phương trình đại số, trước hết người học cần nắm vững các dạng phương trình cơ bản và cách giải chúng mà sách giáo khoa đã trình bày

2.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a Định nghĩa Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng

ax by c

a x b y c



2 2 0, '2 '2 0

a b  a b 

b Ví dụ 2 3 7



   



c Cách giải Ngoài các cách gải đã học ở lớp 9 ta có thêm cách giải bằng định

thức, như sau :

+ Bước 1 Tính các định thức

+ Bước 2

- Nếu D 0 thì hệ có nghiệm duy nhất (x;y) trong đó D , D

y x

x y 

- Nếu D 0 + D x  0 hoặc : Hệ phương trình vô nghiện

+ D x D y  0: Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình ax by c 

2.1.2 Hệ phương trình đối xứng kiểu I

a Định nghĩa Hệ phương trình đối xứng kiểu I là hệ pt có dạng ( ; ) 0

( ; ) 0

f x y

g x y





 Trong đó f x y( ; ) và g x y( ; ) là những đa thức chứa hai biến x, y thỏa mãn

( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ), ,

f x y  f y x g x y g y x x y¡

b Cách giải thường áp dụng:

- Bước 1 Biểu diễn từng phương trình trong hệ theo tổng x y và tích xy

- Bước 2 Đặt x y S, đk:

xy P

 



 



S  P

- Bước 3 Giải hệ mới theo hai ẩn S và P

- Bước 4 Với S và P tìm được thì x và y là hai nghiệm của phương trình

X SX  P

2.1.3 Hệ phương trình đối xứng kiểu II

a Định nghĩa Hệ phương trình đối xứng kiểu II là hệ phương trìn có dạng

,trong đó là một biểu thức chứa hai biến x và y

( ; ) 0

( ; ) 0

f x y

f y x





- Bước 1 Trừ vế cho vế hai pt ta được: f x y( ; ) f y x( ; ) 0 (*)

- Bước 2 Đưa phương trình (*) về dạng tích (x y g x y ) ( ; ) 0

- Bước 3 Xét hai trường hợp

TH 1 x = y thế vào một trong hai phương trình của hệ và giải tiếp

TH 2 g x y( ; ) 0 kết hợp một trong hai phương trình ban đầu ta được hệ mới

Chú ý: Nếu g x y( ; ) 0 phức tạp ta sẽ tìm cách chứng minh nó vô nghiệm x hoặc vô nghiệm y

2.1.4 Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp:

Hệ phương trình 2 ẩn có vế trái là đẳng cấp là hệ phương trình mà ở mỗi

phương trình tổng số mũ của x và y của mỗ số hạng là bằng nhau Chẳng hạn:

Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai là hệ có dạng







Cách giải

- Bước 1 Cân bằng hệ số tự do ta được







- Bước 2 Trừ vế cho vế của hai phương trình ta được Ax2 Bxy Cy 2 0 (*)

- Bước 3 Giải phương trình (*) ta sẽ biểu diễn được x theo y

- Bước 4 Thế vào một trong hai phương trình của hệ và giải tiếp

* Chú ý

- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn

- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt y tx x , 0 hoặc đặt x ty y , 0

2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

Qua một số năm dạy lớp 10, mặc dù các em đa số các em đều có lực học khá trở lên ở THCS, song khi gặp hệ phương trình thời gian đầu các em vẫn khá lúng túng, nhiều em không định hình ra cách giải.Nếu chỉ dạy học sinh những bài tập trong sách giáo khoa cũng như sách bài tập thì các em không đủ kiến thức để thi đại học, cũng như thi học sinh giỏi các cấp Đây là mảng kiến thức gây khó khăn cho mọi đối tượng học sinh, từ những khó khăn của học sinh,tôi

đã trăn trở và tìm tòi, đúc rút được sáng kiến kinh nghiệm: “KHAI THÁC MỘT

SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10” Trong sáng kiến tôi đã

hệ thống một số kĩ năng thông thường để giúp học sinh có những định hình cơ bản, từ đó hình thành phản xạ khi gặp hệ phương trình Bên canh đó tôi đã xây dựng hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao và được phân loại khá hay, phù

hợp với tư duy của học sinh,để giúp các em tiếp cận, làm quen và hình thành kĩ năng giải hệ phương trình ngay từ lớp 10

2 3 KHAI THÁC MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10

3.1 KĨ NĂNG THẾ:

a.Cơ sở lí luận : Ta rút một ẩn ,hay một biểu thức, hoặc một số thực từ một

phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại

b Nhận dạng Kĩ năng này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương

trình là bậc nhất đối với một ẩn , (hay chứa một biểu thức, hoặc số) mà khi thế vào phương trình kia thì phương trình đó là phương trình một ẩn

c Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 22 1 2 (1)

x y

 



 (Bài tập 45b SGK 10 NC- NXBGD)

Phân tích: Quan sát hệ học sinh sẽ phát hiện ngay phương trình (1) là bậc nhất

đối với x và y nên có thể rút x hoặc y đều được, tôi định hướng cho học sinh rút

y vì y có hệ số bằng 1

Lời giải Từ (1) ta có y  5 2x thế vào (2) ta được:

5 (1 2 ) (1 2 ) 7 5 3 2 0 2 9

   





    



Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 1; 1 ; 2 9;

5 5

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình

2







(Đề thi đại học Khối B-2008)

Phân tích:

Hướng 1: Phương trình (2) là bậc nhất đối với y nên ta có thể thế ẩn.

Lời giải

 x = 0 không thỏa mãn phương trình (2)

2

0, (2)

2

x

 

2

2 2

4 4

x

x





 

Do x0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; )x y  17

4;

4

Hướng 2: Ta thấy vế trái của phương trình (1) là hằng đẳng thức

2

2

2

2

(2 ) 2

2

Đến đây tiếp tục giải pt(1a) tìm ra x thế vào 2 tìm ra y, từ đó kết luận nghiệm

Phân tích: Hướng 1 dễ thấy hơn, song học sinh thường không xét x 0mà chia ngay cho x dẫn đến bài toán không chặt

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình: 2 (Đề Thi ĐH Khối D-2009)

2

( 1) 3(1)

5 ( ) 1 0(2)

x x y

x y

x

  







   



Phân tích:

Hướng 1: Quan sát nhanh học sinh phát hiện phương trình (1) là bậc nhất đối với

y nên ta rút y thế vào (2) để giải theo x

Lời giải:

Từ (1) y 3 x x2 ( do không thỏa mãn (1)) Thế vào phương trình 2 ta

x

 

được:

 

1

1

1

2 2

x

x

   



Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là: (1; 2),(2; )1

2

Hướng 2 Quan sát kĩ pt(1)ta thấy do x 0 không thỏa mãn pt(1)có thể rút

thế vào (2) ta được pt bậc 2 đối với ẩn là

3

1

x y

x

x

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình 2 2 2( ) 7

( 2 ) 2 10

y y x x





Phân tích: Nhận thấy phương trình thứ 2 có bậc nhất đối với x nên học sinh có

thể rút x rồi thế vào pt thứ nhất để tiếp tục giải Song cách này dẫn đế phương trình khá phức tạp dẫn đến việc tính toán nhầm lẫn

Nếu tinh tế một chút ta thấy số 7 ở phương trình thứ nhất khá quan trọng

Lời giải

Từ pt (1)   7 x2 y2  2(x y ), thế vào phương trình(2) ta được:

2 2 1 ( 2 ) 2 3 2( ) ( 1)( 2 3) 0

2 3

x

 



                



* x  1 thế vào pt(2) ta được: 2 2

2 8 0

4

y

y y

y





      



* x  2y 3 thế vào pt(2) ta được:









Vậy hệ có nghiệm ( ; ) ( 1; 2);( 1; 4);( 5 6 5; 5 3 5);( 5 6 5; 5 3 5)

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình:  

 

2 2

3 3

2 1 1

y x

x y y x

  





  



Phân tích : Ta thấy ngay hệ phương trình trên không cùng dạng với hai hệ

phương trình ở các ví dụ trên Tuy nhiên, quan sát kỹ một chút, ta nhận thấy phương trình (1) có vế trái là đẳng cấp bậc 2, vế phải là hằng số; phương trình (2) có vế trái là đẳng cấp bậc 3, vế phải là đẳng cấp bậc nhất, do vậy nếu xem

ta thực hiện thế số từ phương trình(1) vào ta được

(2) 1.(2 )

VT  y x 1 2y 2 x2

một phương trình có vế trái là đẳng cấp bậc 3 Cụ thể:

Lời Giải:

Nếu 2y - x = 0  x = 2y, thế vào hệ phương trình  vô nghiệm

Khi đó 2y - x  0 Thế 1 2y 2 x2từ phương trình (1) vào (2), ta được:

2x3 - y3 = (2y2 - x2)(2y - x)  x3 + 2x2y + 2xy2 - 5y3 = 0 (3)

Đặt x = ky (k  0)  Phương trình (3 ) trở thành:

(k3 + 2k2 + 2k - 5)y3 = 0  















0 5 2 2

0 2

k y

Nếu y = 0  x = 0, thế vào hệ  Hệ phương trình không có nghiệm (0; 0) Nếu k3 + 2k2 + 2k - 5 = 0  (k - 1)(k2 + k + 5) = 0  k = 1

Với k = 1  x y thay vào (1) ta được y2     1 y 1  x = ± 1

Vậy hệ đã cho có nghiệm là   1;1 , 1; 1   

Chú ý:Vì ta đã nhân vào vế trái pt(2) một hàm chứa biên nên ta phải xét 2

trường hợp để không làm thay đổi tập nghiệm của hệ

Có nhiều hệ phương trình mà việc thế ẩn hay số hay biểu thức ta chưa thể nhìn thấy ngay mà qua một vài bước biến đổi cơ bản ta sễ thấy được, chẳng hạn.

Ví dụ 6 Giải hệ phương trình 3 (Đề thi đh khối A năm 2006)

x y xy







Lời giải: ĐK:

0 1 1

xy x y





  



  



Từ pt(1)xy (x y ) 2  6(x y ) 9  (đk: x y  3)thế vào phương trình (2) ta được:

2

x y x y

x y

  



Do đó ta có 6 3, thử lại thấy thỏa mãn hệ pt đã cho

9

x y

x y xy

 



  

 



Vậy hệ pt có nghiệm: ( ; ) (3;3)x y 

Bình luận:+ Đây là hệ phương trình đối xứng kiểu I nên học sinh có thể giải

bằng cách đặt x y S

xy P

 



 



+ Trong cách giải trên hs khi bình phương 2 vế học sinh thường quên

đk để hai vế không âm dẫn đến bài toàn thừa nghiệm

Có nhiều hệ phương trình mà trong hệ có một phương trình mà có thể giải x theo y hoặc y theo x từ đó thế vào pt còn lại, chẳng hạn:

Ví dụ 7 Giải hệ phương trình 22 (52 4)(4 )(1)

5 4 16 8 16 0(2)







Phân tích: Từ 2 pt trong hệ không thể rút x hặc y do đó chưa thể thế được ngay

nhưng nếu xem pt(2) là phương trình bậc hai theo y thì có thể giải y theo x

Lời giải:

Pt(2) y2  (4x 8)y 5x2  16x 16 0  , pt có 2 5 4

9

4

y

y x x

 



     



 Với y 5x 4 thế vào phương trình (1) ta được phương trình:

0 5

x x

  





  

    



 Với y  4 x thế vào pt(1) ta được (4 ) 0 0 4

x x

  



      



Vậy hệ pt có 3 nghiệm: (0; 4),(4;0),( 4;0)

5



3.2 KĨ NĂNG CỘNG ,TRỪ, NHÂN ĐẠI SỐ.

a.Cơ sở lí luận: Nếu cộng, trừ hoặc nhân vế với vế của hai phương trình

trong hệ ta được một phương trình mà có thể giải được ẩn này theo ẩn kia

b.Nhận dạng: Ta thường áp dụng cách này cho hệ phương trình đối xứng

kiểu 2 và hệ phương trình đẳng cấp hoặc hệ có thể đưa về đẳng cấp

c.Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 22 2

2

x x y

y y x

  





 



Lời giải: Trừ vế cho vế hai pt cho nhau ta được:

2 2

1

x y





              



 Với x y thế vào phương trình thứ 2 ta được: 2 0 0

3 0

x x

  



      



 Với x  1 y thế vào phương trình 2 ta được:

2

1 0

y y





   





Vậy hệ có 4 nghiệm:(0;0),(3;3),(1 5 1; 5),(1 5 1; 5)

Lưu ý: Do tính đối xứng nên nếu hệ có nghiệm ( ; )x y0 0 thì hệ cũng có nghiệm

0 0

( ; )y x

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 32 8 32 2

3 3( 1)

   





  



Phân tích: Hệ phương trinhg trên không thể rút thế, song nếu chuyển vế phù

hợp ta được hệ mà các vế là đẳng cấp

Lời giải:

Nhân vế với vế hai phương trình với nhau ta được phương trình hệ quả:

3(x y ) (4  x y x )(  3 )y x x y 12xy  0

Vì y 0  x 0 không thoả mãn hệ nên chia cả hai vế cho ta được:y3

3

4

x y

x

y

 





  





 Với x 3y thế vào pt thứ 2 ta được: 2 1 3

1

y

    



     



 Vớix  4y thế vào pt thứ 2 ta được:13y2  6















Thử lại thấy các nghiệm đều thỏa mãn

Vậy hệ có 4 nghiệm: ( 3; 1),(3;1),(4 78; 78),( 4 78; 78)

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình







Phân tích Đây là hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc hai nên ta sẽ cân bằng

số hạng tự do và thực hiện phép trừ vế

Lời giải.

Hệ





Giải phương trình này ta được 1 , 145 thế vào một trong hai phương

y x y   x

trình của hệ ta thu được kết quả

* Chú ý

- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn

- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng cách đặt y tx x , 0 hoặc đặt x ty y , 0

3.3 KĨ NĂNG ĐẶT ẨN PHỤ

1 Cơ sở lí luận:

Biến đổi đưa hệ phương trình về dạng mà chỉ phụ thuộc vào 2 biểu thức,

từ đó ta đặt ẩn phụ.Đây là một mảng lớn và rất quan trọng, hay và khó nên tôi dạy cho học sinh phần này kĩ hơn

- Xuất phát từ hệ bậc nhất 2 ẩn tôi xây dựng một số hệ phương trình mới cùng xuất phát từ hệ gốc

2 Nhận dạng: Hệ đối xứng kiểu 1 và các dạng có thể đưa mỗi pt về dạng

phụ thuộc 2 biểu thức

3 Một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:Giải hệ phương trình: 2 2 8

5

x y x y

xy x y

    

   



(BT46a- SGK10 NC NXB GD trang 100)

Phân tích: Đối với hệ này không thể giải theo các cách ở trên, song học sinh dê

dàng nhận dạng hệ pt này, từ đó đưa ra cách giải

          



Đặt x y S(Đk: )

xy p

 



 



2 4

S  P

3 18 0

5

S P S

S S

S P

  



Vì S2  4P nên chỉ có S 3;P 2 là thỏa mãn

Vậy hệ có nghiệm:( ; ) (1; 2),(2;1)x y 

Chú ý.

- Do tính đối xứng nên nếu hệ pt có nghiệm là ( ; )x y thì hệ cũng có nghiệm

là ( ; )y x Vì vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x y

- Không phải lúc nào hệ đối xứng kiểu I cũng giải theo cách trên Đôi khi việc thay đổi cách nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải ngắn gọn hơn.Chẳng hạn

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

2 2

2 2

1

1

x y

xy

x y

x y







Phân tích: Đây là hệ phương trình đối xứng kiểu I nên có thể giải theo cách

thuần túy, song để ý ta thấy nếu biến đổi một vài bước ta sẽ phát hiện ra cách giải đặt hay hơn, cụ thể

Lời giải: Đk:xy 0

Khi đó hệ pt

1

1

x

y

  





  



(a  2,b  2)

(t/m)

2 2

2; 7 53

a b



      





1 7

7 3 5

2

x x

y y

  



   

